1 - 1 los nÚmeros reales · entre los números reales están definidas las mismas operaciones que...
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE COLIMA
Curso de Matemáticas
Elaboró:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
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INTRODUCCIÓN
Cómo aprender álgebra paso a paso:
El algebra intimida a mucha gente, pero no es más que una extensión de la aritmética básica
de uso diario. El álgebra es fácil si consideras las reglas básicas como tu bolsa de trucos de
magia. Las reglas serán automáticas si realizas muchos ejercicios de práctica. Luego
cuando encuentres un problema, conocerás los trucos, o reglas, que tendrás que aplicar para
resolver el problema algebraico.
Aprender álgebra paso a paso puede ayudarte a comprender el material en el que te basarás
para los cursos posteriores. Intentar ir demasiado rápido y revisar a la ligera los conceptos
elementales puede afectar tu comprensión de problemas más complejos más adelante. Por
lo tanto, trabajar metódicamente a través del material del álgebra te ayudará a progresar de
una manera más productiva.
El álgebra es una herramienta matemática indispensable para muchas situaciones de la vida
real. Además, si planeas estudiar niveles más altos de matemáticas como trigonometría,
geometría o cálculo, debes tener bases algebraicas sólidas. Sin embargo, esto no significa
que debas estudiar durante muchos años. Estudia álgebra de la forma fácil, conociendo en
qué áreas de la materia enfocarte y utilizando técnicas de memoria modernas
Instrucciones
1. Estudia los números y sus propiedades. Si bien los estudiantes que ya están listos para el
álgebra, se encuentran familiarizados con las funciones y operaciones básicas, incluyendo
la suma, resta, multiplicación y división, tener un buen conocimiento de operaciones
numéricas más complejas y sus propiedades (tales como decimales, raíces cuadradas,
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números negativos y propiedades de los enteros) será una herramienta invaluable al estudiar
álgebra más adelante.
2. Aprende cómo manipular las ecuaciones balanceadas. Si el símbolo igual, o "=",
utilizado, está en el lado izquierdo debe ser igual a lo que está en el lado derecho. Por
ejemplo, 1 + 1 = 2. Los dos lados iguales tienen la misma cantidad, que es 2. Si restamos 1
a ambos lados de la ecuación, seguirá
3. Luego de tomar las riendas. En álgebra, las operaciones básicas todavía se realizan pero
hay letras y números en las ecuaciones. Estas letras se conocen como variables (símbolos o
letras). Muchos de los problemas que enfrentarás en el álgebra se ocupan de encontrar el
valor de una variable dada.
4. Aprende qué es una variable y cómo se utiliza. Una variable es una letra o un símbolo
que se utiliza para representar una cantidad desconocida. Por ejemplo, podrías escribir,
"¿Cuántas canicas hay en la bolsa?" o sino: "Hay canicas y en la bolsa." La letra "y"
representa la cantidad desconocida de canicas.
Ejemplo: resuelve una ecuación lineal básica de una sola variable. El objetivo es encontrar
el valor de la variable que es necesaria para hacer la ecuación equilibrada. Si comienzas con
5 - x = 3, debes restar 5 en ambos lados: -x = -2, luego multiplicar ambos lados por -1: x =
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Ejemplo, si te piden que escribas una expresión representando el total de amigos en
Facebook de Lisa y Colin, en la cual Lisa tiene 348 amigos y Colin tiene "y" amigos, la
expresión debería ser: total de amigos = 348 + y. Comienza con una sucesión de sumas y
luego trabaja para ecuaciones con restas, multiplicaciones y divisiones más complicadas y
detalladas.
Ejemplo, despeja x: 4x + 6x + 12 = 22. Primero suma los términos semejantes (los términos
que tienen la misma variable). En este problema, estos términos son 4x + 6x: 10x + 12 =
22. Luego, despeja la variable x ya que estás resolviendo ese término agregando un -12 a
cada lado de la ecuación: 10x + 12 - 12 = 22 -12. La suma y resta da: 10x = 10. Recuerda
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que multiplicar un número por su recíproco da uno como resultado. Así resuelve lo
siguiente: (1/10)10x = 10 (1/10) dando x =1.
Ejemplo: principios similares se aplican para la multiplicación en el álgebra. Multiplica
estos términos: x (3x + 5 + 6). Primero combina los elementos en los paréntesis: x (3x + 11)
y ahora multiplica cada término dentro del paréntesis por x: 3x ² + 11x. Las variables se
multiplican al igual que los números: 2 por 2 es igual a 4 o 2 ², x por x es igual a x ².
En el último paso multiplica dos términos para obtener la solución (3x ² + 11x). x y (3x +
11) se conocen como factores de la solución. El factoreo es usado en el álgebra para romper
los que parezcan problemas complejos. Rompiéndolos en pedazos más pequeños, puedes
aplicar tus habilidades matemáticas para encontrar las respuestas.
Cuando necesites buscar el factor de una ecuación como: x ² + 5x = 0, busca factores
comunes en cada término de la ecuación. Aquí x es un factor común, como (x ² = x por x) y
(5 x = 5 por x). Extrae el factor común para obtener: x (x + 5) = 0.
La ecuación indica que los dos factores aquí, cuando se multiplican, se convierten en cero.
Recuerda que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Por lo tanto, una
solución es que x = 0 : 0 (0 + 5) = 0. Hay otra solución que puedes encontrar en el factor (x
+ 5). Para hacer que el resultado sea cero, sustituir a -5 por x: -5 (-5 + 5) = -5 (0) = 0. x
puede igualar la ecuación a 0 ó 5, que son las soluciones para el problema. Esto es todo lo
necesario para iniciarse en el álgebra. Revisa tus habilidades matemáticas, práctica y
comienza a llenar la bolsa de trucos de magia.
5. Aprende factorización. Un factor es un número que se multiplica por otro número. Por
ejemplo, dado el número 36, el conocimiento de la tabla de multiplicar te dice que 9 x 4 =
36, por lo que 9 y 4 son factores de 36. Para encontrar los factores primos, deberías
encontrar los factores de 9 y 4 y continuar con el proceso hasta que sólo queden números
primos restantes.
Factorizar es extremadamente útil en álgebra para problemas que involucran exponentes,
expresiones complejas que necesitan ser simplificadas y otros temas. Comienza
aproximándote a los factores básicos, descomponiendo números como 4 en los factores 2 y
2 o 4 y 1. Lleva tu conocimiento al siguiente nivel estudiando temas más complejos de
factorización, como encontrar el máximo común divisor de dos números u obtener los
factores primos de una cifra.
Ejemplo: resuelve una ecuación más compleja: 6 + 12x = 3 - 9x Utiliza factorización: 3(2)
+ 3(4x) = 3(1) - 3(3x) o 3(2+4x) = 3(1-3x) Divide ambos lados por 3: 2 + 4x = 1 - 3x La
siguiente parte se llama agrupación de términos. Necesitas dejar todo en función de "x" en
un lado y todo lo demás en el otro. Suma 3x a ambos lados y luego resta 2 a ambos lados: 2
+ 7x = 1; 7x = -1 Por último, divide ambos lados por 7: x = -1/7
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6. Desarrolla tu comprensión de las fracciones. Si bien es posible que ya hayas trabajado
con fracciones en diversos campos, desarrolla más este conocimiento trabajando en
conjuntos de problemas que requieran que manipules fracciones sumando, restando,
multiplicando y dividiendo, así como problemas que requieran convertir de decimales a
fracciones y viceversa.
