คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

37

1.8 สมการเอกซโพเนนเชียลและสมการลอการิทึม

กําหนดให < = log xa หรือ Δ = xa หรือ Δ = 2xa หรือ < =2log3

xa หรือ อ่ืนๆ

เชน สมการ 22 2 2 1x+ ⋅ + = ถากําหนดให 0 Δ = 2x ซ่ึง ( ) ( )22 2 2 1x xx + ⋅ + =

Δ + =

0

จะไดวา Δ + ⋅ 0 2 2 1

ทบทวนกําลังสองสมบูรณ รูปแบบ 2)( Δ+< = 22 2 Δ+Δ⋅+ << = ))(( Δ+Δ+ <<

รูปแบบ 2)]([ Δ−+< = )]()][([ Δ−+Δ−+ << = 22 )()()(2)( Δ−+Δ−⋅+ <<

รูปแบบ 2)( Δ−< = ))(( Δ−Δ− << = 22 2 Δ+Δ⋅− <<

ทบทวนผลตางกําลังสอง รูปแบบ 22 Δ−< = 22 )()( Δ−<

= ))(( Δ−Δ+ <<

รูปแบบทั่วไปของสมการกําลังสอง 2a bΔ + Δ + c = 0

Δ = a

acbb2

42 −±− ใชสูตร สมการหาคําตอบ

สรุปการใชสูตร ตรวจสอบจํานวนของคําตอบสําหรับสมการกําลังสอง มีได 3 กรณี ไดแก กรณีที่ 1. สมการกําลังสองมี คําตอบ เมื่อ 0 acb 42 − < 0 กรณีที่ 2. สมการกําลังสองมี 1 คําตอบ เมื่อ acb 42 − = 0 กรณีที่ 3. สมการกําลังสองมี คําตอบ เมื่อ 2 acb 42 − > 0

ทบทวนผลตางกําลังสาม รูปแบบ 3 3−Δ< = ( )( )2 2−Δ + Δ + Δ< < <

ทบทวนผลบวกกําลังสาม รูปแบบ 3 3+Δ< = ( )( )2 2+Δ − Δ + Δ< < <

ทบทวนกําลังสามสมบูรณ รูปแบบ ( )3+Δ< = 3 2 23 3 3+ Δ + Δ +Δ< < < การหารากที่สองของจํานวนที่อยูในรูป 2x y± กําหนดให bax += และ aby =

1. 2x y+ = a b+

2. 2x y− = a b− = ,

,

a b a

b ab a

⎧ b− >⎪⎨⎪ >−⎩

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

38

กิจกรรมการเรยีนดวยตวัเอง จงทําเครื่องหมายถูกหรือผิดหนาขอทุกๆ ขอ ตอไปนี ้

1. คําตอบของสมการ 1+xx = lo มีคาตรงกับ g 45 x = log 4

log5 log 4−

2. สมการ ( )25 3+ = 8 2 15+

3. สมการ ( )25 3

2

− = 4 15−

4. สมการ 8 2 15− = 5 3−

5. สมการ 8 2 15− = 25 3+

6. สมการ ( )log 8 2 15− = 22log5 3

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

7. สมการ ( )log 8 2 15− = ( )2log 4 log 5 3− +

8. สมการ ( )log 2 15 8− = ( )2log 5 3 log 4+ −

9. สมการ ( ) ( )log 13 2 22

11 2−

− = 2

10. สมการ 08 3 4 3 2 2x x x+ ⋅ + ⋅ + = ( )32 1x +

เฉลยคําตอบกจิกรรมการเรียนดวยตวัเอง

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

39

แบบฝกหัด 1.81. จงหาคาของ x จากสมการตอไปนี้

1.) 2x = 32

วิธีที่ 1 2x = 32

2x = 52 ∴ x = 5 ตอบ

วิธีที่ 2 2x = 32

log 22x = log 322

2

log 2x ⋅ = 5log 22 ( )1x ⋅ = 5 log 22⋅

x = ( )5 1⋅ ∴ x = 5 ตอบ

2.) 3x = 36

วิธีทํา 3x = 36

log 33x = 36log3

จะได 3log3x = 36log3x = 36log3

= log36log3

∴ x

= log3.6 10log3

×

= log3.6 log10log3+

= ............. 10.4771

+

= ................0.4771

∴ x = 3.2620 ตอบ

3.) 9x = 23 x

วิธีทํา 9x = 23 x

23 x = 23 x 2x = 2x x = x ซ่ึง จํานวนทกุจํานวนมีสมบัติการสะทอน

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

40

∴ x ∈ ( ),−∞ ∞ ตอบ

4.) 3 12 x+ = 23x− ∴ x ≈ 2.95− ตอบ

5.) 5x = 14x+

∴ x ≈ 2.95− ตอบ

2. จงแกสมการตอไปนี้

1.) 22 2x xx − = 0

วิธีทํา 22 2x xx − = 0

2( 1) 2xx − = 0 2( 1) 2xx − = 0

) 0

แยกคดิเปน กรณี 2

2( 1x − =

2x = 1

∴ x 1 = 1− ,

2x = 0 ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริงเลย

∴ x = 1− 1 , ตอบ

2.) 4 33 3 4 3x xx e x e− −− = 0

∴ x = 43

, 0 ตอบ

3.) 2 3 2x xe e− + = 0

∴ x = , 0 0.6931 ตอบ

4.) e e 4 24 2x x+ − =1 0

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

41

∴ x = 0.5493 ตอบ

5.) 0 2 22 9(2 ) 2+x x+ − =

x = 2− , 1 ตอบ

6.) 2 13 9x+ + = ( )28 3x

∴ x = 1− , 2 ตอบ 3. จงหาคาของ x จากสมการตอไปนี้ 1.) 10 xln =

∴ x = 10e ตอบ 2.) xlog = 2−

∴ x = 1210

= 1100

ตอบ

3.) 3 x2log =

x = 3102

= 500 ตอบ ∴

4.) log x2log = 52 +

∴ x = 510 ตอบ 5.) )53(log +x = 2

∴ x ≈ 31.67 ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

42

4. กําหนด = จงหาคาของ 2log = 301.0 , 3log 4771.0 x จากสมการตอไปนี ้

1.) 2 5 312 8x x− +⋅ = 16

วิธีทํา 2 5 312 8x x− +⋅ = 16 ทราบไหมผิดตรงไหนหรือไมผิดเลย

( ) ( )2 5 32 32 3 2x x− +

× ⋅ = 42

( ) ( ) ( )2 5 2 5 3 922 3 2

x x x− − +⋅ ⋅ = 42

( ) ( ) ( )4 10 2 5 3 92 3 2x x x− − + = 42⋅ ⋅

( ) ( )2 5 3 9 4 103 2x x x− + + −⋅ = 42

( ) ( )2 5 13 73 2x x− −⋅ = 4 02 3⋅ เปรียบเทียบเลขชี้กําลัง แยกคดิเปน กรณี 2

2 5x− = 0

∴ x = 25

13 7x− = 4 ∴ x = 9

7

∴ x = 25

, 1112

ตอบ

วิธีทํา 2 5 312 8x x− +⋅ = 16

( ) ( )2 5 32 32 3 2x x− +

× ⋅ = 42

( ) ( ) ( )2 5 2 5 3 922 3 2

x x x− − +⋅ ⋅ = 42

( ) ( ) ( )4 10 2 5 3 92 3 2x x x− − + = 42⋅ ⋅

( ) ( )2 5 3 9 4 103 2x x x− + + −⋅ = 42

( ) ( )2 5 13 73 2x x− −⋅ = 42

( ) ( )2 5 13 7 43 2x x− −⋅ − = 1

( ) ( )2 5 9 73 2x x− −⋅ = 1

Ta ke Log

( ) ( )2 5 9 7log 3 22x x− −⋅ = log 12

( ) (2 5 log 3 9 72 )x x− ⋅ + − = 0

( ) log32 5log 2

x− ⋅ = 7 9x −

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

43

( ) 2 5 log3x− ⋅ = ( )7 9 log 2x − ⋅

2 log3 5 log3x⋅ − ⋅ = 7 log 2 9 log 2x ⋅ − ⋅

7 log 2 5 log3x x⋅ + ⋅ = 2 log3 9 log 2⋅ + ⋅

( )7 log 2 5 log3x ⋅ + ⋅ = 2 log3 9 log 2⋅ + ⋅

x = 9 log 2 2 log37 log 2 5 log3⋅ + ⋅⋅ + ⋅

= ( ) ( )( ) ( )

