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제 4 장 논리와 증명

간단한 수학적 논리 복잡한 논리구조 형성 하드웨어와 소프트웨어의 기본단위 응용 :

– 컴퓨터 회로 설계– 프로그램 제작

하드웨어의 설계– 명제논리 (Proposition Logic) 를 응용

명제논리– Gate 나 회로의 정확한 동작을 정의 , 관리하는 이론

2

4.1 명제와 연결자

[ 정의 4.1] 명제– 참이나 거짓 중에서 어느 하나를 표현하는 설명문– 일반적으로 p, q, r 등으로 표현

[ 예제 ]p : 서울은 대한민국의 수도이다 .

q : 나고야는 일본의 수도이다 .

r : 1 + 1 = 2

s : 3 + 5 = 7

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명제 논리

[ 예제 ]– 지금은 몇 시인가 ?– 이 책을 꼭 읽어 보아라 .– x + 1 = 2– x + y = z

[ 예제 ]– 정수 값 중에서 특정 n 에 대해 이 성립한다– x - y = y - x– 1994 년 겨울은 몹시 추웠다– 모든 A 에 대해 이면 이다

22 nn

02 A 0A

X

O

XXX

XXO

4

명제 해석

논리연산자 (Logical Operator) - 단순명제로부터 합성명제 도출 진리표 (Truth Table) - 합성명제의 진리값을 보여준다 진리값 - True(T, 참 ), False(F, 거짓 )

부정 (Negation, NOT) : 논리곱 (Conjunction, AND) : 논리합 (Disjunction, OR) : 배타적 합 (Exclusive OR) :

pqp

qp qp

5

명제 해석 부정 :

p p

T

F

F

T

논리곱

p q p q

T T F F

T F T F

T F F F

6

명제 해석 논리합 : 배타적 합

p q p q

TTFF

TFTF

TTTF

p q p q

TTFF

TFTF

FTTF

7

명제 해석

[ 예제 ]p : 7 은 양수이다q : -2 는 음수이다

: 7 은 양수가 아니다 .

: 7 은 양수이고 , -2 는 음수이다 .

: 7 은 양수이거나 , -2 는 음수이다

qp

p

qp

8

명제 해석

포함 , 함축 (Implication) :p implies q, p 는 q 를 함축한다 , p 이면 q 이다p : 가정 , 전제조건 , 충분조건q : 결과 , 필요조건

진리표 :

qp

p q p q

T T F F

T F T F

T F T T

9

예제

예 4.5 :

: 2+1 = 3

: (2+1) + 5 = 3 + 5

: if 2+1 = 3, then (2+1) + 5 = 3 + 5

: 2 + 1 = 3

: (2+1) + 5 = 4 + 5

: if 2+1 = 3, then (2+1) + 5 = 4 +5

qp

pq

pq

qp

TTT

TFF

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예제

예 4.5 (Cont’d):

: 2 + 1 = 4

: (2+1) + 5 = 3 + 5

: if 2+1 = 4, then (2+1) + 5 = 3 + 5

: 2 + 1 = 4

: (2+1) + 5 = 4 + 5

: if 2+1 = 4, then (2+1) + 5 = 4 +5

qp

pq

pq

qp

FTT

FFT

11

명제 해석

[ 예제 ] p : 오늘 날씨가 좋다 q : 우리는 해변에 가겠다

: 오늘 날씨가 좋으면 , 우리는 해변에 가겠다

qp

p q p q

T T F F

T F T F

T F T T

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추이적 관계

R = {(a,b)} : 추이적 관계이다 .

정의 : 이면 추이적

즉 , 이 T 이면 추이적

:

RcaRcbRba ),( ),( ),(

RcaRcbRba ),( ),( ),(

RcaRcbRba ),( ),( ),(

F F T F F T

13

명제 해석

쌍방조건 (Bidirectional) , 동치 :

필요충분조건 (Necessary and Sufficient Condition)– p, q 가 모두 참값을 갖거나 , 모두 거짓일 경우에 참이다 .– 도 참이고 , 도 참일 때만 참이다 .–

진리표 :

qp

qp pq

p q p q

TTFF

TFTF

TFFT

)( )( pqqp

14

명제 해석

명제 의 역 (converse) :

명제 의 대우 (contrapositive) :

명제 의 이 (inverse) :

qp

qp

qp

pq

pq

qp

15

명제 해석

NAND, NOR

진리표 : p q p NAND q p NOR q

T T F F

T F T F

F T T T

F F F T

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4.2 항진명제와 명제 대수

[ 예 4.11]

p q p q (p q)

T T F F

T F T F

T F F F

F T T T

p q p NAND q

T T F F

T F T F

F T T T

qpqp NAND )(

17

[ 예 4.12]

p q r p q r q p q r q

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T T T T T F F

T T T F T T T F

T T T F T T T T

qrqp

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연산순서 :

우선순위 : 부정 논리곱 ( 왼쪽에서 오른쪽으로 ) 논리합 ( 왼쪽에서 오른쪽으로 ) 포함 동치

qrqp )( )( qrqp

qrqp )(

) )( ( qrqp

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항진명제

[ 정의 4.7] 어떤 식이 가지고 있는 변수의 모든 가능한 값에 대하여 항상 참일 때 그 식을 항진명제라 한다 .

[ 예 4.13]p q p q q p q p (q p q)

T T F F

T F T F

T F F F

T T F T

T T T T

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논리적 동치

가 항진명제 : 논리수식에서 중요한 역할

와 는 논리적 동치 (Logically Equivalent)

와 는 같은 의미를 가진다 .

대신 로 대체할 수 있다 .

qp

p q

p q

qp

21

항진명제

[ 예 4.15] 는 항진명제

p q p q q p q p (p q) (q p)

T T F F

T F T F

T F T T

F T F T

F F T T

T F T T

T T T T

)( )( pqqp

22

항진명제

[ 예 4.16] 는 항진명제

p q p q p p q (p q) (p q)

T T F F

T F T F

T F T T

F F T T

T F T T

T T T T

)( )( qpqp

23

명제에 대한 대수 법칙

교환법칙 :

결합법칙 :

pqqp

pqqp

rqprqp )( )(

rqprqp )( )(

24

명제에 대한 대수 법칙

분배법칙 :

논리합과 논리곱에 대한 항등원 :

pFp

pTp

)()( )( rpqprqp

)()( )( rpqprqp

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명제에 대한 대수 법칙

부정의 특성 :

멱등원 법칙 :

Fpp

Tpp

ppp

ppp

pp )(

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명제에 대한 대수 법칙

De Morgan 의 법칙 :

qpqp )(

qpqp )(

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De Morgan’s Law

증명 : qpqp )(

p q p q (p q) p q p q

T T F F

T F T F

T F F F

F T T T

F F T T

F T F T

F T T T

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논리적 동치

복잡한 구조를 가진 합성명제를 동일한 진리값을 갖는 간단한 명제로 대치

– 논리회로를 설계할 때 동일한 기능을 갖는 다른 소재로 대치 합성명제내의 한 부분이 언제나 참이거나 거짓일

경우 이 부분을 생략가능– 논리회로 설계를 간단히 할 수 있다

항진명제 (Tautology) - 언제나 참 모순명제 (Contradiction) - 언제나 거짓 사건명제 (Contingency)

– 항진명제도 아니고 , 모순명제도 아닌 명제

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4.3 수학적 증명 방법

증명 기술 : 직접증명 , 간접증명

직접증명 (Direct Proof) : 가정으로부터 결론을 유도

( 예 4.25) 이면 임을 증명

이고 이므로 이다 .

따라서 이다 .

bxax | | )( | abx

aux bvx )( uvxuxvxab

)( | abx

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간접증명 (Indirect Proof)

모순에 의한 증명 (Contradiction)

를 증명하기 위해 임을 가정하고 모순을 유도 즉 , 의 형태의 문장을 유도 는 항진명제

대우에 의한 증명 (Contrapositive)

를 증명하기 위해 를 증명

반례 (Counter Example)

p prr

prrp ] )( [

qp pq

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4.4 명제 함수

[ 정의 4.10] 집합 에서의 명제함수 는 영역이 이고 치역이 명제의 집합인 함수이다 .

명제함수를 술어 (Predicate) 라고도 부른다 .

[ 예 4.31] 일 때

“Chicago is the capital of Illinois”

“1 + 1 = 2”

“½ is an integer”

X

)1(P

X)(xP

}3,2,1{X

)2(P

)3(P

32

명제 함수

[ 예 4.32] 집합 : , 명제함수 :

[ 예 4.33] 집합 : , 명제함수 :

Z " 73 2 " )( xxQ

TP )5(

FQ " 7315 2 " )15(

TQ " 735 2 " )5(

" )6()2( " )( xxxP

FP )8(

33

진리집합

[ 정의 4.11]

명제함수의 진리집합은 함수에 의하여 참인 값을 가지는 명제들에 해당되는 영역에 있는 원소들의 모임이다 .

즉 , 인 들의 집합이 진리집합이다 .

[ 예 4.31] 진리집합 : {2} [ 예 4.32] 진리집합 : {5} [ 예 4.33] 진리집합 : 구간 (2,6)

TxP )( x

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명제 함수의 결합

[ 정의 4.12] 와 가 집합 에서의 명제함수 이면 ,

는 명제함수이며 다음과 같이

정의된다 .

P Q XQPQPP , ,

)( ))(( xPxP

)()( ))(( xQxPxQP

)()( ))(( xQxPxQP

35

명제 함수의 결합

[Thm4.1] 와 가 집합 에서의 명제함수라 하면

의 진리집합은 의 진리집합의 여집합이다 .

의 진리집합은 와 의 진리집합의 교집합 이다 .

의 진리집합은 와 의 진리집합의 합집합 이다 .

P Q X

P

P

P

Q

Q

P

QP

QP