1. (6 bodova) rije site diferencijalnu jednad zbu...prezime i ime: grupa: matematika ii 1. kolokvij...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/1.jpg)
PREZIME I IME: GRUPA:
MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.5.2012. A
1. (6 bodova) Rijesite diferencijalnu jednadzbu:
y′ =5xy
x2 + y2.
RJESENJE:
![Page 2: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/2.jpg)
2. a) (3 boda) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije
f(x, y) = ln(x(y − 1)).
b) (3 boda) Izracunajte ∂2f∂x∂y
(1, 1), ako je
f(x, y) = 2 sinx2
y.
RJESENJE:
![Page 3: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/3.jpg)
3. (6 bodova) Ispitajte ekstreme funkcije
f(x, y) = 3x2 + 4xy + 2y2 − 4y + 5.
RJESENJE:
![Page 4: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/4.jpg)
4. (6 bodova) Izracunajte povrsinu lika omedenog krivuljama x2 + y2 = y, x2 + y2 = 2y iy = −x. Skicirajte lik.
RJESENJE:
![Page 5: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/5.jpg)
5. (6 bodova) Izracunajte masu tijela odredenog plohama y = x2, y = 4, z = 0 i z = 3,ako je gustoca tijela ρ(x, y, z) = 2y(z − 1). Skicirajte tijelo.
RJESENJE:
![Page 6: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/6.jpg)
PREZIME I IME: GRUPA:
MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.5.2012. B
1. (6 bodova) Rijesite diferencijalnu jednadzbu:
xy′ + x2y = x4.
RJESENJE:
![Page 7: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/7.jpg)
2. a) (3 boda) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije
f(x, y) =y√
x2 + x− 2+ ln(−xy).
b) (3 boda) Nadite ∂2f∂x∂z
i ∂2f∂y2 , ako je
f(x, y, z) =x2 + z
y − z.
RJESENJE:
![Page 8: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/8.jpg)
3. a) (3 boda) Odredite stacionarne tocke funkcije
f(x, y) = 2x2y + 4x3 − 2y − 2.
b) (3 boda) Odredite jednadzbu tangencijalne ravnine na plohu z = 2x − y2 u tockiT0(1, 2,−2).
RJESENJE:
![Page 9: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/9.jpg)
4. (6 bodova) Pomocu dvostrukog integrala izracunajte volumen tijela omedenog plohamaz = 4− x2 − y2, z = 0 i x = 0. Skicirajte tijelo.
RJESENJE:
![Page 10: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/10.jpg)
5. (6 bodova) Prelaskom na cilindricne koordinate izracunajte integral∫ ∫ ∫V
2(x2 + y2)dxdydz,
ako je V = (x, y, z) ∈ R3 :√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2. Skicirajte tijelo V.
RJESENJE:
![Page 11: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/11.jpg)
PREZIME I IME: GRUPA:
MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.5.2012. C
1. (6 bodova) Rijesite diferencijalnu jednadzbu:
y′′ + 2y′ − 3y = ex.
RJESENJE:
![Page 12: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/12.jpg)
2. a) (3 boda) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije
f(x, y) = arcsin2x
x2 + y2.
b) (3 boda) Izracunajte ∂f∂y
(2, 1, 0), ako je
f(x, y, z) = arctgz + 1
x+ y.
RJESENJE:
![Page 13: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/13.jpg)
3. (6 bodova) Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na plohu z = x2 + 2xy, koja jeokomita na pravac p..x−1
−1= y
3= z+2
2.
RJESENJE:
![Page 14: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/14.jpg)
4. (6 bodova) Skicirajte podrucje integracije i zamijenite poredak integriranja u integralu∫ e2
1
dx
∫ lnx
1−xf(x, y)dy.
RJESENJE:
![Page 15: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/15.jpg)
5. (6 bodova) Prelaskom na sferne koordinate izracunajte integral∫ π
0
dφ
∫ 1
0
dρ
∫ √1−ρ2
0
ρ2zdz.
Skicirajte podrucje integracije.
RJESENJE:
![Page 16: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/16.jpg)
PREZIME I IME: GRUPA:
MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D
1. (6 bodova) Odredite ono rjesenje diferencijalne jednadzbe
2xyy′ − x2 − y2 = 0
koje zadovoljava pocetni uvjet y(1) = 2.
RJESENJE:
![Page 17: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/17.jpg)
2. a) (2 boda) Skicirajte domenu funkcije f(x, y) =√
9− x2 − y2 arcsin(y − 1).
b) (4 boda) Odredite koordinate diralista one tangencijalne ravnine na graf funkcijef(x, y) = x2 + y2 + 4y koja je okomita na pravac x = y = z.
RJESENJE:
![Page 18: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/18.jpg)
3. (6 bodova) Zadana je funkcija f(x, y) = (x2 + y)√
ey. Ispitajte i odredite ekstremefunkcije ako postoje.
RJESENJE:
![Page 19: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/19.jpg)
4. (6 bodova) Izracunajte
∫∫D
x dxdy gdje je D omedeno pravcima 2x + y = 2, x = 3 i
krivuljom y = ln x.
RJESENJE:
![Page 20: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/20.jpg)
5. (6 bodova) Izracunajte staticki moment homogenog tijela Ω u odnosu na ravninu xy,gdje je Ω omedeno cilindrom x2 +y2 = 4, stoscem z = 4−
√x2 + y2 i ravninom z = 0,
a nalazi se unutar cilindra. Skicirajte Ω.
RJESENJE:
![Page 21: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/21.jpg)
PREZIME I IME: GRUPA:
MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. E
1. (6 bodova) Rijesite diferencijalnu jednadzbu xy′′ − y′
lny
′
x= 0.
RJESENJE:
![Page 22: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/22.jpg)
2. a) (3 boda) Zadana je funkcija f(x, y) = (x− y) · ϕ((x− y)2). Izracunajte
∂f
∂x(x, y) +
∂f
∂y(x, y).
b) (3 boda) Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na graf funkcijef(x, y) = arctan(y − x) u tocki T (1, 1, ?).
RJESENJE:
![Page 23: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/23.jpg)
3. (6 bodova) Ispitajte i odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x+ y2 − y√x− 6y + 1.
RJESENJE:
![Page 24: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/24.jpg)
4. (6 bodova) Izracunajte masu homogenog lika u I. kvadrantu omedenog kardioidomr = 2(1 + cosϕ), kruznicom (x− 1)2 + y2 = 1 i koordinatnim osima. Skicirajte lik.
RJESENJE:
![Page 25: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/25.jpg)
5. (6 bodova) Prelaskom na cilindricne koordinate izracunajte:∫ 2π
0
dϕ
∫ π2
0
dθ
∫ 2
0
r4 sin3 θ dr.
RJESENJE:
![Page 26: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/26.jpg)
PREZIME I IME: GRUPA:
MATEMATIKA I 1. kolokvij 16.05.2012. F
1. (6 bodova) Rijesite diferencijalnu jednadzbu y′′
+ y = sin x.
RJESENJE:
![Page 27: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/27.jpg)
2. a) (2 boda) Skicirajte domenu funkcije f(x, y) =√
y ln(x2 + y2 − 6x).
b) (4 boda) Odredite koordinate diralista one tangencijalne ravnine na graf funkcijef(x, y) = x2 + y2 + xy koja je paralelna s ravninom x + y − z = 0.
RJESENJE:
![Page 28: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/28.jpg)
3. (6 bodova) Ispitajte i odredite ekstreme funkcije f(x, y) =8
x+
x2
y+ y.
RJESENJE:
![Page 29: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/29.jpg)
4. (6 bodova) Izracunajte masu homogenog lika omedenog kruznicama x2 + (y− 1)2 = 1,(x−
√3)2 + y2 = 3 i pravcem x = 0. Skicirajte lik.
RJESENJE:
![Page 30: 1. (6 bodova) Rije site diferencijalnu jednad zbu...PREZIME I IME: GRUPA: MATEMATIKA II 1. kolokvij 16.05.2012. D 1. (6 bodova) Odredite ono rje senje diferencijalne jednad zbe 2xyy0](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041718/5e4ca2fd3902f165b00a48dc/html5/thumbnails/30.jpg)
5. (6 bodova) Prelaskom na cilindricne koordinate izracunajte integral∫∫∫Ω
xz dxdydz,
ako je Ω omedeno plohama z =√
4− x2 − y2, x2 + y2 = 1 i z = 0, a nalazi se izvancilindra. Skicirajte podrucje integracije
RJESENJE: