1 ciclo trigonomÉtrico. 2 introdução i)plano cartesiano: sistema de eixos 0x e 0y perpendiculares...
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11
CICLO TRIGONOMÉTRICOCICLO TRIGONOMÉTRICO
22
CICLO TRIGONOMÉTRICOCICLO TRIGONOMÉTRICO
IntroduçãoIntrodução
I)I) PLANO CARTESIANO:PLANO CARTESIANO:
Sistema de eixos 0x e 0y perpendiculares entre si, com origem Sistema de eixos 0x e 0y perpendiculares entre si, com origem no ponto (0, 0).no ponto (0, 0).
O eixo 0x é denominado eixo das abscissas e o eixo 0y é O eixo 0x é denominado eixo das abscissas e o eixo 0y é chamado eixo das ordenadas.chamado eixo das ordenadas.
0 x
y
33
5
0
y
2 3 4 8 10 13
2
3
6
8
10Planaltina
Brazilândia
Brasília
Taguatinga
São Sebastião
Recanto das Emas
x
Observe:
O mapa do Distrito federal (DF), ilustrado abaixo, é apresentado em um plano cartesiano, em que uma unidade de medida equivale a 5 km e cada cidade é identificada com o ponto no mapa que a representa.
44
5
0
y
2 3 4 8 10 13
2
3
6
8
10Planaltina
Brazilândia
Brasília
Taguatinga
São Sebastião
Recanto das Emas
x
(8, (8, 6)6)
Você saberia dizer qual a localização da cidade de Brasília?
Quem respondeu (8, 6) acertou. Veja, 8 unidades no eixo x e 6 unidades no eixo y. Então, as coordenadas de um ponto do plano cartesiano indica a sua localização.
55
Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio unitário (r = 1), Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio unitário (r = 1), com centro na origem de um plano cartesiano ortogonal. Nesse ciclo, com centro na origem de um plano cartesiano ortogonal. Nesse ciclo, considera-se que:considera-se que:
A origem dos arcos é o ponto A(1, 0);A origem dos arcos é o ponto A(1, 0);
O sentido positivo é o anti-horário;O sentido positivo é o anti-horário;
Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em quatro regiões Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em quatro regiões congruentes denominadas quadrantes, (I Q, II Q, III Q e IV Q) numeradas congruentes denominadas quadrantes, (I Q, II Q, III Q e IV Q) numeradas no sentido anti-horário a partir de ;no sentido anti-horário a partir de ;
Aos pontos A, B, C, e D, são associados, respectivamente, as medidas Aos pontos A, B, C, e D, são associados, respectivamente, as medidas dos arcos 0º (ou 0 rad), 90º ou (dos arcos 0º (ou 0 rad), 90º ou (/2 rad), 180º (ou /2 rad), 180º (ou rad), 270º (ou 3 rad), 270º (ou 3/2 /2 rad) e 360º (ou 2 rad) e 360º (ou 2 rad). rad).
Ciclo TrigonométricoCiclo Trigonométrico
OA
66
As figuras a seguir ilustram o que As figuras a seguir ilustram o que foi exposto.foi exposto.
