080-106 sipovi u winklerovoj sredini

80 PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE

Prof dr Petar SANTRAČ, Građevinski Fakultet SUBOTICA

9. PRORAČUN ŠIPOVA U WINKLEROVOJ SREDINI U okviru predmeta Mehanika tla, prikazane su različite metode za proračun graničnog i dozvoljenog opterećenja vertikalnog šipa opterećenog vertikalnom silom kao i graničnog i dozvoljenog opterećenja vertikalnog šipa koji je opterećen horizontalnom silom i momentom savijanja. Postoji vrlo velik broj različitih faktora koji utiču na nosivost tla oko šipa, kao što je način ugradnje (bušeni, utisnuti ili pobijeni šipovi), vrsta tla (sitnozrno tlo, krupnozrno tlo), relativna brzina opterećenja u odnosu na moguću disipaciju pornog nadpritiska (drenirani ili nedrenirani uslovi opterećenja) i slično. Zbog velikog broja različitih faktora, računska sila po različitim metodama se kreće u vrlo širokim granicama. Proračun šipova kao i svakog konstruktivnog elementa, obuhvata proračun prema graničnom stanju nosivosti ili skraćeno ULS (Ultimate Limit State) i proračun prema graničnom stanju upotrebljivosti ili skraćeno SLS ( Serviceability Limit State). Mada su pomeranja temelja na šipovima po pravilu za jedan red veličine manja nego kod plitkih temelja, tehnička regulativa zahteva i njihov proračun. Kada je u pitanju proračun deformacija šipova, uglavnom je ona manja od tačnosti proračuna nosivosti. Da bi se dobili pouzdaniji podaci o nosivosti i sleganju šipa, pravilo nalaže da se uvek vrši i probno opterećenje šipova na predmetnoj lokaciji. Broj probnih opterećenja zavisi od broja šipova i heterogenosti geomehaničkog profila, a zbog kontrole ne može biti manji od dva. Na osnovu podataka dobijenih probnim opterećenjem pojedinačnog šipa, može se odrediti veza između sile i pomeranja glave šipa odnosno sprega sila (momenta) i obrtnja glave šipa. Treba napomenuti da se jedan šip retko pojavljuje kao noseća konstrukcija. Uglavnom šip prenosi opterećenje u manjoj ili većoj grupi, koja je međusobno povezana tzv. naglavnicom koja obezbeđuje ravnomerno prenošenje opterećenja na šipove. Ako se radi o manjoj grupi, odnosno manjim dimenzijama temelja, naglavnice se mogu tretirati kao idealno krute. Grupa šipova je složeniji problem od pojedinačnog šipa, pošto osim prethodno pomenutih faktora, na nosivost utiče međusobno rastojanje, broj i raspored šipova, redosled ugradnje u tlo i krutost naglavnice. Treba imati u vidu da i naglavnica prenosi određen deo od ukupnog opterećenja, srazmerno krutosti tla, šipova i naglavnice. Uvođenjem efekta interakcije šipova, tla i naglavnice, proračun nosivosti i pomeranja postaje vrlo složen. Zbog svega iznetog, može reći da je problem proračuna temelja na šipovima jedan od najsloženijih u geotehnici. U okviru ovog predmeta prikazaće se najjednostavniji model proračuna grupe šipova, koji je zasnovan na Winkler-ovoj hipotezi.

PISANA PREDAVANJA IZ PREDMETA FUNDIRANJE 81


Winklerov model aproksimira tlo serijom nepovezanih linearno-elastičnih opruga, tako da deformacija postoji samo tamo gde deluje opterećenje. Pošto je realno tlo do određene mere kontinuum, postoji međusobni uticaj grupe šipova na nosivost i pomeranje, koje se ne može obuhvatiti Winklerovim modelom. Efekat grupe šipova će se analizirati približnom metodomodgovarajuću kroz redukciju modula reakcije. Prvo će se prikazati analitičko rešenje za homogeno tlo, za vertikalan šip koji je izložen aksijalnom pomeranju glave (s) bez poprečnog pomeranja i obrtanja, za vertikalan šip izložen poprečnom pomeranju glave (t) bez aksijalnog pomeranja i

obrtanja i za vertikalan šip izložen obrtanju glave (θ ) bez aksijalnog i poprečnog pomeranja. Na osnovu prethodnih proračuna, može se formirati matrica krutosti

″glave″ šipa. Razmatraće se samo dvodimenzionalni – ravanski problemi. U sledećem koraku će se prikazati postupak proračuna pomeranja grupe šipova povezanih idelano krutom (nedeformabilnom) naglavnicom. U praksi to odgovara fundiranju potpornog zida na šipovima, temelja samca na šipovima, temelja ispod zidnog platna i slično, odnosno kada se radi o manjoj grupi šipova (npr 5-10) ili vrlo krutoj naglavnici. Prikazana analitička rešenja se odnose na homogeno tlo, sa modulom reakcije koji je konstantan sa dubinom. Za linearan porast modula reakcije sa dubinom, ne postoji analitičko rešenje, ali se za krut i savitljiv šip mogu dobiti približna analitička i grafička rešenja (Barber 1953, Broms 1964). Ako je tlo uslojeno i modul reakcije tla promenljiv po dubini, rešenje se može dobiti samo u numeričkom obliku. Na kraju ovog poglavlja je prikazan numerički postupak za proračun šipa u nehomogenoj sredini, primenom metode konačnih razlika (MKR).



9.1 VERTIKALAN ŠIP OPTEREĆEN AKSIJALNOM SILOM (kττττ = const) Imajući u vidu da šipovi mogu biti i zakošeni, jednačine pomeranja će se odrediti u lokalnom sistemu, sa koordinatnim početkom na glavi šipa i koordinatnom osom koja se poklapa sa osom šipa. Lokalni koordinatni je definisan u odnosu na globalni, koji se obično postavlja u težište naglavnice da se pojednostavio proračun. U ravni crteža, osa +z je usmerena na dole a osa +x na desno. Pozitivna obrtanja i momenti su suprotni smeru obrtanja kazaljke na satu. Na slici 9.1a je prikazan numerički model aksijalno opterećenog šipa u Winkler-ovoj

sredini, sa konstantnim smičućim modulom reakcije kτ duž omotača. Modul reakcije tla ispod baze šipa iznosi kb. Zbog jednostavnosti, proračun je izvršen za vertikalan šip čije se ose poklapaju sa globalnim koordinatnim osama.

x

z,w

L

b)a)

E Ap

kb

k τ

dz

σz

z,w

ττ

τ= k .wτ

q = k .wb b

A

S

Q

s

σ−dz σz

Slika 9.1 a) Računski model aksijalno opterećenog šipa, b) Naponi na elementu šipa

Zanemarujući uticaj sopstvene težine šipa, uslov ravnoteže diferencijalnog elementa šipa u pravcu ose +z prema slici 9.1b, glasi :

( ) 0Sdz

dA0SdzAdAZ z

zzz =−⇒=−−−=Σ τσ

τσσσ

2

2

pzz

p

z

2

2

p

zz

dz

wdE

dz

d

dz

d

E

1

dz

d

dz

wd

Edz

dw=⇒====

σσεσε ,

wkττ =



Smenom u gornjim izrazima, dobija se diferencijalna jednačina aksijalno opterećenog šipa:

2 2

p 2 2

p

d w d w SkE A Sk w 0 w 0 ,

dz dz E Aτ

τ τ τλ λ− + = ⇒ − = = (9.1)

gde je: λτ = parametar krutosti šipa i tla S, A = obim i površina poprečnog preseka šipa Ep = modul elastičnosti šipa

kτ = smičući modul reakcije tla uz omotač šipa Opšte rešenje diferencijalne jednačine (9.1) drugog reda sa konstantnim koeficijentima glasi:

( ) z z

1 2w z C e C eτ τλ λ−= + (9.2)

Aksijalna sila u poprečnom preseku opada sa dubinom i može se prema prethodnim izrazima prikazati sledećom jednačinom:

( ) ( )z p p 1 2

z zdwF z A E A E A C e C e

dzτ τ

τλ λσ λ −= = − = − (9.3)

Integracione konstante se mogu odrediti na osnovu graničnih uslova na glavi i u bazi šipa: ( ) ( )p 1 2

F 0 Q Q E A C Cτλ= ⇒ = −

( ) ( )L L

b b p 1 2F L Q Q E A C e C eτ τλ λτλ

−= ⇒ = −

Sila u bazi šipa se može izraziti preko modula reakcije kb i sleganja baze šipa wb : ( )L2

L

1bbbbbbb eCeCkAQwkAQ ττ λλ +=⇒= −

Na osnovu gornjih graničnih uslova, integracione konstante C1 i C2 glase:

1

L2

bbp

bbp

p

2

1

L2

bbp

bbp

p

1 ekAAE1

kAAE11

AE

QCe

kAAE1

kAAE11

AE

QC

−−

−

−

++

−=

+

−+= ττ λ

τ

τ

τ

λ

τ

τ

τ λ

λ

λλ

λ

λ,

Prema jednačini (9.2) i integracionim konstantama, sleganje glave šipa s = w(0) je :

( ) ( )( ) ( )1kAAE1kAAEe

1kAAE1kAAEef

f

AEK

K

Qs

bbpbbp

L2

bbpbbp

L2

p

Qs

Qs −−+

−++===

ττλ

ττλ

τ

λλ

λλλτ

τ

,, (9.4)



Veličina KQs pretstavlja aksijalnu krutost šipa. Koeficijent f zavisi od dužine L, modula

elastičnosti šipa Ep, karakterističnog broja λτL i modula reakcije tla kb (Slika 9.2).

0.1

1.0

10.0

0.1 1.0 10.0

Koef

icij

ent

f

Parametar λτL

kb=1 MN/m3

10

100

1000

L= 5.0 m

10000

100000

0.1

1.0

10.0

0.1 1.0 10.0

Koef

icij

ent

f

Parametar λτL

kb=1 MN/m3

10

100

1000

L= 25.0 m

10000

100000

Slika 9.2 Koeficijent f za armirano betonski šip dužine L=5.0 i 25.0m

Za uobičajene dimenzije šipova (dugački šipovi) parametar λτL (karakterističan broj)

je veći od 2.5, a koeficijent krutosti je f≈1.0, odnosno nezavisan od parametra λτL

(Slika 9.2). Ako je λτL>2.5, aksijalna krutost šipa KQs je praktično nezavisna od modula reakcije tla kb u bazi šipa. Značajan podatak u predmetnoj analizi je učešće baze u prenošenju aksijalne sile koja deluje na glavi šipa (Slika 9.3).

0.1

1.0

10.0

100.0

0.1 1.0 10.0

% si

le ko

ju

pri

ma

baz

a ši

pa

Parametar λτL

kb=1 MN/m3

10

100

1000

10000

100000

L=5.0 m0.1

1.0

10.0

100.0

0.1 1.0 10.0

%

sile

koju

pri

ma

baz

a ši

pa

Parametar λτL

kb=1 MN/m3

10

100

1000

10000

100000

L=25.0 m

Slika 9.3 Udeo baze u prenošenju opterećenja za armirano betonski šip dužine L=5.0 i 25.0m



Ako karakterističan broj λτL raste (raste modul reakcije kτ i/ili dužina šipa L) i/ili opada modul reakcije tla u bazi šipa kb (odnosno opada odnos sila Qb/Q).

Ako je smičući modul reakcije tla kτ oko omotača šipa mali, a modul reakcije tla kb ispod baze šipa velik, jednačina sleganja glave šipa (9.4) se svodi na prostu jednačinu skraćenja aksijalno opterećenog stuba:

AE

QLs1

f

L

1k

1k

L

AE

f

L

f

AEK

pb

pp

Qs ==

⇒

>>

<<

== ,, ττττ λλλ

Koristeći prethodne izraze, mogu se odrediti i druge veličine, kao što je promena smičućeg napona duž omotača šipa, sleganje i sila u bazi šipa i dr. Upoređujući prethodno rešenje (R.F.Scott, 1981) sa rezultatima proračuna sleganja aksijalno opterećenog vertikalnog šipa u homogenoj elastičnoj sredini (Poulos and Mates,

1981), može se uspostaviti približna veza između parametara elastičnosti Es i νs i

modula reakcije tla kτ i kb. Za šip prečnika d, u homogenoj sredini, uz relativno malu grešku od 5-15%, može se usvojiti da je:

( ) ( )( )p s ps s s

b

s s p b s

E 1 EG E L Ek k L , 4

2d 4d 1 d 1 E k E

ττ τ

λ νλ

ν ν

+= ≈ = ⇒ = =

+ +

U dosadašnjoj analizi, nije vođeno računa o graničnoj čvrstoći tla oko stabla šipa i graničnoj čvrstoći tla ispod baze šipa.

Qsf

Qbf

Qf

Qa

s(Q )a

0

Q = Q +Qf bf sf

Q = Q Fa f s/

Q (s)s

s leganje glave š ipa s

Q (s)s

Q(s)Q

plas tifikacijaomotača

omotač š ipa

baza š ipa

š ip - zbirno

Kb

Kτ1 1

K Qs

1

Slika 9.4 Razvoj komponenti nosivosti šipa za konstantne module reakcije tla



Ispitivanjima je dokazano da se nosivost tla oko omotača iscrpljuje pri relativno

malom sleganju glave šipa, između 0.2-0.8% od prečnika stabla (Reese and O′Neill, 1989). Nosivost baze se iscrpljuje pri sleganjima glave šipa reda veličine između 5-10% prečnika baze šipa, što znači da je pri radnom opterećenju kada je globalni faktor sigurnosti Fs=2.5-3.0, nosivost omotača uglavnom iscrpljena (Slika 9.4).

Krutost omotača Kτ (kN/m) i baze šipa Kb (kN/m) se može odrediti na osnovu prethodnih izraza za sleganje glave šipa i sile u omotaču i bazi šipa. U prethodnoj analizi su prikazani rezultati proračuna aksijalne krutosti šip–tlo za

konstantnu vrednost smičućeg modula reakcije tla kτ duž omotača. Takav slučaj je u praksi vrlo redak i približno odgovara šipu u sloju tvrde (prekonsolidovane) gline. Ako je modul reakcije tla oko omotača šipa promenljiv, u proračunu treba koristiti osrednjenu vrednost. Ako se radi o homogenom sloju peska ili normalno konsolidovanoj glini, smičući modul reakcije tla duž omotača nije konstantan, već raste sa dubinom shodno porastu efektivnog normalnog napona. Za praktične proračune se može pretpostaviti da je promena smičućeg modula reakcije tla stepena funkcija dubine :

( ) ( )nk z n z dτ τ=

Analitičko rešenje diferencijalne jednačine sleganja glave šipa za stepenu promenu smičućeg modula reakcije tla, svodi se na Bessel-ove funkcije i nema širu praktičnu primenu. Umesto analitičkog rešenja, efikasnije je približno numeričko rešenje metodom konačnih razlika (MKR) ili konačnih elemenata (MKE). Numerički postupak omogućuje primenu potpuno proizvoljne funkcije modula reakcije tla duž omotača šipa. Uz određene modifikacije, može se uvesti nelinearna zavisnost između smičućeg modula reakcije tla i sleganja omotača šipa, odnosno modula reakcije tla ispod baze šipa i pomeranja baze šipa. Treba na kraju napomenuti, da izbor modula reakcije tla ne zavisi samo od vrste tla i geometrije šipa, već u velikoj meri od načina ugradnje šipa (bušeni, pobijeni, utisnuti šipovi), međusobnog rastojanja i dužine šipova. Generalno, povećanjem rastojanja između šipova e i smanjenjem vitkosti L/d, međusobni uticaj šipova opada. Za malu grupu, pretežno lebdećih šipova, za međusobno rastojanje veće od 10d, efekat grupe je zanemarljiv. Kod šipova koji pretežno nose bazom i leže na vrlo krutoj podlozi, međusobni uticaj je zanemarljiv i pri znatno manjem osovinskom rastojanju.



9.2.1 POPREČNO POMERANJE GLAVE VERTIKALNOG ŠIPA (kh = const)

Analitičko rešenje za poprečno pomeranja t glave vertikalnog šipa, bez obrtanja θ, ako je modul reakcije kh duž šipa konstantan, može se indirektno odrediti na osnovu rešenja grede konačne dužine koja je u sredini raspona opterećena vertikalnom i koncentrisanom silom (Slika 9.4a).

kh

E Ip

2T

L L

t

L

TM

kh

E Ip

a) b)x

z

Slika 9.4 a) Greda na Winkler-ovoj podlozi b) Poprečno pomeranje bez obrtanja glave šipa

Ako se temeljna greda dužine 2L, na Winkler-ovoj podlozi, u sredini opterećena vertikalnom koncentrisanom silom 2T preseče na polovini, dobija se šip koji je u nivou glave izložen bočnom pomeranju t bez obrtanja (Slika 9.4b). U sredini grede odnosno na glavi šipa, deluje transverzalna sila T i moment savijanja M. Metodom početnih parametara, može se dobiti analitičko rešenje problema. Ne upuštajući se u izvođenje, daju se konačna rešenja:

( ) ( )( ) ( )

( )h h

h

h h h h

h hTt Tt

sinh 2 L sin 2 Lk d k dT K t , K A L

cosh 2 L cos 2 L 2

λ λλ

λ λ λ λ

+= ⋅ = = + +

(9.5a)

( ) ( )( ) ( )

( )h h

Mt Mt h2 2

h h h h

h hcosh 2 L cos 2 Lk d k dM K t , K B L

2 cosh 2 L cos 2 L 2 2

λ λλ

λ λ λ λ

−= ⋅ = = + +

(9.5b)

4

h

p

hk d

4E Iλ =

gde je: λh = parametar krutosti šipa i tla

I = moment inercije šipa oko ose ⊥ na pravac pomeranja t

Ep , d = modul elastičnosti i dimenzija šipa ⊥ na pravac pomeranja t

kτ = horizontalni modul reakcije tla uz omotač šipa



Veličine KTt u (kN/m) i KMt u (kNm/m) zavise od geometrije i krutosti šipa i krutosti

tla, dok su A i B koeficijenti krutosti koji zavise od karakterističnog broja λhL i

prikazani su na slici 9.5. Za vrednosti λhL > 2.5 (što približno odgovara dugačkom

šipu), koeficijenti krutosti su ≈1, pa su elementi matrice krutosti šipa jednaki:

2

h

hMtMt

h

hTtTth

2

dkKK

dkKK01BA52L

λλλ =≈=≈≈≈⇒> ∝∝ ,,..

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

Ko

eficije

nti A

, B

, C

Parametar λhL

A

B

C

Slika 9.5 Koeficijenti krutosti za proračun presečnih sila usled pomeranja/obrtanja glave šipa

Upoređujući rezultate za vertikalan šip u homogenoj elastičnoj sredini (Es, νs) čija je glava izložena poprečnom pomeranju bez obrtanja (Poulos,1971), sa rezultatima dobijenim na osnovu Winkler-ovog modela, za ekvivalentan modul reakcije tla kh se dobija sledeći izraz:

sh

Ek

d≈

Veličine KQs, KTt, KMt, KTθ i KMθ su izvedene za tlo koje ima konstantan modul reakcije po dubini (duž omotača). Za linearno promenljiv modul reakcije tla, postoje približna analitička rešenja dok se za proizvoljno promenljiv modul reakcije tla kh duž omotača koriste numerički postupci, kao što su metoda konačnih razlika ili metoda konačnih elemenata (MKE).



9.2.2 OBRTANJE GLAVE VERTIKALNOG ŠIPA (kh=const)

Analitičko rešenje za obrtanje glave šipa θ, bez poprečnog pomeranja t, ako je modul reakcije tla kh duž šipa konstantan, može se na isti način kao i u prethodnom slučaju, indirektno odrediti na osnovu rešenja grede konačne dužine koja je u sredini raspona opterećena spregom sila (Slika 9.6a).

x

z

2M

L L

kh

E Ip

θ

L

T

kh

M

E Ip

a) b)

Slika 9.6 a) Greda na Winkler-ovoj podlozi b) Obrtanje bez poprečnog pomeranja glave šipa

Ako se temeljna greda dužine 2L, na Winkler-ovoj podlozi, u sredini opterećena spregom sila 2M preseče na polovini, dobija se šip koji je u nivou glave izložen

obrtanju θ bez bočnog pomeranja (Slika 9.6b). U sredini grede odnosno na glavi šipa, deluje transverzalna sila T i moment savijanja M. Metodom početnih parametara, može se dobiti analitičko rešenje problema. Ne upuštajući se u izvođenje, daju se konačna rešenja:

( ) ( )( ) ( )

( )h h

T T h2 2

h h h h

h hcosh 2 L cos 2 Lk d k dT K , K B L

2 cosh 2 L cos 2 L 2 2θ θ

λ λθ λ

λ λ λ λ

−= − ⋅ = = + +

(9.6a)

( ) ( )( ) ( )

( )h h

M M h3 2 2 3

h h h h

h hsinh 2 L sin 2 Lk d k d1M K , K C L

2 2 cosh L cos L 2θ θ

λ λθ λ

λ λ λ λ

−= ⋅ = = +

(9.6b)

Veličine KTθ u (kN/rad) i KMθ u (kNm/rad) zavise od geometrije i krutosti šipa i krutosti

tla, dok su B i C koeficijenti krutosti koji zavise od karakterističnog broja λhL i

prikazani su na slici 9.5. Za vrednosti λhL > 2.5 što približno odgovara dugačkom

šipu, koeficijenti krutosti su ≈1, pa su elementi matrice krutosti šipa jednaki:

3

h

hMM

h

hTTh

2

dkKK

dkKK1CB52L

λλλ θθθθ =≈=≈≈≈⇒> ∝∝ ,,.



9.3 POPREČNO POMERANJE I OBRTANJE GLAVE ŠIPA (kh ≠ const) Ako modul reakcije kh raste linearno sa dubinom, poprečno pomeranje t i obrtanje

glave šipa θ u nivou terena, usled poprečne sile T i momenta savijanja M=T⋅e, za krute i savitljive šipove, sa slobodnom i uklještenom glavom, može se odrediti prema jednačinama koje je izveo Barber (1953).

