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MATEMÁTICA IAULA 19:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) – PARTE III
EXERCÍCIOS PROPOSTOSAnual
VOLUME 4
OSG.: 095892/15
01. Em 30 dias, Riquinho receberá (1 + 2 + 3 + … + 30) reais = 1 30 30
2
+( ) ⋅= 465 reais, ou seja, 465 – 300 = 165 reais a mais.
Resposta: D
02.
33
10
33
33
33
10
Sendo an o número de garrafas da fi la n, temos a P.A. (1, 2, 3, …, a
n) de razão r = 1, na qual se tem:
i) an = a
1 + (n – 1) · r → a
n = 1 + (n – 1) · 1 → a
n = n.
ii) Total de garrafas = 1 + 2 + 3 + ... + n = 210
Daí, 1
2210 420 0
1 41
22+( ) ⋅
= → + − = → =− ±n n
n n n
Assim, n = 20 (são 20 fi las) ou n = – 21 (não convém)
Logo, a altura h da placa é:h = 10 cm + 20 · (33 cm) + 10 cmh = 680 cmh = 6,80 m
Resposta: D
03. Sendo a3 = 500; a
4 = 1000; a
5 = 1500; temos uma PA de razão 500, tal que:
I) a13
= a3 + (13 – 3) · r ⇒ a
13 = 500 + 10·500 = 5500
II) Queremos a soma dos 13 – 3 + 1 = 11 termos:
a3 + a
4 + ... + a
13 =
a a3 13
211
+
⋅
= 500 5500
211
+
⋅
= 3000·11 = 33000
Resposta: B
04. A razão da progressão aritmética é R = h2 – h
1 = 0,05 metro. Daí, temos:
i) h50
= h1 + 49 · R → h
50 = 0,70 + 49 · (0,05) → h
50 = 0,70 + 2,45 = 3,15
ii) Altura do reservatório = H = h1 + h
2 + h
3 + … + h
50
Hh h
=+ ⋅( )1 50 50
2
H =
+ ⋅=
( , , ),
0 70 3 15 50
296 25
Resposta: B
OSG.: 095892/15
Resolução – Matemática I
05. Seja n o número de meses decorridos até que os dois irmãos venham a ter o mesmo capital. Temos que:I) um deles guardou: 50 · n
II) o outro guardou: 5 + 10 + 15 + ... + an =
5
2
+
⋅a
nn
Assim, devemos ter:
505
2n
ann=
+
⋅ ⇒ 505
2=
+ an , pois n ≠ 0.
Assim, an = 95 ⇒ a
1 + (n – 1) · r = 95 ⇒ 5 + (n – 1) · 5 = 95
⇒ n – 1 = 90 / 5 ⇒ n – 1 = 18 ⇒ n =19 meses
Portanto, o tempo procurado é de um ano e sete meses, o que equivale a pouco mais de um ano e meio.
Resposta: A
06. Temos:i) (Nº de voltas de papel) · (espessura do papel) = 4 cm (Nº de voltas de papel) · (0,2 mm) = 40 mm
Nº de voltas de papel = 40
0 2200
mm
mm,=
ii) Os raios dessas 200 voltas (R1, R
2, ..., R
200) crescem, de dentro para fora, segundo uma progressão aritmética de razão
r = 0,2 mm e R1 = 4 cm = 40 mm.
iii) R200
= R1 + 199 · r
R200
= 40 + 199 · (0,2) = 79,8 mm
iv) A maior dimensão do retângulo é dada pela soma dos comprimentos das 200 circunferências, ou seja: Maior comprimento = 2πR
1 + 2πR
2 + ... + 2πR
200
= 2π · ( R1 + R
2 + ... + R
200)
= 2 · 3 · ( , )40 79 8 200
2
+ ⋅
= 6 · (119,8) · 100= 71880 mm = 7188,0 cm = 71,88 m
Resposta: D
07. i) Observe que o número de comprimidos retirados foi:
1 + 2 + 3 + … + 15 = ( )1 15 15
2120
+ ⋅= (soma dos termos da PA)
ii) Se todos os comprimidos tivessem massa igual a 20 mg, a massa total retirada dos frascos seria: Suposta massa = 120 · (20 mg) = 2400 mg
iii) A diferença entre a massa real e a suposta massa é: 2540 mg – 2400 mg = 140 mg
iv) A diferença entre as massas dos comprimidos é (30 – 20) mg. Daí, sendo n o número do frasco com rótulo errado, devemos ter: n · (30 – 20) = 140 Logo, n = 14.
Resposta: D
08. Os primeiros elementos das respectivas linhas formam a seguinte sequência:
(1, 4, 13, 28, ..., an, ...), em que a
n é o primeiro elemento da linha de número n.
Nessa sequência, as diferenças entre dois termos consecutivos formam uma progressão aritmética de razão 6. Veja:
a a d
a a d
a a d
2 1 1
3 2 2
4 3 3
3
9
15
–
–
–
...............
= =
= =
= =
..........
–a a d10 9 9=
Note:d
9 = d
1 + 8 · r
d9 = 3 + 8 · 6 = 51
OSG.: 095892/15
Resolução – Matemática I
Somando membro a membro essas 9 igualdades, obtemos:
a ad d
10 11 9
29− =
+
⋅ ⇒ a10 13 51
29− =
+
⋅
⇒ a10 27 9 1 244= ⋅ + =
Resposta: D
09. Sendo A e B os extremos de uma progressão aritmética de razão R, que fi ca em uma das fi leiras, o segundo e o penúltimo termos
dessa fi leira são (A + R) e (B - R), respectivamente. Assim, os extremos da fi leira imediatamente superior serão A A R A R+ +
=+( )
2
2
2
e ( )B R B B R− +
=−
2
2
2. Isso mostra que as somas dos extremos das respectivas fi leiras são todas iguais. Veja:
2
2
2
2
A R B RA B
+=
−= + .
No caso, a soma dos extremos em qualquer das fi leiras é igual a 10 + 490 = 500.Daí, temos:
Soma da 100ª fi leira (base): S100
= ( )10 490 100
2
+ ⋅ → S
100 = (250) · 100
Soma da 99ª fi leira: S99
= ( )10 490 99
2
+ ⋅ → S
99 = (250) · 99
Soma da 98ª fi leira: S98
= ( )10 490 98
2
+ ⋅ → S
98 = (250) · 98
.........................................................................................
Soma da 1ª fi leira (topo): S1 =
( )10 490 1
2
+ ⋅→ S
1 = (250) · 1
Assim, a soma de todos os números é:S
1 + S
2 + S
3 + ... + S
99 + S
100 = 250 · (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100)
= 250 · ( )1 100 100
2
+ ⋅ = (250) · (101) · (50) = 1 262 500
Resposta: B
10. Começando e terminando na fonte, o jardineiro faz ao todo 60:3 = 20 viagens. Veja.
Viagem 20
R1
Fonte
Viagem 1
Viagem 2
R2 R3R4 R5 R6 R60
15 1 1 1 1 1
. . .
Distâncias percorridas, em metros, nas respectivas viagens (ida e volta):V
1 = (15 + 2 · 1) · 2 (até a roseira 3) → V
1 = 34
V2 = (15 + 5 · 1) · 2 (até a roseira 6) → V
2 = 40
V3 = (15 + 8 · 1) · 2 (até a roseira 9) → V
3 = 46
........................................................................V
20 = (15 + 59 · 1) · 2 (até a roseira 60) → V
60 = 148
Assim, ao todo, ele percorreu:
Distância total = 34 148
220 1820
+
⋅ = metros
Resposta: B
ROBERT – 18/02/16 – Rev.: Amélia09589215_pro_Aula19 – Progressão Aritmetica (P.A.) – Parte III