122

4. Patrulaterul inscriptibil i circumscriptibil PATRULATERUL INSCRIPTIBIL n acest paragraf se vor studia proprietile patrulaterului inscriptibil. 4.1. Arc capabil de un unghi dat n acest paragraf vom rezolva urmtoarea problem: Se dau dou puncte fixe diferite, A i B i un numr 0 (0,1800). S se determine locul geometric al punctelor M astfel nct 0)( =BMAm . Soluie. Dreapta AB mparte planul n dou semiplane S i S. Vom determina locul geometric al punctelor M cu proprietatea din enun situate n semiplanul S. Fie semidreapta (AX n semiplanul S astfel nct 0)( =BAXm . Notm cu O punctul de intersecie dintre perpendiculara n A pe AX i mediatoarea segmentului AB. Considerm cercul C de centru O i raz OA (fig.1).

O

N

S

SA

X

M

B

.

Fig. 1.

Fie M un punct arbitrar al arcului BA)

situat n semiplanul S i N un punct al arcului BA)

situat n semiplanul S. Deoarece AX este tangent cercului C avem c

2)()( BNAmBAXm

)= . Dar

2)()( BNAmBMAm

)= , deci 0)()( == BAXmBMAm .

Dac PInt C S, atunci 02

)()( => BNAmBPAm)

deoarece unghiul BPA este un

unghi cu vrful n interiorul cercului C. Dac PExtCS, atunci

123

2)()( BNAmBPAm

)< . Arcul BA ) din semiplanul S, fr punctele A i B este locul

geometric al punctelor M din semiplanul S pentru care 0)( =BMAm i se numete arc capabil de unghiul 0 . Locul geometric din plan este format din dou arce capabile de unghiul 0 , unul situat n semiplanul S i cellalt n semiplanul S. Observaia 5.1.1. Arcul deschis BA

) situat n semiplanul S este un arc capabil de

unghiul 1800 - 0 . 4.2 Patrulaterul inscriptibil n acest paragraf vom defini i vom caracteriza patrulaterul inscriptibil. Definiia 4.2.1. Un patrulater se numete nscris ntr-un cerc sau inscriptibil, dac vrfurile patrulaterului aparin cercului. Teorema 4.2.1. Un patrulater convex este inscriptibil dac i numai dac mediatoarele laturilor sale sunt concurente. Demonstraie. Fie patrulaterul convex ABCD (fig.2), cu proprietatea c mediatoarele laturilor sale sunt concurente n O.

A

B

D

O

C Fig. 2.

Atunci, pe baza proprietii pe care o au punctele de pe mediatoare, avem c

OA OB, OB OC, OC OD i OD OA, de unde OA OB OC OD. Deci vrfurile patrulaterului se gsesc pe un cerc de centru O i raz R=OA, deci patrulaterul ABCD este inscriptibil. Reciproc, dac ABCD este inscriptibil i O este centrul cercului circumscris, atunci OA OB OC OD = R, deci O se afl pe toate mediatoarele laturilor patrulaterului ABCD, rezult c mediatoarele sunt concurente. Teorema 4.2.2. Un patrulater convex este inscriptibil dac i numai dac un unghi determinat de o latur i de o diagonal este congruent cu unghiul format de latura opus primei laturi i cealalt diagonal. Demonstraie. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD i C (O,R) cercul circumscris (fig.3).

124

AB

D

M

C

Fig. 3.

Atunci avem c 2

)()()( CDmCBDmCADm)

== i analog pentru celelalte perechi de unghiuri. Reciproc, dac patrulaterul este convex i dac CBDCAD , atunci innd seama de proprietatea arcului capabil de unghi dat i de faptul c A i B se afl n acelai semiplan limitat de dreapta DC, rezult c punctele B i C aparin unui cerc n care DC este coard. Deci patrulaterul ABCD este inscriptibil. Teorema 4.2.3. Un patrulater convex este inscriptibil dac i numai dac suma a dou unghiuri opuse ale patrulaterului este de 1800. Demonstraie. Dac patrulaterul ABCD este inscriptibil i C este cercul circumscris

(fig.3), atunci 01802

)(2

)()()( =+=+ CBAmCDAmCDAmCBAm))

. Reciproc, se

ine seama de observaia 4.1.1. Teorema 4.2.4. (Inegalitatea lui Ptolemeu) n patrulaterul convex ABCD are loc inegalitatea ACBD ABCD+ADBC. Egalitatea are loc dac i numai dac patrulaterul este inscriptibil. Demonstraie. Construim triunghiul ADE asemenea cu triunghiul ABC,

ADEABC i DAEBAC (fig. 4)

125

A B

D

E

C

Fig. 4.

