1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - ntuausers.ntua.gr/gbouck/downfiles/computational... · 1 2 3 4 b c d lvdt...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/1.jpg)
.. . .
μ 2006
... . .. . .
μμ 20020066
μμμ
μ’ μ μ 9 μ
μμ’’ μ μ 9 μμ μ 9 μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 1
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 2: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/2.jpg)
1.1.2.2.3.3.
(( μ μ μ μ))
4.4. μμ5.5. μμ6.6. -- μμ μμμ μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 2
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 3: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/3.jpg)
1.1.1977, :
« 10- μ μ μ μ μμ μ μ μ . μμ μ μ μμ »
(Desai & Christian in “Numerical Methods in Geotechnical Engineering”)
μ , 30 μ ,μ « » (desktop)
μμ . μ , μ μ
( . . μ )μ μ μ . μ
μ μ ( μ , ,, μ μ ,
.) μ μμ μ μ μ ,
μ ( μ ) ,μ .
μμ ,, 20052005………………..μμ μμ
μμ μμ
10 cycles of 2Hz sine wave with 0,25g amplitude
1,5m
1m
0,5m
0,75m
Nevada Sand = 1950 g/m3
Dr = 60%Kprot. = 6x10-3 m/s
Bonnie Silt = 1950 g/m3
Kprot. = 1x10-6 m/s
1m6m
28 m
1
2
3
4
B
C
D
LVDT
1m
BearingPressure150KPa
RIG
ID B
OX
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 3
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 4: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/4.jpg)
1
2
3
4
B
C
D
LVDT
....
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4a
(g)
AccB
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
a (g
)
AccC
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
a (g
)
AccD
R.P.I.FLACμ
1
2
3
4
B
C
D
LVDT
PrincetonR.P.I.FLAC
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.3
-0.2
-0.1
0
(m)
LVDT
μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 4
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 5: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/5.jpg)
1
2
3
4
B
C
D
LVDT
-- ru= u/ vo....
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.2
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r u =
u/
' vo
PPT3
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.2
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r u =
u/
' vo
PPT2
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2r u
=
u/' vo
PPT1PrincetonR.P.I.FLAC
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.2
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r u =
u/
' voPPT4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r u =
u/
' vo
μ VIDEO
. . . .
PLAY VIDEO
::
μ μ( μ Darcy ?)
μμ ( μ μ
? )
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 5
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 6: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/6.jpg)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r u =
u/
' vo
Flow VectorsSettlement
μ μ
-- . . . .
PLAY VIDEOLiquefaction
0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
a (g
)
μ
μ μμ – μ μ
μ ,μ μ .
, μ μμ μ - , μ -
μ (user’s manual) μ . , μ ,
μ , μ μμ μ μ .
μ ,μ μ μ μ
μ μ . μ , μ. . . μ μ μ
μ μμ μ
« μ ».
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 6
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 7: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/7.jpg)
2.2.
μ μ μ μ:
( ) , μμ , μ
μ ’.
μ μμ μ μ μ
( μ 2.1). μ μ μμ , μ
μ « μ – » (trial-and-error) . μ μ
, μ μ ( μμ μ ),
μμ .
Oi
Ri
Oi
Ri
2.1 :
μ μ μ μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 7
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 8: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/8.jpg)
( ) μ ,μ ( , , )
μ μ ( 2.1).
μ μ μ μ μμ ( . .) μ ( . .),
μ μ . μ ( . . μ
) μ μ.
μ ,- μ μ μ
μ μ μ μ μ μ μ .
μ , μ μ 2.2 « » (Winkler).
μ μ μμ μμ μ . , μ μ . .,
μ μ μ μμ μ μμ μ μ .
2.1:2.1:μ
.
μ[ . . 1- μ μ μ -
μ ]
μ[ . . μ ]
[ . . 1- ]
μ[ . . μ μ
μ( μ )]
[ . . μ , μμ
( μ )]
μ
2 2
2 2 0 (2.1) u ux y
2
2 (2.2) u utx
)4.2(02
2
kutum
)3.2(12
2
22
2
tu
Cxu
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 8
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 9: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/9.jpg)
μ ,
(2.1), (2.2) (2.3) μ« », « » « » .
:
F (μ μ x y) G
μ ( ). μ ,
:
< 0 . .2-4 C = 0 . .
> 0 . .
u x u y
2 2 2
2 2u u u u uA B C D E Fu G
x y x yx y
2.12.1 ( )
μ!
μ!
(2.4)
2.2:2.2:μ μ μ μ μ
( . .).
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7( )( ) ( )( )
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 9
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 10: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/10.jpg)
μ μμμ ,
μ ( μ 2.2 ).
μ , μμ μ , μ μ
μ (μ u1, u2,…u4 μ 2.2 ) μ , μμ , μ μ . ,
μ μμ x ( μμ μ μμ ) ,μ μ μ .
μ ,,
μ μ -
μ , μ μ.
μ μ μ μ .
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 10
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 11: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/11.jpg)
3. μ :3. μ : μ μ μ μ
3.13.1 μ μ
μ 3.1 μ ., μ μ μ :
, μμ , μ μ
μ ( μ 3.1 ). ( . . μ , μμ ), μ μ
. μ μμ μμ
μ .
, μ μ μμ . μ , μ , μ
μ , μ μ ( μ 3.1 ).
μ μ μ μ μ , μ μ , μ
, μ 3.1 3.1 .
3.13.1: μ ( ) ( ) « »
( μ ) μ , ( ) « μ » μ ,μ μ , ( ) & ( ) « μ » μ ,
μ .
(H<HCR)
(H>HCR)
( ) ( )
( )
CR( )
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 11
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 12: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/12.jpg)
c 2c 1H
cos i tan i tan
c 2b
c 1Hcos i tan i tan
Uc
KO .
C 1Hcosi sin i
c2 b
c 1Hcos i tan i tan
(c, )
(c, )μ ( ) ,
μ
(CU, =0)μ ( ) ,
(c, )μ
, μ
μμ « » « » CRCR::
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 12
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 13: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/13.jpg)
μ μ μ , μ μ, μμ :
- μ μ ,μ μ ,
,, μ μ (FS) μ
( μ )μ .
μ , μ, μ μ μ
, μ :
f
w
R d
FSW X
OR
'nf
f ( )= ?
W
Xw
(3.1)
μ μ μ μ f ( ),
μ ( )μ .
μμ μ , f ( ), μ . ,
μ μ μμ W. Fellenius to 1927, μ μ
μμ .
μ μ 3.2. μ , μμ , μ
( μ ) .
μ μ , μ μ μ μ μ
μ μ μ .μ 3.3μ 3.3, μ
μ ,μ nn--22 (n= μ ).
, ( ) μμ .
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 13
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 14: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/14.jpg)
+
12
i
3.2:3.2:( ) μ μ
( ) μ μ.
Wi =U = μ
= μi =
= , μ
i , Xi+1 =
n
i i+1E , E
iN
3.3:3.3:μ
nn
4n-2μ( 33nn )
n-1μ bi μμ
3n-1( 2n )
n-1iμ μ i μ
n-1μ
1μ μ
( c, )
nμ
μ
iEiN
iE
iN
iE
μ : μ , μ μμ i Ui μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 14
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 15: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/15.jpg)
μ , μ ,
. « » i
i ( μ 3.2) « » i,ULT μ , :
FS μ ( μ ).
,μ ( ,
, .), μ μSu, μ ( =0)
μ . :
i ,ULTi
TT
FS
, μ μμ μ μ -
. , μ μ μ μ (Fellenius, 1927 μ Bishop, 1955) μ
(Janbu, 1973).
(3.2)
, μ , μc ,
μ . :
i Ui μi ( μ 3.2).
μ μ:
( μ ) μ ( μμ , , μ , .)
μ μ ( ,, .)
ii ,ULT i i i i i i i iT c l N tan c l ( N U )tan (3.4)
li μ ( μ 3.2).
i ,ULT i iT Su l (3.3)
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 15
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 16: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/16.jpg)
3.23.2[ “Swedish method of slices” “Swedish method of slices” ““μμ FelleniusFellenius”” ]
H μ μμ (
μμ ) ( μ 3.4).
, μ i,μ ,
μ μ i, (3.2) (3.4). μ ,FS
μ , μ μ ., μ
.
, μ μ μ n-1 μ μ
[3n +(n-1) =] 4n-1, 4n-2 . μ μμ μ μ μ ,
μ μ .
i= i-1= i n
3n
n
4n
3n
n
4n
4n - (4n-2) = 2
μ
μ
μ iN
3.4:3.4:μ μ
μ .
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 16
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 17: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/17.jpg)
μ
μ
μ iN
μ , μ ii, μ:
μ , μ μ (3.2) (3.4), μ μ:
i i i iN W cos U
ii ,ULT i i ii
T c l N tanT
FS FS, (3.1)
μ :
, :
n
i ,ULT1n
i w ,i1
R TFS
W X
n
i i i i i i1
n
i i1
[ c l tan (W cos u l )]FS
W sin
(3.5)
μ μ μμ .
μ μ « » μ , μ - μ 10 60%.
1 2 3 4 56
98
10
7
=18kN/m3
=33 (c=0)Su=30 kPa
μ-μ
:
( )( ) μ
, μμ Fellenius.
