07 nociones de algebra lineal
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Materia de álgebra lineal y vectores con ejemplos y ejercicios.TRANSCRIPT
Nociones de
Algebra Lineal
1) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por :
a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2
k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R2
b) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2
k (a, b) = (a, a) k R (a, b) R2
c) (a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R2
2) Dados los siguientes subconjuntos de R2 y R3
a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / y = 2 }
c) { (x, y) / y + x = 3 } d) { (x, y) / x = y / 2 }
e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3)}
f) { (x, y, z) / z = 0 } g) { (x, y, z) / y = 1 }
h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) { (x, y, z) / x + y = 1 }Representar gráficamente los conjuntos dados y establecer cuáles de ellos son subespacios de R2 o de R3 según corresponda, justificando la respuesta.
),,(w),,(v),,(u 011112112 3) a) En R3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de los vectores
siendo los escalares : a = 2 ; b= 3 y c = 1 . ),(v),(u 4240 b) Expresar los
vectorescomo combinación lineal de los versores
),(j),(i 1001
4) Determinar analíticamente si los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base de R2, justificando la respuesta.
a) A = { (1, 2) ; (-2, 1) } b) B = { (1, 2) ; (2, 4) }
c) C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } d) D = { (0, 0) ; (2, 1) }
5) Dados los vectores ),(v);(u 13221 de R2 :
a) Verificar que el conjunto
es una base de R2}v;u{A
b) Hallar en la base
las coordenadas del vector
}v;u{A ),(w 64
6) Sean los conjuntos de vectores
a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / x = y / 2 }
c) { (x, y, z) / z = 0 } d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio ii) Determinar la dimensión de cada sub espacio
7) Una concesionaria de automóviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar y de lujo, mientras que las columnas indican el número de unidades de color rojo bermellón, azul metalizado, gris plomo y verde acuario. La casa central vendió en el mes de julio del modelo estándar 10 unidades de color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6 unidades color rojo bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de agosto fue en el modelo estándar ninguna unidad de color rojo bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5 verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la información dada :a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto.b) ¿ De qué clase es cada matriz ?c) ¿ Cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses ?d) ¿ Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses ?e) Esta concesionaria de automóviles tiene una sucursal, que vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto.
f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ? ¿ Cuántos autos se hubieran vendido en la sucursal si la venta en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central ?
8) Escribir : a) Una matriz F C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i j
b) Una matriz G C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ; gij = i - j si i j
9) Sean las matrices A y B R2 x 3
Calcular : i) A + B ii) 3 A iii) 2A - 3B
654
321A
817
203B
10) Dadas las matrices :
0813
272/13
0010
3121
A
3151
4910
6251
B
9379
0500
0614
8331
C
011
212
341
D
a) Escribir las matrices -A y –D b) Calcular, si es posible, B x A ; D x A y D x B.
11) Calcular los rangos de las siguientes matrices :
1212
0111
2242
A
1321
3111
1212
1311
B
12) Calcular los siguientes determinantes
11
13 A)A(D
214
131
342
B)B(D
1243
0112
3110
4211
C)C(D
Espacio Vectorial
Para que (V, *, K, ) sea espacio vectorial
1) x V , y V x * y V Ley de cierre para * composición interna en V
2) x, y, z : x, y, z V (x * y) * z = x * (y * z) Asociativa para *
3) 0 V / x : x V x * 0 = 0 * x = x Existe Elemento Neutro para *
4) x V, x´ V / x * x´ = x´ * x = 0 Existe Elemento Inverso para *
Si x V e y V y es un escalar del cuerpo K
5) x, y : x, y V x * y = y * x Conmutativa para *
Hasta aquí se verificaron condiciones en V respecto de *, que hacen de (V, *) un grupo abeliano
Ahora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las operaciones * y entre elementos de V y de K
se debe verificar que:
1 a1 a
1 b1 b
1 c1 c
6) x V, V x V Ley de cierre
7) x V , , K : ( x) = ( ) x Asociativa8) x, y V, K : (x * y) = x * y
es distributiva con respecto a *
9) x V, , K : ( * ) x = x * x
es distributiva con respecto a *
10) x V : x 1 = 1 x = x El elemento neutro de es el 1 de K
1 a1 a
1 b1 b
1 c1 c
1 a) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2
k (a, b) = (k · a, k · b) k R , (a, b) R2
1) (a, b) , (c, d) R2 (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) R2 L.C.I.2) (a, b), (c, d), (e, f) R2 : [(a, b) (c, d)] (e, f) = (a, b) [(c, d) (e, f)]
[(a, b) (c, d)] (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)(a, b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)
Asociativa
