1. 圆的极坐标方程

1. 极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O ，叫做极点。

引一条射线 OX ，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。

XO

复习回顾

2. 极坐标系内一点的极坐标的规定

XO

M

对于平面上任意一点M ，用表示线段 OM的长度，用表示从 OX到 OM 的角度，叫做点M 的极径，叫做点 M 的极角，有序数对（，）就叫做 M 的极坐标。

一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为 ρ≥0,θ 要取任意实数 .

3. 极坐标与直角坐标的互化关系式 :

设点 M 的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)

x=ρcosθ, y=ρsinθ

)0(tan,222 xx

yyx

曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线 C 上的点与方程 f(,)=0 有如下关系 (1) 曲线 C 上任一点的坐标 ( 所有坐标中至少有一个 ) 符合方程 f(,)=0 ； (2) 方程 f(,)=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上。则曲线 C 的方程是 f(,)=0 。

新课讲授

2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校制作 09

问题探究

如图，半径为 a 的圆的圆心坐标为C(a,0)(a ＞ 0). 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (,) 满足的条件吗？

M(,)

C(a,0) x


A x

M(,)

C(a,0)O


如图，半径为 a 的圆的圆心坐标为C(a,0)(a ＞ 0). 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (,) 满足的条件吗？


圆经过极点 O. 设圆和极轴的另一个交点是 A ，那么 |OA| ＝ 2a. 设 M(,) 为圆上除点 O ， A 以外的任意一点，则 OM⊥AM.

A x

M(,)

C(a,0)O



圆经过极点 O. 设圆和极轴的另一个交点是 A ，那么 |OA| ＝ 2a. 设 M(,) 为圆上除点 O ， A 以外的任意一点，则 OM⊥AM.在 Rt△AMO 中，

A x

M(,)

C(a,0)O


|OM| ＝ |OA|cos∠MOA,

＝ 2acos ① 即


A x

M(,)

C(a,0)O


＝ 2acos ①

① 就是圆心在 C(a,0)(a ＞ 0) ，半径为a 的极坐标方程 .


例 1. 已知圆 O 的半径为 r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？

r

[ 探究 1] 如图，半径为 a 的圆的

圆心坐标为 (a,0)(a>0) ，你能用一个

等式表示圆上任意一点的极坐标 (,)

满足的条件？

xC(a,0)O


圆心坐标为 (a,θ0)(a>0) ，你能用一个


满足的条件？

x

C(a, θ0)O


圆心坐标为 (a,θ0)(a>0) ，你能用一个


满足的条件？ M

x

C(a, θ0)O

A


例 1. 已知圆 O 的半径为 r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？

r x

O

M

题组练习 1

求下列圆的极坐标方程(1) 中心在极点，半径为 2 ；

(2) 中心在 C(a,0) ，半径为 a ；

(3) 中心在 (a,/2) ，半径为 a ；

题组练习 1

求下列圆的极坐标方程(1) 中心在极点，半径为 2 ； =2

(2) 中心在 C(a,0) ，半径为 a ；

(3) 中心在 (a,/2) ，半径为 a ；

题组练习 1


(2) 中心在 C(a,0) ，半径为 a ；

=2acos(3) 中心在 (a,/2) ，半径为 a ；

题组练习 1


(2) 中心在 C(a,0) ，半径为 a ；

=2acos(3) 中心在 (a,/2) ，半径为 a ；

=2asin

2. 直线的极坐标方程

1. 负极径的定义

1. 负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。 (?)

1. 负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。 (?)

对于点 M( ， ) 负极径时的规定：[1] 作射线 OP ，使 XOP=

[2] 在 OP 的反向延长线上取一点M ，使 |OM|= ||

O X

P

M

O XO X

PP

MM

2. 负极径的实例在极坐标系中画出点 M( － 3 ， /

4) 的位置

2. 负极径的实例在极坐标系中画出点 M( － 3 ， /

4) 的位置 [1] 作射线 OP ，使 XOP=/4

[2] 在 OP 的反向延长线上取一点 M ，使 |OM|= 3

O X

P

= /4

M

O XO X

PP

= /4= /4

MM

负极径小结：极径变为负，极角增加。

练习：写出点的负极径的极坐标

（ 6 ，）6

答：（－ 6 ， +π ） 6

或（－ 6 ，－ +π ）

11

6

特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。

.4

,

的极坐标方程

的射线倾角为求过极点

[ 例 1]

)0(4

.,4

,:

求直线的极坐标方程为

故所负数其极径可以取任意的非是

线上任一点的极角都

所求的射如图分析

o

M

x﹚ 4

o

M

x﹚ 4

*** 新课讲授 ***

2. 求过极点，倾角为的直线

的极坐标方程。

*** 思考 ***

1. 求过极点，倾角为的射线


4

4

5



*** 思考 ***



4

4

5

)0(4

5 易得



*** 思考 ***



4

4

5

)0(4

5 易得

4

5

4 或

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 0

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 0

为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为

)(4

5)(

4RR 或

[ 例 2] 求过点 A(a,0)(a>0) ，且垂直于极轴的直线 L 的极坐标方程。

o x﹚

A

M

o x﹚

A

M

[ 例 2] 求过点 A(a,0)(a>0) ，且垂直于极轴的直线 L 的极坐标方程。解：如图，设点 M(,)

为直线 L 上除点 A 外的任意一点，连接 OM

在 RtMOA 中有|OM|cosMOA=|OA|

即 cos=a

可以验证，点 A 的坐标也满足上式 .

o x﹚

A

M

o x﹚

A

M

求直线的极坐标方程步骤 1. 根据题意画出草图； 2. 设点 M(,) 是直线上任意一点 ;

3. 连接 MO ； 4. 根据几何条件建立关于 , 的方程 , 并化简； 5. 检验并确认所得的方程即为所求 .

[ 例 3] 设点 P 的极坐标为 (1,1) ，

直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为，求直线 l 的极坐标方程。

o x

M

P﹚﹚ 1

1

o x

M

P﹚﹚ 1

1

.

)sin()sin(

)sin()](sin[

)(,

.

||

,||

,

),(,:

11

1

1

1

11

的坐标也是它的解显然点

由正弦定理

则在与极轴交于点设直线

的极坐标知由点则

连接外的任意一点

为直线上除点设点如图解

P

OPMOMP

MOPAL

xOPOP

PxOMOM

OM

PM

小结：直线的几种极坐标方程

1. 过极点

2. 过某个定点，且垂直于极轴

3. 过某个定点，且与极轴成一定的角度

1. 圆的极坐标方程

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