1. 理解线面平行的判定定理，理解面面平行的判 定定理 .

2. 理解线面平行的性质定理，理解面面平行的性 质定理 .

 

1. 直线与平面平行的判定与性质

2. 平面与平面平行的判定与性质

[ 思考探究 ]

　　能否由线线平行得到面面平行？

提示：可以 . 只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行 .

 

1. 已知直线 a， b ，平面 α ，满足 a⊂ α ，则使 b∥ α 的条 件为 ( 　　 )

     A.b∥ a 　　　　　　　　　 B.b∥ a且 b ⊄ α

     C.a与 b 异面 D.a与 b 不相交

解析：本题考查线面平行的判定定理 .

答案： B

2. 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条 直线与另一个平面的位置关系是 ( 　 )

   A. 平行 B. 相交   C. 在平面内 D. 平行或在平面内

解析：由线面平行的定义知，这条直线与另一个平面无公共点或在这个平面内 .

答案： D

3. 已知 α∥ β， a⊂ α ，点 B∈ β ，则在 β 内过点 B 的所 有直线中 ( 　　 )

    A. 不一定存在与 a 平行的直线    B. 只有两条与 a 平行的直线    C. 存在无数条与 a 平行的直线    D. 存在唯一一条与 a 平行的直线

解析：由 a和 B 可确定一平面为 γ ，则 α∩γ＝ a ，设β∩γ＝ b ，则 B∈b ，由面面平行的性质定理知 a∥ b ，则 b 唯一 .

答案： D

4. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 任意两条棱的中点作直线，其

中

与平面 ABB1A1 平行的直线共有　　　　条 .解析：各中点连线如图，只有面 EFGH 与面 ABB1A1 平行，

在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意 .

答案： 6

5. 如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，

    E、 F、 G、 H 分别是棱 CC1、 C1D1 、

    D1D、 CD 的中点， N是 BC 的中点，点

    M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M  

满足　　　　时，有 MN∥ 平面

B1BDD1.

解析：∵ HN∥ BD， HF∥ DD1 ，

HN∩HF＝ H， BD∩DD1＝ D ，

∴ 平面 NHF∥ 平面 B1BDD1 ，

故线段 FH 上任意点 M与 N 连接，

有MN∥ 平面 B1BDD1.答案： M∈ 线段 FH

　判定直线与平面平行，主要有三种方法：1. 利用定义 ( 常用反证法 ).

2. 利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线 . 可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出 该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线 .

[ 特别警示 ] 　线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面 .

3. 利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一 个平面内的任一直线平行于另一平面 .

两个全等的正方形 ABCD和 ABEF 所在的平面相交于 AB，M AC∈ ， N FB∈ ，且 AM＝ FN ，求证：MN∥ 平面 BCE.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　法一：过M作MP⊥BC ，过 N作 NQ⊥BE， P、 Q 为垂足 ( 如图 1) ，连结 PQ.

∵ MP∥ AB， NQ∥ AB ，∴ MP∥ NQ.

又 NQ ＝ BN ＝ CM＝MP ，∴ 四边形 MPQN 是平行四边形 .

∴ MN∥ PQ.又 PQ⊂ 平面 BCE ，而 MN⊄ 平面 BCE ，∴ MN∥ 平面 BCE.

法二：过M作MG∥ BC ，交 AB于 G( 如图 2) ，连结NG.

∵ MG∥ BC， BC⊂ 平面 BCE ，MG⊄ 平面 BCE ，∴ MG∥ 平面 BCE.

又∵ AM＝ FN， AC＝ BF ，∴ ，∴ GN∥ AF∥ BE ，同样可证明 GN∥ 平面 BCE.

∵ MG∩NG＝ G ，∴ 平面 MNG∥ 平面 BCE.又MN⊂ 平面 MNG ，∴ MN∥ 平面 BCE.

 

如图，正方体 ABCD －

A1B1C1D1 中，侧面对角

线 AB1， BC1 上分别有两

点M， N.且 B1M＝ C1N. 求证 MN∥ 平面 ABCD.

证明：法一：分别过 M、 N作MM′

⊥AB于M′， NN′⊥BC于 N′ ，连结 M N .′ ′

∵ BB1⊥ 平面 ABCD ，

∴ BB1⊥AB， BB1⊥BC.

∴ MM′∥ BB1， NN′∥ BB1.

∴ MM′∥ NN′ ，又 B1M＝ C1N ，

∴ MM′＝ NN .′

故四边形 MM N N′ ′ 是平行四边形，

∴ MN∥ M N′ ′ ，

又M N′ ′⊂ 平面 ABCD，MN⊄ 平面 ABCD ，

∴ MN∥ 平面 ABCD.