:
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 17
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 18: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/18.jpg)
FS = μ./ .= 66.51053.0941.0830.0719.0614.054.04
-4.03-14.02-25.01
μ.(kN m)/m
μ(kN m)/m
ui(kPa)
li(m)
i(deg)
Wi(kN/m)
tan ici(kPa)
μ
FS = μ./ .= 66.51053.0941.0830.0719.0614.054.04-4.03-14.02-25.01
μ.(kN m)/m
μ(kN m)/m
ui(kPa)
li(m)
i(deg)
Wi(kN/m)
tan ici(kPa)
μμ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 18
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 19: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/19.jpg)
o μ μ , μ μ μ, μ . μ μ μ
μ ( . . ), μ μ μ μ
( . . μ 3.5).
, μ μ, μ
μ / . . . . . .
3.5:3.5:μ μ μ
=39 (c=0), = 20 kN/m3 ( ) = 21.6 kN/m3
( ).
~ 30 m
15m
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 19
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 20: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/20.jpg)
3.3 μ3.3 μ BishopBishopH μ μ μ
( μ 3.5). μ i,
μ , μμ i (3.3)-(3.4). , FS
μ , μ μ.
H μ Bishop μ μ μ Felleniusμ , :
( )( ) μ( . μ 3.6). μ μ
μ , μμ ( . . μ
μ μμ μ 1/2 1/3 ).
( )( ) μ , μ -μμ , μ μ μ . ,
μ ( 2-3 μ ).
μ
μ
μ iN
3.6:3.6:μ μ
μ μ Bishop.
i=0 n
3n
n
4n
3n
n
4n
4n - (4n-2) = 2
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 20
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 21: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/21.jpg)
μ
μ
μ iN
μ μ μ μ Bishop μ . μ ii, μ :
μ , μ μ (3.2) (3.4), μ μ :
i ,ULTii i ii
WN U tan
cos FS
ii ,ULT i i ii
T c l N tanT
FS FS, (3.1)
μ :
:
n
i ,ULT1n
i w ,i1
R TFS
W X
n
i i i i i i i i1
n
i i1
[ c x tan (W u x )] / m ( ,FS )FS
W sin
:
i ii i i
tan tanm ( ,FS ) cos 1
FS
1 2 3 4 56
98
10
7
=18kN/m3
=33 (c=0)Su=30 kPa
μ
μ :
( )( ) μ
, μμ μ
Bishop.
:
. ,μ FS
μ μFellenius
::
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 21
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 22: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/22.jpg)
FS1=FS0=
μ(kN m)/m
mimi
FS1 = μ./ .=
FS2 = μ./ .=
66.510
53.09
41.08
30.07
19.06
14.05
4.04
-4.03
-14.02-25.01
μ(kN m)/m
μ.(kN m)/m
ui(kPa)xi(m)i(deg)
Wi(kN/m)tan ici(kPa)
μ
FS1=FS0=
μ(kN m)/m
mimi
FS1 = μ./ .=
FS2 = μ./ .=
66.510
53.09
41.08
30.07
19.06
14.05
4.04
-4.03
-14.02-25.01
μ(kN m)/m
μ.(kN m)/m
ui(kPa)xi(m)i(deg)
Wi(kN/m)tan ici(kPa)
μ μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 22
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 23: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/23.jpg)
3.43.4 JanbuJanbu
H μ μ , 1973 , μ . Janbu (
μ Trondheim ) μ μ μ μ ,
μ 3.1( ) ( ).
μ μ :
(A) μ( μ 3.7)
( ) μ ( )μ μ μ
.
, μ μ μ.
μ :ii ii i i i i
i
TT cos ( N U )sin ( U )
tan(3.6)
3.7:3.7:μ
μ μ Janbu.
Ei=Ei+1 n
3n
n
4n
3n
n
4n
4n - (4n-2) = 2
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 23
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 24: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/24.jpg)
i i i 1 i i i ii
ii i i 1
i
W ( X X ) T sin ( N U )cos
TW ( X X )
sin
:
μ :
, μ μ (3.6),
n n
ii i i i1 1
i ,ULTi
n
i ,ULT i1
n
i i i 1 i i1
T cos ( N U )sin
TFS
T cosFS
[W ( X X )] sin cos
, μ
n n n
i i i i i i i i1 1 1
o n
i i i1
c x W cos tan u x tanFS f
W sin cos
FS μ Ti,ULT (3.4)μ (3.5), μ :iN
n n n
i i i i i 1 i i i i i1 1 1
n
i i i 1 i i1
c x [W ( X X )] cos tan u x tanFS
[W ( X X )] sin cos
μ ( ) μ Janbu, μ μ:
( ) ( i-Xi+1)fo,
:
fo μ 3.8 μ μ
( ).
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 24
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 25: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/25.jpg)
3.8:3.8:μ
μ μ Janbu.
μμ (μ μμ μμ ) ( )
( ) μ , μ μ Janbu.
o : . μμ
.
