1 conceptos básicos cálculo matricial de estructuras guillermo rus carlborg
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1Conceptos básicos
Cálculo matricial de estructuras
Guillermo Rus Carlborg
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Índice
Introducción Métodos matriciales: relaciones básicas Discretización: barras y nudos Métodos de compatibilidad y equilibrio Conceptos de matriz de rigidez y flexibilidad
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Conocimientos previos
Mecánica de medios continuos: Esfuerzo + Tensión + Deformación + Desplazamiento Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad
Resistencia de materiales – Vigas: Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas
Álgebra matricial: Operación con matrices, propiedades
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Introducción
Método matricial: Generaliza métodos de Maxwell, Mohr, S-XIX
Métodos:
Peligros: Olvidar la física
Específicos por tipologías Generales
Conocer: Fundamentos Limitaciones
Solución
Ordenador
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos matriciales: relaciones básicas
Barra (1D) prisma rectoPlacas, láminas, sólidos (2D, 3D)
Diagrama de Tonti
MDR El más usado Equilibrio
MIR Menos sistemático
MIF Optimización Compatibilidad
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Discretización: barras y nudos
Idealización de Resistencia de materiales
Representación en función de los extremos
Número finiton=GDL
Discre
tizar
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Discretización: barras y nudos
Grados de libertad (GDL) = número de coordenadas a fijar para que su movimiento quede determinado unívocamente
Se pueden definir GDL de desplazamientos o fuerzas
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
Guillermo Rus Carlborg
Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática
Equilibrio
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática
Equilibrio Comportamiento
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática
Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos
liberados Sistema de ecuaciones → fH
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática
Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos
liberados Sistema de ecuaciones → fH
Postproceso u(fH)
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos
y se obliga el equilibrio
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas
Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad
Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática
Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos
liberados Sistema de ecuaciones → fH
Postproceso u(fH)
Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y
se obliga el equilibrio Incógnitas = desplazamientos u
Tantas como GDL
Compatibilidad Comportamiento Equilibrio en todos los GDL
Sistema de ecuaciones → u
Postproceso: f,p(u)
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Concepto: Intuitivamente:
Rigidez = fuerza necesaria para producir un movimiento unidad
Flexibilidad = movimiento necesario para producir una fuerza unidad
k= rigidez del muelle
a= flexibilidad del muelle
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Generalización a una estructura: Varios GDL → forma matricial
Matriz de rigideznxn
Matriz de flexibilidadnxnn=GDL
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Sentido de K (matriz de rigidez):
Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0 Consecuencia: diagonal > 0
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Sentido de A (matriz de flexibilidad):
Aij es el desplazamiento en i cuando fj=1, fj=0
Matriz de Rigidez y Flexibilidad
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:
No lo haremos así: automatizaremos Repetir el ejercicio para la matriz de flexibilidad A
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Matriz de Rigidez y Flexibilidad
Simetría: Teorema de reciprocidad:
Definimos los estados A y B:
Generalizando:
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Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices
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Resumen
Diagrama de Tonti:
Discretización: → GDL
Métodos de rigidez / flexibilidad
Matriz de rigidez:
Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0