法二：过M作MG∥ AB交 BB1于 G ，连接 GN ，则

，

∵ B1M＝ C1N， B1A＝ C1B ，

∴ ，∴ NG∥ B1C1∥ BC.

又MG∩NG＝ G， AB∩BC＝ B ，

∴ 平面 MNG∥ 平面 ABCD ，

又MN⊂ 平面 MNG ，∴ MN∥ 平面 ABCD.

　判定平面与平面平行的常用方法有：1. 利用定义 ( 常用反证法 )

2. 利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直 线分别平行于另一个平面 . 客观题中，也可直接利用一 个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两 条相交直线来证明两平面平行 .

3. 利用面面平行的传递性： ⇒ α γ.∥

4. 利用线面垂直的性质： ⇒ α β.∥

    

如图所示，三棱柱 ABC－ A1B1C1， D是 BC 上一

点，且 A1B∥ 平面 AC1D， D1是 B1C1 的中点，

求证：平面 A1BD1∥ 平面 AC1D.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　如图所示，连结 A1C交 AC1 于点

E ，

∵ 四边形 A1ACC1 是平行四边形，

∴ E是 A1C 的中点，连结 ED ，

∵ A1B∥ 平面 AC1D ，

平面 A1BC∩ 平面 AC1D＝ ED ，

∴ A1B∥ ED ，

∵ E是 A1C 的中点，

∴ D是 BC 的中点 .

又∵ D1是 B1C1 的中点，

∴ BD1∥ C1D， A1D1∥ AD ，

又 A1D1∩BD1＝ D1， C1D∩AD＝ D ，

∴ 平面 A1BD1∥ 平面 AC1D.

1. 平行问题的转化方向如图所示：

2. 性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅

助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，进

而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依

据 .

如图所示，两条异面直线 BA 、

DC 与两平行平面 α、 β 分别交于 B、 A

和 D、 C，M、 N 分别是 AB、 CD 的中点 .

求证： MN∥ 平面 α.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　过 A作 AE∥ CD交 α于 E ，取 AE 的中点 P ，连结 MP、 PN、 BE、 ED.

∵ AE∥ CD ，∴ AE、 CD 确定平面AEDC ，则平面 AEDC∩α＝ DE ，平面 AEDC

∩β＝ AC ，∵ α∥ β ，∴ AC∥ DE.

又 P、 N 分别为 AE、 CD 的中点，∴ PN∥ DE.又 PN⊄α， DE⊂α ，∴ PN∥ α.

又M、 P 分别为 AB、 AE 的中点，∴ MP∥ BE ，且 MP⊄α， BE⊂α ，∴ MP∥ α ，又 MP∩PN＝ P ，∴平面 MPN∥ α.

又MN⊂ 平面 MPN ，∴ MN∥ α.

开放型试题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题型 .

结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向 .

               [ 考题印证 ]

               (2010· 济南模拟 )(12分 ) 如图，

在直四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中，已

知 DC＝ DD1＝ 2AD＝ 2AB， AD DC⊥ ，

AB DC.∥

             (1) 求证： D1C AC⊥ 1 ；

             (2)设 E是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使

D1E∥ 平面 A1BD ，并说明理由 .

【解】 (1) 证明：在直四棱柱

ABCD—A1B1C1D1 中，

连结 C1D ，

        ∵DC＝ DD1 ，

∴ 四边形 DCC1D1 是正方形 .

        ∴DC1⊥D1C.┄┄┄(2分 )

又 AD⊥DC， AD⊥DD1， DC∩DD1＝ D ，

        ∴AD⊥ 平面 DCC1D1 ，

又 D1C⊂ 平面 DCC1D1 ，∴ AD⊥D1C.┄┄┄┄┄(4分 )

∵ AD， DC1⊂ 平面 ADC1 ，且 AD∩DC1＝ D ，

∴ D1C⊥ 平面 ADC1 ，

又 AC1⊂ 平面 ADC1 ，∴ D1C⊥AC1.┄┄┄┄┄┄(6分 )

(2) 连结 AD1、 AE ，设 AD1∩A1D ＝

M， BD∩AE＝ N ，连结 MN ，

∵ 平面 AD1E∩ 平面 A1BD＝MN ，

要使 D1E∥ 平面 A1BD ，须使 MN∥ D1E ，

又M是 AD1 的中点，

∴ N是 AE 的中点 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分 )

又易知△ ABN≌△EDN ，∴ AB＝ DE.

即 E是 DC 的中点 .