9 0.301 2 0.47717 0.301 5 0.4771⋅ + ⋅⋅ + ⋅

= 3.66324.4925

∴ x = 0.8154 ตอบ

2.) 2 1 2 22 3x x+ +⋅ = 45 x วิธีทํา

∴ x = ( )

log 2 2 log 3

4 1 log 2 2log 2 2log 3

+ ⋅

− − −

แทนคาได x = ( ) ( )( ) ( ) ( )

0.301 2 0.47714 0.699 2 0.301 2 0.4771

+ ⋅− −

= 1.25521.2398

∴ x = 1.0124 ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

44

3.) 2542

x

x− = 3 73 x−

x = ( )

7 log 3 4 log 22 1 log 2 log 2 3 log 3

− ⋅ − ⋅⋅ − − − ⋅

แทนคาได x = ( ) ( )( ) ( ) ( )

7 0.4771 4 0.3012 0.699 0.301 3 0.4771

− −− −

= 3.3397 1.2041.398 0.301 1.4313

− −− −

= 4.54370.3343

−−

∴ x = 13.5917 ตอบ

5. จงหาเซตคาํตอบของสมการตอไปนี ้(จะเหน็ประโยชนของฟงกชัน1 1− ) 1.) 3)53(log ++x = )12(log +x วิธีทํา 3)53(log ++x = )12(log +x

3log (3 5) log 10x + + = )12(log +x

3log (3 5) 10x + ⋅ = log (2 1)x +

เนื่องจากเปนฟงกชัน หนึ่ง ตอ หนึ่ง

∴ ( ) 33 5 10x + ⋅ = ( )2 1x +

3000 5000x + = 2 1x+

2998x = 4999−

∴ x = 49992998

−

∴ x = 1.6674− ตอบ 2.) lo 3 g ( 2) log ( 1)x x+ − + =

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

45

∴ x = 0.999− ตอบ 3.) )3(log)12(log −+− xx = 2

∴ x = , 8.93 5.43− ตอบ 4.) )1(log)1(log ++− xx = )12(log +x

∴ x = , 2.732 0.732− ตอบ

5.) xlog = )9(log1 −− x

∴ x = 1− , 10 ตอบ

6.) log 3 log2 2 x+ = log 5 log ( 2)2 2 x+ −

∴ x = 5 ตอบ

7.) lo g ( 1) log ( 1)5 5x x+ − − = 2

∴ x = 1.083 ตอบ

8.) lo = 1 g ( 5) log ( 3)9 9x x− + +

∴ x = , 4 6 ตอบ

9.)

2log52

x =161

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

46

∴ x = 15

ตอบ

10.) log (log )2 3 x = 4

∴ x = 163 ตอบ

11.) )1(log)53(log +−+ xx = 3 ขอนี้เสริม

x = 995997

− ตอบ

12.) lo ขอนี้เสริม g ( 1) log ( 1)5 5x x+ + − = 2

∴ x = 26− , 26 ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

47

1.9 การประยกุตของฟงกชนัเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่ไมไดเปนไปอยางตอเนื่อง เชน มนุษย หรือ สัตวเล้ียงลูกดวยนมอื่นๆ เปนตน จํานวนประชากรเมือ่เวลา ผานไป t หนวย คือ เมื่อ คือจํานวนประชากรเมื่อเวลาผานไป หนวย ( )n t 0n 0

(เวลา ณ จุดเริม่ตน)

( )n t = ( )10tn r+

การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่เปนไปอยางตอเนือ่ง เชน เชื้อโรค หรือ เชื้อแบคทีเรีย อ่ืนๆ เปนตน จํานวนประชากรเมื่อเวลาผานไป t หนวย คือ ( )n t

เมื่อ คือจํานวนประชากรเมือ่เวลาผานไป หนวย (เวลา ณ จุดเริ่มตน) 0n 0

( )n t = 0r tn e

การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี เมื่อคร่ึงชีวิตของสารกัมมันตรังสี คือ เวลา หนวย h

เมื่อเวลาผานไป หนวย ปริมาณที่เหลือของสารกัมมันตรังสี คือ t ( )m t

เมื่อเวลาผานไป หนวย (เวลา ณ จุดเริ่มตน) 0

ปริมาณที่เหลือของสารกัมมันตรังสี คือ 0m

r = ln 2h

( )m t = 0r tm e−

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

48

ระดับความเขมเสียง ( )β คือ 10 เทาของลอกการทิึมของเศษความเขมเสียงที ่

ตองการวดั ( สวน ความเขมเสียงที่มนษุยปกตเิร่ิมไดยิน)Ι ( )0Ι

β = 10log0

⎛ ⎞Ι⎜ ⎟⎜ ⎟Ι⎝ ⎠

ระดับความเปนกรด – ดาง ของสารละลาย

pH =1log

⎛ ⎞⎜ ⎟+Η⎝ ⎠

= ( )log +− Η

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

49

กิจกรรมการเรยีนดวยตวัเอง จงทําเครื่องหมายถูกหรือผิดหนาขอทุกๆ ขอ ตอไปนี ้ 1. การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ไปใชกับศาสตรอ่ืนๆ ดวยการบรูณาการกับ ฟสิกส เชน ระดบัความเขมเสียง เปนตน 2. การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ไปใชกับศาสตรอ่ืนๆ ดวยการบรูณาการกับ เคมี เชน สารกัมมันตรังสี หรือ ระดับความเปนกรด – ดาง เปนตน 3. การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ไปใชกับศาสตรอ่ืนๆ ดวยการบรูณาการกับ ชีววิทยา เชน การเพาะเชื้อ เปนตน 4. การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ไปใชกับศาสตรอ่ืนๆ ดวยการบรูณาการกับ สังคมศาสตร เชน การเติบโตของประชากรมนุษย เปนตน 5. การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ไปใชกับศาสตรอ่ืนๆ ดวยการบรูณาการกับ ภาษาศาสตร เชน ความเขมเสยีงของมนุษย เปนตน 6. การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณทีี่ไมไดเปนไปอยางตอเนื่อง เชน มนุษย หรือ สัตวเล้ียงลูกดวยนมอื่นๆ เปนตน จํานวนประชากรเมื่อเวลาผานไป t ป

คือ ( )n t = ( )10tn r+

7. การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณทีี่เปนไปอยางตอเนื่อง เชน เชื้อโรค หรือ เชื้อแบคทีเรีย อ่ืนๆ เปนตน จํานวนประชากรเมือ่เวลาผานไป t ป

คือ ( )n t =0r tn e

8. ระดับความเขมเสียง ( )β คือ 10 เทาของลอกการิทึมของเศษความเขมเสียงที่

ตองการวดั ( สวน ความเขมเสียงที่มนษุยปกตเิร่ิมไดยิน)Ι ( )0Ι

9. จากขอ 8. เขียนเปนสมการไดวา

β = 10log0

⎛ ⎞Ι⎜ ⎟⎜ ⎟Ι⎝ ⎠

10. ระดับความเปนกรด – ดาง ของสารละลาย

pH =1log

⎛ ⎞⎟⎜ +Η⎝ ⎠

= ( )log +− Η

เฉลยคําตอบกจิกรรมการเรียนดวยตวัเอง

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

50

กิจกรรมการเรยีนดวยตวัเอง จงทําเครื่องหมายถูกหรือผิดหนาขอทุกๆ ขอ ตอไปนี ้

1. log30.301

= log3log 2

= lo g 32

2. log 20.4771

= log 2log3

lo = g 23 = 1log 32

= ( ) 1log 32−

3. log 2 = 1 l og5−

4. log 6 = 0.301 0.4771+

5. log8 = 0.301 3×

6. log1.2 = 3 2 2log10× ×⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= log3 log 2 log 2 log10+ + −

= ( ) ( )0.4771 2 0.301 1+ −

= 1. 0791 1−

= 0.0791 7. จากการคํานวณ ขอ 6. lo g1.2 = 0.0791

และการเปดตาราง ได lo g1.2 = ซ่ึงไดคาตรงกัน 0.0791

เฉลยคําตอบกจิกรรมการเรียนดวยตวัเอง

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

51

แบบฝกหัด 1.9

1. จํานวนแบคทีเรียในการเพาะเชื้อจุลินทรีย ใน t ช่ัวโมง มีสูตร )(tn = 0.45500 te

1.) จงหาจํานวนแบคทีเรียเมือ่เวลาผานไป 3 ช.ม. วิธีทํา การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่เปนไปอยางตอเนือ่ง เชน เชื้อจุลินทรีย หรือ เชื้อโรค อ่ืนๆ เปนตน จํานวนอตรรกยะ e เปนจํานวนที่มีคาประมาณที่ทศนยิมตาํแหนงที่ คือ 7 2.7182818

)(tn = 0.45500 te

เวลาผานไป 3 ช.ม. ( )3n = ( )0.45 3500e

= 1.35500e

≈ ( )1.35500 2.7182818

∴ กดเครื่องคิดเลขได ( )3n ≈ 500 3.8574×

≈ 1928.7 ≈ ตัว 1929

∴ จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 3 ช.ม. มีประมาณ 1929 ตัว ตอบ 2.) เปนเวลานานกี่ช่ัวโมง จึงจะมีจํานวนแบคทีเรีย 10 ตัว 000,

วิธีทํา

= 0.45500 te )(tn= 0.45500 te หาเวลาเมื่อ 1 0,000

∴ จะมีจํานวนแบคทีเรีย ตัว เมื่อเวลาผานไป 6 ช.ม. กับ นาที 000,10 40 ตอบ2. ในป พ.ศ. 2541 จํานวนประชากรของจังหวดัหนึ่งเทากับ คน และมีอัตราการเติบโตเทากับ ตอป 000,112 4 %

1.) จงหาจํานวนประชากรของจังหวดันี้เมือ่เวลาผานไป ป t

วิธีทํา การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่ไมไดเปนไปอยางตอเนื่อง เชน มนุษย หรือ สัตวเล้ียงลูกดวยนมอื่นๆ เปนตน Q จํานวนประชากรของจังหวดันี้เมื่อเวลาผานไป t ป คือ ( )n t เมื่อ ( )n t =

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

52

∴ เมื่อเวลาผานไป t ป ( )n t = คน ( )112000 1.04 t× ตอบ

2.) จงหาจํานวนประชากรโดยประมาณหลังจากเวลาผานไป ป 3

วิธีทํา การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่ไมไดเปนไปอยางตอเนื่อง เชน มนุษย หรือ สัตวเล้ียงลูกดวยนมอื่นๆ เปนตน Q จํานวนประชากรของจังหวดันี้เมื่อเวลาผานไป t ป คือ ( )n t เมื่อ ( )n t =

∴ เมื่อเวลาผานไป 3 ป ( )3n ≈ คน 125,440 ตอบ

3.) จังหวัดนี้ จะมีประชากร คน เมื่อไร 000,200

วิธีทํา การเจริญเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่ไมไดเปนไปอยางตอเนื่อง เชน มนุษย หรือ สัตวเล้ียงลูกดวยนมอื่นๆ เปนตน Q จํานวนประชากรของจังหวดันี้เมื่อเวลาผานไป t ป คือ ( )n t

( )n t = เมื่อ ∴ เมื่อเวลาผานไป 14 ป กับ เดือน 18 วัน จะมปีระชากร คน 9 200,000 ตอบ 3. ธาตุซีเซียม มีคร่ึงชีวิต ป ถามีธาตุซีเซียมที่เปนกลุมตัวอยางจํานวน 10 กรัม 137− 30

1.) จงหาปริมาณของซีเซียมที่เหลือเมื่อเวลาผานไป ป t

วิธีทํา Q การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี มีครึ่งชีวิต ปริมาณสารที่เหลืออยู มสูีตร h