A(1, 0)
B(0, 1)
C(-1, 0)C(-1, 0)
D(0, -1)D(0, -1)
OO
I QI QII QII Q
III QIII Q IV QIV Q
xx
yy
r = 1
++
90º = /2 rad
OO
I QI QII QII Q
III QIII Q IV QIV Q
xx
yy
180º = rad
270º = 3/2 rad
360º = 2 rad
++
77
O
yy
xx
Imagem dos arcos no cicloImagem dos arcos no ciclo
Consideremos o ciclo trigonométrico, no qual os arcos têm Consideremos o ciclo trigonométrico, no qual os arcos têm origem no ponto a e extremidade M. Desse modo, dizemos que o origem no ponto a e extremidade M. Desse modo, dizemos que o arco pertence a um certo quadrante quando M arco pertence a um certo quadrante quando M pertencer a esse quadrante, ou seja:pertencer a esse quadrante, ou seja:
AM (0 AM 2 rad)
++
MM
M IQ AM IQ
0rad AM rad2
AM 0,2
AA
88
++
O
yy
xx
O
++
yy
xx
MM
M IIQ AM IIQ
rad AM rad2
AM ,2
MM
M IIIQ AM IIIQ
3rad AM rad
23
AM ,2
AA
AA
99
++
O
yy
xx
MM
M IVQ AM IVQ
3rad AM 2 rad
23
AM ,22
AA
1010
Arcos CôngruosArcos Côngruos
São arcos que possuem a mesma extremidade no ciclo São arcos que possuem a mesma extremidade no ciclo
trigonométrico.trigonométrico.Suas medidas apresentam diferença múltipla de 2Suas medidas apresentam diferença múltipla de 2rad.rad.Os arcos e , representados no ciclo trigonométrico Os arcos e , representados no ciclo trigonométrico
a seguir, têm a mesma extremidade (Ma seguir, têm a mesma extremidade (M11 = M = M22). Observe que: ). Observe que:
1AM
2AM
2 1
2 1
med (AM ) med(AM ) 2
med (AM ) med(AM ) 2
O
yy
xx
++
MM11
AA
= = MM22
Assim, sempre que acrescentamos Assim, sempre que acrescentamos uma volta a um arco, determinamos uma volta a um arco, determinamos um outro arco côngruo aos um outro arco côngruo aos anteriores. Logo, dois arcos são anteriores. Logo, dois arcos são côngruos quando suas medidas côngruos quando suas medidas possuem diferença múltipla de 2possuem diferença múltipla de 2..
1111
De modo geral, podemos expressar as medidas dos arcos De modo geral, podemos expressar as medidas dos arcos côngruos a um arco de côngruos a um arco de 00 do utilizando a seguinte expressão: do utilizando a seguinte expressão:
0 2k (em radianos)
Onde Onde é a expressão geral dos arcos côngruos a é a expressão geral dos arcos côngruos a 00 e k é o e k é o
número de voltas, com k número de voltas, com k Z. Z.
Observação: o sentido do percurso do arco no ciclo Observação: o sentido do percurso do arco no ciclo trigonométrico é determinado pelo sinal de k, ou seja:trigonométrico é determinado pelo sinal de k, ou seja:
sentido anti-horário para k > 0;sentido anti-horário para k > 0;
sentido horário para k < 0.sentido horário para k < 0.
1212
O
yy
xx
Primeira determinação positiva de um Primeira determinação positiva de um arcoarco
O arco de medida O arco de medida 00, tal que 0 , tal que 0 0 0 < 2< 2 ou 0º ou 0º 0 0 < 360º, é < 360º, é
denominado primeira determinação positiva de uma coleção de denominado primeira determinação positiva de uma coleção de arcos correspondentes ao ponto M. Acompanhe o exemplo dado na arcos correspondentes ao ponto M. Acompanhe o exemplo dado na figura a seguir:figura a seguir:
++
AA
MM150º150º
O ponto M é a extremidade de uma çoleção de arcos cuja expressão geral é O ponto M é a extremidade de uma çoleção de arcos cuja expressão geral é dada por:dada por:
= 150 º + k . 360º ou = 150 º + k . 360º ou = 5 = 5/6 + 2k /6 + 2k , com k , com k Z. Z.
Observe que neste caso, a primeira determinação positiva é 150º ou 5Observe que neste caso, a primeira determinação positiva é 150º ou 5/6./6.
1313
0 , 20 , 2O
P
1
3 / 2
/ 2
1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
1.1 – INTRODUÇÃO: Já estudamos as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Agora, vamos nos aprofundar no assunto, estudando essas razões no ciclo trigonométrico, que definem as funções trigonométricas.Seja um arco trigonométrico de medida , 0 ≤ < /2, conforme a figura:
AM =
Note que a medida do ângulo central MÔP é igual a medida do arco .No triângulo retângulo OMP temos: e
Assim, o cosseno de é a abscissa do ponto M e o seno de é a ordenada do ponto M.
OPcos OP
1
MPsen MP
1
1414
B’ ( 0, 1)
O
( 1, 0) A’
B ( 0, 1)
A ( 1, 0)
GENERALIZANDO:
Na circunferência trigonométrica, todo número real x está associado a um único ponto, extremidade do arco x radianos, e esse ponto tem coordenadas (cos x, sen x).
M( cos x, sen x)M( cos x, sen x)
0 , 2cos x
sen x
32
2
1515
xx
yy
Sen = y
Domínio: D(f) = R
Imagem: Im(f) = [ 1, 1]
Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ
● Sinais :
● Variação:
● Período: p = 2
00 2
32
2
11
11
Gráfico:Gráfico:
B’ ( 0, 1)
O
( 1, 0) A’
B ( 0, 1)
A ( 1, 0)
0 , 2cos x
sen x
32
2
Período: p = 2Período: p = 2
++++
SenoSeno
1616
xx
yy
Cos = x
Domínio: D(f) = R
Imagem: Im(f) = [ 1, 1]
Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ
● Sinais :
● Variação:
● Período: p = 2π
Gráfico:Gráfico:
00 2
32
2
11
11
B’ ( 0, 1)
O
( 1, 0) A’
B ( 0, 1)
A ( 1, 0)
0 , 2cos x
sen x
32
2
++ ++
Período: p = 2Período: p = 2
CossenoCosseno
1717
AA
MM
OO
TANGENTETANGENTEIntroduçãoIntrodução Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na
circunferência trigonométrica um arco de medida circunferência trigonométrica um arco de medida . .
AA
AMAM = =
OO
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A:Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A:
tt
TT
O prolongamento do raio intercepta a reta O prolongamento do raio intercepta a reta t no ponto T. No triângulo AOT, temos:t no ponto T. No triângulo AOT, temos: , como = 1, pois é o raio da , como = 1, pois é o raio da
circunferência trigonométrica, obtemos: circunferência trigonométrica, obtemos:
OM
ATtg
OA OA OA
ATtg tg AT
1
AM
MM
1818
Assim, a tg Assim, a tg é a medida do segmento AT. é a medida do segmento AT.Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonométrico, Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonométrico, consideremos como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das consideremos como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orientação do eixo das ordenadas.abscissas, com origem A e a mesma orientação do eixo das ordenadas.
Eixo das Eixo das tangentestangentes
tt
OO
- 1- 1
AA
11
- 2- 2
22
A’A’
B’B’
BB
DefiniçãoDefiniçãoDado um arco trigonométrico , M Dado um arco trigonométrico , M B, de B, de medida medida , chama-se tangente de , chama-se tangente de ( tg ( tg ) a ) a ordenada do ponto T obtida pela intersecção do ordenada do ponto T obtida pela intersecção do prolongamento do raio com o eixo das prolongamento do raio com o eixo das tangentes.tangentes.
AM
OBSERVAÇÃO:OBSERVAÇÃO:
A tangente não existe para arcos de e A tangente não existe para arcos de e
todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para arcos da forma arcos da forma
3rad , rad2 2
k , com k .2
Z
1919
Tg Tg αα = , cos = , cos αα 0. 0.
Domínio: D(f) = Domínio: D(f) =
Imagem: Im(f) = RImagem: Im(f) = R
Quadrantes:Quadrantes:
● ● Sinais : Sinais :
● ● Variação: Variação:
● ● Período: p = Período: p =
Sinais da tangenteSinais da tangente
Considerando a orientação do eixo das tangentes, percebemos que aos arcos Considerando a orientação do eixo das tangentes, percebemos que aos arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a tangente, e a arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a tangente, e a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a tangente.do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a tangente.
sen
cos
x / x k , com k2
Z
A ( 1, 0)A ( 1, 0)
( 0, 1) B( 0, 1) B
( ( 11, 0 ) , 0 ) A’A’
( 0, 1) B( 0, 1) B’’
NN
Q
M M
OO
PP
tt
T
TT’’
+
++
+
__
++ ++
IQIQ IIQIIQ IIIQIIIQ IVQIVQ
2020
2
32
22
xx
y
00
Gráfico:Gráfico:
OBSERVAÇÃO:OBSERVAÇÃO:
A tangente não existe para arcos de A tangente não existe para arcos de
e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não
existe para arcos da forma existe para arcos da forma
3rad , rad2 2
k , com k .2
Z
2121
COTANGENTECOTANGENTEIntroduçãoIntrodução Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na
circunferência trigonométrica um arco de medida circunferência trigonométrica um arco de medida . . AM
Seja t’ a reta perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto B:Seja t’ a reta perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto B:
O prolongamento do raio intercepta a reta O prolongamento do raio intercepta a reta t` no ponto T. No triângulo BOT, temos:t` no ponto T. No triângulo BOT, temos: , como = 1, pois é o raio da , como = 1, pois é o raio da
circunferência trigonométrica, obtemos: circunferência trigonométrica, obtemos:
OM
OBtg
BT OB OB
1 1 1tg BT cot g
tg tgBT
t`// 0xt`// 0x
M
A (1, 0)
O
T(0, 1) B
(1, 0) A’
B’ (0, 1)
1
AA
AMAM = =
OO
MM
2222
OBSERVAÇÃO:
A cotangente não existe para arcos de e todos os
arcos côngruos a eles, ou seja a cotangente não existe para arcos da
forma
0rad , rad
k , com k . Z
NN
AA
MM
OO
PP
t’t’T
T’
++
++
+
Sinais da cotangenteSinais da cotangente
Considerando a orientação do eixo das cotangentes, percebemos que aos Considerando a orientação do eixo das cotangentes, percebemos que aos arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a cotangente, e arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a cotangente, e a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a cotangente.cotangente.
