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Clase 04 Ubicación de Polos.doc 1

1. Diseño Basado en la Ubicación de Polos 1. Diseño Basado en la Ubicación de Polos___________ 1

1.1. Introducción ____________________________________________________________________ 2 1.2. Realimentación del Estado ________________________________________________________ 2

1.2.1. Caso General __________________________________________________________________________3 1.1.1. Aspectos Prácticos _____________________________________________________________________10 1.1.2. Control de Tiempo Finito________________________________________________________________12 1.1.3. Perturbación Más General _______________________________________________________________14

1.3. Observadores __________________________________________________________________ 17 1.3.1. Observador Dinámico __________________________________________________________________20 1.3.2. Observador Sin Retardo_________________________________________________________________22

1.4. Realimentación con Observador___________________________________________________ 24 1.4.1. Diferentes Perturbaciones _______________________________________________________________26 1.4.2. Efecto Integral ________________________________________________________________________27

1.5. Seguimiento de Referencias_______________________________________________________ 29 1.5.1. Acción Integral________________________________________________________________________30

1.6. Controlador con Dos Grados de Libertad ___________________________________________ 35 1.2. Adición del Observador__________________________________________________________ 37

1.6.1. Simplificación ________________________________________________________________________38 1.7. Diseño de Movimiento Flexible ____________________________________________________ 41


1.1. Introducción Objetivos del control: - atenuación de perturbaciones de carga o ruido - seguimiento de una referencia - imperfecciones del modelo 1.2. Realimentación del Estado Ley de control lineal

k ku Lx= − [1.1]

Ejemplo 1.1. Doble integrador 2

1

1 20 1k k k

TTx x u

T+

= +

[1.2]

una ley general de control puede ser

1 1 2 2ku l x l x= − − [1.3]

en lazo cerrado resulta 2 2

1 21

1 2

1 2 21

k k

T Tl T lx x

l T l T+

− −= − −

[1.4]

el polinomio característico es

( ) ( )2 221 2 1 22 1 02 2T Tz l l T z l l T+ + − + + + = [1.5]

si se quiere tener una ecuación de diseño


21 2 0z p z p+ + = [1.6]

se iguala 2

1 2 1

21 2 2

22

12

Tl l T p

Tl l T p

+ − =

+ + = [1.7]

o sea

( )

( )

21 1 2

2 1 2

1 1

1 32

l p pTl p pT

= + +

= + + [1.8]

en este caso siempre existe solución.

1.2.1. Caso General Sea el polinomio del sistema en lazo abierto

11

n nnz a z a−+ + + [1.9]

se puede encontrar la forma canónica controlable mediante la transformación x Tx= [1.10]

resultando

1k k kx x u+ = Φ + Γ [1.11]

con


1 2 1 11 0 0 0 00 1 0 0 0

0 0 1 0 0

n na a a a−− − − −

Φ = Γ =

[1.12]

El polinomio deseado en lazo cerrado es

( ) 11

n nnP z z p z p−= + + + [1.13]

Esto se puede obtener con la ley de control

[ ]1 1 2 2 n nu Lx p a p a p a x= − = − − − − [1.14]

Para llegar al sistema de partida se hace

u Lx LTx Lx= − = − = − [1.15]

la matriz T se obtiene mediante las matrices de controlabilidad de ambos sistemas ya que

1ncW − = Γ ΦΓ Φ Γ [1.16]

y la relación entre ambas matrices es

1

c c

c c

W TW

T W W −

=

= [1.17]

y más aún


2 3 21 1 2 1 2 3

2 3 21 1 2 1 2 3

21 1 2

21 2

1

1 00 1 00 0 1 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1

c

a a a a a aa a a a a a

a a aW

a aa

− − − + − − − − + − − − = −

−

1 2 1

3 21

3

10 10 0 0

0 0 0 1

n n

n n

c n

a a aa a

W a

− −

− −−

−

=

[1.18]


Teorema 1. Asignación de Polos Sea el sistema

1k k kx x u+ = Φ + Γ [1.19]

con una entrada. Si el sistema es controlable existe una ley de control lineal

tal que el polinomio característico en lazo cerrado es ( )P z . Esta ley es

k ku Lx= − [1.20]

con L

[ ][ ] ( )

11 1 2 2

10 0 1n n c c

c

L p a p a p a W W

W P

−

−

= − − − −

= Φ [1.21]

siendo cW y cW las matrices de controlabilidad de los sistemas 1k k kx x u+ = Φ + Γ y 1k k kx x u+ = Φ + Γ respectivamente. y

( ) ( ) ( )1 11 1 1

n n nn n nP p p I p a p a I− −Φ = Φ + Φ + + = − Φ + + −

[1.22]

la segunda igualdad se obtiene aplicando Cayley-Hamilton Se define

0 0 1 0 0i

col ie

=

[1.23]

resulta 1i ie e −Φ = ,

1 1n n ne e− −Φ = [1.24]


y también, de [1.14] y[1.21]

( )nL e P= Φ [1.25]

por lo tanto

( ) ( ) ( )1 1n n nc cL LT e P T T T e TP e W W P− −= = Φ = Φ = Φ [1.26]

de la ecuación [1.18] se puede ver que 1n n

cn n

c

e W e

e W e

− =

= [1.27]

( )1ncL e W P−= Φ [1.28]

que es la ecuación [1.21] llamada fórmula de Ackermann Nota: la matriz de transformación resulta tal que

1 2 1

3 21 1 1

3

10 10 0 0

0 0 0 1

n n

n nn

c c n

a a aa a

T W W a

− −

− −− − −

−

= = Γ ΦΓ Φ Γ

[1.29]

1 1 21 1 1

n nnT a a a− − −− = Γ ΦΓ + Γ Φ Γ+ Φ Γ+ + Γ [1.30]


Ejemplo 1.2. Doble integrador

[ ]2 2

32 2c

T TW

T T

= Γ ΦΓ =

[1.31]

21

2

1,51

0,51c

TTW

TT

−

− = −

[1.32]

el polinomio característico en lazo abierto es 2 2 1z z− + [1.33]

Se desea que en lazo cerrado tenga polos según la ecuación

( ) 1 2 121 2

1 2

1 20 1

p p T p TP p p I

p p+ + +

Φ = Φ + Φ + = + + [1.34]

la fórmula de Ackerman es

[ ] ( ) 1 2 112

1 2

1 2 1 22

1 20,510 10 1

1 32

c

p p T p TL W P TT p p

p p p pT T

− + + + − = Φ = + + + + + − =

[1.35]

igual resultado que antes


Ejemplo 1.3. Sistema No Controlable

1

0,5 1 10 0,3 0k k kx x u+

= +

[1.36]

1 0,5det det 0

0 0cW = =

[1.37]

la ley de control 1 1 2 2ku l x l x= − − da un sistema en lazo cerrado con una ecuación característica

( )( )10,5 0,3 0z l z− + − = [1.38]

El polo en 0,5 puede ser cambiado arbitrariamente pero el otro, en 0,3 que es el incontrolable, no se puede cambiar


1.1.1. Aspectos Prácticos Una forma de especificar el control es hacerlo, no en

función de los polos en lazo cerrado sino en función de un polinomio continuo de lazo cerrado tal como

2 22s sξω ω+ + [1.39]

se puede demostrar que la relación con el polinomio discreto es

( )21

22

2 cos 1T

T

p e T

p e

ξω

ξω

ω ξ−

−

= − −

= [1.40]

la matriz de realimentación es

( ) ( )2 2 2 2

2

1 2 cos 1 3 cos 1

2

T T T Te T e e T eL

T T

ξω ξω ξω ξωω ξ ω ξ− − − − − − + + − − =

[1.41]

para períodos muy pequeños se puede aproximar a 2 2L ω ξω = [1.42]

Sea el doble integrador que inicialmente tiene una posición 0x y una velocidad 0v . El valor inicial de actuación será

0 1 0 2 0u l x l v= − − [1.43]

20 0 02u x vω ξω= − − [1.44]


Al aumentar ω se incrementa la acción de control. Se puede calcular la frecuencia para la máxima actuación admisible. Se muestra a continuación, los estados y actuación para diferentes períodos de muestreo.

0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

El período de muestreo también influye. Una elección

correcta es utilizar el número de muestras en el tiempo de crecimiento igual a 4 10rN − .

Para este caso el período de muestreo dependerá de lo que se desee en lazo cerrado.

Una forma de solucionarlo es elegir el numero de muestras por período del modo dominante en lazo cerrado:

2

21

NT

πω ξ

=−

[1.45]


1.1.2. Control de Tiempo Finito en este caso

( ) nP z z= [1.46]

Se puede mostrar que la matriz de lazo cerrado cumple

( ) 0nnc LΦ = Φ −Γ = [1.47]

esto implica que, a partir de cualquier valor inicial, se pueden llevar los estados a cero en, a lo sumo n pasos.

La matriz de realimentación se obtiene

[ ] 11 10 0 1 n nL−− − + − = Φ Γ Φ Γ Φ Γ [1.48]

Hay solo un parámetro de diseño: el período de muestreo. El tiempo de establecimiento es, a lo sumo nT El período de muestreo influye la magnitud del control.

Hay que elegirlo cuidadosamente. No tiene equivalente continuo.


Ejemplo 1.4. Control de tiempo finito del doble integrador

1 2 1 22 2

1 3 1 32 2

p p p pLT T T T

+ + + − = = [1.49]

La primera y segunda actuación serán

0 0 02

1 32

u x vT T

= − − [1.50]

1 0 02

1 32

u x vT T

= + [1.51]

Para muestreos muy pequeños la primera y segunda actuación son prácticamente iguales y de signo contrario.

