Distanța dintre două drepte necoplanare

Profesor Popescu Constantin

Școala Gimnazială ”Take Ionescu” - Râmnicu Vâlcea

1. Introducere

1.1. Existența perpendicularei comune a două drepte necoplanare

Teoremă 1. Fiind date dreptele necoplanare a și b, există o dreptă, care are un punct

comun cu a și un punct comun cu b, perpendiculară pe a și pe b.

Demonstrație. Printr-un punct oarecare al dreptei a

construim o paralelă b' la dreapta b.

Notăm cu α planul determinat de dreptele concurente

a și b'. Fie β planul care include dreapta a și este

perpendicular pe planul α. Notăm cu N intersecția

planului β cu dreapta b și cu M piciorul perpendicularei

din N pe dreapta a. MN este dreapta căutată.

Într-adevăr, din

rezultă . Din găsim

și cum , rezultă .

2.1. Unicitatea perpendicularei comune a două drepte necoplanare

Teoremă 2. Fiind date dreptele necoplanare a și b, perpendiculara pe a și pe b, care are

un punct comun cu a și un punct comun cu b, este unică.

Demonstrație. Fie MN perpendiculara comună a dreptelor

a și b cu Presupunem că există o altă

perpendiculară comună PQ cu

Construim prin N drepta a' paralelă cu dreapta a. Din

și rezultă . Din

avem (1). Analog, din și rezultă

PQ . Din PQ avem PQ (2).

Relațiile (1) și (2) ne conduc la concluzia , ceea

ce ar însemna că punctele M, N, P, Q sunt coplanare, adică dreptele a și b ar fi coplanare,

ceea ce contrazice ipoteza.

a

b

N

M

a'

P

Q

α a

b

b'

M

N

β

3.1. Proprietatea de minim

Teorema 3. Dacă a și b sunt drepte necoplanare și MN este perpendiculara lor comună,

cu , atunci lungimea segmentului [MN] este mai mică decât lungimea

oricărui alt segment care are un capăt pe dreapta a și celălalt capăt pe dreapta b.

Demonstrație.Fie [PQ] un segment cu

Construim prin N drepta a' paralelă cu

dreapta a. Din și rezultă .

Din avem .

Fie R piciorul perpendicularei din P pe dreapta a'. Din

deducem , iar conduce

la faptul că MNRP este paralelogram. Rezultă PR = MN.

Din , rezultă PR și din avem .

În concluzie PQ > PR = MN, deoarece ipotenuza, în triunghiul dreptunghic PQR, este

mai mare decât cateta.

Observație. Dacă MN este perpendiculara comună a dreptelor a și b, cu

, atunci numim lungimea segmentului [MN] distanța dintre dreptele a și b.

MN = d (a,b) este cea mai mică distanță dintre un punct al dreptei a și un punct al

dreptei b.

2. O observație utilă

Teorema 4. Dacă a și b sunt drepte necoplanare, atunci există o singură pereche de

plane paralele care să le conțină, iar distanța dintre dreptele a și b este dată de distanța

dintre cele două plane paralele.

Demonstrație.

Existența. Construim printr-un punct al dreptei a

o paralelă b' la dreapta b și printr-un punct al dreptei b

o paralelă a' la dreapta a.

Avem inclusă în planul (a',b), deci (1).

Avem inclusă în planul (a',b), deci (2).

Din (1), (2) şi rezultă .

Unicitatea. Presupunem că există planele ,

astfel încât și . Dreapta b fiind

inclusă în β și implică . Din și

rezultă , deci planul ceea ce este fals.

a'

b

M

N

P

Q

R

a

M

N

a

a' b

b'

Din rezultă , iar implică . Analog

avem . În concluzie MN este perpendiculara comună a planelor paralele

și , iar .

Observație.Pentru aflarea distanței dintre două drepte necoplanare, conform teoremei 4,

este util să căutăm planele paralele în care sunt plasate și apoi să găsim o modalitate

ușoară de aflare a distanței dintre acestea.

Dacă printr-un punct al dreptei a (necoplanară cu b) ducem o paralelă b' la dreapta b,

atunci , unde M este un puct oarecare al dreptei b.

3. O formulă interesantă

Teorema 5. Dacă [AB] și [CD] sunt segmente cu dreptele suport necoplanare, atunci

.

Demonstrație. Construim așa încât și așa încât .

Planele (ABE) și (FCD) sunt paralele, iar patrulaterele

ABCF, BCDE și AEDF sunt paralelograme. Corpul

ABEFCD este o prismă triunghiulară.

Conform teoremei 4 avem:

.

Volumul prismei este:

.

, dar

de unde deducem că

.

Avem

.

Rezultă

sau .

Din (1) și (2) obținem:

sau

,

de unde

, deoarece CD = BE

și .

B

C

D

A

E F

B

C

D

A

E F

Observație. Dacă volumul tetraedrului determinat de două segmente necoplanare este

ușor de aflat, iar sinusul unghiului format de dreptele lor suport este accesibil, atunci se

poate aplica formula dată de teorema 5 pentru determinarea distanței dintre aceste drepte.

4. Aplicații

Problema 1. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu lungimea muchiei a. Aflați distanța dintre

dreptele AB' și BC'.

( * * * )

Soluție (metoda 1). Din și [ ] [ ]

rezultă că ABC'D' este paralelogram, deci

și din obținem .

Analog obținem . Din (1), (2) și

rezultă . Acestea

sunt cele două plane paralele care includ dreptele AB' și

BC', distanța dintre aceste plane fiind, conform teoremei 4, egală cu distanța drepte.

Din deducem că perpendiculara din A' pe planul trece

prin O, centrul cercului circumscris triunghiului . Din √

deducem că perpendiculara din C pe planul trece tot prin O, centrul cercului

circumscris triunghiului . Ținând cont de unicitatea perpendicularei într-un punct

pe un plan, găsim că punctele A', O, C sunt coliniare. Analog se arată că și Q, centrul

cercului circumscris triunghiului , este coliniar cu A', O și C. În concluzie OQ este

perpendiculara comună a planelor , iar distanța dintre ele este OQ =

d(AB', BC').

Tetraedrul tridreptunghic este regulat deoarece √ și

calculând în două moduri volumul său avem

, de unde

rezultă √

. Analog

√

și

√

Soluţie (metoda 2). Din și [ ] [ ] rezultă că ABC'D' este

paralelogram, deci şi pentru că avem

√ , iar triunghiul AB'D' este echilateral.

A B

C D

A' B'

C' D'

O

Q

Volumul tetraedrului ABB'C' determinat de segmentele

[AB'] şi [BC'] este

.

Din formula dată în teorema 5 avem:

, deci

√ √ √

.

Problema 2. Pătratul ABEF de latură a și dreptunghiul ABCD sunt situate în plane

perpendiculare. Demonstrați că

√ .

Constantin Bărăscu și Florin Smeureanu

Concursul ”La școala cu ceas” - 2010

Soluție. Încadrăm figura în prisma patrulateră regulată

ABEFDCHG cu baza pătratul ABEF.

Din avem că BCGF este

paralelogram, deci . Conform

observației corespunzătoare teoremei 4, avem:

.

Notăm , și .

Pentru a determina pe x în funcție de a și b, calculăm

volumul tetraedrului BACG în două moduri. Avem:

√ și √ , de unde aflăm

√

,

sau

√

. Pe de altă parte

.Egalând

cele două exprimări ale volumului găsim

√ .

În final,

√

.

4. Probleme propuse 1) OLM-2012 – Bacău - Subiectul 3. Fie patru puncte necoplanare A,B,C si D astfel încât AB = BC = CA = DA = DB = DC.

A B

C D

A' B'

C' D'

O

Q

A B

E F

D C

H G

Sa se arate ca mijloacele fiecarei perechi de segmente necoplanare determina trei segmente concurente si congruente iar lungimea fiecarui segment reprezinta distanta dintre respectivele segmente necoplanare.

2) OLM-2012 – Brașov - Subiectul 2. Tetraedrul SMNP are toate muchiile de lungimi egale cu 2a,(a>0). Fie A(SM) şi B(SN)

astfel încât SA=BN. Fie E mijlocul lui [AB] şi F mijlocul lui [SP].

a) Arătaţi că EF||(MNP).

b) Calculaţi distanţa de la SP la MN.

c) Calculaţi sinusul măsurii unghiului format de planele (FMN) şi (MNP).

3) OLM-2012 – Covasna – Subiectul 3. Pe planul pătratului ABCD se ridică perpendiculara SA AB a 3 . Fie M BC astfel încât MC=a. a) Arătaţi că BD SC ; b)Calculaţi distanţa dintre BD şi SC; c) Aflaţi distanţa de la S la MD.

4) OLM-2012 – Galați – Subiectul 4. Într-un tetraedru regulat DABC cu muchia de lungime a , punctele M şi N sunt respectiv mijloacele muchiilor (BD) şi (CD), iar punctul O este centrul triunghiului ABC. Să se calculeze distanţa dintre : a) dreptele MN şi DO; b) dreptele AD şi BC; c) dreptele MN şi AB .

5) OLM-2012 – Olt – Subiectul 4. Pe planul patratului ABCD se construieste perpendiculara SA, astfel încât SA = AB = a. a) Aratati ca BD SC. b) Calculati distanta dintre dreptele BD si SC. c) Daca M este mijlocul laturii CD, determinati distanta de la punctul S la dreapta BM.

6) OLM-2012 – Suceava – Subiectul 4.

Pe planul triunghiului echilateral ABC de latura √ se ridica perpendiculara SC, SC = 2 . Daca D este mijlocul muchiei [AB] , iar E este mijlocul muchiei [BC] , aflați: a) masura unghiului dintre dreptele SE si CD; b) distanța dintre dreptele SE si CD.

Bibliografie

[1]. Neculai Stanciu, Cinci metode pentru determinarea distanței dintre două drepte

necoplnare, Gazeta Matematică, Seria B, nr. 8/2007, pag. 397.

[2]. Ion Damian Bîrchi , Alexandru Blaga, ...Olimpiadele și concursurile de matematică

V-VIII – 2010 , Editura ”Bîrchi” – Timișoara - 2010