( )m t = 0r tm e− เมื่อ r =

ln 2h

( )m t = 0r tm e− เมื่อ r =

ln 230

r = 0.0231 ∴ ปริมาณของซีเซียมที่เหลือเมือ่เวลาผานไป t ป คือ ( )m t

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

53

( )m t =

∴ ปริมาณซีเซียมเมื่อเวลาผานไป t ป คือ ( )m t = 0.023110 te− ⋅⋅ ตอบ 2.) จงหาปริมาณของซีเซียมที่เหลือเมื่อเวลาผานไป ป 80

วิธีทํา Q การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี มีครึ่งชีวิต ปริมาณสารที่เหลืออยู มสูีตร 30

( )m t = 0r tm e− เมื่อ r =

ln 230

r = 0.0231 ∴ ปริมาณของซีเซียมที่เหลือเมือ่เวลาผานไป 80 ป คือ 80m

80m ≈

∴ ปริมาณซีเซียมเมื่อเวลาผานไป 80 ป คือ 1.575 กรัม ตอบ 3.) จะใชเวลานานกี่ปจึงจะมีซีเซียมเหลืออยู 2 กรัม วิธีทํา Q การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี มีครึ่งชีวิต ปริมาณสารที่เหลืออยู มสูีตร 30

( )m t = 0r tm e− เมื่อ r =

ln 230

r = 0.0231 ∴ เวลานานกี่ปจงึจะมีซีเซียมเหลืออยู กรัม 2

2 ≈ ( ) 0.023110 te− ⋅ เนื่องจากเปนฟงกชัน หนึ่ง ตอ หนึ่ง logtake −

∴ log 2 = ( ) 0.0231log 10 te− ⋅ ∴ เหลือซีเซียมอยู กรัม เมื่อเวลาผานไป ป 2 69.9 ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

54

4. ถาสารกัมมันตรังสีจํานวน มิลลิกรัม สลายตัวเหลืออยู มิลลิกรัม ในเวลา ช่ัวโมง 250 200 48

จงหาครึ่งชีวิตของสารนี้ วิธีทํา Q การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี มีครึ่งชีวิต ปริมาณสารที่เหลืออยู มสูีตร h

( )m t = 0

ln 2 thm e

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ เมื่อ r =

ln 2h

∴ คร่ึงชีวิตของซีเซียม 149.1 ช่ัวโมง ตอบ

เพิ่มเติม r = ln 2h

= 0.6931149.1

= 0.00465

5. ถาคา ของนมชนิดหนึ่งเทากับ จงหาความเขมขนของประจุไฮโดรเจน ในนมนี ้pH 5.6 )( +H

วิธีทํา Q ระดับความเปนกรด – ดาง ของสารละลาย

pH = 1log⎛ ⎞

⎟⎜ +Η⎝ ⎠ = ( )log +− Η

∴ ความเขมขนของประจุไฮโดรเจน ในนมนี ้ )( +H 6.510- ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

55

6. ถาระดับความเขมเสียงของรถไฟเทากบั เดซิเบล รถไฟฟานี้จะมคีวามเขมเสียงกี่วัตตตอตารางเมตร 98

วิธีทํา Q ระดับความเขมเสียง ( )β คือ 10 เทาของลอกการทิึมของเศษความเขมเสียงที ่

ตองการวัด ( สวน ความเขมเสียงที่มนุษยปกติเร่ิมไดยิน)Ι ( )0Ι

คือ ( )0Ι ……………. วัตต ตารางเมตร = /

β = 10 log0

⎛ ⎞Ι⎜ ⎟⋅⎜ ⎟Ι⎝ ⎠

แทนคา 98 = 10 log 1210

⎛ ⎞Ι⋅ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

( 98 = ( ) )1210 log log 10−⎛ ⎞⋅ Ι −⎜ ⎟⎝ ⎠

98 = ( )10 log 120⋅ Ι +

∴ ( )log Ι = 98 12010−

( )log Ι = 2.2−

( )Ι = วัตตตอตารางเมตร 2.210-

( )Ι ≈ วัตตตอตารางเมตร 0.0063

∴ รถไฟฟานี้จะมีความเขมเสียง 10 2.2- ≈ 0.0063 วัตตตอตารางเมตร ตอบ