1 Äåôèíèöèÿ - wordpress.com · 2018. 5. 6. · 2.1.1 Ñâîáîäåí ÷ëåí íà...
TRANSCRIPT
1 Äåôèíèöèÿ
Äåôèíèöèÿ 1.1 Àëãåáðè÷åí ñáîð íà åäíî÷ëåíè ñå íàðè÷à ìíîãî÷ëåí (ïî-ëèíîì).
• Åäíî÷ëåíúò ñúùî å ìíîãî÷ëåí.
Ïðèìåð 1.1 Èçðàçèòå A = 3x2 − 4mx + n; B = 5; C = ay4; D = b ñàìíîãî÷ëåíè.
1.1 ×ëåíîâå íà ìíîãî÷ëåí
Äåôèíèöèÿ 1.1.1 Åäíî÷ëåíèòå, êîèòî îáðàçóâàò ìíîãî÷ëåíà, ñå íàðè-÷àò ÷ëåíîâå íà ìíîãî÷ëåíà.
1.2 Åäíî÷ëåí, äâó÷ëåí, òðè÷ëåí, . . .
Äåôèíèöèÿ 1.2.1 Ìíîãî÷ëåíúò å
• åäíî÷ëåí, àêî èìà ñàìî åäèí ÷ëåí;
• äâó÷ëåí, àêî èìà äâà ÷ëåíà;
• òðè÷ëåí, àêî èìà òðè ÷ëåíà.
Ïðèìåð 1.2 Ìíîãî÷ëåíèòå B = 5; C = ay4; D = b ñà åäíî÷ëåíè.Ìíîãî÷ëåíúò 2x+ 3y å äâó÷ëåí.Ìíîãî÷ëåíúò A = 3x2 − 4mx+ n å òðè÷ëåí.
1.3 Ïðîòèâîïîëîæíè ìíîãî÷ëåíè
Äåôèíèöèÿ 1.3.1 Ìíîãî÷ëåíúò 2x − 3y å ñáîð îò åäíî÷ëåíè, êîèòî ñàïðîòèâîïîëîæíè íà ÷ëåíîâåòå íà ìíîãî÷ëåíà −2x+3y. Òàêèâà ìíîãî÷ëåíèñå íàðè÷àò ïðîòèâîïîëîæíè.
2 Íîðìàëåí âèä íà ìíîãî÷ëåí
Äåôèíèöèÿ 2.1 Åäèí ìíîãî÷ëåí å â íîðìàëåí âèä, àêî:
• âñè÷êè åäíî÷ëåíè â íåãî ñà â íîðìàëåí âèä è
• íÿìà ïîäîáíè åäíî÷ëåíè.
• Ïðèåòî å ìíîãî÷ëåí, êîéòî ñúäúðæà ñàìî åäíà ïðîìåíëèâà èå â íîðìàëåí âèä, äà ñå ïîäðåæäà ïî íàìàëÿâàùèòå ñòåïåíèíà ïðîìåíëèâàòà: . . . , x3, x2, x1, x0.
2.1 Êîåôèöèåíòè íà ìíîãî÷ëåí
Äåôèíèöèÿ 2.1.1 Êîåôèöèåíòèòå íà ÷ëåíîâåòå íà ìíîãî÷ëåí â íîðìà-ëåí âèä ñå íàðè÷àò êîåôèöèåíòè íà ìíîãî÷ëåíà.
Ïðèìåð 2.1.1 Ìíîãî÷ëåíúò 6x3 − 3x2 + 5x + 4 å ñáîð îò åäíî÷ëåíèòå6x3 +
(−3x2
)+ 5x+ 4 è èìà êîåôèöèåíòè 6; -3; 5; 4.
1
2.1.1 Ñâîáîäåí ÷ëåí íà ìíîãî÷ëåí
Äåôèíèöèÿ 2.1.1.1  ìíîãî÷ëåíà 6x3 − 3x2 + 5x + 4 4 å êîåôèöèåíò âåäíî÷ëåíà 4x0 = 4.1 = 4 è ñå íàðè÷à ñâîáîäåí ÷ëåí.
2.2 Ñòåïåí íà ìíîãî÷ëåí
Äåôèíèöèÿ 2.2.1 Íàé-âèñîêàòà îò ñòåïåíèòå íà ÷ëåíîâåòå â íîðìàë-íèÿ âèä íà åäèí ìíîãî÷ëåí ñå íàðè÷à ñòåïåí íà ìíîãî÷ëåíà.
Ïðèìåð 2.2.1 Ìíîãî÷ëåíúò x2 + 2x− 3 å îò âòîðà ñòåïåí, çàùîòî x2 å÷ëåíúò ñ íàé-âèñîêà ñòåïåí (2).
Ìíîãî÷ëåíúò 2x5y− xy+5 å îò øåñòà ñòåïåí, çàùîòî 2x5y å ÷ëåíúòñ íàé-âèñîêà ñòåïåí (5+1=6).
Ìíîãî÷ëåíúò 3ax8+8ax5+axy−1 å îò îñìà ñòåïåí (îòíîñíî x), çàùîòî3ax8 å ÷ëåíúò ñ íàé-âèñîêà ñòåïåí (8).
3 Äåéñòâèÿ ñ ìíîãî÷ëåíè
3.1 Ñúáèðàíå íà ìíîãî÷ëåíè
Ïðàâèëî 3.1.1 (çà ñúáèðàíå íà ìíîãî÷ëåíè) Ìíîãî÷ëåíè ñå ñúáèðàòïî ïðàâèëîòî çà ñúáèðàíå íà åäíî÷ëåíè. Ïðèëàãàìå ïðàâèëàòà çà ðàçêðè-âàíå íà ñêîáè.
3.2 Èçâàæäàíå íà ìíîãî÷ëåíè
Ïðàâèëî 3.2.1 (çà èçâàæäàíå íà ìíîãî÷ëåíè) Ìíîãî÷ëåíè ñå èçâàæ-äàò ïî ïðàâèëîòî çà èçâàæäàíå íà åäíî÷ëåíè. Ïðèëàãàìå ïðàâèëàòà çàðàçêðèâàíå íà ñêîáè.
Ïðèìåð 3.2.1 Íåêà
u = 2x2 + x+ 1, v = 3x− 1 è w = x2 − x.
Òîãàâà
u+ v − w =(2x2 + x+ 1
)+ (3x− 1)−
(x2 − x
)=
= 2x2 + x+ 6 1 + 3x− 6 1− x2 − x =
= 2x2 + x+ 3x− x2 + x = x2 + 5x.
2
• Ðàçëèêàòà íà äâà ìíîãî÷ëåíà ñå ñâåæäà äî ñáîð, ñëåä êàòîóìàëèòåëÿò ñå çàìåíè ñ ïðîòèâîïîëîæíèÿ ìó ìíîãî÷ëåí.
