§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CHO KỲVỌNG,

MEDIAN, PHƯƠNG SAI VÀ XÁC SUẤT

§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Giả sử θ là tham số cần ước lượng. trong tay chúng ta chỉ có một mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn). Vì vậy đểước lượng cho θ không thể dựa vào mẫu ngẫu nhiên.

Ta sẽ dùng một hàm nào đó của mẫu, tức là một hàm nào đó của biến X1, X2,…., Xn để làm ước lượng cho θ. Ký hiệu hàm đó là θ*(X1, X2, …, Xn). Như vậy θ*(X1, X2, …, Xn) là một biến ngẫu nhiên vì X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. θ* (X1, X2, …, Xn) nhận một giá trị cụ thể ( một điểm ) khi mẫu ( X1, X2,…, Xn) nhận một giá trị cụ thể (x1, x2, …, xn) nên θ* gọi là ước lượng điểm.

1.Ước lượng điểm

Vì θ* ( X1, X2, …, Xn) là biến ngẫu nhiên nen ta không thể dòi hỏi θ*(X1, X2, …, Xn) đúng bằng giá trịθ cầntìm được.

Ước lượng θ*(X1,X2, …, Xn) dược gọi là ước lượng không lệch của θ nếu thoả mãn:

Eθ*(X1, X2, …, Xn) = θNếu Eθ*(X1, X2, …, Xn) = θ + C thì θ*(X1,X2, …, Xn) gọi là ước lượng chệch đối với độ chệch C.

Như vậy là ước lượng không chênh lệch cho EX

S2 là ước lượng không chệch cho DX Ŝ2 là ước lượng không chệnh của DX đối với độchệch – DX/n

2.Ước lượng không chệch

X

X là ước lượng không chênh lệch của kỳ

vọng của biến ngẫu nhiên bất kỳ . cụ thể

là ước lượng không chệch cho tham ẩn

μ phân phối chuẩn, cho tham số ẩn λ của

phân phối Poison và cho tham ẩn

phân phối mũ…

3. Ước lượng điểm cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

X

1

ước lượng cho xác suất p của biến cố A nào đó

(hay ước lượng cho tỷ lệ nào đó) là

p* = , trong đó n là số lần quan sát, m là số

lần xảy ra biến cố A.

p* =

cũng là ước lượng không chệnh cho xác suất p.

(vì Ep* = E( ) = .Em = = p)

4.Ước lượng điểm cho xác suất :

n

m

n

m

2.1Định nghĩa ước lượng khoảng: Một khoảng với hai đầu mút ngẫu nhiên (θ1

*(X1, …, Xn), θ2

*(X1, …, Xn)) được gọi là ước lượng khoảng cho tham ẩn θ với độ tin cậy 1-α tức là:

p{θ1*(X1, …, Xn) < θ < θ2

*(X1, …, Xn) } = 1- α(ở đây (X1, …, Xn) vẫn ký hiệu là mẫu ngẫu nhiên ). Như vậy xác suất để tham số không nằm trong khoảng (θ*

1(X1, …, Xn), θ*2(X1, …, Xn)) chỉ bằng α.

Khoảng (θ*1(X1, …, Xn), θ*

2(X1, …, Xn)) được gọi là khoảng tin cậy. giá trị 1- α gọi là độ tin cậy.Còn θ*

2 – θ*1 gọi là độ chính xác của ước lượng.

Rõ ràng với cùng một độ tin cậy thì khoảng tin cậy càng hẹp càng giúp ta xác định chính xác được tham số cần tìm.

§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn:Nếu (X1, …, Xn) được rút ra từ họ chuẩn thì

= N(EX , DX/n ) (xem §5 chương I).

Nếu mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ biến ngẫu nhiên X không phải chuẩn, khi đó cũng có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng EX và phương sai DX/n nếu n đủ lớn. (Kết quả này nhận được từ định lý giới hạn trung tâm trong lý thuyết xác suất). vấn đề cần nói đến ở đây là: Thếnào gọi là đủ lớn? Tốt nhất là n ≥ 100, song trong nhiều ứng dụng n ≥ 30 cũng được coi đầy đủ lớn để sử dụng xấp xỉ chuẩn của (xem [2]).

§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

X

X

Nếu DX đã biết (DX = δ2):

Khi đó ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = EX

(nếu X không chuẩn thì đòi hỏi n ≥ 30) với độ tin

cậy 1- α là:

Trong đó xác định từ

Cơ sở lý luận của kết luận trên như sau:

2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn

nuX

nuX

).

2(;).

2(

)2

(

u2

1))2

((

u

2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn

Nếu DX chưa biết:

Giả sử (X1, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên rút ra từ

biến ngẫu nhiên chuẩn, Xi ≈ N(μ, δ2). Để đưa ra

ước lượng khoảng cho μ = EX ta xuất phát từ

khẳng định:

Đại lượng

có phân phối student với n-1 bậc tự do

Do vậy với tốc độ tin cậy 1-α, ước lượng khoảng

của μ là:

2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn

1

ns

X

2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn

Ước lượng đối với tỷ lệ (xác suất) nào đó là bài

toán rất hay gặp ở trong các lĩnh vực. Xác suất p

chính là tham ẩn của phân phối nhị thức. Trong

§1 ta đã chỉ ra ước lượng điểm của p là:

P* = m/n

Ta có thể biểu diễn cách khác của p* như

sau:

giả sử (X1, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên

2.3Ước lượng khoảng đối với tỷ lệ hay xác suất

2.3Ước lượng khoảng đối với tỷ lệ hay xác suất

Trong §2 chúng ta đã giải quyết bài toán xây dựng ước lượng khoảng. khi cho mẫu ngẫu nhiên, có nghĩa là cho cỡ mẫu n, cho độ tin cậy 1-α, ta xây dựng được ước lượng khoảng (θ*

1, θ*

2). Như vậy độ chính xác của ước lượng ε = θ*

2 – θ*1 cũng sẽ chỉ ra. Trong trường hợp ước

lượng khoảng dối xứng dạng (θ* - b , θ* + b ), trong đó b có thể là hằng số, có thể là ngẫu nhiên, thì ε = 2b, có lúc để đơn giản ta lấy ε = b.

Trong các trường hợp trình bày ở §2.2, §2.4 các ước lượng khoảng đều đối xứng vag đều phụ thuộc cỡ mẫu n.

Bây giờ bài toán đặt ngược lại: cho độ tin cậy, cho độchính xác ε, hãy tìm số quan sát n cần thiết để nhận được ước lượng với độ tin cậy và độ chính xác đã cho.

§3. ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG

VÀ QUAN SÁT CẦN THIẾT

§3. ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG

VÀ QUAN SÁT CẦN THIẾT

1. số liệu đã cho trong bài tập 1 chương І, hãy:a. Chỉ ra Median mẫu.b. Với độ tin cậy 95%, có thể nói doanh số trung

bình/tháng của các hộ nằm trong khoảng nào? Giảthiết X tuân theo luật chuẩn.

c. Ước lượng tỷ lệ % các hộ có doanh số/tháng ≥ 11 triệu. Với độ tin cậy 99% tỷ lệ này nhất là bao nhiêu?

2. Với số liệu đã cho trong bài tập 2 chương І, hãy:a. Chỉ ra Median mẫu, giá trị trung bình mẫu?b. với độ tin cậy 95% năng suất lúa trung bình của

huyện thấp nhất và cao nhất là bao nhiêu? ( giả thiết năng suất lúa là biến ngẫu nhiên chuẩn).

c. Tỷ lệ % số điểm trồng lúa có năng suất cao >35tạ/ha? Tỷ lệ này thấp nhất là bao nhiêu với độ tin cậy 99%.

3. Có một khu rừng có diện tích rất lớn. căn cứ vào kết quả điều tra ngẫu nhiên trên 31 ô, mỗi ô có diện tích trên 0,1 ha được giá trị trung bình mẫu ( thể tích gỗ trung bình trên mỗi ô) và sai số tiêu chuẩn trên mỗi ô là 10,2m3, s = 1,45m3. Hãy ước lượng số quan sát cần thiết để sai số ước lượng không vượt quá 0,4m3 với độ tin cậy 95%?

Nếu muốn sai số không vựơt quá 0,5 thì cần điều tra bổ sung hay không

Nếu muốn sai số khôngvượt quá 0,5 và số quan sát không vượt quá cỡ mẫu đã điều tra thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu (Số liệu trích từ [3]).

Hãy chỉ ra ước lượng khoảng đó. Giả thiết X tuân theo luật chuẩn.

X

5. ước lượng số cá trong hồ, người ta đánh

bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống. vài

ngày sau, ta lại đánh bắt 400 con thì thấy

80 con cá được đánh dấu. Với đọ tin cậy

95% số cá trong hồ có bao nhiêu con?

(xem [5]).

6.Một xí nghiệp đưa ra thị trường một sản phẩm mới. Để xem đánh giá của người tiêu dùng đối với loại sản phẩm mới này như thế nào , người ta phát cho mỗi người mua hàng đó một phiếu thăm dò và yêu cầu gửi lại cho xí nghiệp chậm nhất là sau 3 tháng. Vì điều kiện thời gian nên xí nghiệp không thể hỏi ý kiến của tất cả khách hàng trong cả nước, cho nên họ chỉ gửi phiếu tăm dò cho khách hàng ở Hà Nội. kết quả, sau 3 tháng, xí nghiệp nhận được 300 phiếu thăm dò, trong đó có 90 phiếu tỏ ra thích loại sản phẩm này (cả về chức năng và giá cả). Hãy ước lượng tỷ lệ thực khách hàng thích loại sản phẩm này?

Với đọ tin cậy 95% tỷ lệ đó cao nhất là bao nhiêu? Muốn nhận được ước lượng khoảng cho tỷ lệ thực với đọ chính

xác là 0,03 thì cần thăm dò thêm bao nhiêu phiếu nữa. Với mẫu n = 300, ước lượng khoảng có độ chính xác là 0,0436

thì độ tin cậy của kết luận về ước lượng khoảng là bao nhiêu?