Trabaja con razones y proporciones. Los estudiantes quizá ya estén familiarizados con
razones básicas, que describen la relación de una cantidad con otra, y las proporciones, que
comparan las razones. Sin embargo es posible que necesiten practicar estos conceptos para
trabajar con ellos a un nivel más avanzado. Resolver conjuntos de problemas, practicar en
línea y hacer correcciones cuidadosas ayudarán a los estudiantes a preparase para los
problemas más complejos con los que se encontrarán muy pronto.
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OBJETIVOS.
Considerando que es muy importante apoyar a los aspirantes que ingresan a la Educación
Superior Tecnológica, se llevará a cabo el curso de apoyo en matemáticas, de acuerdo al
contenido del presente documento. De esta forma, se esperan lograr los siguientes
objetivos:
Contribuir al desarrollo en el alumno de algunas de las capacidades más relevantes que son
necesarias para el desarrollo del aprendizaje de las matemáticas, presentándoles ejercicios
que despierten su sentido perceptivo, lo hagan tomar en cuenta los detalles y ejerciten su
raciocinio.
Contribuir al desarrollo en el alumno en las matemáticas presentándole problemas y
ejercicios, con la finalidad de que al estudiar los contenidos matemáticos se encuentre en
condiciones de asimilarlos.
Contribuir al desarrollo integral en el alumno para activar el conocimiento previo de las
matemáticas.
CONTENIDO
1. Los números reales y operaciones aritméticas.
1.1. Definición y estructura de los números reales. 8
1.2. La recta real. 12
1.3. Propiedades de los números reales. 13
1.3.1. Propiedades conmutativas. 13
1.3.2. Propiedades asociativas. 14
1.3.3. Propiedades distributivas. 14
1.3.4. Propiedades de los elementos neutros e inversos. 15
1.3.5. Representación gráfica de las propiedades de los números reales,
(términos de longitud). 16
1.4. Fracciones aritméticas. 20
1.4.1. Multiplicación de fracciones. 20
1.4.2. División de fracciones. 21
1.4.3. Adición y sustracción de fracciones. 22
2.- Propiedades de los exponentes.
2.1 Exponentes enteros. 24
2.2. Exponentes racionales. 31
2.3. Raíces y radicales. 33
2.4 Operaciones y simplificación de expresiones algebraicas. 38
3. Productos notables.
3.1. Cuadrado de un binomio. 41
3.2. Binomios conjugados. 43
3.3. Binomio de término común. 44
3.4. Cubo de un binomio. 45
3.5. Producto de un binomio con un trinomio. 46
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4. Factorización.
4.1. Factor común. 48
4.2. Diferencia de cuadrados. 48
4.3. Trinomio cuadrado perfecto. 48
4.4. Factorización de un polinomio cubo perfecto. 49
4.5. Factorización de la suma de dos cubos. 49
4.6. Factorización de la diferencia de dos cubos. 50
4.7. Factorización por agrupación. 50
4.8. Resumen de factorización. 51
5.- Ecuaciones.
5.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. 53
5.2. Ecuaciones de segundo grado (ecuaciones cuadráticas). 55
5.3. Solución de Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por los métodos:
5.3.1. Suma y resta. 58
5.3.2. Regla de Cramer. 60
6.- Trigonometría 6.1 Ángulos 63
6.1.1 Medición de Ángulos 64
6.1.2 Tipos de Ángulos 65
6.1.3 Clasificación de ángulos según su suma 67
6.1.4 Ángulos formados por dos líneas paralelas y una recta transversal (secante).68
6.1.5 Teorema de Thales 71
6.2 Triángulos
6.2.1 Clasificación de los triángulos (Lados y ángulos) 73
6.2.2 Teorema de Thales en un triángulo. 73
6.2.3 Triángulo rectángulo. 74
6.2.4 Razones trigonométricas 76
6.2.5 Leyes de senos y cosenos 78
Bibliografía 79
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1. LOS NÚMEROS REALES Y OPERACIONES ARITMÉTICAS.
1.1. Definición de los Números Reales.
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los
números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales,
enteros, racionales e irracionales) son Reales. Estos números ocupan la recta numérica
punto a punto, por lo que se llama recta real.
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales
(suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
Estructura de los números reales.
Los números 1, 2, 3, etc. se denominan números naturales. Si sumamos o multiplicamos
dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por
ejemplo, 8 + 5 = 13 y 8 x 5 = 40; la suma 13 y el producto 40 son números naturales. En
cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un
número natural. Por ejemplo, 8 - 5 = 3 y 8 ÷ 2 = 4 son números naturales, pero 5 - 8 y 2 ÷ 7
Números
Fraccionarios
(F)
Números Reales
(R)
Números Enteros
(Z)
Números
Racionales
(R)
Números
Irracionales
(R)
Positivos
(+F)
Positivos
(+Z)
Cero
Negativos
(-Z)
Negativos
(-F)
Primos
(P)
Naturales
(N)
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no son números naturales. Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos
sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir.
Con objeto de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números
naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen los números naturales, los
negativos de cada número natural y el número cero (0). De este modo podemos representar
al sistema de los enteros mediante
. . ., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,. . . .
Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o
restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo, - 3 + 8
= 5, (- 3) (5) = - 15 y 3 - 8 = - 5 son enteros. Pero aún no podemos dividir en dividir un
entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que: 8 ÷ (-2) = -
4 es un entero, pero - 8 ÷ 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de los enteros, podemos
sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir.
Para superar la limitación de la división extendemos el sistema de los enteros al sistema de
los números racionales.
Número racional: es un número que se expresa en la forma de razon p/q
donde p y q son enteros y q es distinto de cero. Así 8/3, - 5/7, 0/3, y 6 = 6/1, son ejemplos
de números racionales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos
números racionales (exceptuando la división entre cero)* y el resultado siempre es un
número racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética:
adición, multiplicación, sustracción y división son posibles dentro del sistema de los
números racionales.
Cuando un número racional se expresa como un decimal, los decimales o terminan o
presentan un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo, 1/4 = 0.25 y 96/80 = 1.2
corresponden a decimales que terminan, mientras que 1/6 = 0.666. . . y 4/7 =
0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten.
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Aquí tienes más ejemplos:
Número En fracción ¿Racional?
5 5/1 Sí
1,75 7/4 Sí
.001 1/1000 Sí
0,111... 1/9 Sí
√2
(raíz cuadrada de 2) ? ¡NO!
¡Vaya! La raíz cuadrada de 2 no se puede escribir en forma de fracción! Y hay muchos más
números así, como no son racionales se llaman irracionales.
Así que un número racional es:
p / q
donde q no es cero
Ejemplos:
p q Número racional
1 1 1
1 2 0,5
55 100 0,55
1 1000 0,001
253 10 2,53
7 0 ¡No! ¡ "q" no puede ser
cero!
También existen algunos números de uso común que no son racionales (es decir, que no
pueden expresarse como la razón de dos enteros) y se le llama número irracional.
