1 cosmos. 2 défi: établir un isomorphisme entre la géométrie du polyèdre (disque, tore, peano)...
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1
Cosmos
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• Défi: établir un isomorphisme entre la géométrie du polyèdre (disque, tore, Peano) et (K3/ )*
• Idée: jumeler le disque avec une "courbe de Peano" dans (K3/ )*
• ( graphe d’une colinéation d’ordre maximal )
Univalence de la géométrie
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3
Colinéation d’ordre maximal dans (K3/ )*
zyx
ihg
fed
cba
zyx
Les colinéations de (K3/)* ont la forme:
•Elles sont par millions!•Circonscrire un champ de prospection où dénicher une matrice d'ordre 91•Réduction au cas de la transformation du quadruplet "unitaire" en un quadruplet libre quelconque
DCBAekji 1100
1010
1001
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Polariser la prospection.
• On lance le quadruplet [i, j, k, e] sur lui-même
•et on le fait dévier … pour voir!
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5
On en tire une expression matricielle de la forme
10
01
100
Et le champ de prospection passe de 91×90×81×64 = 42,456,960 essais
à … 81
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6
Compilation des résultats (avec une HP 48G)
Ordre 0 1 2 01 11 21 02 12 22
0 3 8 13 91 40 80 91 40 80 1 13 13 6 91 24 80 91 24 80 2 8 4 13 80 91 91 80 91 91
01 91 80 91 8 20 80 10 91 40 11 80 91 80 80 91 12 40 16 5 21 40 91 24 20 7 91 91 8 16 02 91 80 91 10 91 40 8 20 80 12 80 91 60 40 6 5 80 91 12
22 40 91 24 91 8 16 20 7 91
Collecte de 24 matrices d’ordre 91!
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7
Lancement en orbite de O = [1, 0, 0 ]
Orbite de [1 0 0] sous l'action de
010
01
100
i
Isomorphisme de Z91 sur (K3/)* = { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 }
0 10 00 00 23 12 02 10 46 21 01 10 69 11 11 10 1 00 10 00 24 01 01 10 47 02 21 10 70 21 02 10 2 00 00 10 25 02 20 10 48 11 00 10 71 01 12 10 3 02 10 00 26 20 00 10 49 22 10 00 72 22 21 10 4 00 02 10 27 11 10 00 50 00 22 10 73 11 22 10 5 01 20 10 28 00 11 10 51 12 11 10 74 12 01 10 6 20 01 10 29 21 22 10 52 21 21 10 75 02 02 10 7 02 11 10 30 12 10 10 53 11 01 10 76 01 00 10 8 21 00 10 31 10 10 10 54 02 22 10 77 01 10 00 9 12 10 00 32 10 11 10 55 12 00 10 78 00 01 10 10 00 12 10 33 21 10 10 56 10 10 00 79 02 10 10 11 22 12 10 34 10 22 10 57 00 10 10 80 10 00 10 12 22 11 10 35 12 20 10 58 10 01 10 81 21 10 00 13 21 12 10 36 20 20 10 59 02 12 10 82 00 21 10 14 22 02 10 37 20 12 10 60 22 00 10 83 11 21 10 15 01 02 10 38 22 20 10 61 20 10 00 84 11 20 10 16 01 10 10 39 20 10 10 62 00 20 10 85 20 21 10 17 10 02 10 40 10 21 10 63 20 02 10 86 11 10 10 18 01 21 10 41 11 02 10 64 01 22 10 87 10 12 10 19 11 12 10 42 01 11 10 65 12 22 10 88 22 01 10 20 22 10 10 43 21 11 10 66 12 12 10 89 02 01 10 21 10 20 10 44 21 20 10 67 22 22 10 90 02 00 10 22 20 22 10 45 20 11 10 68 12 21 10
Miracle! Les occurrences des points de la droite <O,f(O)>sont les mêmes que sur le disque: { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 }
Les géométries de Peano et de Monge sont isomorphes.
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Projets d’espionnage
• Importer de (K3/ )* en géométrie de Peano
• L’orthogonalité, «» • La métrique • Les points cycliques
• La structure vectorielle «» de (K3/)*• etc
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Le rapt de la structure vectorielle de (K3/)*
• Installer une métrique suppose qu'on sache diffuser une longueur dans toutes les directions, ce qui pourrait être possible si on détient un "cercle" ou si on possède une relation ""
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Cercle de
(K3/)*
Conique des auto-conjugués
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Genome
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Analyse stellaire,
Après avoir recherché les actions les plus puissantes cherchons les plus fines, les plus discrètes …
les «quanta»
afin d’analyser les actions complexes
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Étincelles- "atomes d'action"par métaphore nous dirons des quanta
Axe
Graphe d'étincelle
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Étincelles primitives• Étincelles dont l’axe et le centre appartiennent au repère.
Quelles sont les actions engendrées par ces 6 étincelles ?
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Puissance des étincelles …
• Comment la mesurer?
• En examinant la transitivité dans
Action sur les atomes
• Sur les couples
• Sur les triplets
• Sur les n-uplets
• etc
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Caractère ludique des études de transitivité!
Il s’agit par exemple de propulser un point du bord en l’un des sommets …
La manière: transformer un quadruplet libre en une cible …
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"Base". Système de générateurs
minimal.-
Expression matricielle des étincelles
=
100
020
002
i
i
=
100
010
001 i
=
100
010
001
i
=
100
2220
2022
ii
ii
=
i
i
i
01
01
001
=
i
i
i
10
010
01
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Fission nucléaire!
• Un quantum se décompose en d’autres.
L'étincelle , par exemple,
peut être reconstituéeau moyen de et .
D’où l’élimination de l’une d’entre elles.
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• La puissance de l'ensemble des étincelles , , , et , est totale
• Chacune des quelque 42 millions de colinéations projectives peut être régénérée à l'aide de cinq étincelles.
• Un des beaux exemples est certainement celui de la courbe de Peano.
Cosmos énergétique!
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Génome de la colinéation, , de Peano
= 5 o 2 o 4 o 2 o 3 o 7 o 2 o o o 2
(Nombreux pas)
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Harmonie cosmique.-• Les millions d'actions possibles dans l'univers
géométrique se décomposent en étincelles {., , , , , }
• Malgré son extrême sobriété, ce système de générateurs est surabondant et peut se réduire à cinq étincelles seulement.
• Ainsi nous est accordée la possibilité de représenter toute action géométrique par une mélodie écrite sur les 5 lignes d'une portée musicale:
• Nous rejoignons ainsi l'harmonie des sphères proposée par Platon dans sa vision du Cosmos.
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Le rêve de von Staudt
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Le rêve de von Staudt.-
• «The question arises as to whether or not a pure geometric approach might be made to these imaginary points … The older geometers, Poncelet and Steiner, were never clear on this point.» Klein
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24
Réalisations insuffisantes aux yeux de von Staudt:
90
7374
7576
7778
79 80 8182
83 84 85 86 87 89
88
5556
57
5859
6061
62636465666768
69
707172
3536373839404142434445
46
47
48
49
50
51
5253
54
1718
1920212223242526
2728
2930
3132
3334
0 1 2 3 4 5 67
89
1011
1213
141516
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25
La matière primitive originale
• Les 13 atomes de la géométrie arguésienne
• donnent lieu à 78 paires,
• donc avec 13+78=91 éléments.
Les 9 points du tic-tac-to.
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: site de von Staudt• Nouveau substrat: • Les 91 ensembles {x, y} où x, y
viennent de la géométrie arguésienne.
• Si x=y, ce sont les éléments "réels" • Si xy, ce sont les "imaginaires".
• [Analogue pour les droites]
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Double défi!
1) Importation par isomorphisme depuis (K3/)*
• Il existe 13! = 6 227 020 800 bijections
• possibles avec les 91 éléments de (K3/)*
• Comment choisir?
2) Création directe d’une structure géométrique intrinsèque sur
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Charge d'une droite réelle.
4 points 6 points doubles
«imaginaires»
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Charge d'une droite imaginaire.-
Un point réel
9 imaginaires ou points doubles
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30
Charge d'un point imaginaire.
Un point imaginaire (double) et sa droite réelle
Les 9 droites imaginaires (doubles) par une point double
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La droite par 2 points imaginaires(le noir et le rouge)
Un cas plus subtil
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Conjuguée d’une droite imaginaire