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Calculs de plaques fissurées avec XFEM

Workshop « Méthodes Numériques Innovantes, Applications à la Mécanique », 23-24 juin 2008, INSA de Lyon

Jérémie Lasry, (IMT / INSA Toulouse)Directeurs : M. Salaün (ISAE) et Y. Renard (ICJ / INSA Lyon)

Responsable scientifique Airbus : M. Balzano

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INTRODUCTION

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Insuffisances des éléments finis classiques en domaine fissuré

1. Contrainte au niveau du maillage Raffiner autour du fond de fissure Remailler après propagation

2. Taux de convergence médiocre (même en e.f. ou ) :2P 3P

21hOuu h

XFEM permet de pallier à ces inconvénients.

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Caractéristiques d’XFEM

Kk

n

l

klkl

Jj

jj

Ii

iih

s

FcHbuu1

H : fonction « saut » (vaut ± 1)

: singularités de fond de fissure

Si propagation, seuls les ddl singuliers sont mis à jour.

lF

Éléments finisclassiques

Fonctions représentant la singularité

Représentation de la fissure

XFEM = MEF classique + fonctions de formes locales spécifiques qui représentent la fissure

XFEM en plaques

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Cadre de travail : Fissures traversantes Matériau homogène isotrope, hypothèse des

petites déformations et des petits déplacements problème linéaire

Mécanique linéaire de la rupture, matériaux fragiles (≠ ductiles)

Bibliographie : un seul article d’XFEM en plaques (Moës & co., 1999) perte de précision si épaisseur mince.

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Dimension industrielle : collaboration avec Airbus

Amène de nouvelles contraintes :

1. Coût de calcul et complexité raisonnables (En vue : intégration dans un code de calcul)

2. La méthode doit être robuste même pour des plaques très minces (élancement = ).410

Article Moës : modèle Mindlin-Reissner

Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage :

XFEM Moës : MITC 4, singularités sans traitement=> Nous pensons que ça produit aussi du verrouillage

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Epaisseur = 1/10 Epaisseur = 1/20 Epaisseur = 1/30

8

Epaisseur x 20

XFEM moins précis que la méthode classique en cas d’épaisseur mince

Article Moës : résultat numériqueV

ale

ur

à o

bte

nir

= 1

Il faudrait appliquer un traitement aux singularités

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Question : quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être

exactes pour être efficaces :

Sous-intégration (QUAD 4) => perte de précision Kirchhoff discret (DKT) et Projection (MITC 4) =>

non-applicables pour des fonctions non-polynomiales Polynômes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps

de calcul (contexte industriel)

Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant.

Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

...;cos;sin 22 rrFk

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Démarche de la thèse Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love

Adapter les idées développées en élasticité 2D (cf. Ref).

Objectifs à atteindre :1. Précision : même taux de convergence qu’un problème sans

fissure (selon méthode).

2. Coût de calcul : du même ordre que les éléments finis classiques.

3. Implémentable dans un code de calcul industriel

...2,1; phOuu ph

Ref : P. LABORDE, J. POMMIER, Y. RENARD, M. SALAÜN. High order eXtended Finite Element Method for cracked domains.Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 64, pp 354-381, 2005.

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Travaux de thèse : Modèle de Kirchhoff-Love

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PLAN

1. Présentation du modèle de Kirchhoff-Love1. Caractéristiques du modèle2. Discrétisation3. Modes singuliers

2. Formulation XFEM « standard »1. Cas-test et résultats numériques2. Problème en quadrangles

3. Formulation XFEM « Raccord Intégral » 1. Résultats numériques2. Application industrielle : calcul de facteurs d’intensité de

contraintes (FIC)

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1. Modèle de Kirchhoff-Love Avantages :

Modèle précis pour plaque mince (limite du 3D quand e →0 ) Pas de verrouillage numérique Singularités connues (modèle de bilaplacien)

Pas de déformation de cisaillement transverse :

Seule fonction inconnue :

Contrainte : La discrétisation nécessite un élément fini éléments HCT/FVS réduits conviennent, avec coût de calcul raisonnable.

1C

3u

23 Hu

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Singularités et modes de sollicitations (Grisvard)

En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit :

21

23

1353

221

23

137

1 sinsincoscos23

KKrAus

Flexion anti-symétrique => Mode II Cisaillement, Torsion

Flexion symétrique => Mode I

,A : constantes du matériau

SR uuu 3

21,KK : facteurs d’intensité de contrainte

Discrétisation : les éléments HCT/FVS réduits(P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems. North-Holland, 1978)

Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement .

3 degrés de liberté par nœud : 1 déplacement + 2 dérivées (= Mindlin, donc coût raisonnable)

Précision de l’élément (régularité requise : solution u dans ) Norme H² : O(h) (théorique) Norme L² : O(h²) (observé)

1C

3H

HCT réduit

FVS réduit

Or, partie régulière dans (cf. Grisvard)

=> Avec singularité exacte, convergence optimale atteignable

4H

3P

suu

1P

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2. XFEM « Standard »

Expression de l’inconnu :

Expression des enrichissements :

Kk l

lkkl

Jj

jj

Ii

iih

Fc

Hbau

4

1

21

423

321

223

1

21

23

1353

221

23

137

1

sin;sin;cos;cos

sinsincoscos

23

23

23

23

23

rFrFrFrF

KKrAus

lF

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Solution exacte pour les tests numériques

(K1 = 0, K2 = 1)

Tests réalisés avec Getfem++

J. POMMIER, Y. RENARD. Getfem++, an open source generic C++ library for finite element methods. http://home.gna.org/getfem.

21

23

1353 sinsin u

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19

Système non-inversible en quadrangles

En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement.

Pas de problème en triangle => changer les quadrangles en 2 triangles

20

21

3. XFEM « Raccord intégral » Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine :

Raccord intégral :

Multiplicateurs approchés en Autre type de raccord possible ( seulement)

4

1k

kk

Jj

jj

Ii

iih FcHbav

Jj

jj

Ii

iih Hbaw

Mdwv hh

0.

0dwv hh

1Pn

22

23

24Nombre d’éléments sur un bord

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Application industrielle : Calcul de FIC

K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC) Grandeurs utilisées dans l’industrie comme critère de

propagation (valeur critique) En principe : évalués par post-traitement (intégrales de

contour)o XFEM « Raccord Intégral  » :

o par identification des , on déduit les FIC

4

1k

kk

Jj

jj

Ii

iih FcHbav

21,KK

21

23

1353

221

23

137

1 sinsincoscos23

KKrAus

kc

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Résultats numériques : Calcul de FIC

Nbre elements sur coté long

20 40 60 80 100 125

Erreur K1 relative (%)

7.90 2.58 1.14 0.40 0.03 0.08

Idem, maillages non-structurés

9.99 4.40 2.22 1.98 0.02 0.08

Plaque soumise a des moments uniformes (valeur de K1 référencée, maillage quadrangle)

Inconvénient : résultats pas forcément décroissants

Erreur théorique est globale, et pas locale

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Conclusion pour Kirchhoff-Love Méthode bien formulée :

Précision optimale atteinte Coût de calcul supplémentaire marginal Conditionnement amélioré

=> Idées élasticité 2D ont pu être étendues au cas des plaques.

Méthode compétitive et utilisable en contexte industriel

Perspectives : Comparaison FIC avec intégrales de contour Recherche d’une approche pour Mindlin-Reissner

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SUPPLEMENTS

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Généralités sur les modèles de plaques

5 fonctions inconnues :

2133213

21321321

,,,

2,1;,,,,

xxuxxxu

xxxxxuxxxu

= 2 e

30

Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D)

En homogène-isotrope, et sont découplés : = élasticité 2D (déjà bien traité) = flexion : le sujet d’intérêt.

Pour Mindlin-Reissner : Modèle le plus utilisé dans l’industrie Discrétisation : problème de verrouillage

numérique

21,uu 213 ,, u

213 ,, u 21,uu

31

Exemple de verrouillage en MEF classique (polynômes Q1)

Elancement = 1/10 Elancement = 1/20 Elancement = 1/30

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Origine du verrouillage

Minimisation : Trouver

e faible => prépondérance du terme de cisaillement transverse (pénalisation)

=> Les éléments finis classiques représentent mal cette

contrainte :

Exemple en P1 :

,2

:2

, 3

2

3

3

3 uluGe

De

uJ

Flexion Cisaillement Transverse

313 , Hu

03 u

0, 330 uuV

00 VV h

33

Traitements classiques nombreux

Sous-intégration (QUAD 4) Relations Kirchhoff discrètes (DST-DSK) Projection sur polynômes de degrès plus

faible (MITC4) Polynomes P2, P3 Méthodes mixtes

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Traitement du verrouillage (élancement = )

QUAD 4 ou MITC 4 Degrés 2

510

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Cas XFEM : Quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être

exactes pour être efficaces :

Sous-intégration => perte de précision Kirchhoff discret et Projection => non-applicables pour des

fonctions non-poynomiales Polynomes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps

de calcul (contexte industriel)

Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant. Mettre au point un traitement valable pour les fonctions

singulières nécessiterait un travail important.

...;cos;sin 22 rrFk

36Epaisseur x 20

XFEM moins précis que la méthode classique en cas d’épaisseur mince (graphe extrait de [2])

XFEM avec MITC 4 (Moës & co., 2000) (sans traitement particulier sur les enrichissement singuliers)

Problème : Du verrouillage numérique est produit

Va

leu

r à

obt

eni

r =

1

37

Conclusion sur Mindlin

Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers

Perspectives : Évaluation plus précise de ce type de verrouillage Essais avec polynômes P2 Formulation d’une stratégie mixte (séparation fonction de

forme/enrichissements singuliers)

Autre approche dans la thèse: utilisation d’un modèle de plaque sans verrouillage.