Ïðèìåð 3.2.2(2x2 + x+ 1
)− (3x− 1) =
(2x2 + x+ 1
)+ (−3x+ 1) =
= 2x2 + x+ 1− 3x+ 1.
Ïðèìåð 3.2.3 Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà
A = 3x2 − y2 + 5xy −(x2 − 2xy
)−(2x2 − 5xy − y2
),
àêî x = −3
4, y = −2
3.
Ðåøåíèå: Çàïèñâàìå èçðàçà êàòî ìíîãî÷ëåí è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
A = 3x2 − y2 + 5xy −(x2 − 2xy
)−(2x2 − 5xy − y2
)=
= 6 3x2− 6 y2 + 5xy− 6 x2 + 2xy− 6 2x2 + 5xy+ 6 y2 =
= 5xy + 2xy + 5xy = 12xy.
Çà x = −3
4, y = −2
3
A = 12.
(−3
4
).
(−2
3
)= 6.
�
Ïðèìåð 3.2.4 Ïîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà
A = 4x2 + y2 −(3x2 + 2xy + 5
)−(x2 − 2xy + y2
)íå çàâèñè îò ñòîéíîñòèòå íà ïðîìåíëèâèòå â íåãî.
Ðåøåíèå: Çàïèñâàìå èçðàçà êàòî ìíîãî÷ëåí è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
A = 4x2 + y2 −(3x2 + 2xy + 5
)−(x2 − 2xy + y2
)=
= 6 4x2+ 6 y2− 6 3x2− 6 2xy − 5− 6 x2+ 6 2xy− 6 y2 = −5.
Çà âñÿêà ñòîéíîñò íà x è y, A = −5. �
3
Ïðèìåð 3.2.5 Ïîêàæåòå, ÷å èçðàçúò
A = 2x2 − 5x+ 3−(x2 − 5x− 1
)ïðèåìà ïîëîæèòåëíè ñòîéíîñòè çà âñÿêà ñòîéíîñò íà x.
Ðåøåíèå: Çàïèñâàìå èçðàçà êàòî ìíîãî÷ëåí è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
A = 2x2 − 5x+ 3−(x2 − 5x− 1
)= 2x2− 6 5x+ 3− x2+ 6 5x+ 1 =
= 2x2 + 3− x2 + 1 = x2 + 4.
Èçðàçúò x2 + 4 > 0 çà âñÿêà ñòîéíîñò íà x, çàùîòî x2 ≥ 0. �
Ïðèìåð 3.2.6 Íàìåðåòå íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà
A = 4x2 − 5x+ 4−(2x2 − 3x
)+(−x2 + 2x− 1
).
Ðåøåíèå: Çàïèñâàìå èçðàçà êàòî ìíîãî÷ëåí è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
A = 4x2 − 5x+ 4−(2x2 − 3x
)+(−x2 + 2x− 1
)=
= 4x2− 6 5x+ 4− 2x2+ 6 3x− x2+ 6 2x− 1 =
= 4x2 + 4− 2x2 − x2 − 1 = 4x2 − 3x2 + 3 = x2 + 3.
Íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà A e 3 è ñå ïîëó÷àâà ïðè x = 0. �
Ïðèìåð 3.2.7 Íàìåðåòå íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà
A = 9y3 −(2y3 − 3y2 + 5
)+(−7y3 − 8y2 − 9
).
Ðåøåíèå: Çàïèñâàìå èçðàçà êàòî ìíîãî÷ëåí è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
A = 9y3 −(2y3 − 3y2 + 5
)+(−7y3 − 8y2 − 9
)=
= 6 9y3− 6 2y3 + 3y2 − 5− 6 7y3 − 8y2 − 9 =
= 3y2 − 5− 8y2 − 9 = −5y2 − 14.
Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà A e -14 è ñå ïîëó÷àâà ïðè y = 0. �
4
3.3 Óìíîæåíèå íà ìíîãî÷ëåíè
3.3.1 Óìíîæåíèå íà åäíî÷ëåí ñ äâó÷ëåí
Ïðàâèëî 3.3.1.1 (çà óìíîæåíèå íà åäíî÷ëåí ñ äâó÷ëåí) Åäíî÷ëåí ñäâó÷ëåí è äâó÷ëåí ñ åäíî÷ëåí óìíîæàâàìå ÷ðåç äèñòðèáóòèâíîòî ñâîéñ-òâî íà óìíîæåíèåòî îòíîñíî ñúáèðàíåòî:
u.(v + w) = u.v + u.w;
(v + w).u = v.u+ w.u.
Ïðèìåð 3.3.1.1 Ïðîèçâåäåíèåòî íà åäíî÷ëåíà 2 ñ äâó÷ëåíà 3x+ y å
2.(3x+ y) = 2.3x+ 2.y = 6x+ 2y.
Ïðîèçâåäåíèåòî íà åäíî÷ëåíà −3xy ñ äâó÷ëåíà 2x2 + 3y2 å
−3xy.(2x2 + 3y2
)= −3xy.2x2 − 3xy.3y2 = −6x3y − 9xy3.
Ïðàâèëî 3.3.1.2 (çà óìíîæåíèå íà åäíî÷ëåí ñ äâó÷ëåí) Åäíî÷ëåí ñäâó÷ëåí è äâó÷ëåí ñ åäíî÷ëåí óìíîæàâàìå è ÷ðåç ðàâåíñòâîòî:
u.(v − w) = u.[v + (−w)] = u.v + u.(−w) = u.v − u.w.
Ïðèìåð 3.3.1.2 Ïðîèçâåäåíèåòî íà åäíî÷ëåíà 5x ñ äâó÷ëåíà x2 − y å
5x.(x2 − y
)= 5x.x2 − 5x.y = 5x3 − 5xy.
Ïðîèçâåäåíèåòî íà åäíî÷ëåíà 5x ñ äâó÷ëåíà −x2 − y å
5x.(−x2 − y
)= 5x.
(−x2
)+ 5x.(−y) = −5x3 − 5xy.
Çàáåëåæêà 3.3.1.1 Â ðåøåíèåòî íà ñëåäâàùèÿ ïðèìåð çà óäîáñòâî ùåèçïîëçâàìå êîìóòàòèâíîòî ñâîéñòâî íà óìíîæåíèåòî.
Ïðèìåð 3.3.1.3 Ïðîèçâåäåíèåòî íà äâó÷ëåíà x2 + 3x ñ åäíî÷ëåíà 2 å
(x2 + 3x
).2 = x2.2 + 3x.2 = 2x2 + 6x.
Ïðîèçâåäåíèåòî íà äâó÷ëåíà x3 − xy ñ åäíî÷ëåíà 3x å
(x3 − xy
).3x = 3x.
(x3 − xy
)= 3x.x3 + 3x.(−xy) = 3x4 − 3x2y.
