1

ANALISIS VEKTOR

Simon Patabang, MT.

http://spatabang.blogspot.com

2

ANALISIS VEKTOR

• SKALAR DAN VEKTOR

• ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR

• SISTEM KOORDINAT KARTESIAN

• KOMPONEN VEKTOR DAN VEKTOR SATUAN

• SISTEM KOORDINAT SILINDER

• TRANSFORMASI KOORDINAT

• TRANSFORMASI VEKTOR

• SISTEM KOORDINAT BOLA

3

SKALAR DAN VEKTOR

• Skalar

– Hanya mempunyai besar

– Massa, volume, temperatur, energi

• Vektor

– Mempunyai besar dan arah

– Gaya, kecepatan, percepatan

Notasi Vektor

• Vektor dilambangkan dengan tanda panahdi atas simbolnya.

Misalnya Vektor A dilambangkan dengannotasi

• Skalar dinyatakan dengan huruf biasa.

Misalnya Skalar B dilambangkan dengannotasi B

A

• Besar (nilai) dari suatu vektor digambarkan

dengan diagram anak panah sbb :

A

Diagram Vektor

• Vektor berlawanan arah denganvektor tetapi besarnya sama.

A

A

Vektor dalam Bidang Kartesian

• Sebuah vektor dapat digambarkan dalam bidangkartesian berdasarkan titik koordinat.

• Misalnya vektor A berpangkal pada titik O(0,0) danujungnya pada titik P(6,7) digambarkan sebagaiberikut :

• Ujung vektor A terletak pada titik P(x,y,z) danberpangkal di titik 0 dalam ruang 3 dimensidengan sumbu X, Y dan Z positif.

Komponen Vektor

• Komponen vektor dapat ditentukan dalamkoordinat kartesian dengan arah i , j , dan k.

• Komponen i, j, k adalah vektor satuan yangsejajar dengan sumbu- x, y, dan z.

Vektor satuan (unit vector)

• Vektor satuan adalah vektor dengan panjangnya 1 satuan panjang.

• Besarnya vektor satuan dari A adalah :

Aa

A

a adalah vektor satuan dari A

Vektor Basis

• Vektor Basis adalah komponen i, j, dan k yangmenyatakan arah vektor pada sumbu kartesian.

• Sebuah vektor A(x,y,z) dinyatakan dalam vektorbasis i, j, k seperti pada gambar berikut :

11 Analisis Vektor

• Medan skalar

–Besarnya tergantung padaposisinya dalam ruang

–EP = m g h

• Medan vektor

–Besar dan arahnya tergantungpada posisinya dalam ruang

–F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

12 Analisis Vektor

ALJABAR VEKTOR

• Penjumlahan vektor

1. Metoda jajaran genjang

A

BC = A + B

13

2. Metoda poligon

AB

• Penjumlahan beberapa vektor dengan caramemindahkan dan meletakkan vektor keujung vektor yang lain hingga habis.

• Contoh :

• Jumlah dari vektor-vektor yang merupakansisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalunol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.

16

• Pengurangan vektor

Pengurangan dilakukan dengan membalikarah vektor B.

C = A – B = A + (- B)

Analisis Vektor

PERKALIAN VEKTOR

• Perkalian titik (Dot Product)

– Hasilnya skalar

ABcosBABA

ABcosABAB

ABBA

18

• Perkalian Silang– Hasilnya vektor

aN = vektor satuan yang tegak

lurus pada bidang yang

dibentuk oleh vektor-vektor

A dan B (arahnya sesuai

dengan aturan ulir tangan

kanan)

NAB asinBABA

A B

A

AB B

B A

ABBA

19

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN

• Titik

– Dinyatakan dengan

3 buah koordinat x,

y dan z P(x, y, z)

– P(1, 2, 3)

– Q(2, -2, 1)

20

• Vektor

Dinyatakan dengan

tiga buah vektor

satuan ax, ay dan az

r = x + y + z

r = x ax + y ay + z az

r = vektor posisi dari

sebuah titik dalam

ruang

21

Vektor posisi

• Adalah vektor yang berpangkal pada titik asal(0,0,0) dan ujungnya pada titik tertentu,misalnya titik pada titik P(x,y,z).

• Vektor A pada gambar menunjukkan vektorposisi dari titik P

Contoh :

Gambarkan vektor posisi dari titik P(1,2,3) dan Q(2,-2,1)

vektor posisi titik P adalah rP = i + 2 j + 3 k

vektor posisi titik Q adalah rQ = 2 i - 2 j + k

22

23

• Jarak antara 2 buah titik P dan Q

RPQ = rQ – rP

= [2 - 1] i + [- 2 - (2)] j + [1 - 3] k

= i - 4 j – 2 k

Contoh :

Diketahui titik A (1,2,3) m, titik B (4,6,8)m dan titik C

(3,3,5) m, Tentukan :

(a). r AB’

(b). rAC’

(c). sudut antara r AB’ dan rAC’

Penyelesaian :

a. Vektor rAB = (4-1)i + (16-2)j + (8-3)k

= 3i + 4j + 5k

| rAB | = (9+16+25)1/2 =7,05 m

b. Vektor rAC = (3-1)i + (3-2)j + (5-3)k

rAC = 2i + j + 2k m

| rAC | = (2²+1²+2²)1/2 = 3 m

rAB . rAC =| rAB | | rAC | cos

(3i + 4j + 5k )(2i + j + 2k ) = 7,03 x 5 cos

5,219302,0cos

305,7

2.51.42.3cos

1

1

c. Sudut antara vektor rAB dan vektor rAC’, dapatdiperoleh dari penurunan rumus perkaliantitik antara vektor rAB dan rAC, yaitu :

1. Penjumlahan dua vektor:

2. Perkalian skalar h dengan vektor A:

Operasi Vektor:

Vektor A= ai + bj + ck dan vektor B= pi + qj + rk, maka :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B a p i b q j c r k

A B a p i b q j c r k

( ) ( ) ( )hA ha i hb j hc k

• Perkalian dot pada arah yang sama (i.i = j.j = k.k)membentuk sudut 0o, maka cos 0 = 1.