- za krut šip sa slobodnom glavom ( ηL<2 ): 5

p

h

IE

n=η ,

d

znk hh =

( )

h

3nL

e331LT18t

.+= ,

( )h

4nL

e51LT24 .+=θ

- za savitljiv šip sa slobodnom glavom ( ηL>4 ):

( ) ( ) ( ) ( ) 60p

40

h

40

p

60

h IEn

eT61

IEn

T42t

....

.. ⋅+= ,

( ) ( ) ( ) ( ) 80p

20

h

60

p

40

h IEn

eT741

IEn

T61....

.. ⋅+=θ

- za krut šip sa uklještenom glavom ( ηL<2 ): h

2nL

T2t =

- za savitljiv šip sa uklještenom glavom ( ηL>4 ): ( ) ( ) 40p

60

h IEn

T930t

..

.=

Broms (1964) je za horizontalno pomeranje t glave slobodnog ili uklještenog šipa (u nivou terena), sa linearnim porastom modula reakcije tla, dao sledeći dijagram:

2 4 6 8 100

2

4

6

8

10T

T

DL

e

L D

e/L=2.0

1.5

1.0

0.80.60.40.2

0

Karakteristi čan broj Lη

Uklještenaglava

Slobodna glava

tT

L

(E

I)(n

)p

0.6

h0

.4

t

t



9.4 MATRICA KRUTOSTI ŠIPA U LOKALNOM KOORDINATNOM SISTEMU Pomeranje glave šipa u ravni ima tri stepena slobode, dve translacije i rotaciju. U lokalnom koordinatnom sistemu je pomeranje glave šipa određeno pomoću

vektora{s,t,θ }. Na osnovu izvedenih veličina KQs, KTt, KMt, KTθ i KMθ može se odrediti matrica krutosti šipa u lokalnom sistemu, koja povezuje pomeranja glave šipa sa silama na glavi šipa.

{ } [ ]{ }Qs

Tt T L L L

Mt M

K 0 0Q s

T 0 K K t ili R K U

M 0 K K

θ

θ θ

= =

(9.7a)

gde je: {RL} = vektor opterećenja glave šipa u lokalnom sistemu

[KL] = matrica krutosti šipa i tla u lokalnom sistemu

{UL} = vektor pomeranja glave šipa u lokalnom sistemu Matrica krutosti šipa i tla, zavisi od geometrije i krutosti šipa i krutosti tla. Ako su

smičući i horizontalni modul reakcije tla oko omotača šipa vrlo male veličine (kτ << 1,

kh << 1) a baza šipa leži na vrlo krutoj podlozi (kb >> 1), matrica krutosti šipa i tla se svodi na matricu krutosti stuba – štapa. U zavisnosti od graničnih uslova na krajevima stuba (glava i baza šipa), mogu se pojaviti sledeći oblici matrice krutosti šipa – stuba:

(U ) (U )

p p

3 2 3 2

p p p p

2 2

p p p p(U ) (Z )

E A L 0 0 E A L 0 0

0 12E I L 6E I L , 0 3E I L 3E I L

0 6E I L 4E I L 0 3E I L 3E I L

(9.7b)

( Z ) ( Z )

p p

3

p

(U ) (Z )

E A L 0 0 E A L 0 0

0 3E I L 0 , 0 0 0

0 0 0 0 0 0

(9.7c)

Šipovi se uvek moraju upustiti u naglavnicu, kako bi se osigurala dobra konstruktivna veza, zbog čega se može smatrati da je šip uklješten u naglavnicu (U). Za punu mobilizaciju nosivosti, šip se mora upustiti za oko 2d (d=manja dimenzija ili prečnik šipa) u nosivi sloj, što je nedovoljno za uklještenje, pa se može smatrati da je šip u bazi zglobno oslonjen (Z). Za linearni porast modula reakcije tla kh, matrica krutosti se može odrediti indirektno

preko matrice fleksibilnosti [KL]=[FL]-1

. Elemetni matrice fleksibilnosti FTt , FTθ , FMt i

FMθ se mogu odrediti analitički (Barden, 1953), grafički (Broms, 1964) ili numerički pomoću metode konačnih razlika ili metode konačnih elemenata.



9.5 MATRICA KRUTOSTI ŠIPA U GLOBALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

U uvodnom delu je rečeno da šipovi retko prenose opterećenje samostalno, već se uglavnom radi o grupi šipova povezanih krutom naglavnicom. Kada su u grupi, neki šipovi moraju biti zakošeni da bi bolje preneli horizontalne sile. Za proračun grupe šipova u deformabilnoj sredini, potrebno je sve pojedinačne matrice krutosti šipa i tla prevesti u globalni koordinatni sistem. Mada su rezultati proračuna nezavisni od položaja globalnog koordinatnog sistema, jedostavnost nalaže da se isti uglavnom postavlja u težište naglavnice. Analiza će biti ograničena samo na 2–dimenzionalni (ravanski) problem (kao npr. fundiranje potpornog zida, obalnog zida, trakastog temelja, temelja samca sa opterećenjem u jednoj ravni simetrije i sl.). Pomeranje naglavnice u ravni, određeno je sa dve translacije u pravcima globalnih koordinatnih osa x i z i rotacijom oko težišta naglavnice (koordinatnog početka). Pomeranja naglavnice će se označiti

vektorom {u,w,θ }.

α

sρ

β

ρ

z

x

ϕ

ϕ=90−α+β

tρ

ρ

α

sθ

θ

ρθ=rθ

z

x

ρθ

tθ

β

θϕ

ϕ=α−β

r

G

G’

G

G’a) b)

wρ

uρuθ

wθ

Slika 9.7 a) Translacija težišta naglavnice b) Obrtanje oko težišta naglavnice

Pošto je grupa šipova uklještena u naglavnicu, pomeranja glave svakog šipa je potpuno određeno pomeranjem naglavnice kao idealno krutog tela. Veza između pomeranja glave šipa u lokalnom i naglavnice u globalnom sistemu, izvršiće se prema

oznakama na slici 9.7. Usled pomeranja težišta naglavnice (Slika 9.7a) za vektor {ρ},

kruto vezana glava šipa se pomera u pravcu ose za sρ a u pravcu upravno na osu šipa

za tρ.

Usled obrtanja oko težišta naglavnice (Slika 9.7b) za vektor {θ }, kruto vezana glava

šipa se pomera u pravcu ose za sθ , u pravcu upravno na osu šipa za tθ i dodatno se



obrće za ugao θ. Komponente pomeranja glave šipa usled translacije i rotacije oko koordinatnog početka ili težišta naglavnice, odrediće se pojedinačno. Pošto su pomeranja mala, ukupno pomeranje se može odrediti superpozicijom tj. prostim sabiranjem pomeranja usled translacije i rotacije. Pomeranja glave šipa usled translacije naglavnice iznose: ( ) ( ) ( )s sin sin 90 cos cos cos sin sinρ ρ ϕ ρ α β ρ α β ρ α β α β= = − + = − = +

s u cos wsinρ α α= + (9.8a)

( ) ( ) ( )t cos cos 90 sin sin cos cos sinρ ρ ϕ ρ α β ρ α β ρ α β α β= = − + = − = −

t u sin wcosρ α α= − (9.8b)

Pomeranja glave šipa usled rotacije oko težišta naglavnice iznose: ( ) ( )s sin r sin r sin cos cos sinθ θρ ϕ θ α β θ α β α β= − = − − = − −

s x sin z cosθ θ α θ α= − + (9.9a)

( ) ( )t cos r cos r cos cos sin sinθ θρ ϕ θ α β θ α β α β= = − = +

t xcos z sinθ θ α θ α= + (9.9b)

θ θ= (9.9c)

Ukupno pomeranje glave šipa usled pomeranja naglavnice kao krutog tela, može se dobiti superpozicijom pomeranja prema (9.8) i (9.9). U matričnom obliku ukupna pomeranja su:

{ } [ ]{ }L

s cos sin x sin z cos u

t sin cos xcos z sin w ili U T U

0 0 1

α α α αα α α α

θ θ

− + = − + =

(9.10)

Ako se jednačina (9.10) uvrsti u jednačinu (9.7a), dobiće se jednačina između sila na glavi šipa u lokalnom sistemu sa pomeranjima krute naglavnice u globalnom sistemu.

{ } [ ]{ }Qs

Tt T L L L

Mt M

Q K 0 0 s

T 0 K K t ili R K U

M 0 K K

θ

θ θ

= =

(9.11a)

Nakon množenja matrice krutosti šipa i tla u lokalnom sistemu [KL] sa vektorom

pomeranja glave šipa u lokalnom sistemu {UL}, jednačina (9.11a) postaje:



( )

( )( )

Qs Qs Qs

Tt Tt Tt T

Mt Mt Mt M

Q K cos K sin K x sin z cos u

T K sin K cos K xcos z sin K w

M K sin K cos K xcos z sin K

θ

θ


α α α α θ

− + = − + + − + +

(9.11b)

U matričnom obliku, jednačina (9.11b) glasi: { } [ ]{ } [ ][ ]{ } { } [ ]{ }L L L L L GR K U K T U R K U= = ⇒ = (9.11c)

gde je: {U} = vektor pomeranja naglavnice u globalnom sistemu

[ T ] = matrica transformacije lokalnog u globalni koordinatni sistem

[ KG ] = matrica krutosti šipa i tla u globalnom sistemu 9.6 USLOVNE JEDNAČINE RAVNOTEŽE NAGLAVNICE Jednačina oblika (9.11b) se može napisati za svaki šip u grupi koja je povezana krutom naglavnicom. Na taj način su sile na glavi svakog šipa izražene sa tri

nepoznate veličine koje pretstavljaju komponente pomeranja naglavnice {u, w, θ}. Nepoznate komponente pomeranja se mogu odrediti iz uslovnih jednačina ravnoteže

u ravni ΣX=0, ΣZ=0 i ΣM=0. Kada se sve spoljnje (aktivne) sile i momenti redukuju u koordinatni početak (ili težište naglavnice) i zatim razlože u smeru koordinatnih osa, dobiće se sile Px , Pz i spreg sila M0 oko tačke 0 (Slika 9.8a). Sile koje deluju na šipove, po zakonu akcije i reakcije su istog intentiteta i suprotnog smera od sila koje deluju na naglavnicu (Slika 9.8a).

2

Pz

Px

M0

0

x

z

Ti

Qi

M i

Ti

M i

Qi

1 3 i n

0

x

z

u

w θ

a) b)

Slika 9.8 a) Sile na glavi šipa-i odnosno na naglavnici b) Komponente pomeranja naglavnice



Komponente pomeranja naglavnice {u,w,θ } i položaj naglavnice nakon pomeranja i obrtanja, prikazan je na slici 9.8b. Na osnovu oznaka na slici 9.8a, uslovne jednačine ravnoteže glase:

i i i i x

n

i 1X 0 Q cos T sin Pα α

== ⇒ + =∑ ∑ (9.12a)

i i i i z

n

i 1Z 0 Q sin T cos Pα α

== ⇒ − =∑ ∑ (9.12b)

( ) ( )i i i i i i i i i i i 0

n

i 1M 0 M Q cos T sin z Q sin T cos x Mα α α α

= = ⇒ + + − − =∑ ∑

(9.12b)

Kada se u jednačine ravnoteže (9.12) uvrste jednačine (9.11b) i koeficijenti slože uz nepoznate komponente pomeranja, dobija se sistem uslovnih jednačina:

[ ]{ } { }11 12 13 x

22 23 z

33 0

k k k u P

k k w P ili K U P

k Mθ

= =

(9.13)

gde je: {U} = vektor pomeranja naglavnice u globalnom sistemu

{P} = vektor opterećenja naglavnice

[ K ] = matrica krutosti grupe šipova i tla u globalnom sistemu Krutosti kij u uslovnoj jednačini 9.13 u razvijenom obliku glase:

( ) 2

Tt Tt Tt11 Qs Qs1

n

k K K cos K , K K Kα= − + ∆ = −∑

21 12121

n

k K cos sin , k kα α= ∆ =∑

( ) Tt 31 13T131

n

k K cos x sin z cos K z K sin , k kθα α α α= ∆ − + + + =∑

2

T22 t1

n

k K sin Kα= ∆ +∑

( ) Tt 32 23T231

n

k K sin x sin z cos K x K cos , k kθα α α α= ∆ − + − − =∑

( ) ( ) ( )( )2 2 2

Tt T33 Mt M1

n

k K x sin z cos K x z K K xcos z sin Kθ θα α α α= ∆ − + + + + + +∑



Proračun koeficijenati u gornjim izrazima se lako i pregledno može izvršiti u EXCEL-u.

Nakon što se odredi pomeranje naglavnice {U}, pomoću jednačina (9.10) i (9.11b) će se odrediti pomeranja i sile u šipovima. Time je ravanski problem grupe šipova koji je uklješten u krutu naglavnicu, pod proizvoljnim opterećenjem, jednoznačno rešen. Treba napomenuti da predmetna analiza zanemaruje međusobni uticaj šipova, što je konzistentno sa osnovnom karakteristikom Winklerove sredine – diskontinuitet. Navedeni nedostatak se može prevazići uvođenjem složenijeg modela tla kao npr. model elastične sredine, ili približno, određenom redukcijom modula reakcije tla za pojedinačan šip, što povećava pomeranja. Koeficijenti redukcije modula reakcije imaju sličan efekat kao i koeficijenti redukcije nosivosti grupe šipova. Koeficijenti redukcije zavise od rasporeda, međusobnog rastojanja i broja šipova. Treba istaći da ne postoji egzaktan način određivanja koeficijenta redukcije modula reakcije tla kada se radi o grupi šipova, tako da je svaki postupak samo konceptualan i vrlo približan. Približan proračun pomeranja grupe šipova, prikazaće se na kraju poglavlja. U literaturi iz fundiranja se mogu naći klasične metode za proračun sila u šipovima povezanih krutom naglavnicom, pod proizvoljnim opterećenjem. Pretpostavka je da su šipovi samo aksijalno opterećeni, odnosno da su zglobno vezani u glavi i u bazi šipa (šip je prost štap). Šipovi u grupi mogu imati različite pravce. Ako je broj različitih pravaca do 3 ,ili ako se može svesti na 3, sile u šipovima se mogu odrediti na osnovu uslova ravnoteže (grafički ili analitički). Treba imati u vidu da je ovakav proračun u određenim slučajevima može dati relativno pouzdane rezultate. Taj slučaj nastaje kod šipova koji su po statičkom sistemu stojeći, obostrano zglobno vezani i kada je broj šipova manji ili jednak 3. Međutim u opštem slučaju, kada postoji značajniji otpor tla duž omotača, i kada se ne zanemari uklještenje šipa u naglavnicu, primena uprošćenih metoda nije opravdana. Prikazana metoda za ravanski problem, može se proširiti i na prostorni. Kod prostorne grupe šipova, postoji 6 (šest) stepeni slobode (3 pomeranja i 3 obrtanja oko koordinatnih osa), koji se za idealno krutu naglavnicu određuju iz 6 ravnotežnih uslova. Za rešavanje prostornih problema, zbog jasnoće i preglednosti, koristi se vektorski postupak (Santrač, 1991).