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal
sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
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Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que
tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Por ejemplo, y Pi no son números racionales. Tales números se denominan
números irracionales. La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales
se advierte en sus expresiones decimales. Cuando un número irracional se representa por
medio de decimales, los decimales continúan indefinidamente sin presentar ningún patrón
repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales
3.1415926536……No importa con cuántos decimales expresemos estos números, nunca
representarán un patrón repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de
los números racionales.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!
Aquí tienes más ejemplos:
Números En fracción ¿Racional o
irracional?
5 5/1 Racional
1,75 7/4 Racional
.001 1/1000 Racional
√2
(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!
El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El
sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos
decimales que terminan o se repiten corresponden a los números racionales, mientras que
los decimales que no se repiten corresponden a los números irracionales.
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Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un
millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son
estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional
famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin
encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales.
Ejemplos:
√3 1,7320508075688772935274463415059
(etc)
√99 9,9498743710661995473447982100121
(etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
1.2. Recta Real.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -∞ + ∞
Figura 1 Los números racionales pueden representarse por puntos sobre la recta numérica que están
situados un número apropiado de unidades fraccionarias a partir de cero. Por ejemplo, el
número 9/2 está representado por el punto que está situado cuatro unidades y un medio a la
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derecha de cero. De manera similar, todo número racional puede representarse por un punto
sobre la Recta Real.
Se deduce que todo número irracional también puede representarse por un punto sobre la
recta numérica. En consecuencia, todos los números reales, tanto los racionales como los
irracionales, pueden representarse por tales puntos. Más aún, cada punto sobre la recta
numérica corresponde a uno y solo un número real. Debido a esto, es bastante común el uso
de las palabras recta punto, recta numérica o Recta Real con el significado número real.
1.3. Propiedades de los números reales.
Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de manera
similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real.
Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamentales en el sistema de los
números reales y poseen ciertas propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades
por si mismas parecen ser más bien elementales, quizás aun obvias, pero son vitales para
entender las diversas manipulaciones algebraicas que efectuaremos después.
1.3.1. Propiedades conmutativas.
Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces,
Aditiva multiplicativa
a + b = b + a y ab = ba
Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos números son sumados
o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos). Se
conocen como propiedades conmutativas de la adición y de la multiplicación,
respectivamente.
Por ejemplo para la adición, si a = 3 y b = 7 y si a = 3 y b = -7
a + b = b + a a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3 3 + (-7) = (-7) + 3
10 = 10 -4 = -4
Para la multiplicación, ab = ba y ab = ba
(3)(7) = (7)(3) (3)(-7) = (-7)(3)
21 = 21 -21 = -21
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1.3.2. Propiedades asociativas.
Si a, b y c son tres números reales cualesquiera, entonces,
Aditiva multiplicativa
(a + b) + c = a + (b + c) y (ab) c = a (bc)
Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la
multiplicación respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o multiplicados)
a la vez, no importa cuales dos de ellos se suman o multiplican en primer término,
obtenemos la misma repuesta en ambos casos.
Por ejemplo para la adición, si a = 2, b = 3 y c = 7
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) +7 = 2 + (3 + 7)
12 = 12
Por ejemplo para la multiplicación,
(ab) c = a (bc)
(2)(3)(7) = (2)(3)(7)
42 = 42
1.3.3. Propiedades distributivas.
Si a, b y c son números reales cualesquiera, entonces
a (b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca.
Por ejemplo, si a = 2, b =3, c = 7 y si a = -2, b = 3, c = -7
a( b + c) = ab + ac a(b + c) = ab + ac
2(3 + 7) = 2(3) 2(7) -2[3 +(-7)] = -2(3) -2(-7)
2(10) = 6 + 14 -2(-4) = -6 + 14
20 = 20 8 = 8
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1.3.4. Propiedades de los elementos neutros e inversos.
Si a es un número real cualquiera, entonces
a + 0 = a y a • 1 = a.
Es decir, si cero se suma a a, el resultado aún es a y si a se multiplica por 1, el resultado de
nuevo es a. Por esta razón, los números 0 y 1 a menudo se conocen como elementos
identidad para la adición y la multiplicación, respectivamente, porque no alteran número
alguno bajo sus respectivas operaciones.
INVERSOS.
Si a es número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el
negativo de a (denotado por -a) tal que
a + (-a) = 0.
Si a no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recíproco de
a (denotado por a-1
) tal que
a • a-1
= a1-1
= a0 = 1
Obsérvese la similitud entre las dos definiciones: cuando -a se suma a a, el resultado es el
elemento identidad aditivo y cuando a se multiplica por a-1, el resultado es el elemento
identidad multiplicativo. A menudo nos referiremos a -a como el inverso aditivo de a y a
a-1
como el inverso multiplicativo de a. Algunas veces a-1
se denomina simplemente
inverso de a.
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1.3.5. Representación gráfica de las propiedades de los Números Reales, (términos de
longitud).
Axiomas de campo
1. Ley Conmutativa
Sean a y b Números Reales y si a = 4, b = 3
ADITIVA
a + b =b + a
4 + 3 = 3 + 4
7 = 7
a = 4
b = 3
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
a b a + b
b a b + a MULTIPLICATIVA
ab = ba
4(3) = 3(4)
12 = 12
a = 4
b = 3
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b b b b 4b = ab
a a a 3a = ba
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2. Ley asociativa.
Sea a, b, y c, Números Reales
a = 2, b = 3, c = 4
ADITIVA
(a + b) + c = a + (b + c)
a = 2
b = 3
c = 4
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(a + b) c (a + b) +c
a (b + c) a + (b + c) MULTIPLICATIVA
(ab) c = a (bc)
a = 2
b = 3
c = 4
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
c c c c c c 6c=(ab)c
bc bc 2bc=a(bc)
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3. Ley distributiva
Sean a, b, c, Números Reales y si a = 3, b = 2, c = 1
a (b + c) = ab + ac
a = 3
b = 2
c = 1
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(b + c) (b + c) (b + c) a (b + c) = 3(b + c)
b b b c c c ab + ac = 3b + 3c
4. Ley de los inversos
Sea a, Número Real si a = 4
ADITIVA
a + (-a) = 0
4 + (-4) = 0
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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MULTIPLICATIVA
a/a = aa-1
= a0 = 1
4(1/4) = 4(4-1
) = 40
= 1
a = 4 x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
5. Ley de los Elementos Neutros.
Sea a un Número Real y si a = 5 y b = 0
ADITIVA
a + b = a
5 + 0 = 5
a = 5 x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
a a + 0 = a
MULTIPLICATIVA
a(1) = a
5(1) = 5
1
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
3(1) = 3
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Ejercicios propuestos:
Simplifique las expresiones siguientes.
1. 5- (-3) =
2. (-3)(-7) =
3. -(2 - 6) =
4. (-5)(-3)(-2) =
5. -2(-4 -2) =
6. -7 – (-3) =
7. 8 + (-2) =
8. – (-4 – 3) =
9. 3(1 – 4) =
10. -4(3 – 6) =
1.4. Fracciones. Anteriormente vimos que la fracción a/b está definida como el producto de a y el inverso de b:
a/b =ab-1
En particular,
1/b = b-1
De la definición anterior es posible derivar todas las propiedades que se usan al manejar
fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar este tipo de operaciones.*
1.4.1. Multiplicación de fracciones.
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y
luego los dos denominadores.
a
b
c
d
ac
bd
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Ejemplo:
1.4.2. División de fracciones.
Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte y después se
multiplica por la primera. En otras palabras,
Ejemplos:
Recordando que a÷b = a/b = ab-1
(Es decir, el reciproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numerador y el
denominados de la fracción.)
