07. phƯƠng trÌnh lƯỢng giÁc thƯỜng gẶp …...tan cot 1 0 sin cos 2 xx xx bài 14 :...

Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : LƯỢNG GIÁC

MOON.VN – Học để khẳng đị nh mình www.facebook.com/Lyhung95

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng phương trình: (sin cos ) sin .cos 0 a x x b x x c

Dạng phương trình: 2 2(tan cot ) (tan cot ) 0 a x x b x x c

Dạng phương trình: 4 4(sin cos ) sin 2 0 a x x b x c

Dạng phương trình: 4 4(sin cos ) cos 2 0 a x x b x c

Dạng phương trình: 6 6(sin cos ) sin 2 0 a x x b x c

Dạng phương trình: 6 6(sin cos ) cos 2 0 a x x b x c

Dạng phương trình: 4 4sin cos .cos 2 0 a x b x c x d

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos

2x = 0 b) 2sin

2x – 3sinx.cosx + cos

2x = 0


a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)


a) π

sin 2 2 sin 14

x x b) tan 2 2 sin 1 x x


a) 1

1 tan 2sincos

x xx

b) 1 1

sin costan cot

x xx x


a) 1 1 10

sin cossin cos 3

x xx x

b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1


a) sin3x + cos

3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin

3x + cos

3x = sin2x


a) 2 sin cos tan cot x x x x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2


a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1


Tài liệu bài giảng (Khóa TOÁN 11)

07. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (P3)

Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95



a) 2 sin 2 sin cos 2 x x x b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1


a) 2sin 2 3 3 sin cos 8 0 x x x

b) 2

sin cos 2 1 sin cos 2 0 x x x x


a) tan 3cot 4 sin 3 cos x x x x b) cos 2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x


a) 2sin cot 2sin 2 1 x x x b) 3 3cos2 cos sin x x x


a) 3(tan cot ) 2(2 sin 2 ) x x x b) 2 2

1 1 5tan cot 1 0

2sin cos x x

x x


a) 2 2tan cot 3(tan cot ) 6 x x x x b) 2 1 sin cos tan cot 0 x x x x


a)

3

sin cos 2 sin sin cos 2 2 02 2 2 2

x x x xx

b) 1 1 1 1

sin 3 cos3 1 tan 3 cot 3 02 2 sin 3 cos3

x x x x

x x


a) 2 2

1 12 tan 2 2cot 2 8 0

cos 2 sin 2 x x

x x b)

24 4tan cot 8 tan cot 9 0 x x x x

LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos

2x = 0 b) 2sin

2x – 3sinx.cosx + cos

2x = 0

Lời giải:

a) 2 22sin sin .cos – 3cos 0x x x x sis nin cos 2 3cos 0x xx x

2 32 cos . 13 sin cos 0

4 13 13x x x

cos cos 0

4x x

(với 3 2

cos ,sin13 13

)

cos 0 44

cos 02

x kxk

x kx

Vậy phương trình có họ nghiệm ,2 4

x k x k k



b) 2 22sin – 3sin .cos cos 0x x x x ssin cos 0c s2 in ox x x x

2 12 cos . 5 sin cos 0

4 5 5x x x

cos cos 0

4x x

(Với 1 2

cos ,sin5 5

)

cos 0 44

cos 02

x kxk

x kx

Vậy phương trình có họ nghiệm ,2 4

x k x k k


a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

Lời giải:

a) 2 22 sin cos sin 2 1 0 2 sin c sin cos sin cosos 2 0x x xx x x xx x

sin cos 0 2 cos . 04

sin cos 2 sin cos 2x x x xx x x

3cos 0

44

sin cos 1 _ sin 1,cos 1sin cos 2

x k kx

x x do x xx x

Vậy phương trình có họ nghiệm 3

4 x k k

b) sisi nn cos 6 sin – cos – cos 1 12 sin cos 131 2 xx x xx xx x

2

cos sin 12 cos sin 13 0x x x x

cos sin 1 21cos 2

cos sin 13 4 22

x x x kx k

x loaix k

Vậy phương trình có họ nghiệm 2 , 22

x k x k k


a) π

sin 2 2 sin 14

x x b) tan 2 2 sin 1 x x

Lời giải:

a) 2

sin 2 2 sin 1 sin cos 2 sin 04 4

x x x x x

22sin 0 2 si2 sin n 2 sin 1 04 44 4

xx x x



sin 0 44

21

sin24 2

2

x kx

x k k

xx k

Vậy phương trình có họ nghiệm , 2 , 24 2

x k x k x k k

b) ĐK: cos 0x

Ta có sin

tan 2 2 sin 1 2 2 sin 1 sin 2 2 sin cos cos 0cos

xx x x x x x x

x

2 2sin cos 2 sin cos 1 0 2 2 cos 2 cos 2 0

4 4x x x x x x

24cos 1

4 52 cos 1 2cos 1 0 2

4 4 121cos

114 2 212

x k

x

x x x k k

x

x k

Vậy phương trình có họ nghiệm 5 11

2 , 2 , 24 12 12

x k x k x k k


a) 1

1 tan 2sincos

x xx

b) 1 1

sin costan cot

x xx x

Lời giải:

a) ĐK: cos 0x

11 tan 2sin cos sin 2sin cos 1

cosx x x x x x

x

2cos sin cos sin 2 0x x x x

cos 2cos sin 2 4 2

2cos sin 1 1

2cos4 2

x loaix x k

kx

x kx


x k x k k

b) ĐK: sin ,cos 0x x

Ta có 2 21 1sin cos sin cos sin cos sin cos

tan cotx x x x x x x x

x x

sin cos sin cos sin cos 0 2 cos 2sin cos 2 sin cos 04

x x x x x x x x x x x



2

cos sin cos 2 sin cos 1 04

x x x x x

2cos cos 2cos 1 04 4 4

x x x

2 arccos 2 1cos 2cos 1 0

cos 04 3cos 0

4 4cos 2 1

4

42

4cos 1

4

4kx

x

x x k

x loai k

x

x

x

Vậy phương trình có họ nghiệm arccos3

4, 2 1

4 x k x kk


a) 1 1 10

sin cossin cos 3

x xx x

b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1

Lời giải:

a) ĐK: sin cos 0x x

1 1 10 sin cos 10

sin cos sin cossin cos 3 sin cos 3

x xx x x x

x x x x

3 sin cos sin cos 1 10sin cos 0x x x x x x

2 23

sin cos sin cos 1 5 sin cos 5 02

x x x x x x

3 2

3 sin cos 10 sin cos 3 sin cos 10 0x x x x x x

2

sin cos 2 3 sin cos 4 sin cos 5 0x x x x x x

2

2 19sin cos 1sin cos 2 _ sin cos 2 3

2 193 sin cos 4 sin cos 5 0 sin cos3

x xx x loai do x x

x x x x x x

2 19cos 1

4 2 193 2arccos 2

43 22 19cos

4 3 2

x loai

x k k

x

(thỏa mãn)


arccos 243 2

k kx

b) ĐK: sin 0x

cossin cot 2sin 2 1 2sin 4sin cos 10 0

s2

in

xx x x x x x

x



2 22sin cos 4sin cos sin 0 2sin 1 sin 2sin cos cos 0x x x x x x x x x x

2sin 1 1 2sin cos cos sin 1 0x x x x x

2

2sin 1 cos sin cos sin 1 0x x x x x

22sin 1 2cos 2 cos 1 04 4

x x x

1sin 2

2 6

10 2 5cos 1 2

4 4 6

10 210 2 arccos 2cos4 44 4

x x k

x loai x k k

x kx

Vậy phương trình có họ nghiệm 5 10 2

2 , 2 , arccos 26 6 4 4

k k kx kx x


a) sin3x + cos

3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin

3x + cos

3x = sin2x

Lời giải:

a) Phương trình đã cho tương đương với

3 3cos 2sin cos sin cos sin cos 1 sin cos sin cosin sin ss co2x x x x x x x x x xx xx x

2sin cos sin cos sin cos 0 sin cos sin cos 2 0x x x x x x x x x x

sin 2 0 _ sin cos 22

x do x x x k k


x k k

b) 3 31 sin cos sin 2 cos sin 1 sin c sin co oss 2 01x x x x x x x x x

2

cos sin 0 coscos sin 1 si sin 1 sin cos cos sin 0n cos x x x x x xx x xx x x

cos 0 14cos 1 sin cos cos sin 0

41 sin cos cos sin 0 2

xx x x x x

x x x x

Giải 14

x k k

Giải 2

2 3 1 2sin cos 2 cos sin 0 3 cos sin 2 cos sin 0x x x x x x x x

2cos sin 1 1

coscos sin 3 _ cos sin 2 4 22

2

x kx x

x kx x loai do x x x k



Vậy phương trình có họ nghiệm 2 , , 24 2

x xk k k k


a) 2 sin cos tan cot x x x x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2

Lời giải:


2 2sin cos

2 sin cos tan cot 2 sin cossin cos

x xx x x x x x

x x

2

2 sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos 2x x x x x x x x

3 2

sin cos sin cos 2 0 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 1 0x x x x x x x x x x

sin cos 2 cos 1 2 24 4 4

x x x x k x k k


k kx

b) 1 sin 1 cos 2 sin cos sin co sin cos 1 3 0s 1 0 2 sin cos 2x x x x x x xx xx

2 22 sin cos sin cos 3 0 2cos 2 2 cos 3 0

4 4x x x x x x

2cos 2

4 2

23 22cos 0

4 2

x x k

kx k

x loai


k x kx k


a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1

Lời giải:


cos sin

3 cot – cos – 5 tan – sin 2 3 cos 5 sin 2 0sin cos

x xx x x x x x

x x

cos sin 3 cos 1 5 sin 1 0

sin cos

x xx x

x x

3 cos sin cos sin 5 sin sin cos cos0

sin cos

x x x x x x x x

x x



cos sin cos sin 0 13 5

cos sin cos sin 0 3 5sin cos 0 2

sin cos

x x x x

x x x xx x

x x

Giải: 2 21 2 sin cos sin cos 1 0 2cos 2 2 cos 1 0

4 4x x x x x x

2 2cos

4 2 2 2arccos 2

2 42 2cos

4 2

x

x k

x l

k

oai

(thỏa mãn)

Giải: 3 3

2 tan arctan5 5

x x k k


arccos 23

arctan,2 4 5

x k x kk

b) sin cos sin cos 1 2 sin co 2sin cos 1 2 0sx x x x x x xx

2

23 0 2 cos 2 2 co2 sin co s 3 0

4 4s sin cos xx x x xx

2cos

4 2

3 22cos 0

4 2

x x k

kx k

x loai

Vậy phương trình có họ nghiệm ,2

k k kx x


a) 2 sin 2 sin cos 2 x x x b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1

Lời giải:

a) 2

2 sin 2 sin cos 2 2sin cos sin cos 2 sin cos 1 sin cos 2x x x x x x x x x x x

3 2

sin cos sin cos 2 0 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 1 0x x x x x x x x x x

sin cos 2 cos 1 2 24 4 4

x x x x k x k k


k kx

b) sin – cos 4sin 2 1 sin 8si– co n coss 4 3 0x x x x xx x

2

sin – cos

sin – cos sin – coss

11

4 3 0 cos3in – 2cos 4

4

xloai

x x

x x x xx x



4 4

24 4

x kx k

kx k

x k

Vậy phương trình có họ nghiệm ,2

x k kkx


a) 2sin 2 3 3 sin cos 8 0 x x x b) 2

sin cos 2 1 sin cos 2 0 x x x x

Lời giải:

a) 2

2 1 sin 2 3 3 sin cos 6 0 2 sin cos 3 3 sin cos 6 0PT x x x x x x x

Đặt sin cos 0 2t x x t ta có: 22 3 3 6 0t t vn

Vậy PT vô nghiệm

b) Đặt sin cos 2t x x t ta có: 21

1 2 2 02

tt t

t

+) Với 1t ta có: 21

sin 24 2

2

x kx

x k

+) Với 2t ta có: 3

sin 1 24 4

x x k

Vậy nghiệm của PT là: 3

2 , 2 , 24 2

x k x k x k k Z


a) tan 3cot 4 sin 3 cos x x x x b) cos 2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x

Lời giải:

a) ĐK: sin 2 0x . Khi đó sin 3cos4 sin 3 cos

cos sin

x xPT x x

x x

sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cos 2sin 2 14 sin 3 cos

sin cos sin 3 cos 0 2

x x x x x x xx x

x x x x

+) 2 2 2

3 31 sin sin 2

4 4 232 2

3 9 3

x x k x k

x x tmk

x x k x

+) 2 sin 03 3

x x k tm



Vậy nghiệm của PT là: 4 2

,3 9 3

kx k x

b) 2cos 2 5 4 sin cos 2 cos sin cosPT x x x x x x

2 22cos 4 4 sin cos 2cos sin 2 4 4 sin cos sin 2x x x x x x x x

Đặt 2sin cos 2 sin 2 1 sin 24

t x x x t t x

Khi đó: 2

23 1

4 4 1 sin 34 221

2

x kt loai

PT t t xx kt

Vậy nghiệm của PT là: 3

2 , 22

x k x k


a) 2sin cot 2sin 2 1 x x x b) 3 3cos2 cos sin x x x

Lời giải:

a) ĐK: sin 0x . Khi đó: 2cos cos2sin 2sin 2 1 2sin 1 4sin 1

sin sin

x xPT x x x x

x x

512 , 2sincos

6 62sin 1 1 2sin 1 0 2sin

sin cos 2sin cos 0 2sin sin 2 cos 0

x k x kxxx x

xx x x xx x x

2

1 5sin cos

22 sin cos sin cos 1 0

1 5sin cos

2

x x

x x x x

x x loai

3 1 5 3 1 5cos arccos 2

4 42 2 2 2x x k

b) cos sin cos sin cos sin 1 sin cosPT x x x x x x x x

cos sin cos sin 1 sin cos 0 sin cos cos sin 1 sin 1 0x x x x x x x x x x x

4sin cos 0

sin cos sin 1 cos 1 0 sin 1 22

cos 12

x k

x x

x x x x x x k

xx k

Vậy PT có 3 họ nghiệm như trên.


