07) tiempo muerto
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TIEMPO MUERTO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFacultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426Profesor: Celso Montalvo
CELSO MONTALVO 2
Tiempo Muerto Es un retraso temporal en la llegada de una señal ó valor de una
variable.
No confundir con el término "Retraso de 1er Orden" que es sinónimo de "Sistema de 1er Orden".
x(t) y(t)
D
Q, m3/min
)()(
)()(
sXesY
tXtYs
d
d ⋅=
−=−τ
τ dD A
Qτ ⋅
=
CELSO MONTALVO 3
Tiempo Muerto La presencia de tiempo muerto en los procesos hace muy difícil el
cálculo exacto y también se dificulta mucho el control. Para convertir la función exponencial en una función polinómica
se usan las Series de Taylor:
Estas expresiones se reducen a las llamadas Aproximaciones de Padé de 1er y 2do Orden:
...!32
13322
+−+−=− ssse ddd
sd ττττ
2/
2/
3322 ...!3/2/111
s
ss
ddds
sd
dd
dd
eee
sssee τ
ττ
ττ
τττ
−−− ≡
++++=≡ ó
12/222/1
12/222/12/12/1
111
ss
ssss
ssse
dd
dd
d
d
dd
d
ττ
ττττ
τττ
++
+−≅
+−
≅+
≅−≅−
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Tiempo Muerto El gráfico de abajo muestra la respuesta transitoria de las
Aproximaciones de Padé ante un step unitario.
% Programa en Matlab. Tau=0.5; num=[-Tau/2 1];
den=[Tau/2 1]; num2=[Tau*Tau/12 -Tau/2
1]; den2=[Tau*Tau/12 Tau/2 1];
sys1=tf(num,den); sys2=tf(num2,den2)
step(sys1,sys2)Padé 2do Orden
Padé 1er Orden
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Tiempo Muerto El gráfico de abajo usa la función pade de Matlab para τd = 1.
0 1 2 3 4 5 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Aproximaciones de Padé para Td=1
Time (sec)
Am
plit
ud
e1
1sτ +
1er Orden
2do Orden
3er Orden
4to Orden
CELSO MONTALVO 6
Tiempo Muerto El gráfico de abajo usa la función pade de Matlab para τd = 0.5.
0 1 2 3 4 5 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Aproximaciones de Pade para Td=0.5
Time (sec)
Am
plit
ud
e1
1sτ +
1er Orden: Verde2do Orden: Rojo3er Orden: Cyan4to Orden: Lila
CELSO MONTALVO 7
Tiempo Muerto El gráfico de abajo usa la función pade de Matlab para τd = 0.1.
0 1 2 3 4 5 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Aproximaciones de Pade para Td = 0.1
Tiempo (sec)
Am
plit
ud
1er Orden: Verde2do Orden: Rojo3er Orden: Cyan4to Orden: Lila
11sτ +
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Ejemplo Un proceso cuya Función de Transferencia se muestra abajo sólo
puede medirse con tiempo muerto. Hallar la Respuesta Transitoria en el tiempo si se le perturba con un salto unitario.
SOLUCIÓN La función sin y con tiempo muerto, pertubada sería:
2
8( )(4 1)(4 1)
ss s s
=+ + +
P
2
8 1( )(4 1)(4 1)
ss s s s
= ⋅+ + +
P 2 2
8 1( )(4 1)(4 1)
ss es s s s
−= ⋅ ⋅+ + +
P
Usando la Aproximación de Padé de 1er orden:
2 2
8 1 1 / 2( )(4 1)(4 1) 1 / 2
sss s s s s
−= ⋅ ⋅
+ + + +P
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Ejemplo Invirtiendo las transformadas:
Usando Matlab, las gráficas respectivas son:
/ 4 /816 15 15( ) 8 8 sin15 8
t tt e e t− − = − −
P
/ 4 /8 /8 /82
72 16 32 15 16 15 15( ) 8 8 cos sin7 105 15 8 15 8
t t t tt e e e t e t− − − − = − − + −
P
0 5 10 15 20 25 30-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9Step Response
Time (sec)
Am
plit
ud
e
Una solución práctica rápida sería descartar el tiempo muerto y calcular la Respuesta P(t), luego desplazar la curva un tiempo τd.
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FIN
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