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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Graphes et Projets
1. Introduction
2. Modélisation
PERT 3. Optimisation simple
4. Compléments : PERT
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsApplications de la théorie des graphes
� Le problème de plus court chemin
� Le problème de transport
� Le problème du flot maximum
Introduction
PERT
� Le problème du flot maximum
� Le problème du voyageur de commerce
� Le problème d’ordonnancement
des tâches d’un projet
� ….
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsOrdonnancement des tâches d’un projet
Gestion de projets
La réalisation de l’objectif suppose l'exécution
préalable de multiples tâches soumises à de multiples contraintes.
Introduction
PERT
Ordonnancement
Il s'agit de trouver un ordre et un calendrier
d'activation de ces tâches tels que ces
contraintes soient satisfaites.
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Exemple
N° tâche Description Durée (en jours)
1 Exécution des terrassements 10
2 Mise en place de la grue 2
3 Fondations 5
4 Branchement électrique 3
Introduction
PERT
4 Branchement électrique 3
5 Installation de la fosse septique 6
Contraintes
� La grue ne peut fonctionner que si le branchement électrique est effectué.
� On a besoin de la grue pour les fondations.
� L'installation de la fosse septique et les fondations ne peuvent être exécutés que
si les travaux de terrassement sont terminés.
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Modèle potentiel-tâches
Un sommet du graphe correspond à une tâche.
On relie deux sommets: i et j par un arc,
si la tâche i doit précéder la tâche j .
Modélisation
PERT
i j
Chaque arc (i,j) est porteur d'un "poids"
correspondant à la durée de la tâche i .
10
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsExemple avec modèle potentiel-tâches
0 632
4
0 2
3
0
5
bcht élec.Modélisation
PERT
0 6
5
32
1
010
10
6
terrassements fosse
grue fondations
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Optimisation
0 632
4
0 2
3
0
5
bcht élec.
Combien de temps au minimumpour ce projet ?
Quand démarrer chaque tâche ?Optimisation
PERT
0 6
5
32
1
010
10
6
terrassements fosse
grue fondations
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Mise à niveau des sommets
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Recherche du plus long chemin
En vert, les dates au plus tôt(As Soon As Possible)
0
0 10
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
0
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Recherche du plus long chemin
En vert, les dates au plus tôt(As Soon As Possible)
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
La durée minimale du projet est16 jours.
0 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination des dates au plus tard
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
0 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination des dates au plus tard
On prend le plus long cheminen partant de la fin
9
8
1611
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
En rouge, les dates au plus tard(As Late As Possible)
0 100 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsMarges et tâches critiques
8
9 1 09
8
1611
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
000 100 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsChemin critique
8
9 1 09
8
1611
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
1
000 100 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
010
10
6
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDiagramme de Gantt
bcht élec.
fosse septique
Optimisation
PERT
0 temps2 4 6 8 10 12 14 16
terrassements
grue
fondations
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsEnrichissements du modèle de base
� Prise en compte du hasard
Méthode P.E.R.T.
PERT
� Prise en compte des coûts
Méthode C.P.M.
� Autres types de contraintes
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Méthode P.E.R.T.
� Program Evaluation and Research Task
� On considère que la durée d’une tâche est une variable
aléatoire.
� Pour chaque tâche t, on donne 3 durées
– p(t) = durée la plus probablePERT
– p(t) = durée la plus probable
– a(t) = estimation optimiste
– b(t) = estimation pessimiste
� Un modèle de loi couramment employé est la loi Beta
� l’espérance de la durée de t est (4p(t)+a(t)+b(t))/6
� L’écart-type est (b(t)-a(t))/6
PERT
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsExemple de méthode PERT
N° tâche Description p a b
1 Exécution des terrassements 10 8 18
2 Mise en place de la grue 2 1 3
3 Fondations 5 3 8
4 Branchement électrique 3 2 4
11 ; 1,67
2 ; 0,33
5,17 ; 0,83
3 ; 0,33
PERT
4 Branchement électrique 3 2 4
5 Installation de la fosse septique 6 5 7
� On calcule l’espérance et l’écart-type de
chaque durée.
3 ; 0,33
6 ; 0,33
� On porte ensuite ces durées espérées sur le
graphe.
PERT
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination de la durée espérée
4
0
2
3
0
0 11 17 PERT
0 6
5
32
1
0
0
2
11
11
5,17
6
0
0
11
11
17 PERT
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination de la durée espérée
Théorème central-limiteLa durée du projet suit approximativement
une loi normale de moyenne égale à la somme
des durées espérées des tâches critiques et de variance égale à la somme
des variances de ces tâches.4
2
30
0
0 11 17 PERT
0 6
5
32
1
02
0 11
11
5,17
6
3
0
0
11
11
17
NNNN (17, 1,7)
PERT
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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Application probabiliste
P (D<20) ?
PERT
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
0,96PERT