9.7 ODREĐIVANJE HORIZONTALNOG MODULA REAKCIJE TLA Slično kao i kod elastičnih zidova, u zoni naglavnice se već pri malim opterećenjima javlja plastifikacija tla. Ovo je posebno izraženo kod peskova i mekih glina, gde je zbog vrlo malih efektivnih napona pri površini terena, čvrstoća i krutost tla mala. Kod ovih materijala je promena modula reakcije tla približno linearna po dubini (zavisi od efektivnog vertikalnog napona). Kod prekonsolidovanih (tvrdih) glina, modul je približno konstantan po dubini. Horizontalni modul reakcije se uglavnom prikazuje jednačinom (Terzaghi, 1955):

h h h h1

z 0.305k n , k k

d d

= =

(8.1)

gde je: nh = konstanta horizontalnog modula reakcije peska (MN/m

3)

kh1 = konstanta horizontalnog modula reakcije prekonsolidovane gline na 0.305m od površine terena (MN/m

3)

z = dubina merena od dna iskopa

d = dimenzija šipa u pravcu ⊥ na pravac sile

Terzaghi je predložio konstantu horizontalnog modula reakcije peska, zavisno od zbijenosti i vlažnosti. Na osnovu studije horizontalnog pomeranja i modelskih ispitivanja (Reese, Cox, Koop, 1974) su utvrdili da su predložene vrednosti konzervativne, pa u praksi preporučuju (R.F. Scott, 1981) usvajanje većih vrednosti, pomnoženih faktorom 2–3 (tabela 9.1)

Opis tla Rastresit Srednje zbijen Zbijen

Pesak, suv ili vlažan 2.5 (5.0) 7.5 (15.0) 20.0 (40.0)

Pesak, potopljen 1.4 (3.0) 5.0 (10.0) 12.0 (25.0)

Tabela 9.1 Konstanta hor. modula reakcije tla nh (MN/m3) prema Terzaghi-u (preporučene vrednosti)

Za meke gline, konstanta modula reakcije tla se kreće između nh =0.3–0.5 MN/m

3

(Davisson and Prakash, 1963). Kod tvrdih, prekonsolidovanih glina, može se usvojiti da je horizontalni modul reakcije tla kh konstantan i približno jednak vertikalnom. Osim Terzaghi-a, i drugi su se bavili određivanjem horizontalnog modula reakcije tla, kao: Menard et all. (1964), Balay (1984), Chadeisson and Monnet (1994), Schmitt (1995), Monaco and Marchetti (2004) i dr. (vidi poglavlje 8). U nastavku su dati češče korišćeni izrazi:

50h

Ek 1.6

d= , (Broms,1964)



( ) uh

ck 100 300

d= ÷ , (Skempton, 1951)

( )d

M5030k v

h .. ÷= , (Gudehus, 1996)

gde je: E50 = nedrenirani modul elastičnosti pri polovini granične čvrstoće cu = nedrenirana čvrstoća

d = dimenzija šipa ⊥ na pravac opterećenja Mv = edometarski modul stišljivosti Za razliku od horizontalnog modula reakcije tla kh, za određivanje smićućeg modula

reakcije tla kτ i modula reakcije tla ispod baze šipa kb, raspoloživi podaci su oskudniji. Metoda horizontalnog modula reakcije tla (Winkler-ova metoda) omogućuje da se odredi pomeranje šipova prema graničnom stanju upotrebljivosti (SLS), kao dopune proračuna po graničnom stanju nosivosti (ULS). Proračun graničnog horizontalnog opterećenja šipova, vrši se prema klasičnim metodama granične ravnoteže ili teorije plastičnosti (Broms,1964, Brinch Hansen,1961 i dr). Kod grupe šipova, nije opravdano zanemariti međusobni uticaj šipova na nosivost i na pomeranja. Pošto je Winkler-ov model prekidan, uticaj sa jednog šipa se ne prenosi na susedne šipove, pa se stoga mora uvesti određeno proširenje modela. Uglavnom se radi o uvođenju uticajnih koeficijenata zasnovanih na metodi elastičnog kontinuuma ili empirijskim jednačinama. Bez obzira na poreklo, uticajni koeficijenti

zavise od broja i međusobnog rastojanja šipova. Za osovinsko rastojanje šipova >8d, gde je d prečnik šipa, uticaj grupe se može smatrati zanemarljivim, uz uslov da je

osovinsko rastojanje šipova upravno na pravac dejstva sile >3d. Na smanjenje horizontalnog modula reakcije tla, značajan uticaj ima naizmenično opterećenje i rasterećenje (uticaj vetra, talasa i sl.). Za 50 i više ciklusa, horizontalni modul reakcije se može smanjiti na svega 30% od početne vrednosti. Usled kombinovanog dejstva šipova u grupi i cikličnosti opterećenja, horizontalni modul reakcije tla se može smanjiti čak ispod 10% od inicijalne vrednosti za izolovan šip pod statičkom silom. Detaljan opis uticaja cikličnog opterećenja na smanjenje horizontalnog modula reakcije tla, dao je Reese (1975), uvodeći nelinearnu funkciju

između pomeranja y i otpora tla p (″p-y″ koncept). Efekti konsolidacije i puzanja tla oko horizontalno opterećenog šipa, tokom vremena dodatno povećavaju početna horizontalna pomeranja, što u suštini znači dalje smanjenje horizontalnog modula reakcije tla.



9.8 BROJNI PRIMER – 8 Na lokaciji objekta predviđenog za fundiranje na grupi vertikalnih šipova, izvedeno je probno opterećenje tzv. test šipova. Na jednom šipu je izvedeno opterećenje vertikalnom silom, na drugom horizontalnom silom a na trećem spregom sila (Slika 9.9). Na osnovu dijagrama pomeranja (obrtanja) u funkciji sile (sprega sila), određena su za područje radnog opterećenja (dozvoljenog opterećenja), pomeranja i obrtanja. Koristeći podatke sa slike 9.9, potrebno je: - Odrediti elemente matrice krutosti šip-tlo, - Izvršiti kontrolni proračun sila na glavi šipa usled istovremenog dejstva sva tri

uticaja - pomeranja

T=20 kN

t =2.57 .10 mT

-3

θT=-1.14.10 rad-3

x

z

Q=800 kN

x

z

M=150 kNm

θM=7.56.10 rad-3

x

z

t =-8.53.10 mM-3

s=

4.2

8. 1

0m

-3

a) b) c)

Slika 9.9 Probno opterećenje šipa: a) Aksijalnom silom, b) Horizontalnom silom c) Spregom sila

Rešenje: Na osnovu sila i pomeranje slobodne glave šipa, mogu se odrediti elementi matrice fleksibilnosti šipa i tla, prema sledećim izrazima:

3

3

Qs

s 4.28 10F 5.35 10 m MN

Q 0.800

−−⋅

= = = ⋅

T

31

Tt

t 2.57 10F 1.29 10 m MN

T 0.02

−−⋅

= = = ⋅

MMt

32t 8.53 10

F 5.70 10 m MNmM 0.15

−−− ⋅

= = = − ⋅



T

32

T

1.14 10F 5.70 10 rad MN

T 0.02θ

θ −−− ⋅

= = = − ⋅

M

32

M

7.56 10F 5.04 10 rad MNm

M 0.15θ

θ −−⋅

= = = ⋅

Matrica fleksibilnosti i matrica krutosti šipa i tla glasi:

[ ]

3

Qs

1

L Tt T

Mt M

2

2 2

F 0 0 5.35 10 0 0

F 0 F F 0 1.29 10 5.70 10

0 T F 0 5.70 10 5.04 10

θ

θ

−

− −

− −

⋅ = = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

[ ] [ ]L L

1

186.92 0 0

K F 0 15.50 17.52

0 17.52 39.66

− = =

Kontrola proračuna će se izvršiti množenjem matrice krutosti tla [KL] sa vektorom

pomeranja {UL}. Za rezultat treba dobiti sile na glavi šipa date na slici 9.9.