Din aceast asemnare avem c AD DE AEAB BC AC

= = , de unde BC ADDEAB= i

AD ABAE AC

= . innd seama de ultima relaie i de faptul c DABEAC , rezult c triunghiurile EAC i DAB sunt asemenea, deci

DBEC

ABAC = , de

unde AC DBECAB= . n triunghiul EDC, care poate fi i degenerat, avem c

EC ED + DC i nlocuind pe DE i EC rezult inegalitatea cerut. Egalitatea are loc dac i numai dac punctele E, D i C sunt coliniare, adic

0180)()( =+ ADCmDAEm , dac i numai dac patrulaterul ABCD este inscriptibil. Consecina 4.2.1. (Teorema lui Pompeiu) Fie triunghiul echilateral ABC i M un punct n planul triunghiului ce nu aparine cercului circumscris triunghiului. Atunci distanele MA, MB, MC pot fi lungimile laturilor unui triunghi. Demonstraie. n patrulaterul ABMC, aplicnd inegalitatea lui Ptolemeu, avem c AMBC

126

AC AB AD CB CDBD BA BC DA DC

+ = + Demonstraie. Notm ACBD= {M}(fig. 3). Din asemnarea triunghiurilor ABM i DCM avem MB MA AB

MC MD DC= = , de unde MA MD

AB AD DA DC= i

MB MCBA BC CD CB

= .

Analog, din asemnarea triunghiurilor ADM i BCM avem MA MBAD AB BC BA

= .

DeciDCDA

MDCBCD

MCBCBA

MBADAB

MA=== , sau

DCDABCBAMDMB

CBCDADABMCMA

++=+

+, de unde rezult egalitatea ce trebuia

demonstrat. Observaia 4.2.1. Se poate arta c dac ntr-un patrulater convex are loc relaia din teorema 4.2.6, atunci patrulaterul este inscriptibil. Teorema 4.2.7. (Schooten) Dac M este un punct situat pe arcul CB

) (arcul care

nu-l conine pe A) al cercului circumscris triunghiului echilateral ABC, atunci AM=BM+CM. Demonstraie. Aplicnd prima teorem a lui Ptolemeu n patrulaterul inscriptibil ABMC (fig. 5), avem AMBC=BMAC+CMAB. innd seama c triunghiul ABC este echilateral, se obine identitatea cerut.

A

B

M

C

Fig. 5. Lema 4.2.1. (Brahmagupta) Fie triunghiul ABC, R raza cercului circumscris triunghiului. Dac AA este nlimea din A, ABC, atunci ABAC=2RAA.

127

Demonstraie. n cercul circumscris triunghiului ABC, fie A1 punctul diametral opus

lui A (fig. 6). Din asemnarea triunghiurilor ABA i AA1C avem 1

'AB AAAA AC

= , de unde, innd seama c AA1=2R, obinem identitatea din enun.

A

B

O

A

A1

C

.

AM

AB

D

D

B

CC

.

..

.

Fig. 6. Fig. 7.

Teorema 4.2.8. (Pappus) ntr-un patrulater inscriptibil, produsul distanelor unui punct al cercului circumscris patrulaterului la dou laturi opuse este egal cu produsul distanelor la celelalte dou laturi opuse. Demonstraie. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD, M un punct al cercului circumscris, A,B,C,D proieciile lui M pe laturile AB, BC, CD, respectiv DA (fig.7). Conform lemei 4.2.1 avem MAMB=2RMA, MBMC=2RMB, MCMD=2RMC i MDMA=2RMD, de unde rezult c MAMC=MBMD. Definiia 4.2.2. ntr-un patrulater, bimedianele sunt segmente determinatele de mijloacele laturilor opuse sau mijloacele diagonalelor. Lema 4.2.2. ntr-un patrulater convex, bimedianele sunt concurente. Demonstraie. Fie A, B, C, D, E, F mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA, respectiv a diagonalelor AC i BD (fig.8).

128

A

O

AB

D

DB

CC

FE

Fig. 8. Deoarece AB i CD sunt linii mijlocii n triunghiurile ABC i ADC, avem c

AB||AC, ' '2

ACA B = i CD||AC, ' '2

ACC D = . Rezult c AB||CD i ABCD, deci patrulaterul ABCD este paralelogram. Fie O punctul de intersecie al diagonale-lor AC i BD, deci O este mijlocul acestor segmente. Deoarece AF i CE sunt linii mijlocii n triunghiurile ABD i ACD, avem c AFCE este paralelogram cu diago-nalele AC i EF, de unde rezult c diagonala EF trece prin mijlocul diagonalei AC, adic prin O. Analog, se arat i pentru celelalte bimediane c trec prin punctul O. Teorema 4.2.9. (Mathot) ntr-un patrulater inscriptibil, perpendicularele duse din mijloacele laturilor pe laturile opuse sunt concurente. Demonstraie. Fie O centrul cercului circumscris patrulaterului inscriptibil ABCD i A,B,C, D mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA (fig. 9). Deoarece O se afl pe mediatoarele laturilor patrulaterului, rezult c OAAB, OBBC, OCCD i ODDA. Conform lemei 4.2.2, bimedianele patrulaterului sunt concurente i fie E punctul de concuren. Notm cu M simetricul lui O fa de E. Patrulaterul MAOC este paralelogram deoarece diagonalele lui se njumtesc. Rezult c MA||OC. Dar OCCD, deci MACD. Analog MBDA, MCAB i MDBC, deci punctul de concuren este M, simetricul lui O fa de E.

129

A

A B

D

BD

C

OQ

EP

M

C

.

.

.

.

.

Fig. 9. Observaia 4.2.2. Punctul M de concuren din teorema 4.2.9 se numete punctul lui Mathot. Consecina 4.2.2. ntr-un patrulater inscriptibil, perpendiculara din mijlocul unei diagonale pe cealalt diagonal conine punctul Mathot al patrulaterului. Demonstraie. Folosim notaiile din teorema 4.2.9. i fie P, Q mijloacele diagonalelor BD, respectiv AC. Din demonstraiile lemei 4.2.2 i a teoremei 4.2.9, rezult c patrulaterul OPMQ este paralelogram deoarece diagonalele lui se njumtesc, deci MP||OQ. Dar Q fiind mijlocul coardei AC, rezult c OQAC, deci MPAC. Analog QMBD. Lema 4.2.3. Un trapez este incriptibil dac i numai dac este isoscel. Demonstraie. Dac trapezul ABCD, AB||CD este inscriptibil atunci m(A)+ m(C) =180. Dar m(A)+ m(D) =180, deci C D, adic trapezul este isoscel. Reciproc, dac trapezul este isoscel atunci CD i cum m(A)+ m(D) =180, rezult c m(A)+m(C) =180, adic patrulaterul este inscriptibil. Teorema 4.2.10.(Euler) Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor ce unesc vrfurile triunghiului cu ortocentrul lui, sunt situate pe un acelai cerc, numit cercul lui Euler. Demonstraie. Fie triunghiul ABC, A, B, C mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB, BCAA 1 , BCA 1 , CABB 1 , CAB 1 , }{11 HBBAA = , '1A mijlocul segmentului AH (fig. 10).

130

A

H

B

A1'B1

A1 CA'

B'C'

.

.

Fig. 10.

n triunghiul dreptunghic AA1B, A1C este median, deci 2'1

ABCA = . n triunghiul

ABC, AB este linie mijlocie, deci 2

'' ABBA = . Rezult c A1C AB i deoarece BC este linie mijlocie n triunghiul ABC, deci BC||BC, n final obinem c patrulaterul BCA1A este trapez isoscel. Cum orice trapez isoscel este inscriptibil, rezult c A1 se gsete pe cercul C determinat de punctele A, B, C. Analog, celelalte picioare ale nlimilor sunt pe cercul C. n triunghiul ABC, AC este linie mijlocie, deci AC||AC. n triunghiul ABH, A1C este linie mijlocie, deci A1C||BH. Dar BHAC, deci A1CAC sau m(A1CA)=90. Analog, m(A1BA)=90, deci patrulaterul A1CAB este inscriptibil, rezult c A1 se gsete pe cercul C. Analog, pentru celelalte mijloace de segmente determinate de vrfuri i ortocentru. Consecina 4.2.3. Fie triunghiul ABC, A,B,C mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB, A1, B1, C1 mijloacele segmentelor AH, BH, respectiv CH. Atunci dreptele A1A, B1B, C1C , sunt concurente, iar punctul de concuren este centrul cercului lui Euler. Demonstraie. Din demonstraia teoremei 4.2.10 rezult c A1A, B1B, C1C sunt diametre n cercul lui Euler. Consecina 4.2.4. ntr-un triunghi ABC, ortocentrul, centrul de greutate, centrul cercului circumscris triunghiului i centrul cercului lui Euler sunt situate pe o aceeai dreapt, numit dreapta lui Euler. Demonstraie. n triunghiul ABC, fie A mijlocul segmentului BC, A punctul diametral opus lui A n cercul circumscris triunghiului ABC, O centrul acestui cerc, A1 mijlocul segmentului AH (fig.11).

131

B A'

A

A''

C

OGH

A

Fig. 11.

Deoarece BHAC i ACAC, rezult c BH||CA. Analog, CH||BA, deci BHCA este paralelogram, rezult c A este mijlocul lui HA. n triunghiul AHA, OA este

linie mijlocie, deci AHOA21'= . Dac AAHO={G},atunci AHGAOG, raportul

de asemnare este 2, deci AG=2AG, adic G este centrul de greutate al triunghiului ABC. nseamn c G [HO] i HG=2GO. Mai avem c OAHA1 i OA||HA1, deci patrulaterul A1HAO este paralelogram i atunci diagonalele acestui paralelogram se njumtesc. Fie A1AHO={O9}. Deoarece A1A este diametru n cercul lui Euler, rezult c O9 este centrul cercului lui Euler i se gsete la mijlocul lui HO. Teorema 4.2.11. (Simson) Proieciile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi pe laturile acestuia, sunt trei puncte coliniare. Demonstraie. Fie triunghiul ABC, M un punct pe cercul circumscris triunghiului i A, B, C proieciile lui M pe laturile BC, CA i respectiv AB (fig. 12).

A'A''

C

MC'

A

B'

B

.

.

.

Fig. 12.

Unim B cu C i B cu A. Deoarece patrulaterele ABMC, CABM i ABCM sunt inscriptibile, avem m(ABC)=m(AMC)=900-m(ACM)=

132

=900- m(MAC)=m(CMA)=m(ABC), ceea ce nseamn c punctele A, B, C sunt coliniare. Observaia 4.2.3. Dreapta pe care se afl punctele A, B, C se numete dreapta lui Simson. Consecina 4.2.5. n condiiile teoremei 4.2.11, dac MA mai intersecteaz cercul circumscris triunghiului ABC n A, atunci AA este paralel cu dreapta lui Simson.

Demonstraie. Avem c m(AAM)=m(ACM)=2

)( MAm)

i BAMBCM din patrulaterul inscriptibil BACM (fig. 12). Rezult c AAMBAM , deci AA||BA. Teorema 4.2.12. (reciproca teoremei lui Simson) Fie M un punct exterior triunghiului ABC i A, B, C proieciile pe M pe laturile BC, CA, respectiv BC. Dac A, B, C sunt coliniare, atunci M se afl pe cercul circumscris triunghiului ABC. Demonstraie. Deoarece punctele A, B, C sunt coliniare, rezult c ABCABC (fig. 13).

C'

A

B

B'

A' C

M

.

.

.

Fig. 13.

Din patrulaterele inscriptibile ABMC i CABM rezult c m(ABC)=m(AMC)=900-m(MAC), m(ABC)=m(AMC)=900-m(MCA) i innd seama de relaiile de mai sus, obinem c MACMCA, adic patrulaterul ABCM este inscriptibil. n concluzie, M este pe cercul circumscris triunghiului ABC. Teorema 4.2.13. (Salmon) Fie triunghiul ABC, M este un punct arbitrar pe cercul circumscris triunghiului. Cercurile de diametre MA, MB i MC se intersecteaz dou cte dou n trei puncte coliniare.

133

Demonstraie. Fie C al doilea punct de intersecie a cercurilor de diametre MA i MB. Deoarece m(ACM)=m(BCM)=90, rezult c MCAB, CAB. innd seama de teorema lui Simson, rezult c cele trei puncte sunt coliniare.

A

B

B'M

Fig.14.

Teorema 4.2.14. (Naghel) Fie triunghiul ABC, C(O) cercul circumscris triunghiului, B, C proieciile vrfurilor B, C pe laturile opuse. Atunci, perpendiculara din A pe BC trece prin O. Demonstraie. Perpendiculara din A pe BC intersecteaz a doua oar cercul n A i intersecteaz pe BC n D (fig. 15). Patrulaterele ABAC i BCBC sunt inscriptibile, deci ABCAAC i ABCABC. Rezult c AACABC. Dar triunghiurile AAC i ABD au unghiul BAD comun i AACABC, deci ACAADB. innd seama c m(ADB)=900, rezult c m(ACA)=900, deci AA este diametru n cercul C(O).

A

B

D

A

C

B

C

.

.

Fig.15.

134

4.3. Patrulaterul circumscriptibil n acest paragraf vom studia proprietile patrulaterului circumscriptibil. Definiia 4.3.1. Un patrulater se numete circumscris unui cerc sau circumscriptibil, dac laturile sale sunt tangente la un cerc. Teorema 4.3.1. Un patrulater convex este circumscriptibil dac i numai dac bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente. Demonstraie. Artm c dac patrulaterul ABCD este circumscriptibil, atunci bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente (fig. 1). Fie I centrul cercului nscris patrulaterului ABCD. Atunci d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CD)=d(I,DA)= r i innd seama de proprietatea bisectoarei unui unghi, rezult c I se afl pe bisectoarele unghiurilor patrulaterului ABCD. Deci avem proprietatea de concuren. Reciproc, dac I este punctul de concuren al bisectoarelor unghiurilor patrulaterului ABCD, atunci d(I,AB)=d(I,BC) =d(I,CD)=d(I,DA). Cercul de centru I i raz r = d (I, AB) este tangent fiecrei laturi a patrulaterului ABCD, deci patrulaterul ABCD este circumscriptibil.

Teorema 4.3.2. (Pithot) Dac patrulaterul ABCD este circumscriptibil,

atunci AB+CD= AD+BC. Demonstraie. Fie M,N,P,Q punctele de contact ale cercului nscris cu laturile AB, BC, CD , respectiv DA (fig. 2).

A

B

D C

I

AM

N

Q

P

B

D C

I

Fig.1. Fig.2.

Au loc urmtoarele egaliti de tangente la cerc AMAQ, BMBN, CNCP i DPDQ, de unde AB+CD=(AM + BM)+(CP+DP)=(AQ+DQ)+(BN+CN)=BC+AD, adic identitatea din enun.

135

Teorema 4.3.3. Dac un patrulater convex ABCD are proprietatea c AB+CD=AD+BC, atunci patrulaterul ABCD este circumscriptibil.

Demonstraie. Considerm un cerc C, tangent la AB, BC i CD, apoi o dreapt AD tangent acestui cerc DCD.

A

B

D D C fig. 3

n patrulaterul ABCD care este circumscris cercului C, conform teoremei lui Pithot, avem c AB+CD=AD+BC. Dar din ipotez AB+CD=AD+BC, de unde, prin scderea celor dou relaii, obinem c DD=|AD AD|. Aceast relaie are loc dac i numai dac triunghiul ADD este degenerat, adic D coincide cu D. Rezult c patrulaterul ABCD este circumscriptibil.

Consecina 4.3.1. Patrulaterul convex ABCD este circumscriptibil dac i numai dac AB+CD=AD+BC.

Demonstraie. Rezult din teoremele 4.3.2 i 4.3.3.

Observaia 4.3.1. Condiia de convexitate intervine n demonstraie destul de subtil. Figura 4 este un exemplu de patrulater ABCD cu ABAD i BCCD, deci are loc AB+CD=AD+BC, fr a fi ns patrulater circumscriptibil.

A

B

C

D

Fig.4.

136

Propoziia 4.3.1. Dac un trapez isoscel este circumscriptibil, atunci diametrul cercului nscris este medie geometric ntre bazele trapezului. Demonstraie. Fie trapezul ABCD, AD||BC, C(I,r) cercul nscris i T punctul de contact al cercului cu AB (fig.5).

B

T

C

A D

I.

fig. 5

Deoarece m(AIB)=90, aplicnd teorema nlimii n triunghiul AIB, avem c IT2=ATBT. Dar innd seama c IT = r, ADAT

21= i BCBT

21= , rezult

identitatea din enun. 4.4. Relaii metrice n cele ce urmeaz, pentru un patrulater ABCD, vom folosi urmtoarele notaii:

AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, BD=e, AC=f i p= 2

dcba +++.

Teorema 4.4.1. (Arhimede ) Aria S a unui patrulater convex ABCD este

dat de formula S22

cos))()()(( 2 DBabcddpcpbpap += . Demonstraie. innd seama c A[ABCD]=A[ABC]+A[ADC], rezult c 2S=absinB+cdsinD, de unde prin ridicare la ptrat avem

DBabcdDdcBbaS sinsin2sinsin4 2222222 ++= . Pe de alt parte din teorema cosinusului n triunghiurile ABC i ADC avem BabbaAB cos2222 += i

DcddcAB cos2222 += , de unde DcddcBabba cos2cos2 2222 +=+ , sau DcdBabdcba cos2cos22222 =+ i prin ridicare la ptrat obinem

DBabcdDdcBbadcba coscos8cos4cos4)( 22222222222 +=+ . Se nmulete relaia care-l d pe 4 S2 cu 4 i se adun cu ultima relaie obinut i avem )cos(844)(16 2222222222 DBabcddcbadcbaS ++=++ ,

137

sau =++++= )]cos(1[8)()22(16 222222 DBabcddcbacdabS

.2

cos16))()()((

2cos16])()][()()[(

2cos16)22)(22(

2

22222

222222222

DBabcddcbadcbabadcbadc

DBabcddcbabadc

DBabcddcbacdabdcbacdab

+++++++++=

=+++=

=+++++++=

innd seama c 2p= a+b+c+d i nlocuind mai sus, obinem formula lui Arhimede. Propoziia 4.4.1. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD. S se arate c

bcadcdabbdace +

++= ))((2 i cdab

bcadbdacf +++= ))((2 .

Demonstraie. n triunghiurile ABC, respectiv ACD avem ab

fbaB2

cos222 += i

cdfdcD

2cos

222 += . Patrulaterul ABCD fiind inscriptibil avem c B+D=180, deci

cosB= -cosD, de unde cd

fdcab

fba22

222222 +=+ , iar dup calcule obinem identitile din enun. Observaia 4.4.1. Folosind relaiile demonstrate, cu ajutorul lor se pot demonstra cele dou teoreme ale lui Ptolemeu. Teorema 4.4.2. (Arhimede) Aria patrulaterului inscriptibil ABCD este dat de formula ))()()(( dpcpbpapS = . Demonstraie. Rezult din teorema 5.4.1.

Teorema 4.4.3 Dintre toate patrulaterele convexe de laturi date, patrulaterul inscriptibil are aria maxim. Demonstraie. Deoarece a, b, c, d sunt date, avem

.))()()((2

cos))()()(( 22 constdpcpbpapDBabcddpcpbpapS =+=

Atunci S2 este maxim dac i numai dac 02

cos =+ DB , adic B+D=1800, deci patrulaterul ABCD este inscriptibil.

138

Teorema 4.4.4. Aria patrulaterului circumscriptibil este dat de formula

2sin DBabcdS += .

Demonstraie. ntr-un patrulater circumscriptibil avem a+c=b+d, deci

cdcbaap =+++=2

i analoagele. Atunci

2sin)

2cos1(

2cos 2222 DBabcdDBabcdDBabcdabcdS +=+=+= , de

unde rezult formula din enun. Consecina 4.4.1. Aria unui patrulater ABCD inscriptibil i circumscriptibil este dat de formula abcdS = . Demonstraie. Rezult din teorema 4.4.4.