3) (e1, e2) R2 / (a, b) : (a, b) R2 (a, b) (e1, e2) = (a + e1, b + e2) = (a, b)
4) (a, b) : (a, b) R2, (a´,b´) R2 / (a a´, b b´) = (e1, e2)
5) (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d) R2 (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b)
Existe Elemento Neutro para
Existe Elemento Inverso para
Conmutativa para
1 b1 b 1 c1 c
7) a, b) R2 , , R : [ (a, b)] = · [ ( · a, · b)] = ( · · a, · · b) = ( · ) · (a, b)
8) (a, b), (c, d) R2, R : [(a, b) (c, d)] = · [(a + c, b + d)] = [ · (a + c), · (b + d)] = ( · a + · c, · b + · d) = = ( · a, · b) + ( · c, · d) = [ · (a, b)] + [ · (c, d)]
Es distributivo con respecto de en R2
9) (a, b) R2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) · a, ( + ) · b] = [( · a + · a), ( · b + · b)] = [( · a, · b) + ( · a, · b)] = [ (a, b)] [ (a, b)]
Es distributivo con respecto de * en K
10) 1 R2 / (a, b) : (a, b) R2 1 (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b)
6) (a, b) R2, R (a, b) = ( · a, · b) R2
Se verifican todas las condiciones Es Espacio Es Espacio VectorialVectorial
Ley de cierre para con un escalar
Asociativa para con R2 y R
Existe Elemento Neutro para
1 b) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones y definidas por :
(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R k • (a, b) = (a, a) k R (a, b) R2La operación definida en R2 es la misma que la del ejercicio anterior,
por tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes
7) (a, b) R2 , , R : [ (a, b)] = [( a, b)] = (a, a) = (a, a) ( ) (a, b) = [( ) a, ( ) b] = (a, a)
Asociativa para con R2 y R8) (a, b), (c, d) R2, R : [(a, b) (c, d)] = [(a + c, b + d)] = [ (a + c), (b + d)] = (a + c, a + c)
=[ (a, b) (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c) Es distributivo con respecto de * en
R2
6) (a, b) R2, R (a, b) = ( a, b) = (a, a) R2 Ley de cierre para con un
escalar
9) (a, b) R2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) a, ( + ) b] = (a, a) ( * ) (a, b) = [ (a, b)] + [ (a, b)] = (a,a) + (a,a) = (a
+ a, a + a )
NO Es distributivo con respecto de * en NO Es distributivo con respecto de * en RR
Pero (a, a) (a + a, a + a)
No se verifica esta condición
NO Es Espacio VectorialNO Es Espacio Vectorial 1 c1 c
1 c) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por :
(a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) (a, b) , (c, d) R2 k • (a, b) = (k · a, k · b) k R (a, b) R2
1) (a, b) , (c, d) R2
)2
,2
(),(*),(dbca
dcba
R2 L.C.I.
2) (a, b), (c, d), (e, f) R2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)]
),(*)2
,2
(),(*)],(*),[( fedbca
fedcba
)2
2,2
2(f
dbe
ca
)4
2,
42
(fdbeca
)2
,2
(*),(],(*),[(*),(fdec
bafedcba
)2
2,2
2(
fdb
eca
)4
2,
42
(fdbeca
pero
)4
2,
42
(fdbeca )
42
,4
2(
fdbeca
* NO Es Asociativa en * NO Es Asociativa en RR22 NO Es Espacio VectorialNO Es Espacio Vectorial
SubespaciosDado un espacio vectorial (V, *, K, )
y el conjunto no vacío S V S es un sub conjunto del conjunto V
Si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición interna
que en V(S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, ) ó S es subespacio de V
Escribimos de otra manera :
Si 1) S
2) x S y S x + y S3) R x S x S
Si (S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K,
)(S, *) es un sub grupo
de (V, *)
entonces el elemento neutro pertenece a S
2 a2 a 2 b - c2 b - c
2 d2 d 2 e2 e
2 i2 i2 g - h2 g - h
2 f2 f
2 a) Si A = { (x, y) R2 / x = y } Representamos gráficamente
x y = x y
4 4 = 4 4
2 2 = 2 2
1) A
2) Si
3) Si
)b,a(u baAu
)db,ca()d,c()b,a(vu
pero
dbca Avu
A)b,a(uR
)b,a(u
pero
ba Au
A es sub espacio de A es sub espacio de RR22
cerrada para la suma
cerrada para el producto por un
escalar
Para analizar si A es subespacio, verificamos que se cumplan las tres condiciones suficientes para que un
conjunto sea subespacio.Pero previamente verificamos que el vector nulo pertenezca al conjunto A
Efectivamente (0,0) A
)d,c(v
con dcAv con
)b,a(
2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f2 e2 e2 d2 d2 b - c2 b - c
2 b) B = { (x, y) / y = 2 } Representamos
gráficamentex y = 2 y
2 2 2
4 2 2
- 6 2 2
Antes de analizar si es subespacio verificamos si el vector nulo pertenece al conjunto BPero (0,0) B B NO es sub espacio de RB NO es sub espacio de R22
2 c) C = { (x, y) / y + x = 3 }
x y = -x + 3
y
2 - 2 + 3 1
6 - 6 + 3 -3
Pero (0,0) C C NO es sub espacio de RC NO es sub espacio de R22
2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f2 e2 e2 d2 d
2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 }
para representar gráficamente, haciendo pasajes de términos, busco la
forma y = f(x)
2y
x xy 2 Ahora puedo confeccionar tabla de valores y representar gráficamentex y =
2xy
2 2 2 4
4 4 2 8
1) D
2) Si ),( bau
abAu 2
3) Si
),(),(),( dbcadcbavu
luego
)(2 cadb Dvu
DbauR ),(
abDu 2 )2,( aau
pero
ab 2
)2,()2,( aaaau
El nulo (0,0) D porque 0 = 2 0
cerrada para la suma
cerrada para el producto por un escalarD es sub espacio de D es sub espacio de
RR22
con),( dcv cdDv 2co
n
),( ba
)22,(),( cacadbca ))(2,( caca
2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f2 e2 e
¿ podés hacer la interpretación geométrica del producto ?