a) 3(tan cot ) 2(2 sin 2 ) x x x b) 2 2

1 1 5tan cot 1 0

2sin cos x x

x x



Lời giải:

a) ĐK: sin 2 0x . Khi đó sin cos 3

3 2 2 sin 2 2 2 sin 2cos sin sin cos

x xPT x x

x x x x

+) Đặt sin 2x t ta có:

213

2 2 3 03

tt t t

t loait

+) Với 14

t x k

b) ĐK: sin 2 0x . Khi đó 2 2

1 5 1. 1 0

sin .cos 2 sin .cosPT

x x x x

+) Đặt

2

12 sin cos

1 5 21 0

1sin cos 2sin cos 2

2

t x x

t t tx x

t x x loai

+) Với 1

sin cos sin 2 12 4

x x x x k

Vậy 4

x k

là nghiệm của phương trình.


a) 2 2tan cot 3(tan cot ) 6 x x x b) 2 1 sin cos tan cot 0 x x x x

Lời giải:

a) ĐK: sin 2 0x . Khi đó 2

tan cos 2 3 tan cot 6PT x x x x

Đặt tan cott x x ta có: 2

13 4 0

4

tt t

t

+) Với 1t ta có: sin cos cos 2 1 arctan 2

2cot 2 1 cot 21cos sin 2 2

sin 22

x x x kx x x

x xx

+) Với

1arctan

1 24 tan 22 2

kt x x

b) ĐK: sin 2 0x . Khi đó 1

2 2 sin cos 0sin cos

PT x xx x

Đặt sin cos 2t x x t ta có: 2

2

1 2sin cos 2 2 0

2 1

tx x t

t



3 2

sin 004

2 2 2 0 1 51 5

sin24 4

xt

t t tt

x

4

1 5arcsin 2

4 4

3 1 5arcsin 2

4 4

x k

x k

x k


a)

3

sin cos 2 sin sin cos 2 2 02 2 2 2

x x x xx

b) 1 1 1 1

sin 3 cos3 1 tan 3 cot 3 02 2 sin 3 cos3

x x x x

x x

Lời giải:

a) Ta có:

2

2 2 sin 2 sin cos2 2

x xx

, Đặt sin cos 2 sin 2

2 2 2 4

x x xt t

Khi đó: 3 2 22 2 0 1 2 0 2 sin 12 4

xPT t t t t t t

2 42 4 2 2

xk x k

.

b) ĐK: sin 6 0x . Khi đó: 1 sin3 cos3

sin3 cos3 2 0sin3 .cos3 sin3 .cos3

x xPT x x

x x x x

Đặt 2 1

sin3 cos3 2 sin3 .cos32

tt x x t x x

2 2

02 22 0 2 1 2 0

11 1

ttPT t t t

tt t

+) Với 0 sin3 cos3 0 tan3 114 3

kt x x x x

.

+) Với 1 sin3 .cos3 0t x x loai

Vậy nghiệm của PT là: 14 3

kx


a) 2 2

1 12 tan 2 2cot 2 8 0

cos 2 sin 2 x x

x x b)

24 4tan cot 8 tan cot 9 0 x x x x

Lời giải:

a) ĐK: sin 4 0x . Khi đó 2 2tan 2 2 tan 2 cot 2 2cot 2 6 0PT x x x x



2

14

tan 2 cot 2 4 sin 2 cos 2tan 2 cot 2 2 tan 2 cot 2 8 0

tan 2 cot 2 2 12

sin 2 .cos 2

x x x xx x x x

x x

x x

51 2 , 2

sin 4 6 62

sin 4 1 22

x k x kx

tm

x x k

b) Ta có: 22 24 4 2 2tan cot tan cot 2 tan cot 2 2x x x x x x

. ĐK: sin 2 0x

Đặt 2

tan cot 4.tan .cot 4t x x x x , ta có 2 1

2 2 8 9 011

t loait t

t

+) Với 2

21 4 211 11 sin 2 sin 2

sin .cos 11 11t x x tm

x x

1 2arcsin 2

2 11

1 2arcsin 2

2 11

x k

x k

Vậy PT có 4 họ ngiệm như trên

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

07. phƯƠng trÌnh lƯỢng giÁc thƯỜng gẶp …...tan cot 1 0 sin cos 2 xx xx bài 14 :...

Documents