Cancelación de factores comunes
El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o dividirse por un
número real cualesquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la fracción.
si
Ejemplos:
2 5 2 5 10
3 9 3 9 27
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
1
3 7 3 9 3 9 27).
5 9 5 7 5 7 35
). 1 1
a
a a b bb
b b a a
2).
2
3 6 9 12).
5 10 15 20
70 2 5 7 5 5).
84 2 2 3 7 2 3 6
a ca
b c
b
c
22
1.4.3. Adición y sustracción de fracciones.
Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simplemente sumando
sus numeradores.
Una regla similar se aplica a la sustracción:
Ejemplos:
(Nótese la cancelación de factores comunes al llegar a las respuestas finales.)
Ejemplos:
c).- Calcule 5/6 + ½
Solución: para dejar a razón de sextos tenemos
d).- Calcule 5/6 – ¾
Solución:
a b a b
c c c
a
c
b
c
a b
c
5 11 5 11 16 4).
12 12 12 12 3
5 11 5 11 1).
12 12 12 2
a
b
1 1 3 3
2 2 3 6
5 1 5 3 5 3 8 4
6 2 6 6 6 6 3
5 10
6 12
3 9
4 12
5 3 10 9 10 9 1
6 4 12 12 12 12
23
Ejercicios para resolver:
f.
g.
h.
i.
j.
Respuestas:
a. 10 b. 2/7 c. 35/3 d. 9/25 e. 10/27 f. 75/14 g. 1 h. 1/5 i. 7/24
j. 1/6
8 15.
3 4
2 3 10.5 6 7
14 6.
3 15
12 15 20.
25 7 7
1 1
2 3.1 1
4 5
a
b
c
d
e
24
2. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.
2.1. Exponentes enteros.
Si m es un entero positivo, entonces am
(léase a a la potencia m o la m-ésima potencia de a) se
define como el producto m factores a multiplicados a la vez. Por lo que
Ejemplos:
En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo,
En la expresión a
m, m se llama la potencia o exponente y a la base. Así en 2
4 (la cuarta potencia
de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35, 3 es la base y 5 el exponente. Esta
definición de am
cuando el exponente es un entero positivo es válida para todos los valores reales
de a.
Obsérvese el patrón en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en orden decreciente.
Tratemos de completar la tabla. Notemos que cada vez que el exponente disminuye en 1, el
número de la derecha se divide entre 5. Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la
división entre 5 cada reducción del exponente. De esta manera llegamos a las igualdades
siguientes:
.aaaaam
)3(243333333
)2(1622222
5
4
defactorescinco
defactorescuatro
25
TABLA 1
Este patrón en forma natural nos conduce a la definición siguiente de a
m en el caso de que el
exponente m sea cero o un número negativo.
DEFINICION Si a 0, entonces a0 = 1 y si m es un entero positivo cualquier (de modo que
–m es un entero negativo),
Por ejemplo,
?5
?5
?5
?5
?5
55
255
1255
6255
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1 2
2
0 3
3
1 4
1 4
1 15 5 5
5 25
1 15 1 5
5 125
1 1 1 15 5
5 5 5 625
0
0
0
0
4
4
5
5
4 1
31
7
5 1
3 1
1 13
3 81
1 12
2 32
26
De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denominadas las leyes de los
exponentes, las cuales se enuncian a continuación.
Esto es, cuando dos potencias de una base común se multiplican, el resultado es igual a la base
elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado vale para cualquier número real a,
excepto en el caso de que m o n sea negativo, requeriremos que a = 0.
Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto.
5 35 3 2b x x x x
De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias.
Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultado es igual a la
base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que está en el numerador y el
exponente del denominador.
)1(nmnm aaa
53232 5555)( a
2 3 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 3 21
___________________
0 2
1, 0
m
m n
n
m
n n m
x x x x x x x x x xx x x
aa a y m n
a
aa y n m
a a
27
Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al producto de los
exponentes.
Si tenemos que
Esto es, el producto de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al producto de las
m-ésima potencia de dos números.
23 3 2 6
23 3 3 3 3 6
42 ( 2( 4)) 8
3 3 3
3 3 3 3 3
4 3 4
a
o
b
( 0, ) 4m m mab a b ab si m es cualquier entero
7
7 3 4
3
3
3 2 3 2 5
2
2 2
2 1 3
1 3
2 2
1 1 2 3
55 5
5
44 4 4
4
3 3 1 13 3
3 3 3 27
3 3 1 1 1
3 3 3 3 27
______________________
( 0 ) 3n
m mn
a
b
c
o
a a a si m o n es negativo
28
Si m es cualquier entero.
Es decir es, el cociente de dos números elevado a la m-ésima potencia es igual al cociente de las
m-ésima potencias de tales números.
Simplifique las expresiones siguientes, eliminando paréntesis y exponentes negativos.
44 4 4
4 42 2 4 8 4
2 2 22 3 2 2 3 4 6
6 2 3 2 3
3 3 9
_______________________
0 0, 5
m m
m
a
b x y x y x y
c a b a b a b
a aa y b si m escualquier entero
b b
4 4
4
55
5 5
5
3 3
4 4a
x xb x y
y y
5
7
22
32 3
4 2
11 1
55 5
5 75 5 12
7 7
22 2 2 4
3 3 3 6 9 10 92 3 2 3
( )
2 3
( )
:
1
axa
x
xb
x z
c x x x
d x y
soluciones
ax a xa a x a x
x x
x x xb
x z x zx z x z
29
Nótese que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en el
denominador.
(d) Sería totalmente incorrecto si en este ejemplo escribiésemos
Por ejemplo, supóngase que x = 2 y y = 4. De donde
Es claro que esto no es igual a x + y, que es 6. En lugar de lo anterior debemos en primer lugar
simplificar la expresión que se encuentra dentro del paréntesis.
Observe que el común denominador es xy. Ahora recordemos que el recíproco de una fracción se
obtiene intercambiando el numerador del denominador.
25
2414
24424
32
32
3232
xx
xx
xxxxxxxc
!1111111 yxyxyx
3
4
4
3
4
1
2
111
111
yx
xy
xy
xy
x
xy
y
yxyx
1111
xy
xy
xy
xyyx
1
111
30
Simplifique las expresiones siguientes. No use paréntesis o exponentes negativos en la
respuesta final.
2 3 325 4 1
32 3 2 341 2 2 3
2 1 1 32 3 2 3
2 24 3
2 12 2 2
2 5
32 3 2
4 2
2
1 132 2
2 1 3 2
1. 2 2. 3 3. 2 2
4. 4 5. 6. 32
7. 8. 9.
2 310. 11. 12.
4 3
1 113. 3 14. 5 15.
3 5
216. 17. 18.
x x
xx x yz xy yz y z
x y ab xy z xyz
x pq xp
x y
xy
ab ab cxy
a b x y a b
1
12 2
2 4
22 2 3
3 1 5 1 2 4 3
14 2 2 3 5 4 1 1
1 1 11 1 1 1 1 2 2
2
2319. 20. 21. 2
3 2
22. 23.2 3 24.3 2
25. 2 3 26.2 3 27. 2
28. 2 2 29. 30.
7 3 331. 32.
14 2
c
x yxx x x
x x y
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x y xy x y a b
xx x x
1 2
3
3
2 1 3 3
3 2 3 5
21
5 1 1 1
2 2
6 1 3 233.
5 2 10 15
5 2 2 4 634. 35. 36. 37.
12 15 5 10 4 4 6
2 138. 2 39. 40.
3 2 5
y
x x x xy
x y x y x x
x x y x x y x x
x xy xy x x x x
y x x
31
Respuestas:
2.2. EXPONENTES RACIONALES
Definición de exponentes racionales
Sea m/n un número racional, donde n es un entero positivo mayor que uno. Si a es un número
real tal que existe
, entonces,
Ejemplos de la notación exponencial
.
32
33
2.3. RAICES Y RADICALES
Definición de
de un Número Real a.
Si n es un entero positivo mayor que 1 y a un número real
1. Si a = 0, entonces
= 0.
2. Si a > 0, entonces
es el número real positivo b tal que bn = a.
3. a) Si a < 0 y n es impar, entonces
es el número real negativo b tal que bn = a.
b) Si a < 0 y n es par, entonces no es número real.
Si n = 2, se escribe en lugar de
y se le llama raíz cuadrada de a.
Si n = 3, se escribe
es la raíz cúbica de a.
Si n = 4, se escribe
es la raíz cuarta de a.
Ejemplos:
, porque
, porque
, porque
, porque
, porque
, dado que
, no es número real
, no es número real
, dado que
, dado que
, dado que
, dado que
Para que sea lo más completa posible nuestra terminología, la expresión
es un radical, el
número a se llama radicando y n el índice del radical. El símbolo es el signo radical.
34
Propiedades de
(n es un entero positivo).
Propiedad Ejemplos
Ejemplos:
Las tres propiedades que se escriben a continuación son verdaderas para los enteros positivos m y
n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.
Propiedades de los radicales.
Propiedad Ejemplos
3
35
En las propiedades (1) y (2) se tienen productos y cocientes, se debe tener cuidado si se presentan
sumas o restas en el radicando.
Los siguientes dos casos contienen errores comunes.
Si
Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma con k < n y a > 0,
entonces al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el radical del
denominador porque
Este proceso se llama racionalización del denominador. Algunos casos especiales se expresan en
la siguiente tabla
Racionalización de denominadores de cocientes (a > 0)
Factor en el denominador multiplicar numerador factor resultante
y denominador por
2
3
Ejemplos de racionalización de denominadores
36
Resuelva los siguientes ejercicios:
=
=
=
Resultados:
Ejercicios:
1. Escriba las expresiones siguientes con exponentes racionales.
2. Escriba las expresiones siguientes haciendo uso de las radicales.
3. Simplificar la expresión que se da y racionalizar el denominador cuando sea posible.
37
Respuestas:
1.
Ejercicios varios (investigue su resolución a la simplificación a la forma radical más simple:
2
5
8 44
3 4 3 2
3 3
61.
3
92.
2
3. 16
4. 18 2
5. 3 9
x
x
m
n
x y
m n m n
38
2.4. Operaciones y simplificación de expresiones algebraicas:
Multiplicación de polinomios con exponentes literales.
Ejemplos:
a) Multiplicar
Solución:
b) Multiplicar
Solución:
c) Dividir.
( )( )a a a a am m m 2 1 24 2 2
a a aa a
m m m
2 1
2
4 22
a a am m m 4 3 22 4
2 4 83 2 1a a am m m
a a am m m 4 3 14 8
2 1 1 1 1( 3 )( 4 )a a a a a a ax x x x x x x
2 1 1
1 1
3
4
a a a a
a a a
x x x x
x x x
x x x xa a a a2 3 2 2 2 1 23
x x x xa a a a2 2 2 1 2 2 13
4 4 12 42 1 2 2 1 2 2x x x xa a a a
x x x xa a a a2 3 2 2 1 2 26 11 4
2 2 4 2 23x x x
39
Al ordenar el dividendo y el divisor debemos tener presente que en el dividendo falta el término
en x2, luego debemos dejar un lugar para este término.
2x3 - 4x - 2 2x + 2 -2x3 - 2x2 x2 - x - 1 - 2x2 - 4x 2x2 + 2x - 2x - 2 2x+ 2 0 d) Dividir.
3a5 +
10a
3b
2+64a
2b
3-21a
4b+32ab
4 a
3 - 4ab
2 -5a
2b
Solución:
3a5 +10a3b2+64a2b3-21a4b+32ab4 a3 - 4ab2 -5a2b -3a5 +12a3b2 15a4b 3a2 - 6ab - 8b2 +22a3b2+64a2b3 - 6a4b - 30a3b2 -24a2b3 + 6a4b -8a3b2 +40a2b3 +32ab4 +8a3b2 - 40a2b3 -32ab4 0 Ejercicios para resolver.
)52()512.(5
)1()12.(4
)32)(.(3
))(2.(2
)1)(.(1
225
224
2211
2321
21
xxxxx
aaaaa
mmmmmm
xxxxx
aaaa
aaaa
nnn
xxx
40
Resultados:
12 33 6 5 34 15 2
3
2 3 4 5
4 3 1 1
2
3 2
.....
a ax x x xm m m m ma ax x x
x x
n n n n
a a a a a
41
3. PRODUCTOS NOTABLES.
Competencia: Capacidad para interpretar, argumentar y proponer soluciones a situaciones.
Producto Notable es la multiplicación cuyos resultados se obtienen mediante una regla fija,
es decir, no es necesario efectuar la operación
3.1. Cuadrado de un binomio.
Es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto de los dos términos con sus
respectivos signos, más el cuadrado del segundo término con su signo.
Ejemplos:
Ejercicios
a) ( ¾ + 2x)2
b) ( -7 + x 2 )2
x y x xy y 2
2 22
2 2 2
2 2
2 22
2 2
2 2 2
2 2
2 22
2
) 3 2 3 2 3 2 2
9 12 4
) 3 2 ( 3 ) 3
6 9
1 3 1 1 3 3) 2
1 6 9
) 3 3 2 35 5 5
2 33
55
a a b a a b b
a ab b
b a b a a b b
a ab b
cz b z z b b
z zb b
y y yd
y y
42
c) (x + 3)2
d) (x5 + 1/2)2
e) (2x + a3)2
f) (1/2 b3 - x2a)2
Nota: El producto de elevar al cuadrado un binomio es llamado Trinomio cuadrado perfecto.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Veamos un ejemplo de cómo se puede representar geométricamente un producto
notable, para ello realizaremos los siguientes pasos:
1°: Construimos dos cuadrados, uno de a unidades de lado y otro de b unidades de lado como
tal como se nuestra en la imagen:
2°: Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b como se muestra en la imagen:
3° : Ahora unimos las cuatro figuras, tratando de formar con ellos un nuevo cuadrado.
Cada uno de los
cuadrados tendrá
como áreas: a2 y b
2
respectivamente
Cada uno de los
rectángulos tendrá
como áreas: ab
Sumando las áreas para tener el área total
se demuestra que:
a2 + ab + ab + b
2 = (a+b)
2
reduciendo tenemos:
a2 + 2ab + b
2 = (a+b)
2
BINOMIO SUMA AL
CUADRADO
43
3.2. Binomios conjugados.
BINOMIOS SON CONJUGADOS cuando su única diferencia son los signos que
unen a sus términos
El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer
número menos el cuadrado del segundo número.
Dos binomios son conjugados, si tienen las siguientes formas:
Ejemplos
a) Consideremos el producto:
Es decir
b)
Resolver los siguientes ejercicios
a) (2x2 + y)(2x2 - y) =
b) (3a + b)(3a - b) =
c) (2ab2 + y)(2ab2 - y) =
d) (7y2 + y)(7y2 - y)=
e) (3x + 2)(3x - 2)=
f) (x2 - 1)(x2 + 1)=
44
Multiplicación de binomios conjugados.
Ejercicios:
Nota: El producto de multiplicar dos binomios conjugados se llama, diferencia de cuadrados.
3.3. Binomios de término común:
Dos binomios son de término común, si son de la forma:
términos no comunes
términos comunes
Multiplicación:
Ejercicios:
2
2
2
)3 3 3
9
y y yc b b b
yb
45
3.4. Cubo de un binomio:
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado
del primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el
cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.
Ejercicios:
Resolver los siguientes ejercicios
Desarrolla los siguientes binomios al cubo.
a)
b)
46
c)
d) (x + 1/2)3= e) (x2 - 2/3 y)3=
3.5. Producto de un binomio con un trinomio. Suma de cubos:
Diferencia de cubos:
Ejercicios:
47
Ejercicios para resolver:
Respuestas:
48
4.- FACTORIZACIÓN.
Factorizar un polinomio es expresarlo por medio de sus factores primos. Se dice que un factor es
primo si solamente es divisible en forma entera por si mismo y por el número uno.
4.1. Factor común.
Si todos los términos de un polinomio tienen un factor común, entonces este puede expresarse
como el producto del factor común y un polinomio cuyos términos son los cocientes que resultan
de dividir cada término del polinomio entre el factor común.
Ejercicios:
4.2. Diferencia de cuadrados.
Se factoriza en dos factores conjugados.
Ejercicios:
4.3. Trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio, entonces dicho
trinomio puede ser expresado por el cuadrado de un binomio.
49
Ejercicios:
4.4. Factorización de un polinomio cubo perfecto.
De los productos notables se tiene que:
Entonces
Ejercicios:
4.5. Factorización de la suma de dos cubos.
De los productos notables se tiene que:
, por lo tanto, la factorización queda de la siguiente
manera:
Ejercicios:
50
4.6. Factorización de la diferencia de dos cubos.
De los productos notables, se tiene:
Ejercicios:
4.7. Factorización por agrupación:
Sea el polinomio:
ac + ad + bc + bd
Si este polinomio es factorizable, sus factores son binomios.
ac + ad + bc + bd
a ( c + d) + b (c + d)
(c + d)(a + b)
De aquí tenemos
Otra forma de agrupación:
ac + bc + ad + bd
c ( a + b) + d (a + b)
(a + b)(c + d)
Donde
2233
3322 .
yxyxyxyx
yxyxyxyx
51
Nota: En el ejemplo anterior, se vio que existen dos formas de agrupación, sin embargo los
factores son los mismos.
Ejemplo:
De aquí que
4.8. Resumen de factorización:
1. El primer paso al factorizar una expresión algebraica es extraer todos los monomios comunes.
2. Si observa entonces un factor que es la diferencia de dos cuadrados, la diferencia de dos
cubos o la suma de dos cubos, utilice los subtemas 4.2 al 4.7 para apoyarse, con el propósito de
factorizar aún más.
3. Para factorizar una expresión con cuatro términos, deberá usar el método de agrupamiento.
4. Un trinomio del tipo mx2 + px + q a menudo puede factorizarse como el producto de dos
factores del tipo (ax + b) (cx + d), como ya se esbozó.
Ejercicios para resolver:
Factorice por completo las expresiones siguientes.
2 2 2
2 4 3 2
2
3 2
3 3 2
3 3 3
3 2 3
1. 3 6 3. 4 6
5. 2 2 7. 6 16 24 4
9. 16 11. 3 108
13. 5 6 15. 5 25 70
17. 2 5 3
19. 6 7 20
21. 25 23. 9 12 4
26. 8 125 27. 27 8
29. 6 4 10 25. 27
a b xy yz
u av v au xz y x yz
x t a
x x y y y
x x
t t t
x y xy t t
t u v
x y x y xy x
18 12 15 103 2x x x
6 3 2 5 3 22x x x
3 2 6 52x x
3 2 218 12 15 10 3 2 6 5x x x x x
52
Respuestas:
53
5. ECUACIONES.
5.1 Ecuación de primer grado con una incógnita.
La ecuación lineal con una variable es de la forma ax + b = 0, donde a 0 (a y b son constantes).
El procedimiento para hallar la solución de ax + b = 0, está basado en dos propiedades de las
desigualdades, las cuales son:
a.1) Si a = b y c = d, entonces;
a + c = b + d
Esta propiedad establece que la suma de dos igualdades es otra igualdad.
b.1) Si a = b y c = d; (con c 0), entonces ac = bd
El producto de dos igualdades es otra igualdad.
La solución de ax + b = 0, se obtiene despejando a x, como se muestra enseguida:
ax + b = 0
ax + b + (– b) = 0 + (– b)
ax + 0 = – b
ax = – b
Ejercicios:
1.- Resolver 3x – 7 = 0
Solución:
3x – 7 + 7 = 0 + 7
3x = 7
2.- Resolver.
3x – 2(2x – 5) = 2(x + 3) – 8
3x – 4x + 10 = 2x + 6 – 8
– x + 10 = 2x – 2
– x + 10 = 2x – 2
54
– x – 2x = – 2 – 10
– 3x = – 12
Comprobación:
3(4) – 22(4) – 5 = 2 (4 + 3) – 8
12 – 2(8 – 5) = 2(7) – 8
12 – 2(3) = 14 – 8
12 – 6 = 14 – 8
6 = 6
3.- Resolver.
5x – (7x – 4) – 2 = 5 – (3x + 2)
Solución:
5x – 7x + 4 – 2 = 5 – 3x – 2
– 2x + 2 = – 3x + 3
– 3x + 3 +2x – 2 = 0
– x + 1 = 0
– x = – 1
x = 1
4.- Resolver.
Solución:
6(2x – 3) = 5(6)
12x
12x
12x
55
5.- Resolver.