3

3 3 3M

3 3 3

T

T M

s 4.29 10 m

t t t 2.57 10 8.53 10 5.96 10 m

1.14 10 7.56 10 6.42 10 radθ θ θ

−

− − −

− − −

= ⋅

= + = ⋅ − ⋅ = − ⋅

= + = − ⋅ + ⋅ = ⋅

{ } [ ]{ }L L LR K U=

3

Q 186.92 0 0 4.29 0.80

T 0 15.50 17.52 5.96 10 0.02

M 0 17.52 39.66 6.42 0.15

−

= − =

zadovoljava !

Na osnovu rezultata probnog opterećenja, koristeći prethodni postupak, određena je realna matrica krutosti šipa i tla u području radnih opterećenja. Ovakav postupak daje pouzdanije rezultate od indirektnog određivanja matrice krutosti na osnovu modula reakcije tla koji su približne/korelativne veličine. Probno opterećenje implicitno obuhvata specifičnosti lokacije (anizotropija, nelinearnost i nehomogenost tla, način ugradnje šipa, krutost šipa, raspored i dimenzije šipa i dr.) što se ne može obuhvatiti analitičkim putem. U nedostatak probnog opterećenja šipa, spada kompleksnost, visoka cena (model u razmeri 1:1), složena oprema za merenje i stručna radna snaga.



9.9 BROJNI PRIMER - 9 Na slici 9.10 je poprečni presek trakastog temelja obalnog zida. Temelj zida je kruta naglavnica na šipovima. Opterećenje potpornog zida je redukovano u težište naglavnice. Podužno rastojanje šipova (upravno na ravan crteža) iznosi By =2.0m. U poprečnom preseku, naglavnica je oslonjena na tri AB šipa dimenzija 0.4/0.4/15.2m. Međusobno rastojanje šipova je takvo da se može zanemariti njihovo međusobno dejstvo na nosivost i pomeranja. Šipovi su uklješteni u naglavnicu. Tlo oko naglavnice je homogeno po dubini. Prosečan horizontalni i smičući modul reakcije tla iznosi

kh=17.25 MN/m3

i kτ=8.63 MN/m3, a modul reakcije tla u bazi šipa kb=460 MN/m

3.

Potrebno je izračunati:

1) Pomeranje krute naglavnice u,w,θ.

2) Sile i pomeranja glave šipa Q,T,M i s,t,θ. 3) Izračunati približne sile u šipovima zanemarujući uticaj tla uz omotač šipa i

uklještenje šipa u naglavnicu. Komentarisati rezultate pod 2) i 3).

Pz

Px M0

0 x

z

21 3

1 1

53

3.1 2.40.6

0.4/0.4 0.4/0.4 0.4/0.4

k =8.63MN/mτ3

kh=17.25MN/m3

kb=460.0MN/m3

Ep=21.0GN/m2

=1.1MN/m_

=0.68MNm/m

_

=0.1MN/m

_

L=15.2m

B =2.0my

Slika 9.10 Dispozicija opterećenja grupe šipova preko krute naglavnice

šip koordinate glave šipa koordinate baze šipa podaci o nagibu šipova

x (m) z (m) x (m) z (m) cosα sinα

1 -3.10 0.00 -7.91 14.42 -0.3164 0.9487

2 0.60 0.00 0.60 15.20 0.0000 1.0000

3 3.00 0.00 5.98 14.91 0.1961 0.9806



1) Rešenje: Opterećenje naglavnice u koju je uključena i sopstvena težina, data je po m

1 u pravcu

ose y, odnosno upravno na ravan crteža. Šipovi su u pravcu ose y na međusobnom rastojanju od By=2.0m. Da bi se dobilo opterećenje grupe šipova u ravni crteža, potrebno je opterećenje po m

1 naglavnice pomnožiti sa rastojanjem šipova By.

- Proračun karakterističnih parametara šipova

2

p p

2

p

4 2d 0.4E I E 21000 44.8 MNm

12 12

E A 21000 0.4 3360.0 MN , S 4d 4 0.4 1.6 m

= = =

= ⋅ = = = ⋅ =

1

p

k S 8.6 1.60.0641m , L 0.0641 15.2 0.974

E A 3360.0τ

ττλ λ−⋅= = = = ⋅ =

44 h

p

1hh

k d 17.2 0.40.443 m , L 0.443 15.2 6.733

4E I 4 44.8λ λ−⋅

= = = = ⋅ =⋅

- Proračun elemenata matrice krutosti šipa i tla u lokalnom koordinatnom sistemu:

210QQb .=

mMN25187052218470L

AE

f

L

f

AEK151f

pp

Qs /.... =⋅===⇒= ττ λλ

( )h h hTt TtA L 1.0 K K k d 17.2 0.4 0.443 15.58 MN mλ λ∝= ⇒ = = = ⋅ =

( ) ( )( )

h Mt

T

2 2

2 2

Mt h h

T h h

B L 1.0 K K k d 2 17.2 0.4 2 0.443 17.58 MN m

K K k d 2 17.2 0.4 2 0.443 17.58 MNm rθθ

λ λ

λ

∝

∝

= ⇒ = = = ⋅ ⋅ =

= = = ⋅ ⋅ =

( ) ( )3 3

h h hM MC L 1.0 K K k d 2 17.2 0.4 2 0.443 39.69 MNm rθ θλ λ∝= ⇒ = = = ⋅ ⋅ =

[ ]Qs

L Tt T

Mt M

K 0 0 187.25 0 0

K 0 K K 0 15.58 17.58

0 K K 0 17.58 39.69

θ

θ

= =

- Matrica [K] krutosti sistema naglavnica–šipovi–tlo

TtQsK K K

187.25 15.58 171.68 MN m

∆ = −

= − =



( )

2

Tt

2 2

11k K cos K

171.68 0.3162 0.1961 3.0 15.58 70.502 MN m

∆ α= +

= + + ⋅ =

∑

( )12k K cos sin

171.68 0.162 0.9487 0.1961 0.9806 18.491MN m

∆ α α=

= − ⋅ + ⋅ = −

∑

( )( ) ( )

( )

Tt T13k K cos z cos x sin K z K sin

171.680 0.3162 3.10 0.9487 0.1961 3.0 0.9806

17.58 0.9487 1.0 0.9806 207.213 MN r

θ∆ α α α α= − + +

= − ⋅ + − ⋅ +

+ + + = −

∑

( )sin

. . . . . .

