1 8. reti di code nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/1.jpg)
1
8. Reti di Code
Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa.
Esempio: linea tandem
arrivi1 v
partenze
Vi sono diverse stazioni in cui una parte meccanica deve venire pulita, verniciata, lucidata, asciugata, ecc.
![Page 2: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Esempio: linea con riciclo
arrivi dall’esterno 1 2
partenze
riciclo
Vi sono due macchine in cascata. La prima esegue una certa operazione e la seconda verifica che tale operazione sia stata eseguita correttamente. Nel caso in cui vi sia qualche imperfezione nella lavorazione, questa deve essere eseguita nuovamente.
![Page 3: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Le reti di code vengono distinte in
reti di code aperte reti di code chiuse
Vi sono arrivi dall’esterno e vi sono parti che vengono instradate al di fuori del sistema.
Il sistema è isolato: non vi sono né arrivi dall’esterno né parti che vengono instradate al di fuori del sistema.
![Page 4: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Esempio: rete di code aperta
1 2 3
Esempio: rete di code chiusa
1 2
![Page 5: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Come visto in precedenza la teoria delle code consente di calcolare in modo sistematico le grandezze caratteristiche a regime delle risorse ergodiche nel caso in cui sia i tempi di inter-arrivo che i tempi di servizio sono esponenziali.
Tali risultati non sono in genere applicabili alle reti di code in cui gli arrivi in alcune risorse sono strettamente legati alle uscite delle altre risorse e non godono quindi necessariamente della proprietà di markovianeità.
![Page 6: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Esiste tuttavia un importante teorema relativo alle code M/M/m che consente di utilizzare nello studio delle reti di code M/M/m i risultati visti in precedenza.
Teorema di Burke: In una risorsa M/M/m ergodica e a regime, il processo di uscita è un processo poissoniano caratterizzato dallo stesso parametro del processo di ingresso.
![Page 7: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Esempio: linea tandem a due stati con risorse M/M/1
1 2
La risorsa 2 vede in ingresso degli arrivi poissoniani che sono l’uscita dalla risorsa 1.
Ogni singola risorsa può venire studiata separatamente.
)ρ(1ρ
x)ρ(1
ρx
2
22
1
11
Numero medio di utenti nelle singole risorse a regime
![Page 8: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/8.jpg)
8
)ρ(1ρ
)ρ(1ρ
xxx2
2
1
121
Numero medio di utenti nella rete a regime
Tempo medio di attraversamento della rete a regime
)ρ(11
)ρ(11
2211
μμ21
![Page 9: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Reti di Code Markoviane Aperte
Sono costituite da v risorse M/M/m.
La i-esima risorsa ha tasso di servizio i e tasso di ingresso complessivo i .
Il processo degli arrivi dall’esterno è poissoniano per ciascuna risorsa. Indichiamo con i
in quello
relativo alla i-esima risorsa.
All’uscita dalla i-esima risorsa il cliente viene instradato alla risorsa j-esima con probabilità rij oppure viene instradato all’esterno con probabilità ri0. Chiaramente per ogni i, risulta
v
0jijr 1
![Page 10: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Esempio: rete aperta composta da tre risorse M/M/1
1 2 31 2 3
1i
n
2in 3
in
0.5 0.5 0.5
0.50.5 0.5
v=3, 1in = 2
in = 7, 3in = 14
2in
33
1in
22
3in
11
0.50.50.5
λλλ
λλλ
λλλValgono inoltre le seguenti relazioni:
![Page 11: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/11.jpg)
11
In generale, data una rete aperta markoviana con v risorse, possiamo scrivere v equazioni del tipo
Equazioni di traffico della rete.j
v
1jji
inii r λλλ
Le probabilità rij vengono dette probabilità di instradamento o di routing.
![Page 12: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Introducendo i vettori riga
inv
in1
inv1 λλλλλλ
le equazioni di traffico possono essere riscritte in forma matriciale come
e definendo
vvv1
1v11
rr
rrR
Rin λλλ
Matrice di routing
![Page 13: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/13.jpg)
13
da cui risulta che 1-in R)(I λλ
Per quanto riguarda l’ergodicità di una rete aperta vale il seguente
Teorema: Una rete aperta è ergodica se e solo se è ergodica ogni singola risorsa.
Si dimostra che se una rete è ergodica la matrice (I-R) è non singolare (condizione necessaria
per l’ergodicità della rete).
![Page 14: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Essendo tale condizione solo necessaria, può aversi che det(I-R) 0 senza che la rete sia ergodica.
1 2
0R)det(I101-1R-I00
10R
Tale sistema non è però ergodico per ogni valore di , 1 e 2. Ad esempio non lo è se > 1 oppure
> 2 .
Esempio
![Page 15: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Definiamo stato di una rete di code con v risorse, un vettore riga x con v componenti, la cui i-esima componente x(i) rappresenta il numero di utenti nella i-esima risorsa.
x(v)x(1)x
La probabilità di stato di una rete di code è definita come
)xx(v),,xPr(x(1))x,,Π(x v1v1
![Page 16: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Teorema di Jackson: In una rete aperta di code markoviane, ergodica e a regime
1. la probabilità che vi siano xi utenti nella i-esima risorsa può ricavarsi come se la risorsa fosse isolata e avesse tasso di arrivo i, dove i è soluzione di
1-in R)(I λλ iΠ
2. la probabilità che la rete sia nello stato
v1 xxx
è)) vv11v1 (xΠ(xΠ)x,,Π(x
si calcola
con le formule viste per le code isolate.
![Page 17: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Si dice pertanto che le reti di code markoviane ed ergodiche godono della forma prodotto.
Se una rete è ergodica
vale ancora la Legge di Little
![Page 18: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Sia in il tasso medio degli arrivi a regime nella rete e i
in il tasso medio degli arrivi a regime nella i-esima risorsa
v
1iixx
Legge di Little in grande
v
1i
ini
in λλ
Sia x il numero medio di utenti a regime nella rete e xi il numero medio di utenti a regime nella i-esima risorsa
inx λ
dove indica il tempo medio di attraversamento dell’intera rete di code.
![Page 19: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Esempio: rete aperta composta da tre risorse M/M/1
1 2 31 2 3
1i
n
2in 3
in
0.5 0.5 0.5
0.50.5 0.5
1in = 2
in = 7, 3in = 14
000.50.50000.50
R
8/72/74/74/78/72/72/74/78/7
R)-(I 1-
221618λ
![Page 20: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Siano
1 = 20, 2
= 32, 3
= 33
allora 1 = 9/10, 2
= 1/2, 3 = 2/3.
Inoltre
))) vv2211321 (xΠ(xΠ(xΠ)x,x,Π(x
e poiché vale la forma prodotto
321 x33
x22
x11321 ρρρρρρ)x,x,Π(x )1()1()1(
![Page 21: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/21.jpg)
21
12)ρ(1
ρ)ρ(1
ρ)ρ(1
ρxxxx
3
3
2
2
1
1321
1in = 1
in + 2in + 3
in = 7 + 7 + 14 = 28
2812x
in λ
Tempo medio di attraversamento dell’intera risorsa.
![Page 22: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Reti di Code Markoviane Chiuse
Non vi sono arrivi dall’esterno, pertanto iin = 0,
per ogni i = 1, … , v.
Non vi sono partenze verso l’esterno, ossia ri0 = 0, per ogni i = 1, … , v.
In numero di clienti all’interno del sistema rimane costante.
Lo spazio di stato di una rete chiusa con v risorse e n utenti è finito e si denota con N v,n.
![Page 23: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Esempio: v=2, n=3.
1)!(vn!1)!n(v
n1nv)card(N nv,
41!3!
4!)card(N 2,3
N v,n = { (3,0), (2,1), (1,2), (0,3) }
![Page 24: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Studiando le reti di code aperte Markoviane abbiamo visto che, se queste sono ergodiche, possono essere studiate esaminando le singole risorse singolarmente poiché in virtù del teorema di Jackson le singole risorse sono statisticamente indipendenti.
Nelle reti chiuse invece questo non è più vero e le risorse non sono più indipendenti. Infatti:
v
1ii nx ossia il numero di utenti
nella rete è costante.
![Page 25: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Una possibilità per studiare una rete di code Markoviane chiuse consiste nell’associare ad essa una particolare catena di Markov a tempo continuo.
Sia
il generico stato della rete.
Costruiamo un grafo con tanti vertici quanti sono gli stati della rete.
][ vjk1 xxxxx
]11[ vjk1 xxxx
][ vjk1 xxxx
j-esimo stato
k-esimo stato
k rkj
![Page 26: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/26.jpg)
26
La frequenza con cui si passa dallo stato k-esimo allo stato j-esimo è pari a
k rkj
Infatti per definizione
• rkj rappresenta la probabilità che un utente che esce dalla k-esima risorsa vada alla j-
esima,
• k rappresenta il tasso delle partenze dalla k-esima risorsa.
![Page 27: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Esempio
1 2
1-p
p
v=2, n=3 4)card(N 2,3
La rete può trovarsi in 4 diversi stati.
La prima risorsa ha un solo servente, la seconda ne ha 2 (m1=1, m2=2).
![Page 28: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Poiché il grafo associato a tale CMTC ammette un’unica componente ergodica possiamo concludere che la rete è ergodica.
Nello studio di questa rete possiamo quindi applicare i risultati visti per le CMTC.
Catena di Markov associata alla rete di code chiusa
1
1
3,0 2,1
0,3 1,2
1
p 2
2 p 2
2 p 2
x1x2
x4 x3
![Page 29: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Sia 1 = 10, 2 = 6, p = 0.5
6600
16-1060100133001010
Q
517250
517150
51790
51727
Π1Π0QΠ
li il,
l
Distribuzione limite
![Page 30: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Alternativamente possiamo basarci sulle equazioni di traffico della rete:
j
v
1jjii r λλ
Rλλ
che in forma matriciale possono essere scritte come
dove R è la matrice di routing che gode della seguente proprietà
La matrice R associata ad una rete di code chiusa ha sempre un autovalore = 1.
![Page 31: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Teorema: Una rete di code markoviane chiusa è ergodica se e solo se:
• l’autovalore = 1 di R è semplice.
Questo teorema è molto importante perché ci permette di stabilire se una rete è ergodica semplicemente calcolando gli autovalori della matrice R che ha dimensioni pari al numero di risorse.
Se invece associamo alla rete una CMTC e applichiamo il criterio degli autovalori dobbiamo determinare gli autovalori di Q che ha dimensioni pari al numero di stati.
![Page 32: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Esempio
1 2
1-p
p
p1
p)1)(-(I)-det(R
-p-1p1-I-Rp-1p
10R
1,2
λ
λλλ
λλλ
sempre ergodica
![Page 33: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Vediamo ora come calcolare le probabilità di stato a regime utilizzando le equazioni di traffico della rete.
Diamo prima le seguenti definizioni preliminari.
• Sia soluzione di λ~ Rλλ
v,1,iρi
ii μλ~
coefficiente di traffico della i-esima risorsa
• i(xi) è una funzione che dipende dal numero di serventi della i-esima risorsa
![Page 34: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Se la i-esima risorsa è a servente singolo
ixiii ρ)(x β
Se la i-esima risorsa ha mi serventi
iimxii
xi
iii
xi
ii
mxsem!m
ρ
mxsexρ
)(x
ii
i
i
!β
![Page 35: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Teorema di Gordon e Newell: In una rete di code markoviane chiusa ed ergodica, la distribuzione di probabilità di stato a regime è
)(xΠC1
)x,,x,Π(x ii
v
1iv21 β
dove C è una costante di normalizzazione che si determina imponendo che
1]
)x,,x,Π(x v21Nx,,x,[x nv,v21
![Page 36: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Osservazioni
1) La probabilità di stato a regime è anche nel caso delle reti chiuse nella forma prodotto.
Tuttavia in questo caso le variabili di stato aleatorie xi non sono indipendenti e quindi non è possibile scrivere la probabilità come prodotto delle v probabilità marginali.
2) La determinazione della costante di normalizzazione C richiede l’enumerazione di tutti i possibili stati della rete e risulta pertanto non agevole poiché la cardinalità dello spazio di stato risulta molto elevata anche per piccoli valori di n e v.
![Page 37: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Esempio
1 2
1-p
p
Sia n=3, 1 = 10, 2 = 6, p = 0.5.
31
ρ101
ρ
21
0.50.510
p-1p10R
21
λ~
![Page 38: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/38.jpg)
38
2xse2ρ
2xseρ)(x
ρ)(x
21x
x2
2x
2
22
x111
2
2
2
1
β
β
1/108(3)1/180(2)1/3(1)1(0)
1/1000(3)1/100(2)1/10(1)1(0)
2322
1111
ββββ
ββββ
108C1
C(3)β(0)β
Π(0,3)180C
1C
(2)β(1)βΠ(1,2)
300C1
C(1)β(2)β
Π(2,1)1000C
1C
(0)β(3)βΠ(3,0)
2121
2121
![Page 39: 1 8. Reti di Code Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa. Esempio: linea tandem arrivi 1 v](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062418/5542eb50497959361e8c007d/html5/thumbnails/39.jpg)
39
8147156
C
1Π(0,3)Π(1,2)Π(2,1)Π(3,0)
517250
Π(0,3)
517150
Π(1,2)
51790
Π(2,1)
51727
Π(3,0)
Tale distribuzione coincide con quella trovata associando una CMTC alla rete.