0.2x + 0.3x (x 5) = 13
0.2x + 0.3x 1.5 = 13
0.2x + 0.3x 1.5 + 1.5 = 13 + 1.5
0.5x = 14.5
5.2. Ecuaciones cuadráticas.
Una expresión de la forma: ax2 + bx + c = 0, se denomina ecuación cuadrática de segundo grado,
esta ecuación puede tener las siguientes formas:
a) Cuando c = 0, se tiene: ax2 + bx = 0, en este caso su solución es x(ax + b) = 0; x = 0 y
ax + b = 0 al despejar x.
ax + b b = 0 – b
ax = b
Por lo tanto sus soluciones llamadas raíces de la ecuación son:
Ejercicios:
1. Encuentre los valores de x de la siguiente expresión:
3x2 + 5x = 0
Solución:
Factorizando:
x(3x + 5) = 0
x = 0 y 3x + 5 = 0
donde 3x + 5 5 = 0 – 5
3x = 5
56
a) Cuando b = 0, se tiene: ax2 + c = 0, pero c debe ser negativo así ax
2 c = 0 al despejar x
ax2 c + c = 0 + c
ax2 = c
2.- Encuentre los valores de x de la siguiente expresión:
4x2 – 16 = 0
Solución:
4x2 – 16 + 16 = 0 + 16
4x2 = 16 ;
Por lo tanto sus soluciones son:
b) Cuando a, b y c son distintos de cero, entonces se dice que la ecuación está completa, es decir
la ecuación es: ax2 + bx + c = 0, la cual se resuelve por:
1) Factorización.
2) Completando trinomio cuadrado perfecto.
3) Por fórmula general.
Ejercicios: Se va a resolver el mismo ejercicio por las tres formas.
1.- x2
+ 2x 15 = 0 por factorización.
Hay que buscar dos números que multiplicados (a)(b) y sumados a + b
Los números son:
57
(x + 5)(x – 3) = 0
2.- x2 + 2x – 15 = 0 completando trinomio cuadrado perfecto.
Para completar el trinomio cuadrado perfecto recordemos que se tiene: “Cuadrado del primer
término, más doble producto del primero por el segundo, más cuadrado del segundo término”
Para encontrar el segundo término del binomio que se busca, debemos dividir el segundo término
de la ecuación cuadrática entre 2x. En nuestro caso:
A continuación se deja del lado izquierdo los dos primeros términos de la ecuación cuadrática y
se completa el trinomio cuadrado perfecto.
x2 + 2x – 15 + 15 = 0 + 15
x2 + 2x = 15 el siguiente paso es agregar el término elevado al cuadrado.
x2
+ 2x + 1 = 15 +1
x2
+ 2x + 1 = 16
El trinomio cuadrado perfecto es x2 + 2x + 1 al factorizar se obtiene:
(x + 1)2 = 16
x + 1 4
3.- x2 + 2x – 15 = 0, por formula general
La fórmula general es:
Donde a = 1; b = 2; c = – 15, sustituyendo obtenemos
58
Por lo tanto las soluciones son:
No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución en números reales. El siguiente ejemplo es de
este tipo.
Usemos la formula general para ecuaciones de segundo grado:
Ahora sustituyendo cada uno de los valores correspondientes tenemos:
Como resultó una raíz negativa la ecuación NO se puede resolver en números reales.
5.3. Sistemas de Ecuaciones lineales.
5.3.1. Solución de Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, pero en este curso
se verán dos muy importantes, los cuales son:
a) Eliminación por suma o resta.
b) Regla de Cramer (método por determinantes)
a) Método de eliminación por suma o resta.
Este método consiste en igualar los coeficientes de una de las variables en ambas ecuaciones, una
vez logrado lo anterior las ecuaciones se suman o restan miembro a miembro según convenga.
Ejemplos:
1. Resolver.
59
2x 3y = 7…………..A
3x + y = 7………….B
Si la ecuación B se multiplica por 3 y luego se suman ambas ecuaciones, se tiene:
2x 3y = 7 ………….A
3( 3x + y) = 7(3) …..B
2x 3y = 7
9x + 3y = 21
Sumar 7x = 14
Este valor de x, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener el valor de
y. Sustituyendo x = 2 en la ecuación A:
2(2) 3y = 7
4 – 3y = 7
3y = 7 4
3y = 3 donde
Entonces la solución del sistema es: x = 2; y =
Comprobación: la comprobación se debe hacer en las dos ecuaciones
A 2(2) 3( ) = 7
4 + 3 = 7
7 = 7
B 3(2) + ( ) = 7
6 1 = 7
7 = 7
2.- Resolver.
15x + 6y = 9………….A
4x 9y = 13………...B
3(15x + 6y) = 3(9)
60
2(4x 9y) = 2(13)
45x + 18y = 27
8x 18y = 26
Sumar: 53x = 53
Sustituyendo este valor en la ecuación B (puede ser en cualquiera)
La solución es:
5.3.2. Regla de Cramer.
Si es un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas tal que det (A) 0, entonces el
sistema tiene una solución única. Esta solución es
En donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-ésima columna de A
por los elementos de la matriz, donde los términos son los números que no están
multiplicando a las variables. Nota: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos
(particularmente números) que pueden contener variables numéricas o no numéricas.
Ejemplos:
1. Resolver
61
es el determinante de los
coeficientes de las incógnitas
del sistema de ecuaciones.
la columna de se cambió por
los términos que están a la
derecha del signo igual.
la columna de se cambió por
los términos que están a la
derecha del signo igual.
La solución es:
2. Resolver
.
La solución es:
62
Ejercicios para resolver.
Resolver los siguientes sistemas por los métodos de eliminación suma o resta y Regla de Cramer
Respuestas:
63
6. Trigonometría
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas razones se obtienen en relación
con los lados de un triángulo. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la
matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.
Para el estudio de la trigonometría comenzaremos con los conceptos básicos para comprender
mejor de dónde se origina lo fundamental de este tema.
6.1 Ángulos
El ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas (lados) que tienen el mismo
origen (vértice).
Si la rotación del lado terminal es en sentido contrario al de las agujas del reloj, la medida del
ángulo será positiva ( ), en caso contrario la medida será negativa
( ).
Ejemplos:
64
6.1.1 Medición de Ángulos
En la medición de ángulos se emplean tres unidades. Si bien, la más utilizada en la vida cotidiana
es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad
natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al
sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2 π rad
(radianes).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360° (grados).
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400g (grados centesimales).
Con estos tipos de unidades angulares, podemos encontrar una forma para realizar una
conversión de cualquier unidad. En la siguiente figura se muestra una tabla de conversiones de
unidades angulares más comunes.
Si tenemos alguna medida distinta a las anteriores, utilizamos la “regla de tres” para encontrar la
conversión de dicha medida.
65
6.1.2 Tipos de Ángulos
Existen varios tipos de ángulos, a los cuales se les puede clasificar de las siguientes maneras:
Clasificación de ángulos según su medida.
Tipo de ángulo Descripción
Nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas
coincidentes, por lo tanto su abertura es
nula, o sea de 0°.
Agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas
con amplitud mayor de 0 rad y menor de
π/2 rad. Es decir, mayor de 0° y menor de
90° (grados sexagesimales), o menor de
100g (grados centesimales).
Recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a π/2
rad. Es equivalente a 90° sexagesimales (o
100g centesimales).
Obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es
mayor a π/2 rad y menor a π rad. Es decir,
mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales
(o más de 100g y menos de 200g
centesimales).
66
Llano, extendido o colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de π rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g
centesimales).
Entrante
Un ángulo entrante es aquel cuya amplitud
es mayor a π rad y menor a 2π rad. Es decir,
mayor a 180° y menor a 360° sexagesimales
(o más de 200 g y menos de 400
g
centesimales).
Completo o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una
amplitud de 2π rad. Equivalente a 360°
sexagesimales (o 400g centesimales).
Clasificación de ángulos según su posición.