5
3.3.2 Óìíîæåíèå íà åäíî÷ëåí ñ ìíîãî÷ëåí
Ïðàâèëî 3.3.2.1 (çà óìíîæåíèå íà åäíî÷ëåí ñ ìíîãî÷ëåí) Óìíîæà-âàìå åäíî÷ëåí ñ ìíîãî÷ëåí, êàòî:
• óìíîæèì åäíî÷ëåíà ñ âñåêè ÷ëåí íà ìíîãî÷ëåíà è
• ïîëó÷åíèòå åäíî÷ëåíè ñúáåðåì.
• Ïðèåòî å ïîëó÷åíèÿò ñáîð äà ñå ïðèâåäå â íîðìàëåí âèä.
Ïðèìåð 3.3.2.1 Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà åäíî÷ëåíèòå ñ ìíîãî÷ëå-íèòå è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
2x(x2 − 3x+ 1
)− (x− 6)x2 = 2x
(x2 − 3x+ 1
)− x2(x− 6) =
= 2x.x2 + 2x.(−3x) + 2x.1− x2.x− x2.(−6) == 2x3− 6 6x2 + 2x− x3+ 6 6x2 =
= 2x3 + 2x− x3 = x3 + 2x.
3.3.3 Óìíîæåíèå íà äâó÷ëåíè
Ïðàâèëî 3.3.3.1 (çà óìíîæåíèå íà äâó÷ëåíè) Äâó÷ëåíè óìíîæàâàìå,êàòî âñåêè ÷ëåí íà åäèíèÿ äâó÷ëåí óìíîæèì ñ âñåêè ÷ëåí íà äðóãèÿ äâó÷-ëåí è ñúáåðåì ïîëó÷åíèòå åäíî÷ëåíè.
(a+ b)(c+ d) = a.c+ a.d+ b.c+ b.d
Ïðèìåð 3.3.3.1 Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà äâó÷ëåíèòå è ïðàâèì ïðè-âåäåíèå:
(x+ 4)(x+ 1) = x.x+ x.1 + 4.x+ 4.1 = x2 + x+ 4x+ 4 =
= x2 + 5x+ 4.
Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà äâó÷ëåíèòå è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
(x− 2)(x+ 3) = x.x+ x.3 + (−2).x+ (−2).3 = x2 + 3x− 2x− 6 =
= x2 + x− 6.
Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà äâó÷ëåíèòå è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
(2x− 3)(x− 4) = 2x.x+ 2x.(−4) + (−3).x+ (−3).(−4) == 2x2 − 8x− 3x+ 12 = 2x2 − 11x+ 12.
6
3.3.4 Óìíîæåíèå íà ìíîãî÷ëåíè
Ïðàâèëî 3.3.4.1 (çà óìíîæåíèå íà ìíîãî÷ëåíè) Ìíîãî÷ëåíè óìíîæà-âàìå, êàòî âñåêè ÷ëåí íà åäèíèÿ ìíîãî÷ëåí óìíîæèì ñ âñåêè ÷ëåí íà äðó-ãèÿ ìíîãî÷ëåí è ñúáåðåì ïîëó÷åíèòå ìíîãî÷ëåíè.
• Ïðè óìíîæàâàíå íà ìíîãî÷ëåíè ïîëó÷åíîòî ïðîèçâåäåíèå åñúùî ìíîãî÷ëåí, êîéòî ïðèâåæäàìå â íîðìàëåí âèä.
Ïðèìåð 3.3.4.1 Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíèòå è ïðàâèìïðèâåäåíèå:
(x− 5)(x2 + x+ 1
)= x.x2 + x.x+ x.1 + (−5).x2 + (−5).x+ (−5).1 =
= x3 + x2 + x− 5x2 − 5x− 5 =
= x3 − 4x2 − 4x− 5;
Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíèòå è ïðàâèì ïðèâåäåíèå:
(2x− y − 1)(x− 2y + 1) = 2x.x+ 2x.(−2y) + 2x.1 +
+ (−y).x+ (−y).(−2y) + (−y).1 ++ (−1).x+ (−1).(−2y) + (−1).1 =
= 2x2 − 4xy + 2x− xy + 2y2 − y − x+ 2y − 1 =
= 2x2 − 5xy + 2y2 + x+ y − 1.
3.3.5 Ñâîéñòâà íà óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíè
Ñâîéñòâî 3.3.5.1 (êîìóòàòèâíîñò) Çà óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíè åâÿðíî êîìóòàòèâíîòî ñâîéñòâî íà óìíîæåíèåòî, ò.å.
u.v = v.u,
êúäåòî u, v ñà ìíîãî÷ëåíè.
Ñâîéñòâî 3.3.5.2 (àñîöèàòèâíîñò) Çà óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíè åâÿðíî àñîöèàòèâíîòî ñâîéñòâî íà óìíîæåíèåòî, ò.å.
u.(v.w) = (u.v).w = u.v.w,
êúäåòî u, v, w ñà ìíîãî÷ëåíè.
7
Àñîöèàòèâíîòî ñâîéñòâî íà óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíè íè äà-âà ïðàâèëî çà óìíîæàâàíå íà ïîâå÷å îò äâà ìíîãî÷ëåíà:
Ïðèìåð 3.3.5.1 Èçâúðøâàìå óìíîæåíèåòî íà ìíîãî÷ëåíèòå è ïðàâèìïðèâåäåíèå:
(x+ 2)(x2 − x+ 1
)(x− 2) = (x+ 2)(x− 2)︸ ︷︷ ︸ (x2 − x+ 1
)=
= [x.x+ x.(−2) + 2.x+ 2.(−2)](x2 − x+ 1
)=
=(x2− 6 2x+ 6 2x− 4
) (x2 − x+ 1
)=
=(x2 − 4
) (x2 − x+ 1
)=
= x2.x2 + x2.(−x) + x2.1 + (−4).x2 + (−4).(−x) + (−4).1 =
= x4 − x3 + x2 − 4x2 + 4x− 4 =
= x4 − x3 − 3x2 + 4x− 4.
Ïðèìåð 3.3.5.2 Äàäåí å öåëèÿò ðàöèîíàëåí èçðàç
A = (2x)2 (
x3 − a)− (x− a)
(x5 − 1
)+(5x2 − 5
): 5− x.
1. Ïðèâåäåòå èçðàçà A â íîðìàëåí âèä è ãî ïîäðåäåòå ïî ñòåïåíèòå íàïðîìåíëèâàòà âåëè÷èíà x.
2. Îïðåäåëåòå ñòåïåíòà íà ïîëó÷åíèÿ ìíîãî÷ëåí.
3. Íàìåðåòå çà êîÿ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà a ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ñâî-áîäåí ÷ëåí.
4. Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà A ïðè x = 1 è a = −1
2.
