09 phys i stiliaris · 2017-01-08 · ΦΥΣΙΚΗΙ alonso finn giancoli halliday‐resnick walker...
TRANSCRIPT
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΓωνιακή Μετατόπιση & ΤαχύτηταΠεριστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή ΑδράνειαςΥπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών ΣωμάτωνΘεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steiner)
ΚΥΛΙΣΗΚΥΛΙΣΗ, , ΡΟΠΗΡΟΠΗ καικαι ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗΜεταφορά και ΠεριστροφήΔυνάμεις της ΚύλισηςΣτροφορμή Συστήματος ΣωματιδίωνΔεύτερος Νόμος του Newton σε Γωνιακή Μορφή
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ALONSOALONSOFINNFINN
GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER
YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN
ΠεριστροφήΠεριστροφήΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος
10.1, 10.2, 10.1, 10.2, 10.310.3
10.110.1 έωςέως 10.1010.10 10.1 10.1 έωςέως 10.1010.10 9.1 9.1 έωςέως 9.69.6
ΚύλισηΚύλιση, , ΡοπήΡοπή καικαιΣτροφορμήΣτροφορμή
10.4, 10.510.4, 10.5 11.1 11.1 έωςέως 11.611.6 11.1 11.1 έωςέως 11.1111.11 10.1 10.1 έωςέως 10.610.6
ΑρμονικήΑρμονικήΤαλάντωσηΤαλάντωσηΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος
12.1 12.1 έωςέως12.612.6
14.1 14.1 έωςέως 14.614.6 15.1 15.1 έωςέως 15.715.7 13.1 13.1 έωςέως 13.613.6
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 2
ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
RR
vr
θθ
Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμαδιάνυσμα θέσηςθέσης rr . Όπωςείναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά:
vrωr
RR
rr
αα
rvrrr
×= ω
dtdθRωRω(rsina)sinαrωv ====
rrr
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 3
ΓΩΝΙΑΚΗΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΤΑΧΥΤΗΤΑ
raardtdω
dtdv
Γt =⇒=
ΣυσχετίζονταςΣυσχετίζοντας ΓραμμικέςΓραμμικές καικαι ΓωνιακέςΓωνιακές ΜεταβλητέςΜεταβλητές
ωrvrdtdθ
dtdsθrs =⇒=⇒=
rrva 22
r ω==
Η γραμμική επιτάχυνση ενός σημείου σε περιστρεφόμενοστερεό έχει δύο συνιστώσες:•Ακτινική συνιστώσα aarr•Εφαπτομενική συνιστώσα aatt
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 4
ΚΙΝΗΤΙΚΗΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣΓιαΓια έναένα σύνολοσύνολο σωματιδίωνσωματιδίων πουπου περιστρέφονταιπεριστρέφονται μεμε τηντην ίδιαίδια
γωνιακήγωνιακή ταχύτηταταχύτητα ωω ::
∑=+++=i
2ii
233
222
211 vm
21...vm
21vm
21vm
21K
I:I: ΡοπήΡοπή ΑδράνειαςΑδράνειας ΣώματοςΣώματος((συνεχήςσυνεχής κατανομήκατανομή μάζαςμάζας))
( ) 2
i
2ii
i
2ii
i
2ii ωrm
21ωrm
21vm
21K ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=== ∑∑∑
∑==i
2ii
2 rmΙόπουIω21K
∫= dmrΙ 2
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 5
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣ
Ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα πουδιέρχεται από το κέντροκέντρο βάρουςβάρους
LL
xxdxdx
∫∫ ∫+
−
+
−
===L/2
L/2
2
M
L/2
L/2
22 dxxρSρSdxxdmxI
( ) 22333L/2
L/2
3
ML121LρSL
121
12LρS
24LρS
24LρS
3xρSI ===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
+
−
2ML121I =
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 6
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣ
Ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα πουδιέρχεται από τη μίαμία άκρηάκρη τηςτης
LL
xxdxdx
∫∫ ∫ ===L
0
2
M
L
0
22 dxxρSρSdxxdmxI
( ) 22333L
0
3
ML31LρSL
31
3LρS
240ρS
3LρS
3xρSI ===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
+
2ML31I =
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 7
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣ
Ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα που διέρχεταιαπό το κέντρο του
∫∫ ∫ ===R
0
3
M
R
0
22 drrρh2πρh2πrdrrdmrI
( ) 2224R
0
4
MR21RhρπR
21ρhRπ
21
4rρh2πI ====
2MR21I =
rrdrdr
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 8
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣ
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 9
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣΘεώρημαΘεώρημα ΠαραλλήλωνΠαραλλήλων ΑξόνωνΑξόνων ((Steiner)Steiner)
ΕάνΕάν ηη ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας στερεούστερεού σώματοςσώματοςμάζαςμάζας M M ωςως προςπρος άξοναάξονα διερχόμενοδιερχόμενο απόαπότοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας τουτου ((σημείοσημείο ΟΟ) ) είναιείναι IICMCM, ,
τότετότε ηη ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας ΙΙ ωςως προςπροςπαράλληλοπαράλληλο άξοναάξονα μετατοπισμένομετατοπισμένο κατάκατά hh
((σημείοσημείο P) P) δίνεταιδίνεται απόαπό τητη σχέσησχέση::
2CM MhIΙ +=
M: M: ΜάζαΜάζα στερεούστερεού σώματοςσώματοςh: h: απόστασηαπόσταση τουτου άξοναάξονα P P απόαπό τοντον άξοναάξονα τουτου κέντρουκέντρου μάζαςμάζας ΟΟ..
ΑπόδειξηΑπόδειξη ΘεωρήματοςΘεωρήματος SteinerSteinerΘεωρούμεΘεωρούμε σύστημασύστημα συντεταγμένωνσυντεταγμένων μεμε αρχήαρχή τοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας τουτουσώματοςσώματος. . ΤοΤο σημείοσημείο PP έχειέχει στοστο σύστημασύστημα αυτόαυτό συντεταγμένεςσυντεταγμένες ((a,b)a,b)καικαι ισχύειισχύει hh2 2 == aa22+b+b22. . ΗΗ ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας τουτου σώματοςσώματος ωςως προςπροςάξοναάξονα διερχόμενοδιερχόμενο απόαπό τοτο P P υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως ακολούθωςακολούθως::
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 10
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣΘεώρημαΘεώρημα ΠαραλλήλωνΠαραλλήλων ΑξόνωνΑξόνων ((Steiner)Steiner)
[ ]∫∫ −+−== dmb)(ya)(xdmrI 222
∫ ∫ +++= dm)ba(dm)yx(I 2222
∫ ∫−− dmyb2dmxa2
∫ ∫ == 0dmy&0dmx
επειδήεπειδή τοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας τουτου σώματοςσώματος βρίσκεταιβρίσκεται στοστο σημείοσημείο (x, y)=(0, 0)(x, y)=(0, 0), , οπότεοπότε::
ΑλλάΑλλά όμωςόμως ∫ ∫ == 0dmy&0dmx
2CM MhIΙ +=
h: h: απόστασηαπόσταση τουτου άξοναάξονα P P απόαπό τοντον άξοναάξονα τουτου κέντρουκέντρου μάζαςμάζας ΟΟ, , μεμε hh22 = a= a2 2 + b+ b22..Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 11
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣΘεώρημαΘεώρημα ΠαραλλήλωνΠαραλλήλων ΑξόνωνΑξόνων ((Steiner)Steiner)
2CM MhIΙ +=
LL
xx dxdxΌπως υπολογίσθηκε προηγουμένως, η ροπήαδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς κάθετο άξονα πουδιέρχεται από τη μία άκρη της είναι:
2ML31I =
Η εφαρμογή του θεωρήματος των παραλλήλων αξόνων καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα:
222
22CM ML
31ML
41
121
2LMML
121MhII =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 12
ΔΕΥΤΕΡΟΣΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΟΥΤΟΥ NEWTONNEWTON
ΓNET aIτ =
r)rm(a)r(marFτ Γtt ===
ΓΓ22
Γ aI)a(mrrmaτ ===
Ο Δεύτερος Νόμος του Newton στηνπεριστροφή στερεού σώματος έχει τημορφή:
όπου ττ η ασκούμενη ροπή δυνάμεωνστο στερεό σώμα και aaΓΓ η γωνιακήτου επιτάχυνση.
Απόδειξη
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 13
ΔΕΥΤΕΡΟΣΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΟΥΤΟΥ NEWTONNEWTON
ΓNET aIτ =
mamg-T =
Ma21T −=
2mM2mg‐a+
=
Υπολογισμός επιτάχυνσης στοσύστημα βάρους‐τροχαλίας
ΓΓ2 MRa
21TaMR
21RT- −=⇒=
Αλλά οπότε
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 14
ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ‐‐ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 15
ΚΥΛΙΣΗΚΥΛΙΣΗ: : ΜΕΤΑΦΟΡΑΜΕΤΑΦΟΡΑ & & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 16
ΚΥΛΙΣΗΚΥΛΙΣΗ: : ΜΕΤΑΦΟΡΑΜΕΤΑΦΟΡΑ & & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ
ΦωτογραφίαΦωτογραφία τροχούτροχού ποδηλάτουποδηλάτου πουπου κυλάεικυλάει
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 17
ΚΙΝΗΤΙΚΗΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΥΛΙΣΗΣΚΥΛΙΣΗΣ
2PωI
21K =
ΚινητικήΚινητική ενέργειαενέργεια κυλιόμενουκυλιόμενου τροχούτροχού::
2CMP MRII +=
22CM )ωMR(I
21K +=
2CM
2CM Mv
21ωI
21K +=ΠεριστροφικήΠεριστροφική καικαι μεταφορικήμεταφορική
κινητικήκινητική ενέργειαενέργεια
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 18
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗ
vmrL rrr×=
⊥⊥⊥ ==== prLmvrprLsinφmvrL
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 19
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗ
τdtLd rr
=
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×=×=
dtvdrmv
dtrdmvmr
dtd
dtLd r
rrr
rrr
Απόδειξη
( ) ( ) ( ) Framr0armvvmdtLd rrrrrrrrr
×=×+=×+×=
τdtLd rr
=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 20
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗ
constL0τdtLd
=⇒==r
r
ΑνΑν ηη συνολικήσυνολική εξωτερικήεξωτερική ροπήροπή πουπου ασκείταιασκείται σεσε σύστημασύστημα είναιείναι μηδένμηδέν, , τότετότε ηηστροφορμήστροφορμή τουτου συστήματοςσυστήματος παραμένειπαραμένει σταθερήσταθερή..
ΑρχήΑρχή ΔιατήρησηςΔιατήρησης ΣτροφορμήςΣτροφορμής
ffιi ωIωI =
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 21
ΑντιστοίχησηΑντιστοίχηση ΔυναμικώνΔυναμικών ΜεγεθώνΜεγεθών ΜεταφορικήςΜεταφορικής καικαιΠεριστροφικήςΠεριστροφικής ΚίνησηςΚίνησης
ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ‐‐ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
ΔΥΝΑΜΗΔΥΝΑΜΗ FF ΡΟΠΗΡΟΠΗ ττΟΡΜΗΟΡΜΗ pp ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗ LL
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 22
ΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΥλικούΥλικού ΣημείουΣημείου
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
Η απομάκρυνση x(t) υλικού σημείου που εκτελεί αρμονική ταλάντωσηικανοποιεί την διαφορική εξίσωση
0xωdt
xd 22
2
=+
ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΗ ασκούμενη δύναμη ελατηρίου σε σημειακή μάζα m δίνεται από τη σχέση:
0xmk
dtxd0kx
dtxdm-kxF 2
2
2
2
=+⇒=+⇒=
όπου:
mkω
mkω2 =⇒= και
km2π
ω2πT ==
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 23
ΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΥλικούΥλικού ΣημείουΣημείου
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
Η συνάρτηση x(t)= Ax(t)= A sin(sin(ωωt) t) αποτελεί μια απλή λύση της διαφορικής αυτήςεξίσωσης:
0xωdt
xd 22
2
=+
ΑπόδειξηΑπόδειξη
( )[ ] ( )[ ] =+=+ ωtAsinωωtAsindtdxω
dtxd 2
2
22
2
2
( )[ ] ( )[ ] =+= ωtAsinωωtcosωAdtd 2
( ) ( ) 0ωtsinAωωtsinAω 22 =+−=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 24
ΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ
Κατ’ αντιστοιχία, στη στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος, ότανικανοποιείται η σχέση μεταξύ της ροπής τ και της γωνιακής απομάκρυνσηςθ(t):
kθdtθdΙkθIa-kθτ 2
2
Γ −=⇔−=⇔=
0θIk
dtθd2
2
=+
τότε το στερεό σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο:
Ikω
Ikω2 =⇒= και
kI2π
ω2πT ==
ΗΗ σταθεράσταθερά kk ταυτίζεταιταυτίζεται στηνστην περίπτωσηπερίπτωση αυτήαυτή μεμε τοτο άθροισμαάθροισμα όλωνόλων τωντων ασκούμενωνασκούμενων στοστοστερεόστερεό σώμασώμα ροπώνροπών ττ00 μεμε μοχλοβραχίοναμοχλοβραχίονα τηντην απόστασήαπόστασή τωντων σημείωνσημείων εφαρμογήςεφαρμογής τωντωνδυνάμεωνδυνάμεων απόαπό τοτο κέντροκέντρο περιστροφήςπεριστροφής..
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 25
ΠαράδειγμαΠαράδειγμα
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ
-mghθτsinθ-mgh τ 00 ≈⇒=
Αν το στερεό σώμα του σχήματος εκτραπεί κατά μικρήγωνία θθ, τότε η ασκούμενη ροπή του βάρους FFgg ωςπρος τον άξονα περιστροφής ΟΟ είναι:
Imghω
Imghω2 =⇒= και mgh
I2πω2πT ==
ΗΗ ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας II αναφέρεταιαναφέρεται στονστον άξοναάξονα περιστροφήςπεριστροφής ΟΟ ενώενώ τοτο ττ00=mgh =mgh είναιείναι ηη μοναδικήμοναδικήασκούμενηασκούμενη ροπήροπή τουτου βάρουςβάρους μεμε μοχλοβραχίοναμοχλοβραχίονα τοτο hh, , δηλαδήδηλαδή τηντην απόστασηαπόσταση τουτου κέντρουκέντρουμάζαςμάζας (C) (C) απόαπό τοντον άξοναάξονα περιστροφήςπεριστροφής ((ΟΟ).).
και η εξίσωση κίνησής του δίνεται από τη σχέση:
Άρα το σώμα εκτελεί αρμονικήαρμονική ταλάντωσηταλάντωση με γωνιακή ταχύτητα ω και περίοδο T:
0θI
mghdtθdmghθ
dtθdΙmghθIa 2
2
2
2
Γ =+⇔−=⇔−=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 26