1 2 3 4 56
98
10
7
=18kN/m3
=33 (c=0)Su=30 kPa
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 25
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 26: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/26.jpg)
FS = fo( μ./ .)= 10987654321
foμ.(kN m)/m
μ(kN m)/m
ui(kPa)
i(deg)
Wi(kN/m)
tan ici(kPa)
μ
μμ
FS = fo( μ./ .)=10987654321
foμ.(kN m)/m
μ(kN m)/m
ui(kPa)i(deg)Wi(kN/m)
tan ici(kPa)
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 26
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 27: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/27.jpg)
3.53.5
μ μ , menu μ
μ μ μ . μ( , μ , .) 3.1. ,
μ 3.9.
μ 3.2.
μ μ μ, μ
:
- μ μ ,
- μ μ - μ ,
- μ ,
- .
μ μ μμ ( μ ) μ .
Js = seepage force due to flow through the slope
3.1:3.1:μ μ μ
μ μ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 27
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 28: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/28.jpg)
FS
i
0
U.S. CorpsEngineers
SpencersimplifiedBishop
Fellenius
μ c
3.9:3.9: μ μ
μ .
3.2:3.2: μ μ
9. Bell, J.M. (1968). “Dimensionless Parameters for Homogeneous Earth Slopes”,J. Soil Mech. Found. Eng. Div. ASCE, 95(SM6), pp.1253-1270.
6. Janbu, N. (ed.) (1973). “Slope Stability Computations”, Embankment Dam Engineering, Casagrande Memorial Volume, Wiley, New York, pp. 47-86.
7. Morgenstern, N.R. and Price, V.E. (1965). “The Analysis of the Stability of General Slip Surfaces”, Geotechnique, 15(1), pp. 79-83.
8. Spencer, E. (1967). “A Method of Analysis of Embankments Assuming Parallel Interslices Technique”, Geotechnique, 17(1), pp. 11-26 .
10. Sarma, S.K. (1976). “Stability Analysis of Embankments and Slopes”, J.Geotech. Eng. Div. ASCE, 108(GT6), pp. 835-850.
5. Bishop, A.W. (1955). “The Use of the Slip Circle in the Stability Analysis of Slopes”, Geotechnique, 5(1), pp. 7-17.
4. Fellenius, W. (1927). “Erdstatische Berechnungen”, W. Ernst und Sohn, Berlin.
3. Lambe, T.W. and Whitman, R.V. (1969). “Soil Mechanics”, John Wiley and Sons.
2. Das, M.B. (1999). “Principles of Foundation Engineering”, PWS Publishing.
1. Budhu, M. (2000). “Soil Mechanics and Foundations”, John Wiley and Sons.
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 28
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 29: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/29.jpg)
μμ μ- ( - μ ;). μ ,
g μ ( ) μ ( ) μ ,
μ μ ( . . 2000 C-8). ( μ ) μ μ μ
g μ μ , :
2 2V Ha ag* g ( 1 ) ( )g g
, μ μ μ, :
1 H
V
atan [ ]g a
μ μ 3.10 ( μμ μ μ « μ » μ …).
3.10:3.10:μ -
μ : ( ), ( ).
VH
gVg* g*
V
H
g
Vg*g*
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 29
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 30: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/30.jpg)
1
2
horizontal distance (m)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
verti
cal d
ista
nce
(m)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
μ 12.0m μ=6m 31 . :
1. μμ – μ =18kN/m3, c=0, =402. μ =20kN/m3, c=15kPa, =25 , Su=30kPa
μ
μ μ
.
.
1
2
μμ 11. . . μ 0.0m, μ
FS IA μ μ :
) FELLENIUS (Ordinary Method of Slices)) SIMPLIFED BISHOP) JANBU) SPENCER) MORGENSTERN-PRICE ( - μ ),
) MORGENSTERN-PRICE ( - μ-μ μ μ )
μ : μ μ μ SLOPE/W (Student Edition) , μ GEO-Studio 2004 (Student Edition):
http://www.geo-slope.com/products/student.aspx
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 30
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 31: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/31.jpg)
μμ 22μ FS IA , μ μ ,
μ :6.0m ( x 15m), 9.0m (x = 20m),
10.5m ( x = 25m), 12.0m ( x 35m)
μ ) , ) μ .
μμ 33μ μ 1 2,
, - μ 1.5.
μ : 2 μμ .
FS = .
3. “ ” “ ”
μ
2.
••
μ –μ
1.
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 31
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 32: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/32.jpg)
μμ 44μ μ
μ . μ μμ μ 1
μ
μ :
= 0.20g ( « »):
V = +0.10g
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 32
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 33: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/33.jpg)
4. μ4.4. μμ4.1
μ μ ( . .), μ μ ,μ ( . .) μ μ μ
μ μ . μ , μ. . μ , μ . .
μ μμ μ μ μ , μ
( . .μ μ ).
μ μ μ μ ,μ ( . .
2.1) μ μ μ μ μμ μ μ μ .
μ , 1 u(x) μ( μ 4.1):
(4.1)2 1
x 0 2 1
u udu u ulimdx x x x x
μ μ μ μ ( μ ) , μ μ
μ μ μ , μ μ 1
2 μ . μμ , μ μ
μ ( μμ μ μμ ) μ ui=u(Xi) μ μ μ μ
( . . μ Gauss).
X1 X2X
x 0
du u ulimdx x x
4.1 1 μ
μ . .
4.14.1 1 μ
μ . .
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 33
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 34: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/34.jpg)
4.2 μ
2.1, μ μ 1 , 2 , 3 4 . ,
, . ..
, μ μ μ μ ( . .
Taylor μ μ ). , μ μμ Taylor.
.- μ 4.2, μ μ , μu μ (i-1, j) (i+1,j)
μ Taylor:
2 2 3 3 4 4
i 1, j i , j 2 3 4
2 2 3 3 4 4
i 1, j i , j 2 3 4
u ( x ) u ( x ) u ( x ) uu u x ....x 2! 3! 4!x x x
u ( x ) u ( x ) u ( x ) uu u x ....x 2! 3! 4!x x x
(4.2 )
(4.2 )
( ) μ x y
u
u
x
x y
y
( ) μu
4.2
μ 1- 2-μ μ . ..
4.4.22
μ 1- 2-μ μ . ..
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 34
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 35: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/35.jpg)
( ) μ (4.2 ) (4.2 ) μ μ μ
u x:
i 1, j i , ji
i , j i 1, ji
i 1, j i 1, j 2i
u uu( ) O( x )x x
u uu( ) O( x )x x
u uu( ) O[( x ) ]x 2 x
(4.3 )
(4.3 )
(4.3 )
forward-, backward central-difference μ .
( xn)n+1 ( x)
μ Taylor. μ μ xn, μ μ μ μ x (
μ ).
.- (4.2 ) (4.2 )μ u x:
μ ( ;) μ μ μu x:
μμ μ μ μ . .
2i 1, j i , j i 1, j 2
2 2
u 2u uu O[( x ) ]x ( x )
(4.4)
3i 2 , j i 1, j i 1, j i 2 , j 2
3 3
u 2u 2u uu O[( x ) ]x 2( x )
(4.5)
4i 2 , j i 1, j i , j i 1, j i 2 , j 2
4 4
u 4u 6u 4u uu O[( x ) ]x ( x )
(4.6)
::4.3 ( ), ( ) ( );
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 35
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 36: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/36.jpg)
4.3 μ μ
μ μ. . μ μ μ μ :
μ μμ
( μ 4.3).
μμ μ . q(x)
μμ μ :
q(x) = -k W(x) (4.7)
W(x) μ. μ
4.7 μ (μ SI):
2
W ( x ) mq( x ) kN / mk kN / m
7
6
5
4
3
2
i=1
8
W
X
E, I
L
X q(X)
4.3μ μμ μ
μ . .
4.4.33μ μμ μ
μ . .
.. -- ( ;) μ:
, μ μ . 4.7,
= μ μW = μ ( μ )q(x) =
μ, μ ( -) .
μ μ μ μμ . . ( . 4.3 4.6) , 4.9 μ i
:
2 2
2 2
4
4
d d WEI q( x )dx dx
d W k W ( x ) 0EIdx
(4.8)
(4.9)
i 2 i 1 i i 1 i 2i4
W 4W 6W 4W W k W 0EI( x )
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 36
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 37: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/37.jpg)
..-- . 4.10i μ (8) μμ μ ( μ 4.3), i=1 8.
μ μ ,μ W-1 W10.
μ (W1 W8) μ ,(W-1, W0 W9, W10) μ μ( =1) (i=8). μ μ ,
μ μ μ μ , μ μ μ .
μ ,μ :
( ) μ μ ( μμ ) :
2
2x 0
3
3x 0
d WM( x 0 ) 0 EI 0dx
d WQ( x 0 ) 0 EI 0dx
(4.11 )
(4.12 )
,4
i 2 i 1 i i 1 i 2k xW 4W ( 6 )W 4W W 0
EI(4.10i)
( ) μ μ , :
2
o o2x L
3
3x L
d WM( x L ) M EI Mdx
d WQ( x L ) 0 EI 0dx
(4.13 )
(4.14 )
μ μ , 4.11 4.13:
0 1 2W 2W W 0
1 0 2 3W 2W 2W W 02
o7 8 9
M xW 2W WEI
6 7 9 10W 2W 2W W 0
(4.11 )
(4.12 )
(4.13 )
(4.14 )
, μ 4.10i (i=1 8) 4.11 4.13 . μ , μ
:
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 37
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 38: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/38.jpg)
, μ 4.10i (i=1 8) 4.11 4.13 . μ , μ
:
:K W F
4
4
4
4
4
4
4
4
0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 01 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0
k x1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0 0EI
k x0 1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0EI
k x0 0 1 4 6 4 1 0 0 0 0 0EI
k x0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0 0EIK
k x0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0EI
k x0 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 0EI
k x0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0EI
k x0 0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1EI
0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 1
2oM xEI
T
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10W W W W W W W W W W W W W
T2oM xF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0EI
μ 4.4 μμ μ μ μ μ L=21m,
μ D=0.80m, μ k=6 M /m/m =1 m. ,μ 4 15 μ
« » ( μ ).