2323
cotg α = , sen α 0.
Domínio: D(f) =
Imagem: Im(f) = R
Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ
● Sinais : + +
● Variação:
● Período: p = π
cos
sen
x / x k , com k Z
002
32
2
xx
yy
Gráfico:
MM
A (1, 0)
OO
t’// 0xt’// 0xTT(0, 1) B
(1, 0) A’
B’ (0, 1)
1
2424
xx
SECANTE E CO-SECANTESECANTE E CO-SECANTE
Seja AM um arco do primeiro quadrante com extremidade em M. A Seja AM um arco do primeiro quadrante com extremidade em M. A reta t tangente ao ciclo em M, intercepta o intercepta o eixo dos co-senos reta t tangente ao ciclo em M, intercepta o intercepta o eixo dos co-senos em S e o eixo dos senos em C. Por definição, a medida algébrica do em S e o eixo dos senos em C. Por definição, a medida algébrica do segmento OS é a secante do arco AM; e a medida algébrica do segmento segmento OS é a secante do arco AM; e a medida algébrica do segmento OC é a co-secante do arco AM. Então:OC é a co-secante do arco AM. Então:
O
t
AA
S
C
MM
sec xsec x
cosec xcosec x
Importante:Importante:
1 1sec cos
cosx e ec x
x sen x
2525
SECANTE:
sec α = , cos α 0.
Domínio: D(f) =
Imagem: Im(f) = { y R / y 1 ou y 1}
Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ
● Sinais : + +
● Variação:
● Período: p = 2
1
cos
x / x k , com k2
Z
O
tt
A(1,0)
S
C
sec x
M
(0, (0, 1) B 1) B
( ( 1, 0) A’1, 0) A’
( ( 0, 1) B’0, 1) B’
2626
COSECANTE:
cosec cosec αα = , sen = , sen αα 0. 0.
Domínio: D(f) = Domínio: D(f) =
Imagem: Im(f) = { y Imagem: Im(f) = { y R / y 1 ou y 1} R / y 1 ou y 1}
Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQQuadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ
● ● Sinais : + + Sinais : + +
● ● Variação: Variação:
● ● Período: p = 2Período: p = 2
1
sen
x / x k , com k Z
cosec α
O
tt
A(1,0)
S
C
M
(0, (0, 1) B 1) B
( ( 1, 0) A’1, 0) A’
( ( 0, 1) B’0, 1) B’
11
2727
Observações:Observações:
A secante não existe para arcos de A secante não existe para arcos de
e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a secante não e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a secante não
existe para arcos da forma existe para arcos da forma
A co-secante não existe para arcos de A co-secante não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a co-secante nãoe todos os arcos côngruos a eles, ou seja a co-secante não
existe para arcos da forma existe para arcos da forma
A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa 2º e 3º quadrantes, ou A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa 2º e 3º quadrantes, ou seja, depende do sinal do co-seno.seja, depende do sinal do co-seno.
A co-secante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa 3º e 4º quadrantes, A co-secante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa 3º e 4º quadrantes, ou seja, depende do sinal do seno.ou seja, depende do sinal do seno.
3rad , rad2 2
k , com k .2
Z
0rad , rad
k , com k . Z
2828
00 2
32
2 x
11
11
yySECANTE:
002
32
2x
1
11
yyCOSECANTE:
Gráficos:Gráficos: