08 poutres droites continues

02/03/2011

1

INTRODUCTION AUX POUTRES DROITES CONTINUES

1 PRINCIPE : exemple sur une poutre sur 3 appuis simples

On considère une poutre sur appuis A0, A1 et A2 simples, soumise à chargement vertical : 3 appuis, 2 travées. La déformée de la poutre est continue. Le moment fléchissant sur appui intermédiaire n’est pas nul.

Degré d’hyperstatisme : h = 3 – 2 = 1

S1

1 2A1 A2

( )g1ω ( )d1ω

A0

On rend la structure isostatique en mettant une rotule interne sur l’appui intermédiaire. Le moment sur appui intermédiaire est donc nul.

Les 2 travées sont alors rendues isostatiques et indépendantes. La déformée n’est plus plus continue.

S21

1 2A1 A2

''1ω

A0

'2ω

01 =M



S1

1 2A1 A2

A0

S21

1 2A1 A2

''1ω

A0

'2ω

( )g1ω ( )d1ω

01 =M

On rétablit la continuité de la poutre en appliquant sur l’appui intermédiaire le moment fléchissant qu’on a éliminé dans S21.

S22

1 2A1 A2

''1Ω

A0

'2Ω

1M

S1 = S21+S22 déformées identiques => continuité de la déformation de part et d’autre de l’appui intermédiaire

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2



S1

1 2A1 A2

A0

A2A1

S21

1 2

''1ω

A0

'2ω

( )g1ω ( )d1ω

01 =M

S22

1 2A1 A2

''1Ω

A0

'2Ω

1M

( ) ( ) '2

'2

"1

"11122211 Ω+=Ω+⇒=⇒+= ωωωω dgSSS

''1ω '

2ωet fonctions du chargement extérieur

''1Ω et

'2Ω fonctions du moment sur appui M1

On en déduit alors M1



A1

S21

1 2

''1ω

A0

'2ω

01 =M

Calcul de par BdF

1

''1ω

A0 A1moment )(1 xµ

A0A1

L

xxm =)(

C=1∫=1

0 1

1''1

)(L

dxL

x

EI

xµω

Convention de signe :

>0 dans le sens trigo

''1ω )(1 xµ = moment dans la travée 1

rendue isostatique dû au chargement extérieur

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3



A1

S21

1 2

''1ω

A0

'2ω

01 =M

Calcul de par BdF

2A1 A2

moment )(2 xµ

A1 A2

L

xxm −=1)(

C=1 ∫

−−=

2

0 2

2'2 1

)(L

dxL

x

EI

xµω



A2

'2ω

'2ω

)(2 xµ = moment dans la travée 2 rendue isostatique dû au chargement extérieur



Calcul de par BdF

1A0 A1 11

0

2

1

1''1

1

McdxL

x

EI

ML

=

=Ω ∫



S22

1 2A1

A2

''1Ω

A0

'2Ω

1M

1M

A0A1

L

xxm =)(

C=1L

xMxm 1)( =

''1Ω

''1Ω

c1 coefficient de souplesse, ne dépend que des caractéristiques de la travée 1

dxL

x

EIc

L 2

0 11

1 1∫

=

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Calcul de par BdF

2A1 A2

A1 A2

L

xxm −=1)(

C=1

12

0

2

2

1'2

2

1 MadxL

x

EI

ML

−=

−−=Ω ∫



S22

1 2A1

A2

''1Ω

A0

'2Ω

1M

'2Ω

'2Ω

1M

11)( ML

xxM

−=

a2 coefficient de souplesse, ne dépend que des caractéristiques de la travée 2

dxL

x

EIa

L 2

0 22

2

11

∫

−=



A2A1

S21

1 2

''1ω

A0

'2ω

01 =M

S22

1 2A1 A2

''1Ω

A0

'2Ω

1M

( ) ( ) '2

'2

"1

"11122211 Ω+=Ω+⇒=⇒+= ωωωω dgSSS

( ) ⇒−=+⇒ ''1

'2121 ωωMac

21

''1

'2

1 acM

+−= ωω

Moment dans la travée 1 : 11

1 )()( ML

xxxM += µ

Moment dans la travée 2 : 12

2 1)()( ML

xxxM

−+= µ

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i-1 i i+1S1

Ai-1 Ai Ai+1

( )gi 1−ω ( )di 1−ω ( )giω ( )diω ( )gi 1+ω ( )di 1+ω

i-1 i i+1

S21

Ai-1 Ai Ai+1

''1−iω '

iω ''iω '

1+iω ''1+iω

i-1 i i+1

S22

Ai-1 Ai Ai+1

''1−Ωi

'iΩ ''

iΩ '1+Ωi

''1+Ωi

Mi-1 Mi Mi+1

Degré d’hyperstatique : h = (n+1) - 2= n - 1. On rend la structure iso en libérant les rotations et les moments sur appuis. Les inconnues hyperstatiques sont les moments sur appuis M1, M2,…, Mn-1.

⇔+= 22211 SSS déformées identiques => continuité de la déformée de part et d’autre des appuis

( ) ( ) '1

'1

''''++ Ω+=Ω+⇔= iiiidigi ωωωω

2 GENERALISATION : THEOREME DES TROIS MOMENTS


i-1 i i+1

S21

Ai-1 Ai Ai+1

''1−iω '

iω ''iω '

1+iω ''1+iω

Calcul des rotations dans les travées iso sous chargement (repère orienté direct)

Moment µi(x)

Calcul de ωi’ par BdF (couple unitaire à gauche)

Ai-1

Ai

C=1

iL

xm −=1

dxL

x

EI

xdx

EI

xmx

i

Li

Li

i

ii

−−=−= ∫∫ 1

)()()(00

' µµω

Calcul de ωi’’ par BdF (couple unitaire à droite)

Ai-1

Ai

C=1iL

xm ='

dxL

x

EI

xdx

EI

xmx

i

Li

Li

i

ii

== ∫∫ 00

'' )()(')( µµω



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Calcul des rotations dans les travées iso sous moments sur appuis (repère orienté)

Calcul de Ωi’ par BdF (couple unitaire à gauche)

Ai-1 Ai

C=1

iL

xm −=1

dxL

x

L

x

EIMdx

L

x

EIMdx

EI

xmxm

ii

L

ii

L

i

Li

i

iii

−−

−−=−=Ω ∫∫∫ − 1

11

1)()(0

2

010

'

Calcul de Ωi’’ par BdF (couple unitaire à droite)

Ai-1 Ai

C=1iL

xm ='

i-1 i i+1

S22

Ai-1 Ai Ai+1

''1−Ωi

'iΩ ''

iΩ '1+Ωi

''1+Ωi

Mi-1 Mi Mi+1

+

−= −

ii

iii L

xM

L

xMxm 1)( 1

iiiii MbMa −−=Ω −1'

dxL

x

EIMdx

L

x

L

x

EIMdx

EI

xmxm

i

L

iii

L

i

Li

i

iii

2

0010

'' 11

1)(')(

+

−=−=Ω ∫∫∫ −

iiiii McMb +=Ω −1''



ibia

ib ic

i-1 i i+1

S21

Ai-1 Ai Ai+1

''1−iω '

iω ''iω '

1+iω ''1+iω

i-1 i i+1

S22

Ai-1 Ai Ai+1

''1−Ωi

'iΩ ''

iΩ '1+Ωi

''1+Ωi

Mi-1 Mi Mi+1

( ) ( )111

'11

''

'1

'1

''''

++++−

++

−−=++⇔

Ω+=Ω+⇔=

iiiiiiiiii

iiiidigi

MbMaMcMb ωω

ωωωω

( ) '''11111 iiiiiiiii MbMacMb ωω −=+++⇔ ++++−

La connaissance des moments sur appuis permet de déterminer les sollicitations :

dans la travée i :

+

−+=Μ −

ii

iii

i

L

xM

L

xMxx 1)()( 1µ

i

iiii

i L

MM

dx

xd

dx

xdxT 1)()()( −−+=Μ= µ

A écrire pour les n-1 appuis intermédiaires A1 à An-1

=> système de n-1 éq. À n-1 inconnues

2 GENERALISATION : THEOREME DES TROIS MOMENTSINTRODUCTION AUX POUTRES DROITES CONTINUES

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