Tipo de ángulo Descripción
Consecutivos
Son aquellos que tienen el vértice y un lado
en común.
Adyacentes
Son los que están formados de manera que
un lado es común y los otros lados
pertenecen a la misma recta.
La suma de estos ángulos es de 180°.
67
Opuestos por el vértice
Son dos ángulos que se encuentran uno
enfrente de otro al cruzarse dos rectas en un
punto llamado vértice.
El ángulo 1 y 3 son iguales.
El ángulo 2 y 4 son iguales.
6.1.3 Clasificación de ángulos según su suma.
Tipo de ángulo Descripción
Complementarios
Son los ángulos que, al sumarlos, el
resultado es 90°.
Suplementarios
Son los ángulos que, al sumarlos, el
resultado es 180°.
Conjugados
Son los ángulos que, al sumarlos, el
resultado es 360°.
68
6.1.4 Ángulos formados por dos líneas paralelas y una recta transversal (secante).
Estos son los ángulos formados al trazar dos
líneas paralela con una secante. Los ángulos
resultantes tienen distintas propiedades que
analizaremos.
Ángulos internos
Son los ángulos que se encuentran entre las
dos líneas paralelas.
Ángulos externos
Son los ángulos que no se encuentran entre
las dos líneas paralelas, es decir, los que
están por fuera.
Ángulos consecutivos
Son ángulos uno interno y otro externo, que
están situados uno detrás de otro.
Son consecutivos los ángulos a y e; b y
f; c y g; d y h.
Los ángulos consecutivos son iguales entre
69
sí. Es decir, a = e , b = f , c = g y d = h.
Ángulos alternos internos
Son dos ángulos internos situados a uno y
otro lado de la secante y en distinta paralela.
Son alternos internos los ángulos c y f;
d y e.
Los ángulos alternos internos son iguales
entre sí. Es decir, c=f y d=e.
70
Ángulos alternos externos
Son dos ángulos externos situados a uno y
otro lado de la transversal y en distinta
paralela.
Son alternos externos los ángulos a y h;
b y g.
Los ángulos alternos externos son iguales
entre sí. Es decir, a = h y b = g.
Ángulos colaterales internos
Son dos ángulos internos situados en un
mismo lado de la transversal (secante) y en
distinta paralela.
Son colaterales internos los ángulos d y f;
c y e.
La suma de los ángulos colaterales internos
es 180°. Es decir, d + f=180°; c + e=180°.
71
Ángulos colaterales externos
Son dos ángulos externos situados en un
mismo lado de la transversal (secante) y en
distinta paralela.
Son colaterales internos los ángulos a y g;
b y h.
La suma de los ángulos colaterales externos
es 180°. Es decir, a + g=180°; b + h=180°.
6.1.5 Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en
una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplos:
1) Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
72
2) Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
6.2 Triángulos
Es un polígono el cual está limitado por tres lados los cuales forman entre sí tres ángulos,
también se puede definir como el plano limitado por tres rectas las cuales se cortan dos a dos.
El punto en el cual se unen los puntos o se cruzan las rectas se llaman vértices y los segmentos de
recta son conocidos como lados, las partes interiores se llaman ángulos esto lo podemos observar
en la siguiente figura:
Un triángulo se denota colocando tres letras mayúsculas en sus vértices y en los lados opuestos se
colocan las letras minúsculas que correspondan en conclusión podemos decir que un triángulo
está compuesto por tres elementos que son: tres ángulos, tres lados y tres vértices, lo cual lo
podemos observar en la siguiente figura:
73
La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es de 180°.
6.2.1 Clasificación de los triángulos (Lados y ángulos)
Los triángulos los podemos clasificar de dos maneras, por la medida de sus lados y por la medida
de sus ángulos.
Por sus lados
Equilátero: Son los triángulos que tienen sus tres lados del mismo tamaño.
Isósceles: Son los triángulos que tienen dos de sus lados iguales y un tercero diferente. Este
tercer lado puede ser mayor o menor que los otros dos.
Escaleno: Son los triángulos que tienen sus tres lados de distinta medida.
Por sus ángulos internos
Obtusángulo: Son los triángulos que tienen un ángulo interno obtuso.
Acutángulo: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos internos agudos.
Rectángulo: Son los triángulos que tienen un ángulo interno recto.
6.2.2 Teorema de Thales en un triángulo.
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo,
se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
74
Ejemplo:
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
6.2.3 Triángulo rectángulo.
En esta parte del capítulo nos enfocaremos solamente en los triángulos rectángulos, ya que del
estudio de éstos se derivan temas que se utilizan para cualquier triángulo.
Recordemos que se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es
decir, un ángulo de 90°. Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al
ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
Estas son algunas propiedades de los triángulos rectángulos:
Todo triángulo tiene exactamente dos ángulos agudos.
La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
La hipotenusa es menor que la suma de los dos catetos.
75
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
(el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b y la medida de la hipotenusa es c
se establece que: c 2
= a 2
+ b 2
De este teorema se obtienen tres corolarios que se obtienen gracias al despeje de la fórmula
anterior y son los siguientes:
Estas fórmulas se utilizan para en concentrar la medida de sus catetos o hipotenusa según sea el
caso.
Ejemplos:
76
6.2.4 Razones trigonométricas
Antes de concentrarnos en las funciones, nos ayudará dar nombres a los lados de un triángulo
rectángulo, de esta manera:
Recordemos que los lados de un triángulo rectángulo son catetos e hipotenusa, ahora, cada cateto
lo identificaremos con cateto adyacente que es el cateto que toca el ángulo θ y cateto opuesto es
el cateto opuesto al ángulo θ.
En un triángulo rectángulo podemos encontrar razones con sus lados, es decir, podemos hacer la
división de un lado entre otro. Las posibles razones son a/b, b/a, b/c, c/b, a/c y c/a.
Estas razones se les conocen como razones trigonométricas, las cuales nos dan información sobre
los ángulos internos de un triángulo.
Función seno: es la razón del cateto opuesto entre la hipotenusa.
Función coseno: es la razón del cateto adyacente entre la hipotenusa.
Función tangente: es la razón del cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Función cotangente: es la razón de la hipotenusa entre cateto opuesto.
Función secante: es la razón de la hipotenusa entre cateto adyacente.
Función cosecante: es la razón del cateto adyacente entre el cateto opuesto.
Nos enfocaremos más en las primeras tres funciones.
77
Estas funciones son con respecto al ángulo α, aunque también se puede hacer con respecto al
ángulo β.
Ejemplos:
78
6.2.5 Leyes de senos y cosenos
Ley de senos.
El teorema del seno o ley de senos, es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de
los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β, y γ son
respectivamente a, b, c, entonces:
Ley de cosenos
El teorema del coseno o ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los
triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del
ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos
a estos ángulos entonces:
79
Bibliografía.
1.- ALGEBRA.
CHARLES H. LEMMAN.
LIMUSA.
2.- ALGEBRA ELEMENTAL.
GORDON FULLER.
CECSA.
3.- ARITMETICA.
BALDOR.
CULTURA CENTROAMERICANA.
4.- ALGEBRA.
BALDOR.
CULTUTA CENTROAMERICANA.
5.- ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
CON GEOMETRIA ANALITICA.
EARL. W. SWOKOWSKI.
WADSWORKTH INTERNATIONAL
IBEROAMERICA.