1 détection et isolation de défauts dans les procédés industriels contrôle statistique des...
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Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels
Contrôle Statistique des ProcédésStatistical Process Control (SPC)
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Définition
Outils statistiques pour analyser la nature des variations au sein d’un procédé
2 types de variations: dues à causes communes (« common-cause
variations »); variations habituelles « normales » du procédé (bruits de mesure, variabilité matières premières ou tolérances composants, …)
Variations dues à des causes spéciales (« special-cause variations ») ; dues à dysfonctionnement du procédé, non prévisibles
CSP vise à détecter apparition variations dues à causes spéciales
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Graphiques de contrôle
Permettent de suivre l’évolution d’une grandeur et de détecter changements de moyenne (ou variance) significatifs caractérisant une variation de cause spéciale
Plusieurs types : Shewart EWMA CUSUM …
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Graphique type Shewart (1)
Hypothèse:
Echantillons successifs indépendants (au sens probabiliste)
Détection causes spéciales induisant changement de moyenne
type écartd'
et moyenne de nséchantillod' Suite )k(y
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Graphique type Shewart (2)
y
c
k
c
oo
o
o o
o
o
ooo o o o
o o
Shewart c=3Justifications:-Densité de probabilité Gaussienne pour
-Pour toute densité de probabilité (inégalité de Chebychev; borne très conservative)- Expérience
)k(y
0013033 ,))k(y(P))k(y(P
2
1
cc)k(yP
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Performance – LME –ARL (1)
Définition: Longueur moyenne d’exécution – LME
(Average run length – ARL)
LME (ARL): Nombre moyen d’observations jusqu’à la première observation hors contrôle (correspondant à l’instant d’alarme), cette dernière observation comprise.
Calcul:
Considérer suite {y(k)} :
avec y(k) mutuellement indépendants pour tout k
Suppose apparition d’une cause spéciale (changement de moyenne) à l’instant inconnu :
)),k(())k(y( 2NL
0k
0kk pour
kk pour )k(
0
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Performance – LME – ARL (2)
Probabilité qu’une observation tombe entre les limites de contrôle après changement:
dxe)x(
: 1 variance de et nulle moyenne de
normale ondistributi la de nrépartitio de fonction )x( avec
)()()k(y
P)(P
))k(y(P)(P
x x
2
2
2
1
333
33
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Performance – LME – ARL (3)
Calcul de la LME en fonction de
)(P
)(P
))(P()(iP
...)(y
P)(y
P)(y
P
)(yP
)(yP
)(yP )(LME
i
i
1
1
1
33
32
31
3
32
31
231
1
1
1
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Performance – LME – ARL (4)
Temps moyen entre fausses alarmes [Nombre d’observations]: LME(0)
Temps moyen de détection d’un changement de moyenne d’amplitude [Nombre d’observations]:
99] [Wieringa, Shewart type
contrôle de graphique le
pour )(ARL anglais en)(LME
)(LME
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Performance – LME – ARL (5)
Détection rapide des changements importants
Peu approprié pour faibles changements (1 à 2 fois l’écart type) car ne prend en compte que l’observation au temps présent
Approche prenant en compte l’ensemble des observations EWMA ou CUSUM
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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) EWMA: Exponentially Weighted Moving Average Utilise toutes les données antérieures pondérées par
un poids exponentiellement décroissant avec l’ancienneté des observations.
S’applique à suite d’observations i.i.d.
(indépendantes identiquement distribuées) Statistique EWMA (moyenne glissante pondérée de
manière exponentielle)
)k(y
(0,1) et normal"" étatl'
pour sdisponible données des moyenne ˆavec
ˆ w(0))k(y)k(w)()k(w
0
011
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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) Solution de l’équation récurrente pour EMWA
décroissance poids sur observations donnée par série géométrique autre dénomination: moyenne
glissante géométrique
Limites du graphique de contrôle variance de w(k)
Equation de Lyapunov algébrique:
1
021011
00k
i
ki ,...,k pour )(w)()ik(y)(
k pour )(w)k(w
222222
21
2www )(
13
Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3)
w
2
c
k
2
c
oo
o
o o
o
o
ooo o o o
o o
gaussienne ondistributi de données pour
LME de partir à déterminés paramètres :eheuristiqu Moins
0,3 0,2 , 3 c :pratique bonne de Valeurs
estimées par remplacés pratique en inconnus et
2
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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) On considère alarme si
Notation:
Longueur d’exécution égale à 1 si y(1) tel que
sinon exécution continue à partir de
)ch:(ex h)k(w
2
u)(w -
amplituded' moyenne de changement -
que donné étant )k(y de
moyenne la pourEWMA contrôle de graphique du LME :)u,(Lw
0
h)(yu)( 11
)(yu)( 11
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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) A partir de ce point, longueur moyenne d’exécution
escomptée:
)(yu)(,Lw 11
:,.L pour intégrale Equation w
moyenne de changement de amplitude une pour et
figures) les sur ),(L (noté donné alarmes
fausses entre moyen temps un pouroptimaux et c
numérique résolution de Méthode
espèce 2e de Fredholm de intégrale Equation
)(dy))(y(f))(yu)(,(L
h)(yu)(P.)u,(L
XW
h)(yu)(w
w
00
11111
111
11
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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3)
chaque
pour de optimalChoix
chaque
pourc de optimalChoix
Source: Wieringa 99
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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (4)
Evolution du LME dans le cas d’observations indépendantes [Wieringa, 99]
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Influence d’une corrélation entre les observations (1) Modèle de type AR(1)
Graphique de contrôle type Shewart en utilisant écart type de y pour les bornes LME(0) supérieure au cas où pas corrélation
(bénéfique) LME( ) supérieure au cas où pas corrélation
(effet négatif)
)k())k(y(a)k(y 1
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Références
J.E. Wieringa (1999) Statistical process control for serially correlated data, Thèse de doctorat, Rijksuniversiteit Groningen
M. Basseville et I.V. Nikiforov(1993)Detection of abrupt changes:theory and applications,Prentice-Hall, Englewood cliffs, N.J.
http://en.wikipedia.org/wiki/Control_chart Weisstein, E.W. "Fredholm Integral Equation of the
Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FredholmIntegralEquationoftheFirstKind.html