2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3) }
Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan
gráficamente en el espacio.
Trazamos un par de ejes ortogonales x-y en el plano
(como si fuera en el piso de una habitacióny a este par de ejes le incorporamos el eje z,
perpendicular al plano determinado por x-y en el origen de coordenadas (0,0)
Al punto (1,0,0) le corresponde x = 1;
y = 0 y z = 0Al punto (0,1,0) le corresponde x =
0 ; y z = 0
Al punto (0,0,1) le corresponde x = 0 ; y = 0;
y z = 1
Al punto (1,2,3) le corresponde x = 1;
y = 2
y z = 3Al punto (1,3,-1) le corresponde x
= 1;y = 3
y z = -1
Al punto (-2,1,4) le corresponde x = -2;
y = 1
y z = 4
Al punto (-3,-2,5) le corresponde x = -3;
y = -2 y z = 5
Al punto (1,-1,1) le corresponde x = 1;
y = -1 y z = 1
Al punto (2,-2,-3) le corresponde x = 2;
y = -2 y z = -3
y = 1;
E NO es sub espacio de RE NO es sub espacio de R22
El vector nulo (0,0,0) E
2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f
2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 }Este conjunto tiene vectores de
tres componentes, que se representan gráficamente en el
espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1,
0)al ser siempre la última componente 0 (z = 0)Todos los vectores del conjunto F están en el plano x, y
1) F se verifica2) ),b,a(u 0
),d,c(),b,a(vu 00
cualquier punto del plano x, y F
3) ),b,a(u 0
si = 2 (puede tomar cualquier otro
valor)
),db,ca(),db,ca(vu 000
),b,a(u 0 ),b,a( 0 ),b,a( 0
también el vector nulo (0,0,0) F
F
F
F ES sub espacio de RF ES sub espacio de R22
),d,c(v 0
),b,a(u 022 ),b,a( 0222 ),b,a( 022
2 i2 i2 g - h2 g - h
2 g) { (x, y, z) / y = 1 } Este conjunto tiene vectores de
tres componentes, que se representan gráficamente en el
espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0)
pero el vector nulo (0,0,0) F
y cualquier otro vector que verifique y= 1 (no importa cuál sea x ó z)
F NO es sub espacio de RF NO es sub espacio de R33
2 h) { (x, y, z) / x + y = 1 }
representamos la recta x + y = 1
Cualquier par de valores de x e y que verifiquen esa ecuación,
con cualquier valor de z pertenece al conjunto de
vectorespor ejemplo
(1,0,6); (-1,2,3); etc
Pero (0,0,0) H
H NO es sub espacio H NO es sub espacio de Rde R33
2 i2 i
2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Este conjunto tiene vectores de
tres componentes, que se representan gráficamente en el
espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2)
al ser siempre las dos primeras componentes 0
Todos los vectores del conjunto I están contenidos en el eje z
1) I se verifica
2) )a,,(u 00
)b,,()a,,(vu 0000
3) )a,,(u 00
)ba,,()ba,,(vu 000000
)a,,(u 00 )a,,( 00 )a,,( 00
también el vector nulo (0,0,0) I
I
I ES sub espacio de RI ES sub espacio de R22
),0,0( bv
Combinación LinealUna combinación lineal del conjunto de vectores A = {v1 v2 v3 . . . vn }
Es cualquier vector v = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 . . . n vn
con todos los i K
Por ejemplo: dado el conjunto de vectores
v1= (3,-1); v2 = (-4,6); v3 = (1, 2)El vector v = 1v1 + 2v2 +
3v3 =
Si 1 = 3 2 = -2 3 = -13 (3,-1) + (-2) (-4,6) + (-1)
(1,2) =v = (9,-3) + (8,-12) + (-1,-2) =
(9 + 8 - 1; - 3 – 12 - 2) =
(16; - 17) es combinación lineal de A
A = {v1 v2 v3 } donde
Si hay alguna combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente
dependientePara saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L.D. Debemos plantear :
(0, 0) = 1 (3,-1) + 2 (-4,6) + 3 (1,2) =
(31, -11) + (-42, 26) + (31,2) =
= (31 -42 + 3; -1 + 62 + 23)
026
043
321
321
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas
Al sistema de ecuaciones
026
043
321
321
Lo resolvemos por sustitución
(1)
De (1)
123 34
(2)
Reemplazo 3 en (2) y tengo
03426 1221 )( 0686 1221 0147 21
Ponemos 2 en función de 1
147 1
2
21
2
Ponemos 3 en función de 1, reemplazando
21
2
(3)
en (3)
11
3 32
4
11 32 13
Así es posible afirmar que para cualquier 1 0 ; 2 y 3 son también distintos de 0Si 1 = 1 ; 2 = 1/2 y 3 = -1 Con estos escalares es posible
establecer una combinación lineal
v = 1v1 + 2v2 + 3v3 =
),()(),(),(v 2116421
131
),(),(),(v 213213 ),(),( 00231123
El vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto A
Luego, los vectores de A son Linealmente los vectores de A son Linealmente DependientesDependientes
con 1 0 2 0 y 3 0
),,(w),,(v),,(u 011112112
3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de
Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la suma de los vectores w;v;u
Previamente multiplicados por escalares
a = 2 b = 3 y c =1
),,(wcvbua 121
),,(),,(),,(),,( 121011111231122
);;(),,(),,(),,( 032132164011336224 ),,( 121
Es combinación Es combinación lineallineal
),,( 121 de wvu
),(v),(u 4240 3 b) Para expresar
como combinación lineal de
),(j),(i 1001
escribimos jiu 21 ),(),(),( 100140 21 ),(),( 21 00
),()0,0( 2121 40 21 jiu 40
jiv 21 ),(),(),( 100142 21 ),(),( 21 00
),(),( 2121 00 42 21 jiv 42
Sistema de Generadores
Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K, )es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como
combinación lineal de los vectores del conjunto A
Se dice que A es un Sistema de Generadores de V
En la práctica, dado un conjunto de vectores A = { v1 v2 v3 . . . vn }Se busca escribir cualquier vector de V, como combinación lineal de los
vectores de ABase
Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si:
Los vectores de A son linealmente Los vectores de A son linealmente independientesindependientesA es un sistema de Generadores de VA es un sistema de Generadores de V
Recuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer una combinación lineal, la única forma de obtener el vector
nulo, es que todos los escalares de la combinación lineal sean nulos
4 c4 c
4 d4 d
4 b4 b
4 a4 a
5 a5 a
5 b5 b
4 a) Para saber si A = { (1, 2) ; (-2, 1) } es base de R2,
Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto A
Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y) R2
y escribimos :
),(),()y,x( 1221 21 ),(),()y,x( 2211 22
),()y,x( 2121 22
Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo1 (1, 2) + 2 (-2, 1) = (0, 0)
(1, 2 1) + (-2 2, 2) = (0, 0)
(1 -2 2 , 2 1 + 2) = (0, 0) entonces:
02
02
21
21
Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0.
Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.
12
21 541 )( A es linealmente
independiente
4 b4 b 4 d4 d4 c4 c
),()y,x( 2121 22
y
x
21
21
2
2
Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde 1 y 2 son las
incógnitas
12
21 ))(( 2211 541 )(
1
21 y
x )y)(x( 21 yx 2
y
x
2
12 )xy( 21 yx 2
Si dos vectores son iguales, sus componentes son
iguales
Con los valores hallados de
yxyx 22531 planteamos
1
1 52yx
2
2 52 yx Vemos que para cada
vector (x, y), existirán valores de 1 y 2 A es un Sistema de Generadores de
R2
Por ejemplo si v = ( 3, 1 )
52
1
yx
52
2
yx1
5123
1
5132
luego ),()(),( 121211 ),(),( 1221 21 ),(),( 1221 ( 3, 1 )
A es una Base de R2
4 b4 b 4 d4 d4 c4 c
4 b) Para saber si B = { (1, 2) ; (2, 4) } es base de R2,
Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo
1 (1, 2) + 2 (2, 4) = (0, 0)
(1, 2 1) + (2 2, 4 2) = (0, 0)
(1 + 2 2 , 2 1 + 4 2) = (0, 0)
entonces:
042
02
21
21
Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0.
Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.
42
21 044 )( B es linealmente
dependiente
B NO es Base
4 d4 d4 c4 c
4 c) Para saber si C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } es base de R2,
verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes,
1 (1, 3) + 2 (1/2, -4) + 3 (17/5, 8) = (0, 0)
),(),(),(),( 008517
421
3 332211
),(),( 00843517
21
321321
0843
0517
21
321
321
Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres
incógnitas
De (2)3
84 321
Reemplazando en
(1)
0517
21
38
34
3232 01511
611
32 32 156
De manera que:
si 3 = 15 ; 2 = - 6 483
158641
)(
),(),)((),)(( 8517
15421
63148 ),(),(),( 1205124314448
),(),( 001202414451348 Los vectores de C son L.D.