• Perkalian dot pada arah saling tegak lurus (i.j = j.k =i.k) membentuk sudut 90o, maka cos 90 = 0.

3. Perkalian dot (titik)

. . . 1

. . . 0

i i j j k k

i j i k j k

2 2 2

2 2 2

2 2 2

.

.

A B ap bq cr

A A a b c

A a b c

B p q r

29 Analisis Vektor

• Perkalian titik dalam sistem koordinatkartesian

A = Ax ax + Ay ay + Az az

B = Bx ax + By ay + Bz az

A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

A B = ABcos AB

2

z

2

y

2

x

2

z

2

y

2

x

BBBB

AAAA

222

zyx

B

BBB

B

B

Ba

30

ContohDiketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1)

Tentukan :

a. RAB RAC

b. Sudut antara RAB dan RAC

c. Vektor satuan RAB pada RAC

Jawab :

Vektor posisi A, B, dan C

RA = 2i + 5j – kRB = 3i - 2j + 4kRC = -2i + 3j + k

31

RAB = (3-2)i + (- 2 - 5)j + (4 –(-1)) kRAB = i – 7 j + 5 kRAC = (-2-2)i + (3-5)j + (1-(-1)) kRAC = - 4 i – 2 j + 2 k

a). RAB RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20

899,44416660,825491 ACAB RRb).

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20

RR

RRcos

Proyeksi RAB pada RAC :

|RAB aAC|aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC

= 4,08 (- 0,816 i – 0,408 j + 0,408 k)

= - 3,330 i – 1,665 j + 1,665 k

4 2 20,816 0,408 0,408

4,899

ACAC

AC

R i j ka i j k

R

c). Vektor Satuan

4. Perkalian Silang (Cross)

• Perkalian silang pada arah yang sama (ixi = jxj = kxk)membentuk sudut 0o, jadi diputar dengan sudut 0o

maka sin 0 = 0.

0ixi jxj kxk

ixj jxi k

jxk kxj i

kxi ixk j

• Perkalian silang pada arah saling tegak lurusmenempuh sudut putar 90o, maka :

Maka A x B adalah :

i j k

AxB a b c

p q r

35

• Perkalian silang dalamsistem koordinatkartesian

A = Ax i + Ay i + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

A x B = ABsin AB aNA B

A

AB B

A B = (AyBz – AzBy­) i +

(AzBx – AxBz­) j +

(AxBy – AyBx­) k

x y z

x y z

i j k

A B A A A

B B B

36

a. RBC RBA

b. Luas segitiga ABC

c. Vektor satuan yang tegak lurus padabidang segitiga

Contoh.2Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3,

2, 4) dan C(0, 3, 1)

Tentukan :

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

Jawab :

37 Analisis Vektor

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

3 1 3

5 7 3

[(1)( 3) ( 3)( 7)]

[(3)( 3) ( 3)(5)]

[(3)( 7) (1)(5)]

24 6 26

BC BA

i j k

R R

i

j

k

i j k

a)

38

b).

A

AB

C

B

D

RBC RBA

24 6 26BC BAR R i j k

sin

( )( sin )

( )( )

2

BC BA BC BAR R R R

BC BA

BC AD

Luas ABC

a).

2 2 2

2

24 6 26 35,88817,944

2 2

BC BAR RABC

39 Analisis Vektor

A

AB

C

B

D

RBC RBA

24 6 16

35,888

0,669 0,167 0,725

BC BAN

BC BA

x y z

R Ra

R R

i j k

a a a

c).

Soal Latihan :

Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2),B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1).

Carilah

a. Vektor RAB dan RAC

b. Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC

c. Luas Segitiga tersebut

Vektor Perpindahan

• Pada berbagai kasus fisika, kita akan seringberhadapan dengan permasalahan yang melibatkandua titik, yatu sebuah titik sumber r’ (tempat sumbermedan berada) dan titik medan r yang sedangditinjau besar medannya.

• Posisi relatif dari titik sumber r’ ke titik medan rdinyatakan dengan ṝ = r – r’

Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titikmedan digambarkan sbb :

Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah

'r r r

dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):

'

'

r r rr

r r r

Contoh :

Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11,8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada dititik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan darititik P ke titik Q serta besar dan arah vektorperpindahan tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,8).

Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah:

rP = 3i + 2jrQ = 11i + 8j

• Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yangdiperoleh sebagai berikut

Δr = rQ – rP

Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j)

Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)Δr = 8i + 6j

Besar vektor perpindahan :

ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j |

r = √(8² + 6²) = 10

8 6

10

0,8 0,6

r i jr

r

r i j

Vektor satuan :

46 Analisis Vektor

• Elemen Luas (vektor)– dy dz ax

– dx dz ay

– dx dy az

47 Analisis Vektor

• Elemen Volume (skalar)

– dx dy dz

Sekian