μ μ ….
μ μ μ μ :- μ μ ,- μ μ ,- μ μ μ ,- ..
μ μμ μ μ μ :- μ μ ,- μ μ ,- μ μ μ ,- ..
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 38
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 39: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/39.jpg)
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005
W (m)
-21
-18
-15
-12
-9
-6
-3
0
()
. . (4 μ )
. . (8 μ )
. . (15 μ )
4.4μμ μ
μ . ., ,
( ) .
4.44.4μμ μ
μ . ., ,
( ) .
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 39
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 40: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/40.jpg)
5.5. μμ μ μ μ , μ
μ μ μμ μ μ , μ
μ ’ . μ μ μ μ , μ μ μ μ
.
, μ μμ
μ μ . , μ μ - μ , μ
μ μ μ :
1: μ μ
2: μ
3: ( μ )
4: (global) .
BHMA 5: - μ ( ) ( )μ
1:1: μ μ μ μ
T μ μ μ . .μ μ μ μ μ
μ , μ ( . . μ 5.1),
μ μ μ μ , μ .
5.1 μ
μ ( . .)
5.15.1 μ
μ ( . .)
. .
s
t
s, t = μμ
s, t = μμ
( . .)
X
Y
X, Y = μμ
X, Y = μμ
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 40
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 41: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/41.jpg)
μ , μ ( . . μ μ μ ) -
μ . ., μ μ . -, , μ
μμ μ μ
μ . ..μμ μ -
μ μ .
μ μ ( . . μ μμ ) , μ -
μ ( . . μ μμ ) .
μ . ., μ μ (t-s μ 5.1),
μ μ , μ μ (x-yμ 5.1). μ
μ μ μ μ (i μ 5.1)
( , J, K L μ 5.1) .
μ . ., μ μ (t-s μ 5.1),
μ μ , μ μ (x-yμ 5.1). μ
μ μ μ μ (i μ 5.1)
( , J, K L μ 5.1) .
μ . .μ . . μμ :
1- μ ( . . « » μ ):
2- μ ( . . μ μ μ ):
3- μ ( . . )
1 2 1 23
1 2
34
12
3
8
7
6
5
4
1 2
3
4 4
12
3
7
5
6
810
9
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 41
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 42: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/42.jpg)
μ μμ μ μ . . μ , μμ μ ( ) . .,
:
μ :
, μ . . μ -μ ( μμ μ μ , , μμ ,
, .). μ μ μ μμ , μ μ μ ,
« μ » . . μ μ μμ . ..
I I
1 2
3
4 5
6
78
9
II
1 231 2
34
5
6
7
8 9
μ μ . . , μ μ . ..
μ , μ . ., μ « » μ 3-
μ :U= + x+ x2+ x3
x μ . ..
5.2 μ μ
. . μ . .
5.25.2 μ μ
. . μ . .
A
B
U(x)=U*(x)
A B
x1 2
U(x)
A1 2
U*(x)
43
U1
U3 U4 U2 U1
U2
( ) 4- μ . .( ) 2- μ . .
U(x)
B1 432
U2 U3 U4U1
U*(x)
( ) 2- μ . .
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 42
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 43: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/43.jpg)
μ U μ μ (i=1,2,3, 4), , μ
( , , ) μμ U μ (U1. U2, U3 U4).
μ μ μ μ (i=1 & 2 . .), μ μ μμ :
U* = * + *x
μ μ μ μ .
μ 4- μ . ., μ μμ μ μ μ ( ) 2-
μ , μ μ.
μ μ . .,μμ μ μ (
) μ μ ., μ μ μ μμ μ
μ μ μ μ , U1 U2 μ
1 2.
μ μ . 5.1 μ 1 2, μ :
2:2: μμ
μ μ μ ( . .μ ) . . ,
μ , μ μ μ μ. . μ .
1
U*(x)
U1
U2
2x
5 11*1 2
2
U (x)= + x = 1 x ( . )
1
2
1 1 2
2 1 2
U xU x
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 43
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 44: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/44.jpg)
5 21 1 1
2 2 2
U 1 x= ( . )
U 1 x
, μ μ :
. 5.2 1 2 :
1
1 1 1 12 1
12 2 2 2
2
a 1 x U Ux -x1= ( 5.3 )1 xa 1 x U U-1 11 x
μ . 5.1 5.3 :
12 1*
1 2
2
Ux -x1U (x) 1 x1 x U-1 11 x
1* 2 1
22 1 2 1
Ux x x xU (x) ( 5.4 )Ux x x x
1 2
1 2
μ (shape functions)
. . .μ , 1 2 μμ
μ μ 0 1:
1
2=1
2x
2=0
2(x)
1
1=0
2x
1=1
1(x)
5.3μ
μμ . . μ μμ
μ .
5.35.3μ
μμ . . μ μμ
μ .
:
( )μ μμ . . μ
μ (μ ), μ
μ μ;
( )μ
U(x); ;
:
( )μ μμ . . μ
μ (μ ), μ
μ μ;
( )μ
U(x); ;
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 44
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 45: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/45.jpg)
U(x) ,μ μ , μ . 5.4 :
U [ N ] q ( 5.5 )
( x ) μ :
U [ μ μ ] x [1]
[ . μ ] x [( . μ ) x ( . μ )]
q [( . μ ) x ( . μ )] x [1]
, ux
Y, uy
1 2
3
μ , μ ( . .) 3- μ . ., . 5.5
. . . . : 1x
1 y
x 1x 2 x 3 x 2 x
y 1 y 2 y 3 y 2 y
3 x
3 y
uu
u N 0 N 0 N 0 u( 5.6 )
u 0 N 0 N 0 N uuu
- μ μ ;
. . μ μμ μ ( ’ μ ) μ
U(x). , μμ , μ x y μ 3- 3- μ
. . :
1
1
1x 2 x 3 x 2
1 y 2 y 3 y 2
3
3
xy
N 0 N 0 N 0 xx( 5.7 )
0 N 0 N 0 N yyxy
μ μ μ μ . .( ,, .) μ . . μ μ
μ μ μ ( . . 3- μ). μ μ μ
μ μ . ..
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 45
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 46: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/46.jpg)
,
[K]m μ μ μμ . . (μ μ μ -μμ μ ),
[q]m μ μ (μμ -μ μ μ )
3:3: ( μ ) ( μ )
H μ μ μμμ . . μ
μ μ . .. μ μ, μ μ μ : μ
μ (theory of variations) μ ( μ μ ) (theory of weighted residuals).
μ μ. . m, μ μ μ n , n=( . μ
. .)x( . μ ):
m mmK q F
[F]m μ « » μ ( μ μ -μ μ μ )
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 46
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 47: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/47.jpg)
μ μ Y Galerkin.- μ μ . .
. μ Galerkinμ μ μ μ .
μ μ μ, μ 4.3. μ
U μ :
4
4d U k U 0
EIdx
U* μ ,R, :
4
4d U * k U* R
EIdx μ μ μ
R μ . .. μ μ μ Galerkin, :
(5.8)
[F]m μ « » μ ( μ μ -μ μ μ )
jD
R N dD 0 j 1,2,3....r (5.9)
, D μ . ., Nj
μ μ r μ« μ » . . [r = ( μ. μ ) x ( μ. μ . μ )].
μ , μ μ 2- μ , μ μμ (μ μ μ ) r=2 x 2=4.
. 5.8 . 5.9, . . :
4
j4D
d U * k U * N dD 0 j 1,2,3....rEIdx
(5.10)
μ . 5.10 . . m :
r
j jj 1
U* N q
x 42ri
i j i4i 1 x1
d N k N N dx q 0 j 1,2,3....rEIdx
(5.11)
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 47
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 48: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/48.jpg)
:
( . μ 5.4):
q1 = w1 μ μ 1 F1= 1 ( ) μ μ 1
q2 = 1 μ 1 F2= 1 μ 1
q3 = w2 μ μ 2 F3= 2 ( ) μ μ 2
q4 = 2 μ 2 F4= 2 ( ) μ μ 2
mm m m m111,1 1,2 1,3 1,4mm m m m
22 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2mm m m m
333,1 3,2 3,3 3,4mm m m m
44 ,1 4 ,2 4 ,3 4 ,4 4
Fqk k k kFqk k k kFqk k k kFqk k k k
4x2i
j ,i i j4x1
d N kk N N dxdx EI
, μ μ :
(5.12)
(5.11)
5.4μ μ . . μ
5.45.4μ μ . . μ
1
w2
2
w1
12
μ μ . .
μ . .
x
(x2)(x1)
2 3
1 11
2 1 2 1
2
12 1
2 1
2
1 13
2 1 2 1
21 1
42 1 2 1
x x x xN ( x ) 1 3 2x x x x
x xN ( x ) ( x x ) 1x x
x x x xN ( x ) 3 2x x x x
( x x ) x xN ( x ) 1( x x ) x x
-0.5
0
0.5
1
4
j jj 1
U* q N
1 3
2/l
4/ll=(x2-x1)
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 48
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 49: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/49.jpg)
. 5.12 μ , μ μμ μ . . (x1<x<x2),
μ μ μ (integration points):
. .
, , μ . .μ
( + + + = 1234 ).
. .
, , μ . .μ
( + + + = 1234 ).
k kA1234
a aA1234
U( x, y )dxdy U A , k , , ,
U( x, y )dxdy U A U U U5.5
μμ
. ..
5.55.5μ
μ. ..
4:4: ( (global) global) ..
μ
μ .. μ μ 5.6 5.7, μ
. ’ , μ . .:
μ μ ( . .) ( . .) μ ,
μ 5.6. μ :
m mmK q F
A. μ [ ]m {F}m μ. . ( μ 5.7).
B. μ [ ] μμ , μ μ μ
. μ μ μ , ’
μ ( μ 5.7).
K q F (5.13)
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 49
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 50: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/50.jpg)
5
4
3
2
i=11
2
3
4
μ μμ
μ μμ
μ . .μ
μ . .μ
3
1 1
2 1
3 2
4 2
5 3
6 3
7 4
8 4
9 5
1 0 5
q wqq wqq w
qqq wqq wq
3 m ,1
m3 m ,2
4 m ,3
4 m ,4
w qq
qw q
q
μ μ. .
q5q6q7q8
qm,1qm,2qm,3qm,4
3
5.6μ
5.65.6μ
q(X)
μ μ. .
μ μ. .
1
2
k10,10k10,9k10,8k10,7000000
k9,10k9,9k9,8k9,7000000
k8,10k8,9k8,8k8,7k8,6k8,50000
k7,10k7,9k7,8k7,7k7,6k7,50000
00k6,8k6,7k6,6k6,5k6,4k6,300
00k5,8k5,7k5,6k5,5k5,4k5,300
0000k4,6k4,5k4,4k4,3k4,2k4,1
0000k3,6k3,5k3,4k3,3k3,2k3,1
000000k2,4k2,3k2,2k2,1
000000k1,4k1,3k1,2k1,1
q10
q9
q8
q7
q6
q5
q4
q3
q2
q1
F10
F9
F8
F7
F6
F5
F4
F3
F2
F1
X
=
[K] {q} {F}=
X
. . ( μ 5.6). . ( μ 5.6)3k5,5 = (k5,5) + (k5,5)
F5 = (F5) + (F5)
2 3
2 3
5.7μ . .
5.75.7μ . .
. . ( μ 5.6). . ( μ 5.6)2
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 50
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 51: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/51.jpg)
BHMA 5BHMA 5:: -- μ ( )μ ( ) ( ) μ ( ) μ
. 5.13 μ [ ]μ μ . ..
, μ μμ ( . . μ )
1000 μ . μ ( μ μ μ ) 3x1000=3000 μ [ ]
3000x3000, μ 9,000,0000 .
μ μμ
, μ μ Gauss,μ μ μ
μ μ μ .
, ’ μ μμ ,μ μ μ
- μ μ ( μ incremental solution),
- ( μ itterative solution).
μ μ 6.1.
μ μ μμ . μ , μ
. 6.1 μ μ ({ q} {q})μ ({ q} {q}). μ μ -μ ,
μ . . μ μμ μ μ ….
μ μ μ μμ , . . μ [ ] μ
/ μ :
i iK( q ,F ) q F i 1,....., (6.1)
6.6. μμ -- μμμμ μμ(( .. .. .. .).)
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 51
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 52: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/52.jpg)
( ) ( )(μ [ ])
( )( [ ]=[ ] )
( ) μ
6.1μ - μμ μ
6.16.1μ - μμ μ
:
μ μμ μ μμ ( μ )
, μμ ( μ . .)
μ μμ μμ μ :
μμ - P=0 ÷ 5000kN μ
μμ 6.1;
μ μ =104 k /m,
o=0.30m =0.80.
:
μ μμ μ μμ ( μ )
, μμ ( μ . .)
μ μμ μμ μ :
μμ - P=0 ÷ 5000kN μ
μμ 6.1;
μ μ =104 k /m,
o=0.30m =0.80.
1 ( )
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 52
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.
![Page 53: 1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - NTUAusers.ntua.gr/gbouck/downfiles/Computational... · 1 2 3 4 B C D LVDT ¸ Ò Ð Î Ð Û Ô Õ Ð Ò À Æ Ó Æ Ñ Ê Õ Â Ø Þ Î Ô Æ Ú Î.... 012345](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022013010/5f4013f6d095d152a56166e1/html5/thumbnails/53.jpg)
μ μ . . . . ( . 4, 5 6) μ :
1. . : μ μ, , 2001
2. C. S. DESAI & J. T. CHRISTIAN: Numerical Methods in Geotechnical Engineering, McGraw Hill, 1977
3. P. TONG & J. N. ROSSETTOS: Finite-Element Method, basic Technique and Implementation, The MIT Press, 1977
4. O. C. ZIENKIEWICZ: The Finite Element Method, McGraw Hill, 1977
Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 53
Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.