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1、你能证明它们吗 (1)北 师 大 北 师 大 • • 九 年 级 上 数 学 九 年 级 上 数 学

命题的证明 例题欣赏

11

例 1 求证 : 等腰三角形两底角的平分线相等 .

证明 :∵AB=AC( 已知 ),∴∠ABC=∠ACB( 等边对等角 ).又∵∠ 1= ∠ABC,∠2= 　∠ ACB( 已知 ),∴∠1=∠2( 等式性质 ).在△ BDC 与△ CEB 中∵∠DCB=∠ EBC （已知） , BC=CB （公共边） ,　∠ 1=∠2 （已证） ,∴△BDC≌△CEB （ ASA ） .∴BD=CE( 全等三角形的对应边相等 )

已知 : 如图 , 在△ ABC 中 ,AB=AC,BD,CE 是△ ABC 角平分线 .求证 :BD=CE.

A

CB

D●1

E●22

1

2

1

命题的证明 我能行11

求证 : 等腰三角形两腰上的中线相等 .

证明 :∵AB=AC( 已知 ),∴∠ABC=∠ACB( 等边对等角 ).又∵ CM= AC,BN= AB( 已知 ),∴CN=BM( 等式性质 ).在△ BMC 与△ CNB 中∵ BC=CB （公共边） , ∠MCB=∠NBC （已知） , CM=BN （已证） ,∴△BMC≌△CNB （ SAS ） .∴BM=CN( 全等三角形的对应边相等 )

已知 : 如图 , 在△ ABC中 ,AB=AC,BM,CN 是△ ABC 两腰上的中线 .求证 :BM=CN.

2

1

2

1

A

CB

MN

命题的证明 我能行22

求证 : 等腰三角形两腰上的高相等 .

证明 :∵AB=AC( 已知 ), ∴∠ABC=∠ACB( 等边对等角 ). 又∵ BP,CQ 是△ ABC 两腰上的高 ( 已知 ), ∴∠BPC=∠CQB=900( 高的意义 ). 在△ BPC 与△ CQB 中 ∵∠BPC=∠CQB （已证） , 　 ∠ PCB=∠QBC （已证） , BC=CB （公共边） , ∴△BPC≌△CQB （ AAS ） . ∴BP=CQ( 全等三角形的对应边相等 )

已知 : 如图 , 在△ ABC中 ,AB=AC,BP,CQ 是△ ABC 两腰上的高 .求证 :BP=CQ.

A

CB

PQ

学无止境 议一议11

这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法 .

′ A

CB

D●

E●

1. 已知 : 如图 , 在△ ABC 中 ,AB=AC,(1) 如果∠ ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3 呢 ? 由此你能得到一个什么结论 ?

(2) 如果 AD=AC/3,AE=AB/3 呢 ? 由此你能得到一个什么结论 ?你能证明得到的结论吗？

等腰三角形的判定 议一议22

′

前面已经证明了“等边对等角”，反过来， “ 等角对等边”成立吗 ?即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗 ?

A

CB已知 : 如图 , 在△ ABC 中 ,∠B ＝∠ C.求证 :AB=AC.解析：要想证明 AB=AC,只要能构造两个三角形全等，使 AB与 AC成为对应边就可以了。如：作 BC边上的中线； 作∠ A 的平分线 作 BC边上的高 .

证明：作 BC边上的高AD

∴∠ADB=∠ADC=90°，∵ ∠B ＝∠ C,AD=AD ∴△ADB≌△ADC(AAS)∴AB=AC( 全等三角形的对应边相等 )

D

几何语言 议一议33

′

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） .

A

CB

在△ ABC 中∵∠B ＝∠ C （已知），∴ AB=AC （等角对等边） .

这又是一个判定两条线段相等方法之一 .

1. 如图 ,△ABC 中 ,D.E 分别是 AC.AB 上的点 ,BD 与CE 交于点 O, 给出下列四个条件 :①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO

③BE=CD ④OB=OC

(1) 上述四个条件中 , 哪两个条件可判定△ ABC 是等腰三角形 ( 用序号写出所有情形 )

(2) 选择的 1 小题的一种情形 , 证明△ ABC 是等腰三角形 .

B

A

E D

C

O

①③; ①④;②③; ②④

（ 2）已知：∠ BEO=∠CDOOB=OC 求证：△ ABC是等腰三角形证明：在△ EOB和△ DOC中，∠ BEO=∠CDO，∠ EOB=∠DOC,OB=OC. ∴△ EOB≌△ DOC(AAS) ∴∠EBO=∠DCO(全等三角形的对应角相等 )∵ OB=OC ∴∠OBC=∠OCB(等边对等角 )∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB(等式的性质 )即∠ ABC=∠ACB∴ AB=AC( 等角对等边 )

2. 现有等腰三角形纸片 , 如果能从一个角的顶点出发 , 将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片 , 问此时的等腰三角形的顶角的度数 ?

36°90°108°

学无止境小明说 , 在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等 , 那么这两个角也不相等 .

你认为这个结论成立吗 ?如果成立 , 你能证明它吗 ?

′

开启 智慧

C

A

B● ● ●

即在△ ABC 中 , 如果 AB≠AC,那么∠ B≠ C.∠

学无止境

小明是这样想的 :

你能理解他的推理过程吗 ?

开启 智慧

C

A

B● ● ●

假设∠ B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得 AB=AC,与已知条件是 AB≠AC相矛盾因此假设不成立 , 原命题成立即∠ B≠∠C.

反证法先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，

所以假设不成立 , 原命题成立

你可要结识“反证法”这个新朋友噢 !

开启 智慧

反证法是一种重要的数学证明方法 . 在解决某些问题时常常会有出人意料的作用 .

这种证明方法称为反证法 (reduction to absurdity)

假设

归谬结论

初露锋芒例 1.如何证明这个结论 :如果 a1,a2,a3,a4,a5 都是正数 , 且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么 , 这五个数中至少有一个大于或等于 1/5.

用反证法来证 :证明 : 假设这五个数全部小于 1/5,那么这五个数的和 a1+a2+a3+a4+a5 就小于 1.这与已知这五个数的和 a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾 . 因此假设不成立 , 原命题成立 ,即这五个数中至少有下个大于或等于 1/5.

心动 不如行动

成功者的摇篮 隋堂练习 1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角

已知：△ ABC．求证：∠ A、∠ B、∠ C中不能有两个角是直角．

证明：假设∠ A、∠ B、∠ C中有两个角是直角，不妨设∠ A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞ 180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠ A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．

2. 用反证法证明 : 在一个三角形中 , 至少有一个内角小于或等于 60°

证明 : 假设∠ A ,∠B, ∠C 是△ ABC 的三个内角 , 且都大于 60°, 则∠ A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,

∴ ∠A+∠B+∠C>180°;这与三角形的内角和是 180 定理矛盾∴假设不成立

∴在一个三角形中 , 至少有一个内角小于或等于 60°.

成功者的摇篮 隋堂练习

回味无穷• 理解证明的必要性和规范性 .• 理解几何命题证明的方法 , 步骤 , 格式及注意事项 .• 你对“执果索因” ,“ 由因导果”理解与运用有何进步 .

• 规范性中的条理清晰 , 因果相应 , 言心有据的要求是否内化为一种技能 .

• 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高 .

• 关注知识 , 经验 , 方法的积累和提高 , 是前进的推进器 .

• 准备如何提高证明命题的能力呢 ?

小结 拓展