C NO es una Base de R2
)2(
)1(
0
0
0
3
2
1
4 d4 d
4 d) Para saber si D = { (0, 0) ; (2, 1) } es una Base de R2
Planteamos la siguiente expresión para averiguar si los vectores de A son linealmente
dependientes
)0,0()1,2()0,0( ba entonces
)0,0()1,2()0,0( bbaa )0,0(),2()0,0( bb
para 00 ba Los vectores del conjunto A Los vectores del conjunto A son linealmente dependientesson linealmente dependientes
cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo, es linealmente dependiente
A NO es una Base de RA NO es una Base de R22
Coordenadas de un vector
Si 21;vvA es una base de R2
Cada vector de R2 puede expresarse como una combinación lineal de A
ya que los vectores de A son linealmente independientes y sistema de generadores
Precisamente por ser A una base de R2
Entonces: si v R2 existen y son únicos los escalares a y b R
Tal que: v = a · v1 + b · v2 Donde a y b se llaman
coordenadas del vector v respecto de la base A
DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera de sus bases
Por ejemplo B = { (x,y) / x = y }
B es subespacio de R2
Son bases de B { (1, 1) } ;{ (2, 2) }
La Dimensión de B es 1 (nº de vectores en cada base de
B)
5 a5 a 6 a6 a
5) Dados los vectores ),(v);(u 13221 de R2 :
5 a) Verificar que el conjunto
es una base de R2}v;u{A
verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son linealmente dependientes,
1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (0, 0)
),(),(),( 00322 221
1
),(),( 00232 212
1
02
0321
21
21
Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos
incógnitas
De (2) 12 2 Reemplazando en (1)
02321
11 )( 0621
11
0211
1 01 Reemplazando en (2)
022 02
Los vectores son Linealmente Independientes
Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto V
y escribimos :
),(),()y,x( 2211 3221
),( 2121 2321
1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (x, y)
)2(
)1(
Base
Coordenadas
5 b5 b
y
x
21
21
2
321
Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde 1 y 2 son las
incógnitas
12
321
)( 32121
211
621
)( 1
31 y
x )yx( 31 yx 3
y
x
2
21
1 )xy( 221
yx21
2
Si dos vectores son iguales, sus componentes son
iguales
Con los valores hallados de
yxyx21
23211
21 planteamos
1
1
2113yx
2
2
211
21
2 yx
Podemos ver que para cada vector (x, y), existirán valores
de 1 y 2
V es un Sistema de
Generadores de R2
),()y,x( 2121 2321
113
112
1132 yx)yx)((
2112
4 yx
yx21
114
V es una Base de R2
Base
Coordenadas
5 b5 b
5 b) Para hallar las coordenadas del vector ),(w 64
En la base A = { u; v } donde u = ( ½ ; 2 ) ; v = ( 3, 1 )
Planteamos la siguiente expresión:
vbuaw que resulta
)1,3()2,21()6,4( ba )2,32(),3()2,2()6,4( bababbaa
A partir de esta expresión por la igualdad de los pares ordenados, planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incógnitas
)2,32()6,4( baba
62
432
ba
ba
)2(
)1(
De (1)
ba
342
)34(2 ba ba 68
Reemplazo a en (2) 6)68(2 bb 61216 bb
61116 b 16611 b 2211 b 2b
Si b = -2
128)2(68 a
4a
Coordenadas
6) a) dimensión de { (x, y) / x = y }
Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2a) donde
( x, y ) S ( x, y ) = ( y, y )
Si y = 1( 1, 1 ) S
Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x = y con multiplicar el vector por un escalar
estableciendo una combinación lineal
),()y,x(v 11 { (1,1) } es una base de { (x, y) / x = y }
Dim (1)Dim (1)Cantidad de vectores de
cualquier base del subespacio
{ (2,2) } también es base de { (x, y) / x = y }
Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede genera cualquier
vector que esté contenido en la recta y = x
6 b6 b 6 d6 d6 c6 c
6) b) dimensión de { (x, y) / x = y / 2 }
Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2d) donde:
( x, y ) S ( x, y ) = ( x, 2x )
Si x = 1( 1, 2 ) S
Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x
= y /2 con multiplicar el vector por un escalar
estableciendo una combinación lineal
),()y,x(v 21 { (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
Dim (1)Dim (1)Cantidad de vectores de
cualquier base del subespacio
{ (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier
vector que esté contenido en la recta y = 2 x
6 d6 d6 c6 c
Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2f)
( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( x, y, 0 )
Si x = 1 y = 4 ( 1, 4, 0 ) S Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar
cualquier otro vector que esté contenido en el plano x,y
estableciendo una combinación lineal ),,(),,(),y,x(v 0360410
{ (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 }
Dim (2)Dim (2)
Cantidad de vectores de cualquier base del
subespacio { (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } también es es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
6) c) La dimensión de { (x, y, z) / z = 0 }
Necesito otro vector, por ejemplo
Si x = 6 y = 3 ( 6, 3, 0 ) S Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en el
plano x,y
Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier
vector que esté contenido en el plano (x, y, 0)6 d6 d
Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2i)
( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( 0, 0, z )
Si z = 1 ( 0, 0, 1 ) S
Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido sobre el eje
zestableciendo una combinación lineal
),,()z,,(v 10000
{ (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
Dim (1)Dim (1)
{ (0, 0, 3) } también es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
6) d) La dimensión de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio
Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier
vector que esté contenido en la recta (0, 0, z)
MATRICES
informalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas
mnmnmjmm
nmnmjmmm
ininijii
nnj
nnj
aa....a....aa
aa....a....aa
............................
aa....a....aa
............................
aa....a....aa
aa....a.....aa
A
121
11111211
121
21222221
11111211 Esta matriz tiene m filas y n columnas
El número de filas no tiene por qué ser
igual al número de columnas, pero si
esto sucede, la matriz es cuadrada
Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una
matriz distinta de A
operaciones con matrices ver en los ejercicios
resueltos
7 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada
Mes: Julio Mes: Agosto
R A G V R A G V
estándar
10 5 7 9 0 20 10 5
de lujo 6 7 5 12 10 5 7 12
De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mes
12276
97510J
127510
510200A
La clase de una matriz está dada por la cantidad
de filas y de columnas
7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2x3) A es de la misma clase, A(2x3)
7 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el
correspondiente al mes de Agostoesto es 10 +
0 = 10
7 f g7 f g7 d e7 d e
7 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses
Sumamos las matrices que representan cada uno de los meses
127510
510200
12276
97510AJ
se efectúa sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre sí
12127257106
59107205010
2491216
14172510AJ
7 e) Si la sucursal vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2
(duplicamos)
2491216
1417251022 )AJ(
que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A )
24292122162
142172252102
48182432
283450202 )AJ(
7 f g7 f g
7 f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ?
7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa central
Sumamos a lo vendido en casa central
lo vendido en la sucursal
2491216
14172510AJ
48182432
283450202 )AJ(
48182432
28345020
2491216
141725102 )AJ(AJT
482418924123216
2814341750252010T
72273648
42517530
2491216
1417251033 )AJ(
24393123163
143173253103
72273648
425175303 )AJ(
8) a) Escribir una matriz F C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i j
Si la matriz F es de clase 3 x 3 F(3x3) tiene tres filas y tres columnas
Podemos escribir la matriz F de la siguiente manera:
333231
322221
131211
fff
fff
fff
F
Donde los subíndices de cada elemento, significan el orden
de filas y columnas que le corresponde, según su
ubicaciónijf Es el elemento ubicado en la fila i
columna j32f Es el elemento ubicado en la fila 3
columna 2
Si fij = 0 cuando i = j
f11 = 0 ; f22 = 0; f33 = 0
y cuando i j fij = i entonces :f12 = 1 ; f13 = 1; f21 = 2 ; f23 = 2 ; f31 = 3 ; f32 = 3
033
202
110
F
entonces
8 b8 b
8 b) La matriz G C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ; gij = i - j si i j
La matriz G es de clase 3 x 2 G(3x2)
tiene tres filas y dos columnas
Podemos escribir la matriz G de la siguiente manera:
3231
2221
1211
gg
gg
gg
GDonde los subíndices de cada elemento, significan el orden
de filas y columnas que le corresponde, según su
ubicaciónijg Es el elemento ubicado en la fila i columna j
En g11 i = j luego g11 = 1 – 1 = 0En g12 i < j luego g12 = 1 – 2 = -1En g21 i > j luego g21 = 22 + 1 = 5
En g22 i = j luego g22 = 2 – 2 = 0En g31 i > j luego g31 = 23 + 1 = 7En g32 i > j luego g32 = 23 + 2 = 8
entonces :
87
05
10
G
9 i) A + B
817
203
654
321BA
861574
230231
1463
524BA
9 ii) 3 A
9 iii) 2A - 3B =
654
32133 A
635343
332313 )(
181512
963
817
2033
654
3212
24321
609
12108
642
2412310218
66049232 BA
12729
047
10 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos de la matriz cuya opuesta buscamos
0813
272/13
0010
3121
A
011
212
341
D
Si
0813
27213
0010
3121
/A
011
212
341
D
10 b) B x A Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar
B(3x4) x A(4x3) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera
matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz
el resultado será una matriz M( 3 x 3 )
que tendrá igual cantidad de filas que la primera matriz
e igual cantidad de columnas que la segunda matriz
3151
4910
6251
0813
27213
0010
3121
/
Trazamos dos rectas perpendiculares entre sí
En el cuadrante inferior izquierdo colocamos la matriz B
En el cuadrante superior derecho colocamos la matriz AY efectuamos la sumatoria del producto de los elementos de cada fila de la primera matrizPor los elementos de cada columna de la segunda matriz
1 1 + 5 0 + 2 3 + (-6) 3 =
-11
-11
1 2 + 5 1 + 2 ½ + (-6) (-1) =
14
14
1 (-1) + 5 0 + 2 7 + (-6) 8 =
-35
-35
1 3 + 5 0 + 2 2 + (-6) 0 =
7
7
0 1 + 1 0 + (-9) 3 + 4 3 =
-15
-15
0 2 + 1 1 + (-9) ½ + 4 (-1) =
-15/2
-15/2
0 (-1) + 1 0 + (-9) 7 + 4 8 =
-31
-31
0 3 + 1 0 + (-9) 2 + 4 0 =
-18
-18
(-1) 1 + 5 0 + (-1) 3 + 3 3 =
5
5
(-1) 1 + 5 1 + (-1) ½ + 3 (-1) =
1/2
(-1) (-1) + 5 0 + (-1) 7 + 3 8 =
18
(-1) 3 + 5 0 + (-1) 2 + 3 0 =
- 5
1/2 18 -5
B x A
El resultado obtenido será:
518215
183121515
7351411
BxA
D x A Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar
D(3x3) x A(4x4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera
matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz
0813
272/13
0010
3121
A
011
212
341
D
En este caso esto no es así :
Las columnas de D son 3 y las filas de A
son 4
No es posible realizar D x No es posible realizar D x AA
D x B Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar
D(3x3) x B(3x4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera
matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz
el resultado será una matriz
( 3 x4 )M
011
212
341
3151
4910
6251
D x B1 1 + (-4) 0 + 3 (-1) = - 2 1 5 + (-4) 1 + 3 5 = 16
1 2 + (-4) (-9) + 3 (-1) = 35 1 (-6) + (-4) 4 + 3 3 = -13
-2 16 35 -13 (-2) 1 + 1 0 + 2 (-1) = -4
(-2) 5 + 1 1 + 2 5 = 1
(-2) 2 + 1 (-9) + 2 (-1) = -15 (-2) (-6) + 1 4 + 2 3 = 22
(-1) 1 + 1 0 + 0 (-1) = -1 (-1) 5 + 1 1 + 0 5 = -4 (-1) 2 + 1 (-9) + 0 (-1) = -11 (-1) (-6) + 1 4 + 0 3 = 10
-4 1 -15 22
-1 -4 -11 10
101141
221514
1335162
DxB
Rango de una Matriz
El Rango de una matriz es su rango fila ó su rango columna (que siempre coinciden)
Rango fila ó rango columna de una matriz es el máximo número de vectores filas ó vectores columnas linealmente independientes de la matriz
Para conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna) como vectores y determinar si son o no linealmente
independientesOtra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales
sobre la matriz, y al cabo de un número determinado de operaciones elementales, habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos
obtenido otra matriz del mismo rango
Operaciones elementales sobre una matriz:
1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos columnas entre sí
2. Adición de una fila a otra ó de una columna a otra.3. Multiplicación de una fila ó de una columna por un escalar no nulo.
Método de Gauss Jordan para determinar el rango de una
matrizEste método es una manera “mecánica” de operar en forma
ordenada pasos repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un número finito de pasos, se obtiene el máximo número posible de
vectores canónicos linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matriz
................
.......fed
.......cba
Sea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementos
Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivoteEn nuestro caso el pivote será a11 = aReducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote
.............
.......fe
.......cb
0
0
1
0
1 ..........ac
ab
abde a
cdf
..................
.......
Luego a cada elemento se le resta el producto de la
contradiagonal que forman el pivote con el elemento
que transformamosdividido por el pivote
Luego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no estén en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes ya elegidos en pasos anteriores
y los restantes elementos de la fila que quedan se dividen por el pivote
Por ejemplo: Hallar el rango de la matriz
987
654
321
A
Tomamos como pivote el elemento de la 1º fila y 1ºcolumna
Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote y los restantes elementos de la fila se dividen por el pivote (1) y quedan como están
0
0
321 Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote
Se transforma en 3124
5
Se transforma en 6134
6
6
Se transforma en 6127
8
6
Se transforma en 12137
9
12
3
Luego se repite el procedimiento, ahora tomo –3 como pivote
00
210
01
al dividir –6 por el pivote (-3) se hace
2Se transforma en 1
326
3
1
Se transforma en 03
6612
)()(
0
La matriz hallada
000
210
101
No se puede seguir transformando por Gauss-Jordan porque el próximo pivote debe ser de la 3º columna 3º fila y este elemento
es 0Pero 0 no puede ser pivote
En este caso, el rango de la matriz A es 2el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente independientes de la matriz
porque los elementos de la terceras fila después de todas las transformaciones posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinación lineal de las
otras dosGauss-Jordan no es el único método para efectuar operaciones elementales
en una matriz, pero lo adoptamos porque es el método que nos provee:
Un algoritmo eficiente (en un número determinado de pasos entrega la solución)
Aunque para ello debes estar muy entrenado en el cálculo de operaciones con fracciones . . .
11 a) Para calcular el rango de
1212
0111
2242
A
Tomamos el pivote –2 de la 1º fila 1º
columna
1121
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del
pivote0
0
Y completamos los restantes elementos de la 2º fila
3241
1
3
0221
1
0
12
210
)()(
1
trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila
3242
1
0
222
2
1
222
1
)()(
3 0 1
Tomamos el pivote –3 de la 2º fila 2º columna
Dividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos de la columna del pivote
00
31010
011
302
1
31
312
1
0303
0
completamos los restantes elementos de la
1º fila
1 31
y completamos los restantes elementos de la 3º fila0
0313
1
0
11 b11 b
0000
31010
31101
El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en las columnas 3º ó 4º
Pero ambos elementos son 0 y el pivote debe ser distinto de 0
En consecuencia las operaciones elementales se terminaron en esta matriz
La matriz de tres filas quedó con una fila de elementos nulos
El Rango de la matriz será la cantidad de filas con al menos un elemento distinto de 0
Existen otros métodos para
realizar operaciones
elementales en una matriz
pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un método algorítmico, y como tal puede
programarse.
NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento, con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene porqué seguir un orden, y si estás
trabajando sin calculadora te conviene que los pivotes sean los 1
11 b11 b
11 b) Calculamos el rango de B
1321
3111
1212
1311
B
tomamos el pivote 1 de la 1º fila 1º columna
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del
pivote
0
0
0
1311
y completamos los restantes elementos de la 2º fila
1112
1
1
41
322
)(
4
31
121
)(
3
completamos los restantes elementos de la 3º fila
0111
1
41
311
)( 41
113
)(
4 4los restantes elementos de la 4º fila son
1111
2
01
313
)( 21
111
)(
0
1 0 2
Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna
2010
4400
3410
1311
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del
pivote
y completamos los restantes
elementos de la 1º fila
2010
0
0
1
3101
3
3
3121
1
3
y completamos los restantes elementos de la 2º fila
41
014
51
213
4 5
y completamos los restantes elementos de la 3º fila
4100
4
4120
4
4 4
10
00
45100
01Tomamos como pivote el 4 en la 2º fila 3º columna
0
0
0
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del
pivote0
0
0
43
453
3
)(
43
1454
4
1
2450
2
2completamos
En la matriz resultante
2010
1000
45100
43001
También puede transformarse en canónica si:
a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4
a la tercera fila le multiplicamos por -1
1000
0001
a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4
0100
a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2
0010
Y la matriz queda con cuatro filas linealmente independientes, por tanto
El Rango de la matriz B es 4El Rango de la matriz B es 4
El único elemento que puede ser pivote está en la 3º fila 4º columna
0010
1000
0100
0001
Determinantes
Determinante es una función f: Kn x n K
Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento aij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna j
que se escribe det A ó A
nnnjnn
inijii
nj
nj
a...a...aa
..................
a...a...aa
..................
a...a...aa
a...a...aa
A
21
21
222221
111211
nnnn
n
n
ij
a...aa
............
a...aa
a...aa
M
21
22221
11211
Determinante es una función definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene imagen en conjunto de números reales (si los elementos de la matriz
son complejos, la imagen puede ser un complejo).
Una definición de determinante por recurrencia requiere:
i) Definir el determinante de orden 1
ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden k
A = ( a11 ) A= a11
1112111
121
1222221
1111211
k,kk,k,k,k
k,kkkkk
k,k
k,k
aa.....aa
aa.....aa
.........................
aa.....aa
aa.....aa
A
entonces:
1
111
11k
ik,ik,i
)k(i Ma)(A
Por ejemplo:
2
122
2
2221
12111
iii
i Ma)(aa
aaA
1221221111224
21123 11 aaaaaa)(aa)(
2
122
2123
41
iii
i Ma)(A
121341 43 )()()(
104321 )(
En determinantes de 3X3
3
133
3
333231
232221
131211
1i
iii Ma)(
aaa
aaa
aaa
A
2221
1211
336
3231
1211
235
3231
2221
134 111
aa
aaa)(
aa
aaa)(
aa
aaa)(
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
232221
131211
aaa
aaa
+
-
)aaaa(a)aaaa(a)aaaa(a 122122113312313211232231322113
)aaaaaaaaaaaaaaaaaa 122133221133123123321123223113322113
)aaaaaaaaaaaaaaaaaa 122133321123223113221133123123322113 ordenando resulta
331221233211132231231231133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa lo que verifica la regla de Sarrus
Una vez escrito el determinante que queremos calcular, transcribimos las dos primeras filas como se indica
Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de las contradiagonales) según corresponda
Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3
Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el método
del desarrollo por los elementos de una línea
4
144
4
44434241
34333231
24232221
14131211
1i
iii Ma)(
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Adonde
tendremos que calcular 4
determinantes de orden 3
Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible reducir a uno de orden “inferior en 1” y así sucesivamente,
hasta encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus
12 a) El determinante
11
13)(
AAD
214
131
342
B)B(D
Se resuelve restándole al producto de la diagonal
13A)A(D
el producto de la contradiagonal
)( 11 413
Para resolver B de orden 3 se aplica la regla de SarrusTranscribo las dos primeras filas al final del determinante
131
342
Efectuamos la suma de los productos de las diagonales
144311232 )(B
A esto le restamos los productos de las contradiagonales
241112334 )(
5823616312
El determinante
1243
0112
0110
4211
C
No se puede resolver con ninguna regla
particular por ser de orden 4
Aplicamos el desarrollo por los elementos de una línea
Vamos a desarrollarlo por los
elementos de la segunda fila
1243
0112
0110
4211
C
124
011
421
01 12)(
123
012
421
11 22)(
143
012
411
11 32)(
243
112
211
01 42
)(
48047111110 )()(C
Todo esto hecho con entusiasmo puede parecerse a . . .
Un juego de niños
Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr. Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr.
Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas preciado que tenemos. preciado que tenemos.
El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. que la ciencia logra abrir.
Albert EinsteinAlbert Einstein