1 ) bosons statistique de bose-einstein les particules sont indiscernables aucune contrainte sur...
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1 ) Bosons statistique de Bose-Einstein
les particules sont indiscernables
aucune contrainte sur le nombre de particules par état
Ensemble de règles pour énumérer les états
2 ) Fermions statistique de Fermi-Dirac
les particules sont indiscernables
le nombre de particules par état est 0 ou 1
3 ) Classique statistique de Maxwell-Boltzmann
les particules sont discernables
aucune contrainte sur le nombre de particules par état
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Exemple2 particules : A et B3 états : 1, 2 et 3
discernables (A ≠ B)
indiscernables (A = B)
9 états distincts
6 états distincts
3 états distincts
Plu
s re
stri
ctif
(l
e n
om
bre
d’é
tats
dis
ponib
les
pour
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FD < MB < BE
Probabilité que 2 particules soient…
même état
état différent=
3
6=
1
2
=3
3= 1
= 0
répulsionstatistique
attractionstatistique
Exemple2 particules : A et B3 états : 1, 2 et 3
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nr : nombre de particules dans l’état quantique r d’énergie εr
Formulation statistique du problème
V, T
• N particules identiques (discernables ou non)
• On néglige toujours les interactions (gaz idéal)
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Nombre moyen de particules dans l’état quantique s (ensemble canonique) :
r
Ex: 3 particules, 4 états
état quantiquedu gaz dans
son ensemble
Formulation statistique du problème
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Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation
somme restreinte qui exclut l’état s
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Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation
ne s’annulent pas !
ns = 0
ns = 1dépend de l’état ‘s’ exclude la sommation
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Statistique de photons (cas le plus simple)
Paroichauffée
émet des photons
absorbe des photons
• Photon : boson de masse nulle (spin = 1)
• Aucune restriction sur le nombre de photons
• Statistique de photons cas particulier de la statistique de Bose-Einstein
Bose (1920)
N ≠ cte
Einstein (1925) masse non-nulle
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Nombre d’occupation (nombre moyen de particules dans l’état quantique s)
Cette somme n’est plus restreinte à N
n1, n2, etc. prennent toutes les valeurs de nr = 0, 1, 2, … pour chaque valeur de r, peu importe le ns en dehors de la sommation
Statistique de photons
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suitegéométrique
Distribution de Planck
Max Planck - 1900(empiriquement)
Nombre moyen de photons dans l’état s d’énergie εs
On peut aussi récrire :
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Fonction de partition
(aucune restriction)
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Statistique de Fermi-Dirac
• Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N
• Revenons à la définition :
ns = 0 ou 1pour les fermions
somme restreinte surtous les autres états
Énumérationdes étatspossibles
ns = 0 ou 1
n1 = pondération
(contrainte)
Énumérationdes étatspossibles
ns = 0, 1, 2, 3
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Statistique de Fermi-Dirac
• Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N
• Revenons à la définition :
(contrainte)
N particules distribuées sur tous les états,excluant l’état sN – 1 particules distribuées sur tous les états,excluant l’état sN – 2 particules distribuées sur tous les états,excluant l’état s (impossible pour les fermions)
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ns = 0 ou 1
Fermions →
Bosons →on cherche à relier ces 2 qtés
Si (Taylor)
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Comme
représente une somme sur plusieurs états,
ne dépendra pas beaucoup de quel état « s » est exclu de la sommation :
(i.e. somme non-restreinte)
Paramètre de dégénérescence
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Distribution de Fermi-Dirac
Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs
1) Si εs >>, ns → 0
3) α est déterminé par
2) 0 < exp < ∞
Donc…
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Fonction de partition
• Beaucoup plus compliqué que dans le cas de la statistique de photons…
• Il faut passer ici par la fonction de grande partition (PHY 3214 et section 9.6 de Reif) :
=
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Statistique de Bose-Einstein
Bosons →
Vu :
Avec
Statistique de photons
→
Distribution de Planck
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Distribution de Bose-Einstein
Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs
Distribution de Fermi-Dirac
Distribution de Planck (Photons: bosons avec α = 0)
• Paramètre de dégénérescence α déterminé par
• Fonction de partition
+ pour Fermi-Dirac
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Statistique de Maxwell-Boltzmann
Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables
Illégal en mécaniquequantique
n1 n2 n3
--------------
1 2 1A BC DA BD CA CD BB . .. . .C . .. . .D . .. . .
Ex :
N = 4 particules (A, B, C, D)
3 états
12 étatsdistincts
permutations
un état R en particulier
Fonction departition
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Statistique de Maxwell-Boltzmann
Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables
Fonction departition
Formule du binôme généralisé :
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Statistique de Maxwell-Boltzmann
Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables
Fonction departition
Distribution de Maxwell-Boltzmann
Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs
( distribution canonique ! )
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Statistiques quantiques dans la limite classique
Résumons …
Nombre d’occupation
Fonction de partition
+ Fermi-Dirac
– Bose-Einstein
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Signification physique du paramètre de dégénérescence α
α est déterminé par la contrainte :
On peut aussi obtenir sa valeur en passant pas l’énergie libre de Helmholtz :
PotentielchimiqueQuiz : quel est le potentiel
chimique des photons?
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Grandeur de α ?
Examinons 2 cas limites1) Densité faible
2) Température élevée
1) Soit N « (faible concentration) à une température T quelconque
il faut donc que nr « 1 pour tous les états rpour ne pas excéder N
pour tous les états r
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2) Soit N quelconque quand T »
pour tous les états r
«
• Les termes qui contribuent à cette somme (avec α fixe) sont ceux pour lesquels εr « α …
…car pour εr » α , → 0
• Si → 0 (i.e. T »), de plus en plus de termes contribuent à .
>Pour éviter que , α doit augmenter pour que chaque
terme demeure petit :
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En résumé…
Concentration faible
Température élevée
c’est la limite classique
pour tous les états r
α »
pour tous les états r
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Dans la limite classique :
X
On retrouve la distribution de Maxwell-Boltzmann
Limite classique :(α >>)
BE
FDMB
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Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs
Paramètre de dégénérescence
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Entre0 et 1(Pauli)
Valeurs de α < 0 ou > 0
Pour α >>FD → MB
(gaz non-dégénéré)Pour α << 0ns → 1
(gaz dégénéré)
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Valeurs de α > 0 (sinon ns < 0)
Pour α >>BE → MB
(gaz non-dégénéré)
Pour α+βεs = 0, ns → ∞(gaz dégénéré)
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Intermédiaire entreFD et BE
Valeurs de α < 0 ou > 0 comme pour FD
ns (BE) > ns (MB)(attraction statistique)
ns (FD) < ns (MB)(répulsion statistique)
MB commenceà faire défaut ici...
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Limite classique
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Z dans la limite classique
« 1 (limite classique)
ln (1 + x) ~ x – x2/2 + …
nombre de permutations possibles(N particules identiques)
Statistiques quantiques aucun paradoxe
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Note
En mécanique quantique, on associe une longueur d’onde à tout objet :
Longueur d’onde dede Broglie
On peut montrer que si d >> λ
distance interparticule
d
λ
1) Si α >>d
non-dégénéré
2) Si α <<d
dégénéré
ns → 1 (FD)
ns → ∞ (BE)
limite classique(problème 9.5)
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Pour α+βεs = 0, ns → ∞
Condensation de Bose-Einstein
(gaz dégénéré)
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Le condensat de Bose-Einstein
Prix Nobel 2001
Refroidissement par évaporation
400 nK
200 nK
50 nK