09-transformationen transformationen. 09-transformationen2 als transformationen werden affine...
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09-Transformationen
Transformationen
09-Transformationen 2
Als Transformationen werden affine Transformationen im Rn betrachtet.Alle derartigen Transformationen lassen sich darstellen als:y = A x + b wobei A die quadratische Transformationsmatrix und b der Verschiebungsvektor ist.
Wenn b=0 ist, so handelt es sich um eine lineare Transformation.Die Anwendung zweier affiner Transformationen ergibt:y= A2 (A1 x + b1) + b2 = A2A1 x + A2b1 + b2 = A x + b mitA = A2A1 und b = A2b1 + b2
Für lineare Transformationen entfallen die Verschiebungsanteile.Die linearen Anteile ergeben sich immer durch Multiplikation der Transformationmatrizen.
Die mehrfache Anwendung von linearen Transformationen wird durch Matrixmultiplikationen relisiert.Die mehrfache Anwendung von Verschiebungen führt auf kompliziertere Matrix-Vektor-Operationen.
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Homogene KoordinatenBeispiel R1
1
w
R10 1x
0.5
R10 10.5
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Jeder Punkt x im Rn wir identifiziert mit der Geraden, die durch die Punkte (tx,t) im Rn+1 gebildet wird. Jeder Punkt (x,w) mit x∈Rn und w≠0 repräsentiert genau einen Punkt aus Rn nämlich x/w.
Affine Transformationen stellen sich in affinen Koordinaten folgendermaßen dar:
11011
xbAbAxy
Alle affinen Transformationen im Rn lassen sich durch Übergang zu den homogenen Koordinaten als lineare Transformationen darstellen. Mehrfachanwendungen von affinen Transformationen lassen sich als Matrixmultiplikationen darstellen.
Kosten: Es muss mit größeren Matrizen gerechnet werden.Die letzte Zeile der Matrix ist trivial und wird deshalb nicht gespeichert.
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Elementare TransformationenAlle affinen Transformationen lassen sich durch einige wenige elementare Transformationen durch Kombination erzeugen.
Jede affine Transformation ist die Kombination aus einer linearen Transformation und einer Verschiebung:
110
0
101101
xAbIxbAy
10
bIAT
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DrehungIm R2 gibt es genau eine Drehung um den Koordinatenursprung mit dem Winkel α:
100
0cossin
0sincos
RA
Im R3 gibt es drei Drehungen um die Achsen mit dem Winkel α:
1000
0cossin0
0sincos0
0001
R
xA
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
RyA
1000
0100
00cossin
00sincos
RzA
Drehungen erhalten sowohl die Winkel, die Längen als auch die Abstände zum Koordinatenursprung.
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SkalierungenSkalierungen sind Multiplikationen der einzelnen Koordinaten mit konstanten Faktoren.
Es gibt im Rn genau n Skalierungen.
100
010
00xSx
s
A
100
00
001
ySy sA
1000
0100
0010
000x
Sx
s
A
1000
0100
000
0001
ySy
sA
1000
000
0010
0001
z
Sz sA
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ScherungenIm zweidimensionalen Fall ergeben Rotation und Skalierungen genau drei Transformationen. Die lineare Transformationsmatrix enthält aber vier Parameter. Man benötigt also noch eine elementare Transformation, um alle Transformationen beschreiben zu können. Dieses kann z.B. eine Scherung sein.
Im dreidimensionalen Fall ergeben drei Rotationen und drei Skalierungen sechs Transformationen. Es fehlen also noch drei Scherungen um alle Parameter festzulegen.
Scherungen verändern die Längen und Winkel. Parallelität bleibt jedoch erhalten.
100
010
01 xyXxy
s
A
100
01
001
yxXyx sA
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Die Hintereinanderausführung von Transformationen ist nicht kommutativ!Die Reihenfolge der Transformationen ist wichtig!Beispiel Rotation um einen gegebenen Punkt (x0,y0) um einen Winkel α.
1
100
10
01
100
0cossin
0sincos
100
10
01
1 0
0
0
0 xy
x
y
xy
1
100
cossincossin
sincossincos
1 000
000 xyxy
yxxy
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0
Die Klasse AffineTransformDie Klasse AffineTransform dient der Beschreibung affiner Transformationen in java.
Die Klasse ist in AWT enthalten und wird hauptsächlich in Graphics2D verwendet.
java.awt.geom.AffineTransformDie Klasse ermöglicht:
•Die Erzeugung von affinen Transformationen
•Die Verkettung von affinen Transformationen
•Die Invertierung von affinen Transformationen
•Die Anwendung von affinen Transformationen auf Shape-Objekte
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1
KonstruktorenAffineTransform()erzeugt die Identische Abbildung
AffineTransform(AffineTransform Tx)erzeugt eine Kopie der affinen Transformation Tx
AffineTransform(double[] flatmatrix)erzeugt aus dem Vektor flatmatrix eine affine Transformation mit der zugehörigen Matrix.
•flatmatrix.length<6 lineare Transformation mit der Matrix
•flatmatrix.length>=6 affine Transformation mit der Matrix
AffineTransform(double m00, double m10, double m01, double m11, double m02, double m12)erzeugt eine affine Transformation mit der Matrix
Die letzten beiden gibt es auch mit float-Variablen
100
031
020
flatmatrixflatmatrix
flatmatrixflatmatrix
100
531
420
flatmatrixflatmatrixflatmatrix
flatmatrixflatmatrixflatmatrix
100
121110
020100
mmm
mmm
100
010
001
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Fabrikmethodenpublic static AffineTransform getRotateInstance (double theta)erzeugt eine Rotations-Transformation
public static AffineTransform getRotateInstance (double theta, double x, double y) erzeugt eine Rotations-Transformation um den Punkt (x,y)
public static AffineTransform getTranslateInstance (double tx, double ty)erzeugt eine Translations-Transformation mit der Verschiebung (tx,ty)
public static AffineTransform getScaleInstance (double sx, double sy)erzeugt eine Skalierungs-Transformation mit den Faktoren (sx,sy)
100
0cossin
0sincos
thetatheta
thetatheta
100
cossincossin
sincossincos
thetaythetaxythetatheta
thetaythetaxxthetatheta
100
10
01
ty
tx
100
00
00
sy
sx
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3
public static AffineTransform getShearInstance (double shx, double shy) erzeugt eine Scherungs-Transformation mit den Faktoren (shx,shy)
100
01
01
shy
shx
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Abfragemethodenpublic int getType()bestimmt den Typ der Transformation:TYPE_IDENTITY : Identische TransformationTYPE_GENERAL_TRANSFORM : allgemeine TransformationTYPE_TRANSLATION : enthält Translationsanteil (m02≠0 oder m12≠0)TYPE_UNIFORM_SCALE : gleichmäßig Skalierung (m00==m11≠1)TYPE_GENERAL_SCALE : ungleichmäßige Skalierung (m00≠1, m11≠1, m00≠m11)TYPE_QUADRANT_ROTATION : Rotation um Vielfache von 90°TYPE_GENERAL_ROTATION : allgemeine Rotationmehrfache Typen werden durch oder - Operation gebildet
public double getDeterminant()berechnet die Determinante der Transformationsmatrix= m00*m11-m01*m10
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public void getMatrix(double[] flatmatrix)bestimmt die Transformationsmatrix:flatmatrix.length<6 flatmatrix={m00, m10, m01, m11}flatmatrix.length>=6 flatmatrix={m00, m10, m01, m11, m02, m12}
public double getScaleX()liefert m00
public double getScaleY()liefert m11
public double getShareX()liefert m01
public double getShareY()liefert m10
public double getTranslateX()liefert m02
public double getTranslateY()liefert m12
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Verkettung von Transformationenpublic void concatenate(AffineTransform Tx)verkettet die aktuelle Transformation mit Tx[this] = [this] * [Tx]
public void preConcatenate(AffineTransform Tx)verkettet die aktuelle Transformation mit Tx[this] = [Tx] * [this]
public void translate(double tx, double ty)entspricht concatenate(AffineTransform.getTranslateInstance(tx,ty))
public void rotate(double theta)entspricht concatenate(AffineTransform.getRotateInstance(theta))
public void rotate(double theta, double x, double y)entspricht concatenate(AffineTransform.getRotateInstance (theta, x, y))
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public void scale(double sx, double sy)entspricht concatenate(AffineTransform.getScaleInstance (sx, sy))
public void share(double shx, double shy)entspricht concatenate(AffineTransform.getShareInstance (shx, shy))
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Überschreiben der Transformationpublic void setToIdentity()ersetzt die Transformation durch die Identität
public void setToTranslation(double tx, double ty)ersetzt die Transformation durch die Translation AffineTransform.getTranslateInstance(tx,ty)
public void setToRotation(double theta)ersetzt die Transformation durch die Rotation AffineTransform.getRotateInstance(theta)
public void setToRotation(double theta, double x, double y)ersetzt die Transformation durch die Rotation AffineTransform.getRotateInstance(theta, x, y)
public void setToScale(double sx, double sy)ersetzt die Transformation durch die Rotation AffineTransform.getScaleInstance(sx, sy)
public void setToShear(double shx, double shy) ersetzt die Transformation durch die Rotation AffineTransform.getScaleInstance(sx, sy)
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public AffineTransform createInverse() throws NoninvertibleTransformExceptionberechnet die inverse Transformation
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0
Transformation von Objektenpublic Point2D transform(Point2D ptSrc, Point2D ptDst)Transformiert den Punkt ptSrc mit der aktuellen Transformation. Das Ergebnis wird auf das Objekt ptDst gespeichert und als Wert der Methode zurückgegeben. Ist ptDst==null wird ein neues Objekt erzeugt.
public void transform(Point2D[] ptSrc, int srcOff, Point2D[] ptDst, int dstOff, int numPts)Transformiert einen Vektor ptSrc von Punkten und speichert die Resultate im Vektor ptDst.
public void transform(float[] srcPts, int srcOff, float[] dstPts, int dstOff, int numPts)Die zu transformierenden Punkte werden in dem Vektor srcPtr = {x0, y0, x1, y0, …} gespeichert. Analog die Resultate in dstPts.
Analoge Methoden für double[]double[], float[]double[] und double[]float[].
09-Transformationen 2
1
public Point2D inverseTransform(Point2D ptSrc, Point2D ptDst) throws NoninvertibleTransformExceptionberechnet den invers transformierten Punkt
public void inverseTransform(double[] srcPts, int srcOff, double[] dstPts, int dstOff, int numPts) throws NoninvertibleTransformExceptionberechnet die invers transformierten Punkte
public Point2D deltaTransform(Point2D ptSrc, Point2D ptDst)berechnet die Transformation des Punktes ptSrc, wobei die Translationskomponente nicht berücksichtigt wird.
public void deltaTransform(double[] srcPts, int srcOff, double[] dstPts, int dstOff, int numPts)berechnet die Transformation eines Vektors von Punkten ohne Berücksichtigung der Translationskomponente
09-Transformationen 2
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public Shape createTransformedShape(Shape pSrc)Berechnet ein Shape-Objekt als Transformation des Shape-Objektes pSrc. Shape-Objekte sind allgemeine 2D-Objekte in Graphics2D.