Ðåøåíèå:
1. Çàïèñâàìå èçðàçà A êàòî ìíîãî÷ëåí, ïðèâåæäàìå ãî â íîðìàëåí âèä è ãî
ïîäðåæäàìå ïî ñòåïåíèòå íà ïðîìåíëèâàòà âåëè÷èíà x:
A = (2x)2(x3 − a
)− (x− a)
(x5 − 1
)+
(5x2 − 5
): 5− x =
= 4x2 (x3 − a)−
(x6 − x− ax5 + a
)+
(x2 − 1
)− x =
= 4x5 − 4ax2 − x6+ 6 x+ ax5 − a+ x2 − 1− 6 x =
= −x6 + (4 + a)x5 + (1− 4a)x2 + (−a− 1).
2. A å ìíîãî÷ëåí îò øåñòà ñòåïåí, çàùîòî íàé-âèñîêàòà îò ñòåïåíèòå íà ÷ëå-
íîâåòå ìó â íîðìàëíèÿ ìó âèä å øåñòà.
3. Îò −a− 1 = 0, ïîëó÷àâàìå a = −1.
4. Ïðè x = 1 è a = −1
2çà A ïîëó÷àâàìå
A = −16 +(4− 1
2
).15 +
[1− 4.
(−1
2
)].12 +
[−(−1
2
)− 1
]=
= −1 + 31
2.1 + (1 + 2) .1 +
(1
2− 1
)= −1 + 3
1
2+ 3.1− 1
2= −1 + 3 + 3 = 5.
�
8
4 Çàäà÷è çà óïðàæíåíèå
1. Íàìåðåòå ïðîòèâîïîëîæíèÿ ïîëèíîì íà A−B, àêî
A =3
4x3 − 2x2y +
1
5xy2 − 5y3 − 2,
B = 2x3 − 1
3x2y − 4xy2 +
3
7y3 − 3
5.
Îòãîâîð: Òúé êàòî
A−B = −114x3 − 1
2
3x2y + 4
1
5xy2 − 5
3
7y3 − 1
2
5,
òî ïðîòèâîïîëîæíèÿò ïîëèíîì íà A−B å
11
4x3 + 1
2
3x2y − 4
1
5xy2 + 5
3
7y3 + 1
2
5,
2. Êîè îò äâîéêèòå ìíîãî÷ëåíè A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè è êîè -ïðîòèâîïîëîæíè, àêî
(à)
A = 3, 5x3 − x+ 21
4x2 − 1
1
4x3 − 2x− 0, 5
B = x+ 1, 5x2 +3
4x3 +
3
4x2 + 1
1
2x3 − 4x− 1
2;
(á)
A = 3ax2 + 1, 5x− 3 + 1, 5ax2 − 11
2x+ 12
B = 21 + 1, 5ax2 − 3, 35x− 1, 5x+ 5, 5;
(â)
A = 4x3 − ax2y + 7xy4
B = 3, 5x3 − 4, 75xy4 − 1
3ax2y − 7
1
2x3 + 1
1
3ax2y − 2
1
4xy4?
Îòãîâîð:
(à) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíèòå â íîðìàëåí âèä è òàêà óñòàíîâÿâàìå,÷å òå ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè:
A = B = 21
4x3 + 2
1
4x2 − 3x+
1
2.
9
(á) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíèòå â íîðìàëåí âèä è òàêà óñòàíîâÿâàìå,÷å òå íå ñà íèòî òúæäåñòâåíî ðàâíè, íèòî ïðîòèâîïîëîæíè:
A = 4, 5ax2 + 9 è B = 1, 5ax2 − 4, 85x+ 26, 5.
(â) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíà B â íîðìàëåí âèä è òàêà óñòàíîâÿâàìå,÷å ìíîãî÷ëåíèòå ñà ïðîòèâîïîëîæíè:
A = 4x3 − ax2y + 7xy4 è B = −4x3 + ax2y − 7xy4.
3. Îïðåäåëåòå ÷èñëàòà a è b òàêà, ÷å äâîéêèòå ìíîãî÷ëåíè A è B äà ñàòúæäåñòâåíî ðàâíè:
(à)
A = −1312ax2 +
1
4ax+ 4bx2 + x
B = −29x2;
(á)
A = 3x3 − 3a2y +1
4by2 − 1−
(2
3x3 − 1
3a2y − 6y2 − 2
3
)B = 2
1
3x3 − 6, 75y2 − 1
3;
(â)
A = 5x2y + axy2 − xy2 + 2xy
B = −bx2y + 3xy2 + 2xy + 6x2y;
(ã)
A = −2ax5 + 2bx3 + 3x5 − ax3 + 4
B = 3− 2b− 3ax5 + 2x4 − 3bx5 − 6x3 − 3− 2x4 − x5;
(ä)
A = x4 − 3x+ 2
B = (x− 1)(x3 + bx2 + ax− 2
);
(å)
A = x5 + 3x4 − 20x3 − 48x2 + 26
B = (x+ 1)(x4 + 2ax3 − 22ax2 − bx+ 26
);
(æ)
A = 6x4 − 23x3 − 199x2 − 68x+ 480
B = (x− 8)(6x3 + ax2 − 3bx− 60
).
10
Îòãîâîð:
(à) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíà A â íîðìàëåí âèä
A =
(−131
2a+ 4b
)x2 +
(1
4a+ 1
)x.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
−1312a+ 4b = −29 è
1
4a+ 1 = 0,
îòêúäåòî a = −4, b = −2034.
(á) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíà A â íîðìàëåí âèä
A = 21
3x3 − 2
2
3a2y +
(1
4b+ 6
)y2 − 1
3.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
−223a2 = 0 è
1
4b+ 6 = −6, 75,
îòêúäåòî a = 0, b = −51.(â) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíèòå A è B â íîðìàëåí âèä
A = 5x2y + (a− 1)xy2 + 2xy
B = (−b+ 6)x2y + 3xy2 + 2xy.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
−b+ 6 = 5 è a− 1 = 3,
îòêúäåòî a = 4, b = 1.
(ã) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíèòå A è B â íîðìàëåí âèä
A = (−2a+ 3)x5 + (2b− a)x3 + 4
B = (−3a− 3b− 1)x5 − 6x3 − 2b.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
−2a+ 3 = −3a− 3b− 1, 2b− a = −6 è −2b = 4,
îòêúäåòî a = 2, b = −2.
11
(ä) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíà B â íîðìàëåí âèä
B = x4 + (b− 1)x3 + (a− b)x2 + (−a− 2)x+ 2.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
b− 1 = 0, a− b = 0 è −a− 2 = −3,
îòêúäåòî a = 1, b = 1.
(å) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíà B â íîðìàëåí âèä
B = x5 + (2a+ 1)x4 − 20ax3 + (−22a− b)x2 + (−b+ 26)x+ 26.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
2a+ 1 = 3,−20a = −20,−22a− b = −48 è 26− b = 0,
îòêúäåòî a = 1, b = 26.
(æ) Ïðèâåæäàìå ìíîãî÷ëåíà B â íîðìàëåí âèä
B = 6x4 + (a− 48)x3 + (−8a− 3b)x2 + (24b− 60)x+ 480.
Ñëåäîâàòåëíî ìíîãî÷ëåíèòå A è B ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè, àêî
a− 48 = −23,−8a− 3b = −199 è 24b− 60 = −68,
îòêúäåòî a = 25, b = −1
3.
4. Ñòåïåíòà íà âñåêè ìíîãî÷ëåí, ðàâåí íà ñáîðà íà äâà ìíîãî÷ëåíà ñú-îòâåòíî îò ñòåïåíè m è n, å:
(à) m+ n;
(á) íå ïî-ãîëÿìà îò ïî-ãîëÿìîòî îò äâåòå ÷èñëà m è n;
(â) m.n;
(ã) íå ïî-ãîëÿìà îò ÷èñëîòî, ðàâíî íà |m− n|.
Îòãîâîð: Ñòåïåíòà íà âñåêè ìíîãî÷ëåí, ðàâåí íà ñáîðà íà äâà ìíî-ãî÷ëåíà ñúîòâåòíî îò ñòåïåíè m è n, å íå ïî-ãîëÿìà îò ïî-ãîëÿìîòî îòäâåòå ÷èñëà m è n.
12
5. Íåêà A = 3x2−2x+5 è B = 2x2−1. Íàìåðåòå ìíîãî÷ëåí X, çà êîéòî:
(à) A+X = B;
(á) X −A = B;
(â) B +X = A.
Îòãîâîð:
(à) X = B −A = −x2 + 2x− 6;
(á) X = A+B = 5x2 − 2x+ 4;
(â) X = A−B = x2 − 2x+ 6.
6. Äîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà íå çàâèñè îò ñòîéíîñòèòå íà ïðî-ìåíëèâèòå â íåãî:
A =
(0, 6x2 − 2
5xy + 2
1
3y3 + 1
)−(7
3y3 − 0, 4xy +
3
5x2
);
B =(5x2 − 3y2
)−[(x2 − 2xy − y2
)−(5x2 − 2xy − 3y2
)]−(7x2 − 4xy + y2
)−
−[(3x2 + 3xy
)−(x2 − xy + 6y2
)];
C = −(x2
3− 2x
5+
5
7
)+
(x2
10− x
2+
3
5
)− x2
15−(x2
2− 5
7x
)+
[4
5x2 −
(0, 3 +
43
70x
)+
2
5
].
Îòãîâîð: A = 1;B = 0;C = − 1
70
7. Ïðåäñòàâåòå ñ íîðìàëåí ìíîãî÷ëåí èçðàçà:
(à)x2
8.x2
8+
1
128x(32x− 2x3
);
(á) 15a
(3b− 2
3a
)− 9b
(4
3b+ 5a
);
(â)
[23
7a3x3 − 3
(35
6a2x3 + 5ax4
)](−21
3
).
Îòãîâîð:
(à)1
4x2;
(á) −10a2 − 12b2;
(â) −523a3x3 + 26
5
6a2x3 + 35ax4.
8. Ïðèâåäåòå â íîðìàëåí âèä èçðàçà (−1)A+ 2B − 7C, àêî
A = −x2 + 3x− 2,
B =1
2x2 − 3x+
5
2,
C = x2 − 2
7x+
5
14.
13
Îòãîâîð: (−1)A+ 2B − 7C = −5x2 − 7x+ 41
2
9. Èçâúðøåòå îçíà÷åíèòå äåéñòâèÿ è ïðèâåäåòå ïîëó÷åíèÿ ìíîãî÷ëåí âíîðìàëåí âèä:
(à)4
7
(1
6x− 3
5
)+
2
5
(5
7x+
3
14
);
(á)3
5
(z2 − 10z +
10
3
)−(z2 + 1
1
2z +
1
3
)+
(0, 35z − 3
2
)1
7.
Îòãîâîð:
(à)8
21x− 9
35;
(á) −2
5z2 − 7
9
20z + 1
19
42.
10. Ïðèâåäåòå â íîðìàëåí âèä ïîëèíîìà
(à)2x− 14
3− 3x2 − 1
5−(1
2x2 − 2
3x− 2
)(12x− 5);
(á)(0, 3xn − xn−1 + 1, 2xn−2
)5xn−1 +
(xn+1 − 5xn−1
)(0, 3xn − 2) (n ∈
N);(â) (xn − 1) (xn + 1)− xn+1
(1 + xn−1
)(n ∈ N).
Îòãîâîð:
(à) −6x3 + 99
10x2 + 21
1
3x− 14
7
15;
(á) 0, 3x2n+1 − 2xn+1 + 10xn−1 − 5x2n−2 + 6x2n−3;
(â) −xn+1 − 1.
11. Çàïèøåòå â íîðìàëåí âèä èçðàçà:
A =
(1
5xy2)2
.[5(x2y)2]3
+1
2
(x3y)4.2(xy3)2 − (−3x5y4
)2.(x2y4
)3:(xy5)2
ïðè x 6= 0, y 6= 0.
Îòãîâîð: A = −3x14y10
12. Àêî
A =1
2x3y.(−10x),
B = 3x3.
(−1
9x3y2
):
(1
6x2y
)C = 0, 2
(x3y2
)3:[x(x2y3
)]2çà x 6= 0, y 6= 0, ïðåäñòàâåòå â íîðìàëåí âèä:
14
(à) A+B;
(á) A.B;
(â) 2A : B;
(ã) A2 : B;
(ä) −A : C + 3B : C.
Îòãîâîð:
(à) A+B = −7x4y;
(á) A.B = 10x8y2;
(â) 2A : B = 5;
(ã) A2 : B = −1212x4y;
(ä) −A : C + 3B : C = −5xy.
13. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:
(à) 3
[7x− 1
2(x− 3)
]− 15(x+ 2)− 1
5(4x− 3− 10x), àêî x = −3;
(á)
[1
3(x+ 2)− 1
2(x+ 5)− 1
8(x− 17)
].
(−44
5
), àêî x = 11;
(â) x2y(100xy2 − x2y3 + x3y4
)çà x = −3
4è y =
4
3;
(ã) x3(3y2 + 3y3 − 1
)−6y
(1
2x3y + 0, 5x3y2 − 1
3
)çà x = −2
3è y = 1
1
2;
(ä) 5a2 − (a− 3b)4a+ 2b(0, 5b− 7a)− b2 çà a = 0, 5 è b = 0, 8.
Îòãîâîð:
(à) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
3
[7x− 1
2(x− 3)
]− 15(x+ 2)− 1
5(4x− 3− 10x) = 13
7
10x− 24
9
10.
Òîãàâà çà x = −3 ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å −66.(á) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å[
1
3(x+ 2)− 1
2(x+ 5)− 1
8(x− 17)
].
(−44
5
)= 1
2
5x− 1
2
5.
Òîãàâà çà x = 11 ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å 14.
(â) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
x2y(100xy2 − x2y3 + x3y4
)= 100x3y3 − x4y4 + x5y5.
Çà óäîáñòâî çàïèñâàìå èçðàçè âúâ âèäà
100x3y3 − x4y4 + x5y5 = 100(xy)3 − (xy)
4+ (xy)
5.
Òîãàâà çà x = −3
4è y =
4
3÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å −102.
15
(ã) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
x3(3y2 + 3y3 − 1
)− 6y
(1
2x3y + 0, 5x3y2 − 1
3
)= −x3 + 2y.
Òîãàâà çà x = −2
3è y = 1
1
2÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å 3
8
27.
(ä) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
5a2 − (a− 3b)4a+ 2b(0, 5b− 7a)− b2 = a2 − 2ab.
Òîãàâà çà a = 0, 5 è b = 0, 8 ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å −0, 55.
14. Íàìåðåòå ñòîéíîñòòà íà èçðàçà:
(à) (x− 2y)(y + 3) + y(2y − x) ïðè x =2
3è y =
1
6;
(á)(x2 − 7
)(x+ 2)− (2x− 1)(x− 14) ïðè x =
1
2;
(â)(x2 − 2xy + y2
)(x + 2y) −
(x2 + xy − 2y2
)(x − y) − (1 − x)y ïðè
x = 13
5è y = 2
1
2.
Îòãîâîð:
(à) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(x− 2y)(y + 3) + y(2y − x) = 3x− 6y.
Òîãàâà çà x =2
3è y =
1
6÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å 1.
(á) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å(x2 − 7
)(x+ 2)− (2x− 1)(x− 14) = x3 + 22x− 28.
Òîãàâà çà x =1
2÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å −167
8.
(â) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(x2 − 2xy + y2
)(x+2y)−
(x2 + xy − 2y2
)(x−y)−(1−x)y = −(1−x)y.
Òîãàâà çà x = 13
5è y = 2
1
2÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å 1
1
2.
16
15. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:
(à)(x2 + 4ax+ a2
)(a − 2x) − (a + x)
(a2 − 5ax− 2x2
)çà x = 0, 27 è
a = −119;
(á)(x2 − bx+ 2b2
)(x− b)−
(x2 + 2bx− b2
)(x+ 2b) çà x = −11
3è b =
−118.
Îòãîâîð:
(à) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(x2 + 4ax+ a2
)(a− 2x)− (a+ x)
(a2 − 5ax− 2x2
)= 6a2x.
Òîãàâà çà x = 0, 27 è a = −119÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å 2.
(á) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(x2 − bx+ 2b2
)(x− b)−
(x2 + 2bx− b2
)(x+ 2b) = −6bx2.
Òîãàâà çà x = −113è b = −11
8÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà å 12.
16. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà
A = (3x− 5)(x+ 2)− (x− 3)(x− 4)
çà x =1
2.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å A = 2x2+8x− 22. Òîãàâà
çà x =1
2A = −171
2.
17. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà
A = (x− 2)(x2 + 2x+ 4
)− (3x− 1)(2x− 1) + 9
çà x = −|−2|.Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å A = x3− 6x2+5x. Òîãàâàçà x = −|−2| A = −32.
17
18. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà
M =
(1
7x2 − 0, 9xy + 1, 7y2 − 3x
)−(−2
7x2 − 9
10xy +
17
10y2 − 4x− 1
),
àêî ñòîéíîñòòà íà x å ðàâíà íà ñòåïåíòà íà ìíîãî÷ëåíà
N = x5y2 − 3x2y4 + 5x2y − 7xy.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà åM =3
7x2+x+1. Ñòåïåíòà
íà ìíîãî÷ëåíà N å 7. Òîãàâà çà x = 7 M = 29.
19. Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:
A =
(6.a.b2
5.2, 4
)3
+ 2.a2 − 4.a.b
çà a = −5, b = 2 è a = −0, 5; b = 20.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å A =1
8a3b6 + 2a2 − 4ab.
Òîãàâà çà a = −5, b = 2 A = −910 è çà a = −0, 5; b = 20 A = −999 959, 5.
20. Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:
B =
[2.a2.b3
(3.b)2 :
4.(−a2.b
)2−9.(a.b)2
]3− 9
çà a = −2, 02; b = 3 è a = −1
2; b = −1
3.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å B = −1
8b3 − 9. Òîãàâà çà
a = −2, 02; b = 3 B = −1238è çà a = −1
2; b = −1
3B = −8215
216.
21. Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:
C =
[(−a2
)9: b2].(−b2
)(−a)4.
[6.a− 5.(−b)5
] .b.(b+ 5).(5.b+ 1)
çà −a = |−1|;−b = −|−2|.
Îòãîâîð: Ïðåîáðàçóâàìå èçðàçà âúâ âèäà C =a14b(b+ 5)(5b+ 1)
6a+ 5b5.
Òîãàâà çà −a = |−1|;−b = −|−2| C = 1.
18
22. Äàäåí å èçðàçúò
M =
(11
2a+
b
2
)2
− (a− b+ 1)(a− b− 1)− b2 + 2ab− a2
3+
a− b(6a+ b)
4.
(à) Îïðîñòåòå èçðàçà M .
(á) Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà M , àêî a =|m|3m
, êúäåòî m 6=0.
Îòãîâîð:
(à) M =9
4a2 +
1
4a+
1
3
(á) Ïðè m > 0, a =1
3è M =
2
3. Ïðè m < 0, a = −1
3è M =
1
2.
23. Äàäåí å èçðàçúò
A = (x+ y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx
).
(à) Îïðîñòåòå èçðàçà A.
(á) Ïðåñìåòíåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà A, àêî
x =−(8a2n−1
)4(−32an+2)2
−(16a2n)5,
y = (a− 2)(a+ 2)− 4
(1− 1
2a
)2
− 1
2(8a− 14),
z = −3.
Îòãîâîð:
(à) A = x3 + y3 + z3 − 3xyz
(á) Çà x = 4, y = −1, z = −3, A = 0.
24. Äîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà íå çàâèñè îò ñòîéíîñòèòå íà ïðî-ìåíëèâèòå
A =1
2
(3
5+ x− 3
5x
)− 3
5
(x+
1
2− 1
2x
)+ x
(3
5− 1
2
).
Îòãîâîð: A = 0
25. Äîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà
A =1
3a(a2 − 0, 25a+ 0, 5
)−(1
6a− 3
)− 1
3a
(−1
4a+ a2
)íå çàâèñè îò a.
Îòãîâîð: A = 3
19
26. Äîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà
A =5
2x(a− 2x+ 1)− a
(21
2x− 3
)−(−6− 5x2 + 3a+
5
2x
)å 6.
27. Äîêàæåòå, ÷å èçðàçúò:
(à) x(2x− 3)(x+1)−(2x2 + 3x
)x+2x
(5x+
3
2
)+1 ïðèåìà ïîëîæè-
òåëíè ñòîéíîñòè çà âñÿêà ñòîéíîñò íà x;
(á)(x2 − 2x+ 1
)(x−1)−
(x2 + 3
)x−5 ïðèåìà îòðèöàòåëíè ñòîéíîñòè
çà âñÿêà ñòîéíîñò íà x.
Îòãîâîð:
(à) 6x2 + 1;
(á) −3x2 − 6.
28. Íàìåðåòå íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà A è ñòîéíîñòòà íà x, çàêîÿòî òÿ ñå ïîëó÷àâà, àêî
A =(x2 − 3
) (x4 + 3x2 + 9
).
Îòãîâîð: A = x6− 27. Ñëåäîâàòåëíî íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà èçðàçàA å -27 è ñå ïîëó÷àâà çà x = 0.
29. Íàìåðåòå ïðè êàêâè ñòîéíîñòè íà ïàðàìåòúðà a ïðîèçâåäåíèåòî ABíà ìíîãî÷ëåíèòå A = x2 − ax+ 7 è B = x2 + 9x− 5 íå ñúäúðæà x3.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
A.B = x4 + (−a+ 9)x3 + (−9a+ 2)x2 + (5a+ 63)x− 35.
Ñëåäîâàòåëíî ïðîèçâåäåíèåòî AB íà ìíîãî÷ëåíèòå íå ñúäúðæà x3 çàa = 9.
30. Çà êîÿ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà b íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà(x2 − 3bx+ b
) (x2 − 2x+ 3
)íÿìà äà ñúäúðæà x2?
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(x2 − 3bx+ b
) (x2 − 2x+ 3
)= x4 + (−3b− 2)x3 + (7b+3)x2− 11bx+3b.
Ñëåäîâàòåëíî íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà íå ñúäúðæà x2 çà b =
−3
7.
20
31. Äà ñå ïðåäñòàâÿò èçðàçèòå M = (x− a)2 − ax(x+ 1) è N = a
(x2 + a
)êàòî ìíîãî÷ëåíè â íîðìàëåí âèä. Äà ñå íàìåðè ïðè êîÿ ñòîéíîñò íàïàðàìåòúðà a ñáîðúò îò êîåôèöèåíòèòå íà ìíîãî÷ëåíà M −N å ðàâåííà -9.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà M å
M = (−a+ 1)x2 − 3ax+ a2.
Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà N å N = ax2 + a2.
Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà M −N å
M −N = (−2a+ 1)x2 − 3ax.
Òîãàâà ñáîðúò îò êîåôèöèåíòèòå íà ìíîãî÷ëåíà M −N å ðàâåí íà -9çà a = 2.
32. Äàäåí å èçðàçúò
A =(x3 − 1
) (2x3 − 3x+ 7
).
(à) Èçâúðøåòå óìíîæåíèåòî.
(á) Îïðåäåëåòå ñòåïåíòà íà ìíîãî÷ëåíà.
(â) Îïðåäåëåòå êîåôèöèåíòà íà ÷ëåíà îò ÷åòâúðòà ñòåïåí.
(ã) Îïðåäåëåòå ñâîáîäíèÿ ÷ëåí.
Îòãîâîð:
(à) Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
A = 2x6 − 3x4 + 5x3 + 3x− 7.
(á) Ìíîãî÷ëåíúò å îò øåñòà ñòåïåí.
(â) Êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò ÷åòâúðòà ñòåïåí å -3.
(ã) Ñâîáîäíèÿò ÷ëåí å -7.
33. Îïðåäåëåòå ñòîéíîñòòà íà ïàðàìåòúðà m â íîðìàëíèÿ âèä íà ìíîãî÷-ëåíà
3mx5 − 1−mx3 +mx4 +m+ 5x5 − x3 + x+mx2
òàêà, ÷å:
(à) êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò òðåòà ñòåïåí äà å -7;
(á) ñâîáîäíèÿò ÷ëåí äà å 2.
21
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
3mx5−1−mx3+mx4+m+5x5−x3+x+mx2 = (3m+5)x5+mx4+(−m−1)x3+mx2+x+(m−1).
Ñëåäîâàòåëíî
(à) êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò òðåòà ñòåïåí å -7 çà m = 6 è
(á) ñâîáîäíèÿò ÷ëåí å 2 çà m = 3.
34. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò
3mx3 − 2−m+ x3 + x2 − x−mx,
êúäåòî x å ïðîìåíëèâà, m - ïàðàìåòúð.  íîðìàëíèÿ âèä íà ìíîãî÷-ëåíà îïðåäåëåòå ñòîéíîñòòà íà m òàêà, ÷å:
(à) ñâîáîäíèÿò ÷ëåí äà å 5;
(á) ìíîãî÷ëåíúò äà íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí;
(â) ìíîãî÷ëåíúò äà íÿìà ÷ëåí îò òðåòà ñòåïåí.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
3mx3−2−m+x3+x2−x−mx = (3m+1)x3+x2+(−m−1)x+(−m−2).
Ñëåäîâàòåëíî
(à) ñâîáîäíèÿò ÷ëåí å 5 çà m = −7;(á) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí çà m = −2 è
(â) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ÷ëåí îò òðåòà ñòåïåí çà m = −1
3.
35. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò
ax2 + 5x3 − 7ax+ 3x+ 2a+ 9x2 − 4x3 − x.
Àêî a å ïàðàìåòúð, à x å ïðîìåíëèâà, íàìåðåòå ñòîéíîñòòà íà ïàðàìå-òúðà a òàêà, ÷å:
(à) êîåôèöèåíòúò ïðåä ÷ëåíà îò ïúðâà ñòåïåí äà å -12;
(á) äà íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
ax2+5x3−7ax+3x+2a+9x2−4x3−x = x3+(a+9)x2+(−7a+2)x+2a.
22
Ñëåäîâàòåëíî
(à) êîåôèöèåíòúò ïðåä ÷ëåíà îò ïúðâà ñòåïåí å -12 çà a = 2 è
(á) íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí çà a = 0.
36. Àêî m å ïàðàìåòúð, à x å ïðîìåíëèâà, íàìåðåòå ìíîãî÷ëåíà, òúæäåñ-òâåíî ðàâåí íà èçðàçà
A = (x+m)(3x2 + 2x+ 1
)− (x− 3)(x+ 3m− 1) + 2.
Íàìåðåòå ñòîéíîñòòà íà ïàðàìåòúðà m òàêà, ÷å äà å èçïúëíåíî åäíîîò ñëåäíèòå óñëîâèÿ:
(à) ìíîãî÷ëåíúò äà íÿìà ÷ëåí îò ïúðâà ñòåïåí;
(á) êîåôèöèåíòúò ïðåä ÷ëåíà îò âòîðà ñòåïåí äà å 16;
(â) ìíîãî÷ëåíúò äà íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí;
(ã) êîåôèöèåíòúò ïðåä ÷ëåíà îò òðåòà ñòåïåí äà å ðàâåí íà êîåôè-öèåíòà îò ïúðâà ñòåïåí.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
A = 3x3 + (3m+ 1)x2 + (−m+ 5)x+ (10m− 1).
Ñëåäîâàòåëíî
(à) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ÷ëåí îò ïúðâà ñòåïåí çà m = 5;
(á) êîåôèöèåíòúò ïðåä ÷ëåíà îò âòîðà ñòåïåí å 16 çà m = 5;
(â) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí çà m =1
10è
(ã) êîåôèöèåíòúò ïðåä ÷ëåíà îò òðåòà ñòåïåí å ðàâåí íà êîåôèöèåíòàîò ïúðâà ñòåïåí çà m = 2.
37. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò
M = 2ax4 − ax3 + 3ax+ 3− x4 + a.
Îïðåäåëåòå ñòîéíîñòòà íà ïàðàìåòúðà a òàêà, ÷å:
(à) ìíîãî÷ëåíúò äà å îò òðåòà ñòåïåí;
(á) ìíîãî÷ëåíúò äà íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí;
(â) ìíîãî÷ëåíúò äà íå ñúäúðæà ñúáèðàåìè îò òðåòà è ïúðâà ñòåïåí.
23
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
M = (2a− 1)x4 − ax3 + 3ax+ (a+ 3).
Ñëåäîâàòåëíî
(à) ìíîãî÷ëåíúò å îò òðåòà ñòåïåí çà a =1
2;
(á) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí çà a = −3 è
(â) ìíîãî÷ëåíúò íå ñúäúðæà ñúáèðàåìè îò òðåòà è ïúðâà ñòåïåí çàa = 0.
38. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò
M = 4x2 − 5(a+ x)− 2(x− 3) + ax2,
êúäåòî a å ïàðàìåòúð. Ïðèâåäåòå M â íîðìàëåí âèä. Íàìåðåòå ñòîé-íîñòòà:
(à) íà ïàðàìåòúðà a, çà êîÿòî M å îò ïúðâà ñòåïåí;
(á) íà ïàðàìåòúðà a, çà êîÿòî ñâîáîäíèÿò ÷ëåí íà M å -4;
(â) íà M ïðè x = −3, àêî å èçâåñòíî, ÷å òîé íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí;
(ã) íà M ïðè x = −1, àêî ïðè x = 3 òîé ïðèåìà ñòîéíîñò 51.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
M = (a+ 4)x2 − 7x+ (−5a+ 6).
Ñëåäîâàòåëíî
(à) M å îò ïúðâà ñòåïåí çà a = −4;(á) ñâîáîäíèÿò ÷ëåí íà M å -4 çà a = 2;
(â) M íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí çà a =6
5è ñëåäîâàòåëíî ïðè x = −3
M = 674
5è
(ã) M ïðèåìà ñòîéíîñò 51 çà a = 71
2è ñëåäîâàòåëíî ïðè x = 3 M =
−13.
24
39. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò(3x− 2mx2
) (m− x2 + 1
)− 4. Îïðåäåëåòå ñòîé-
íîñòòà íà ïàðàìåòúðà m òàêà, ÷å:
(à) ìíîãî÷ëåíúò äà å îò òðåòà ñòåïåí;
(á) ìíîãî÷ëåíúò äà èìà êîåôèöèåíò íà åäíî÷ëåíà îò ïúðâà ñòåïåí,ðàâåí íà 15;
(â) ìíîãî÷ëåíúò äà íÿìà åäíî÷ëåí îò ïúðâà ñòåïåí.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(3x− 2mx2
) (m− x2 + 1
)−4 = 2mx4−3x3+
(−2m2 − 2m
)x2+(3m+3)x−4.
Ñëåäîâàòåëíî
(à) ìíîãî÷ëåíúò å îò òðåòà ñòåïåí çà âñÿêî m;
(á) ìíîãî÷ëåíúò èìà êîåôèöèåíò íà åäíî÷ëåíà îò ïúðâà ñòåïåí, ðà-âåí íà 15, çà m = 4 è
(â) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà åäíî÷ëåí îò ïúðâà ñòåïåí çà m = −1.
40. Îïðåäåëåòå ïàðàìåòúðà a, òàêà ÷å ìíîãî÷ëåíúò (x+ a)(x− 8) + 3:
(à) äà íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí;
(á) êîåôèöèåíòèòå íà åäíî÷ëåíèòå îò ïúðâà è âòîðà ñòåïåí äà ñàðàâíè;
(â) êîåôèöèåíòèòå íà åäíî÷ëåíèòå îò ïúðâà è íóëåâà ñòåïåí äà ñàïðîòèâîïîëîæíè ÷èñëà.
Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å
(x+ a)(x− 8) + 3 = x2 + (a− 8)x+ (−8a+ 3).
Ñëåäîâàòåëíî
(à) ìíîãî÷ëåíúò íÿìà ñâîáîäåí ÷ëåí çà a =3
8;
(á) êîåôèöèåíòèòå íà åäíî÷ëåíèòå îò ïúðâà è âòîðà ñòåïåí ñà ðàâíèçà a = 9 è
(â) êîåôèöèåíòèòå íà åäíî÷ëåíèòå îò ïúðâà è íóëåâà ñòåïåí ñà ïðî-
òèâîïîëîæíè ÷èñëà çà a = −5
7.
41. Äîêàæåòå, ÷å àêî x− 3 = u, òî
(x− 3)(x− 3 + u)− u2 = (x− 3)2+ u(x− 3− u).
25
Ëèòåðàòóðà
[1] Ãàéäàðîâà Ì., Ê. Àíãåëîâà, Ê. ×åêàíîâà; Ñáîðíèê ïî ìàòåìàòèêà çà 6.êëàñ., Èçäàòåëñòâî ½Ëåòåðà� , Ïëîâäèâ, 2007
[2] Ïàñêàëåâà Ç., Ã. Ïàñêàëåâ, Ì. Àëàøêà; Ìàòåìàòèêà 6. êëàñ, Èçäàòåë-ñòâî ½ÀÐÕÈÌÅÄ 2000� ÅÎÎÄ, Ñîôèÿ, 2007
[3] Ïàñêàëåâà Ç., Ì. Àëàøêà; Ìàòåìàòèêà, Êíèãà çà ó÷åíèêà 6. êëàñ., Èç-äàòåëñòâî ½ÀÐÕÈÌÅÄ 2000� ÅÎÎÄ, Ñîôèÿ, 2007
[4] Ðàíãåëîâà Ï., Ê. Áåêðèåâ, Ë. Äèëêèíà, Í. Èâàíîâà; Ìàòåìàòèêà, Ñáîð-íèê çà 6. êëàñ., Èçäàòåëñòâî ½Êîàëà ïðåñ� , Ïëîâäèâ, 2007
26