综上所述，当 E是 DC 的中点时，可使 D1E∥ 平面 A1BD.┄

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分 )

          [ 自主体验 ]

在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，棱长为 1，M、 N 分

别是面对角线 AD1、 BD 上的点，且 AM＝ BN＝ x.

       (1) 求证： MN∥ 平面 CDD1C1 ；

       (2) 求证： MN AD⊥ ；

       (3)当 x 为何值时， MN 取得最小值，并求出这个最小

值 .

解： (1) 证明：如右图所示，过M作MR⊥AD ，垂足为 R ，则MR⊥ 平面 ABCD ，连结 RN ，则RN⊥AD.过M、 N 分别作 MQ⊥

D1D， NP⊥CD ，垂足分别为 Q、 P ，则 MQ∥ RD

∥ NP.

∵ MD1＝ ND ，

∴ MQ      RD     NP ，∴ MNPQ 为平行四边形，

∴ MN∥ PQ ，又 MN⊄ 平面 CDD1C1 ，

∴ MN∥ 平面 CDD1C1.

(2) 证明：∵ AD⊥RN， AD⊥MR ，∴ AD⊥ 平面 MRN ，又 MN⊂ 平面 MRN ，∴ AD⊥MN.

(3) 由△ ARM∽△ADD1 得： ＝ ，

由△ DRN∽△DAB 得： ＝ ，∴在 Rt△ MRN 中， |MN|2＝ |MR|2＋ |RN|2

＝ ＝ (x － )2 ＋ .

∴当 x ＝ 时， MN 取得最小值 .

1.(2010· 西城模拟 ) 已知直线 a 和平面 α ，那么 a∥ α 的一个充 分条件是 ( 　 )

    A. 存在一条直线 b， a∥ b， b⊂ α

    B. 存在一条直线 b， a⊥b， b⊥α

    C. 存在一个平面 β ， a⊂ β， α∥ β

    D. 存在一个平面 β ， a⊥ β ， α⊥ β

解析：存在一个平面 β， a⊂ β ， α∥ β ⇒ a与 α 没有

公共点⇒ a∥ α ，其他答案都有可能 a在 α内 .

答案： C

2.设 α、 β、 γ 为平面，给出下列条件： ① 直线 a与 b 为异面直线， a⊂ α， b⊂ β ， a∥ β ， b

∥ α ；   ②α 内不共线的三点到 β 的距离相等；   ③α⊥γ， β ⊥γ.

其中能使 α∥ β 成立的条件的个数是 ( 　　 )

   A.0 　　　　　　　　　 B.1

   C.2                                         D.3

解析：由面面平行的判定定理易知①正确 .若 α 内不共线

的三点到 β 的距离相等，则 α与 β 可能相交，故②错；

若 α⊥γ， β ⊥γ ，则 α∥ β或 α与 β 相交，故③错 .

答案： B

3.(2010·茂名模拟 ) 给出下列命题：①若平面 α 上的直线 m

与平面 β 上的直线 n 为异面直线，直线 l是 α与 β 的交线， 那么 l至多与 m， n 中一条相交；②若直线 m与 n 异面， 直线 n与 l 异面，则直线 m与 l 异面；③一定存在平面γ 同 时和异面直线 m、 n 都平行 . 其中正确的命题是 ( 　 )

   A.①                                       B.②

   C.③                                        D.①③

解析：①错误， l 可能与 m， n 两条都相交；②错误，直

线m与 l 也可共面；③正确 .

答案： C

4. 在四面体 ABCD 中， M、 N 分别为△ ACD和△ BCD 的重

心，

则四面体的四个面中与 MN 平行的是　　　　 .

解析：如图所示，取 CD 中点 E ，连结

AE， BE ，由于 M、 N 分别是三角形的

重心，所以 MN∥ AB ，

∴ MN∥ 平面 ABC，MN∥ 平面 ABD.

答案：平面 ABC ，平面ABD

5. 棱长为 2 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， M 是棱 AA1 的

中点，

过 C、M、 D1 作正方体的截面，则截面的面积是　

.

解析：由面面平行的性质知截面与面 AB1 的交线 MN 是

△ AA1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN ，易求其面

积为 .

答案：

6. 如图所示，在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， D 点为棱 AB 的

中点 .

求证： AC1∥ 平面 CDB1.

证明：连结 BC1 ，交 B1C 于点 E ，连结 DE ，则 BC1与 B1C

互相平分 .

∴BE＝ C1E ，又 AD＝ BD ，

∴DE为△ ABC1 的中位线，∴ AC1 DE.∥

又 DE⊂ 平面 CDB1， AC1⊄ 平面 CDB1 ，

∴AC1∥ 平面 CDB1