2

Tt

2 2 2

22k K K

171 68 0 9487 1 0 0 9806 3 15 8 537 989 MN m

∆ α= +

= + + + ⋅ =

∑

( )[ ]

( ) ( )

23 Tt Tk K sin zcos x sin K x K cos

171.68 0.9489 3.10 0.9487 1.0 0.6 1.0 0.9806 3.0 0.9806

15.58 3.1 0.6 3.0 17.58 0.3162 0.1961 124.933 MN r

θ∆ α α α α= − − −

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− − + + − − + = −

∑

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

33 Tt MtT Mk K x sin z cos K x z K K z sin xcos K

171.68 3.1 0.9487 0.6 1.0 3.0 0.9806

15.58 3.1 0.6 3.0 17.58 17.58 3.1 0.3162 3.0 0.1961 3 39.69

3502.014 MNm r

θ θ∆ α α α α= − + + + + + +

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

[ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

k k k 70.502 18.491 207.213

K k k k 18.491 537.989 124.933

k k k 207.213 124.925 3502.014

− − = = − − − −

Pomeranje naglavnice će se odrediti za koordinatni početak 0, na osnovu matrice

krutosti [K] i opterećenja {P} na dužini koja odgovara rastojanju šipova upravno na ravan crteža, odnosno od dužini By=2.0m.

{ } [ ] { }

3

1 3 3

6

u 17.545 0.853 1.071 0.20 3.94 10 m

U w K P 10 0.853 1.919 0.119 2.20 4.23 10 m

1.071 0.119 0.354 1.36 5.25 10 rθ

−

− − −

−

⋅ = = = = ⋅

− − ⋅



2) Rešenje: - Pomeranja glave šipa u lokalnom koordinatnom sistemu

{ } [ ]{ }L

s cos sin x sin z cos u

t sin cos xcos z sin w , U T U

0 0 1


θ θ

− + = − + =

( )

3

3

6

1

3

3

6

s 0.3162 0.9487 2.9409 3.94 10 2.75 10

t 0.9487 0.3162 0.9803 4.23 10 5.07 10

0 0 1 5.25 10 5.25 10

m,rad

θ

−

−

−

−

−

−

− ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅

− ⋅ − ⋅

( )

3

3

6

3

3

6

2

3.94 10 4.23 10

4.23 10 3.94 10

5.25 10 5.25 10

s 0.0000 1.0000 0.6000

t 1.0000 0.0000 0.0000 m,rad

0 0 1θ

−

−

−

−

−

−

⋅ ⋅

⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

− = =

( )

3

3

6

3

3

6

3

3.94 10 4.94 10

4.23 10 3.03 10

5.25 10 5.25 10

s 0.1961 0.9806 2.9417

t 0.9806 0.1961 0.5883 m,rad

0 0 1θ

−

−

−

−

−

−

⋅ ⋅

⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

− = − =

- Sile na glavi šipa u lokalnom koordinatnom sistemu

{ } [ ]{ }Qs

Tt T L L L

Mt M

Q K 0 0 s

T 0 K K t , R K U

M 0 K K

θ

θ θ

= =

( )1

3

3

6

Q 187.25 0 0 2.75 10 0.515

T 0 15.58 17.58 5.07 10 0.079

M 0 17.58 39.69 5.25 10 0.089

MN, MNm

−

−

−

⋅

= ⋅ =

− ⋅

( )

3

3

6

2

187.25 0 0 4.23 10

0 15.58 17.58 3.94 10

0 17.58 39.69 5.25 10

Q 0.791

T 0.061 MN , MNm

M 0.069

−

−

−

⋅

⋅

− ⋅

= =

( )

3

3

6

3

187.25 0 0 4.94 10

0 15.58 17.58 3.03 10

0 17.58 39.69 5.25 10

Q 0.923

T 0.047 MN , MNm

M 0.053

−

−

−

⋅

⋅

− ⋅

= =



- Kontrola globalne ravnoteže prema jednačini (9.12) ( )cos sin xi

X Q T P 0α α= + − =∑ ∑

( ). . . . . . . . . . .0 515 0 3162 0 079 0 949 0 061 0 923 0 1961 0 047 0 981 0 2 0 0⋅ − + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − =

( )cos sin zi

Z Q T P 0α α= − − =∑ ∑

( ). . . . . . . . . . .0 515 0 9487 0 079 0 3162 0 791 0 923 0 9806 0 047 0 981 2 2 0 0⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − − =

( ) ( )cos sin cos sini i i 0i i

M M Q T z Q T x M 0α α α α = + + − − − = ∑ ∑

( )( ) ( )( )( ) ( )

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

0 089 0 069 0 053 0 515 0 9487 0 079 0 3162 3 1 0 791 0 6

0 923 0 9806 0 047 0 981 3 1 1 36 0 0

+ + − ⋅ + ⋅ − − −

− ⋅ + ⋅ − + − =

3) Rešenje: U približnoj analizi se zanemaruje tlo duž omotača šipa i uklještenje šipova u naglavnicu. Pretpostavlja se da su šipovi zglobno vezani za naglavnicu i zglobno oslonjeni u bazi. Na taj način se šipovi svode na proste štapove koji prenose samo aksijalne sile. Kontrola statičke određenosti sistema za n=6 stepeni slobode (n=broj tačaka), za broj štapova ZS =5, broj krutih uglova Zk =1, broj oslonaca Zo =6 i broj uklještenja Zu=0, glasi:

s o ukZ Z Z Z 2n 5 1 6 0 2n 12 2 6+ + + = ⇒ + + + = = ⋅

Pošto je sistem statički određen, sile u šipovima se mogu odrediti iz uslova ravnoteže:

( )i i x 2 31Q cos P Q 0.3162 Q 0 Q 0.1961 0.20α = ⇒ − + ⋅ + =∑

i i z 1 2 3Q sin P Q 0.9487 Q 1 Q 0.9806 2.20α = ⇒ + + =∑

( ) ( )i i i 0 1 2 3Q sin x M Q 0.9487 3.1 Q 0.6 Q 0.9806 3.0 1.36α = ⇒ − + + ⋅ = − −∑

( )1 1

2 2

3 3

0.3162 0 0.1961 Q 0.20 Q 8.49 0.515

0.9489 1 0.9806 Q 2.20 Q 22.61 0.791 MN

2.9416 0.6 2.9418 Q 1.36 Q 12.64 0.923

− − = ⇒ = ≠ − −



Ako se sile dobijene prema uprošćenom postupku, uporede sa silama dobijenim na osnovu Winkler-ove metode, mogu se konstatovati neprihvatljivo velike razlike, koje u konkretnom slučaju ne opravdavaju primenu uprošćene metode. Na slici 9.11a je prikazana dispozicija šipova za uprošćen postupak proračuna. Zadato opterećenje vertikalnom i horizontalnom silo i spregom sila, može se svesti na ekscentričnu i kosu silu P (prikazano isprekidanom linijom).

Pz

Px

M0

0

x

z

21 3

1 1

53

3.1 2.4

P

0.6

e =0.62x

01

23

45

MN

Q2

P

K

a) b)

Q3

Q1

Slika 9.11 a) Dispozicija šipova za uprošćenu metodu proračuna b) Poligon sila (Cullman)

Na slici 9.11b je prikazan poligon sila sa rezultatom grafičkog postupka prema Cullman-u. Zbog ograničene veličine crteža, postupak nije prikazan na planu položaja sila (Slika 9.11a). U udžbenicima iz fundiranja, može se naći velik broj praktičnih primera fundiranja na manjoj grupi šipova povezanih krutom naglavnicom (vidi Osnovi Fundiranja), gde se sile određuju na osnovu uprošćene metode. Kada omotač šipa prolazi kroz slabo nosive slojeve, odnosno kada je nosivosti omotača šipa zanemarljiva, šipovi su u statičkom smislu stojeći jer prenose opterećenje isključivo bazom. U tom slučaju, sile u šipovima se mogu relativno tačno odrediti na osnovu uprošćene metode.

080-106 sipovi u winklerovoj sredini

Documents