0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 1 2 3 4 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6


1.1.3. Perturbación Más General Se considera el sistema

dx Ax Bu vdt

= + + [1.52]

con v

w

w

dw A wdt

v C w

= =

[1.53]

con condiciones iniciales dadas. Se pueden generar diferentes perturbaciones. Normalmente wA tiene autovalores en el eje imaginarios o

inestables. Por ejemplo un escalón, 0wA =

Senoide

0

0

00wAω

ω

=

[1.54]

Se supone, en un principio que se puede medir w. Se define un estado aumentado x

zw

=

[1.55]


0 0w

w

A Cx x Bdz d uAw wdt dt

= = +

[1.56]

Aquí tenemos el mismo problema de ubicación de polos. Ahora hay que ubicar los polos del sistema y los de la perturbación.

Pero el sistema anterior no es completamente controlable ya que la perturbación es no controlable.

La perturbación no puede ser influida por el control. El sistema muestreado resulta:

1

1 0 0k xw k

kk w k

x xu

w w+

+

Φ Φ Γ = + Φ

[1.57]

El control lineal es

k k w ku Lx L w= − − [1.58]

Este control hace que el sistema tenga el siguiente comportamiento en lazo cerrado:

( ) ( )1

1

k k xw w k

k w k

x L x L ww w

+

+

= Φ − Γ + Φ − Γ

= Φ [1.59]

Se calcula la realimentación de modo que LΦ −Γ tenga los autovalores en un lugar deseado y para que xw wLΦ −Γ sea pequeña.

Esta matriz no siempre se puede hacer cero.


Ejemplo 1.5. Perturbación constante En este caso 1wΦ = y xwΦ = Γ . El sistema queda

( ) ( )1

1

1k k w k

k k

x L x L ww w

+

+

= Φ − Γ + Γ −

= [1.60]

En Matlab existe el comando place para ubicar los polos.


1.3. Observadores Problema: cómo reconstruir el estado a partir de la salida. Se verá que el estado puede ser reconstruido conociendo las

entradas y salidas pasadas.

1 1

2 1 1

1 21 1 1

k n k n

k n k n k n

n nk k n k n k

y Cxy C x C u

y C x C u C u

− + − +

− + − + − +

− −− + − + −

== Φ + Γ

= Φ + Φ Γ + + Γ

[1.61]

definiendo

1

2

k n

k nk

k

yy

Y

y

− +

− +

=

1

21

1

k n

k nk

k

uy

U

u

− +

− +−

−

=

[1.62]

se reescribe

1 1k o k n u kY W x W U− + −= + [1.63]

donde

2

1

o

n

CC

W C

C −

Φ

= Φ Φ

2 3

0 0 00 0

0u

n n

CW C C

C C C− −

Γ

= ΦΓ Γ Φ Γ Φ Γ Γ

[1.64]


Si el sistema es observable la matriz oW es invertible. 1 1

1 1k n o k o u kx W Y W W U− −− + −= − [1.65]

se puede reconstruir el estado a partir de muestras anteriores.

Para calcular el valor del estado en la muestra k se toma la ecuación de estados y se calcula:

1 21 1 1

n nk k n k n kx x u u− −

− + − + −= Φ +Φ Γ + + Γ [1.66]

( )1 1 1 21 1 1

n nk o k o u k k n kx W Y W W U u u− − − −

− − + −= Φ − +Φ Γ + + Γ [1.67]

definiendo 1 1

2 3 1 1

ny o

n n nu o u

A W

B W W

− −

− − − −

= Φ

= Φ Γ Φ Γ Γ −Φ [1.68]

resulta

1k y k u kx A Y B U −= + [1.69]

el estado es una combinación lineal de las muestras anteriores.


Ejemplo 1.6. Doble integrador

[ ]21 2 1 0

0 1

TTC

T

Φ = Γ = =

[1.70]

( )

1

2 2

1 2 1 1 2 1 11 1 2 2

k k

k k k k kk k k

y x

T Ty x Tx u y T x Tu u− − − −− −

=

= + + = + − + [1.71]

resolviendo con respecto a los estados,

1

12 12

kk

k kkk

x yy y Tx u

T−

−

=

−= +

[1.72]

el primer estado es directamente la medición de la salida el segundo es la diferenciación de muestras de la salida más

el efecto de la actuación.


1.3.1. Observador Dinámico La reconstrucción anterior es muy sensible a perturbaciones

ya que se calculan, como en el ejemplo, por medio de diferencias y pueden estar contaminadas por ruido.

Otra forma es construir un sistema

1ˆ ˆk k kx x u+ = Φ + Γ [1.73]

Si el estado inicial es conocido y las matrices son perfectamente conocidas, este sistema funciona.

Si el estado inicial es distinto, este sistema convergerá al verdadero si es asintóticamente estable.

Se puede introducir una mejora realimentando el error entre la observación de la salida y su valor

( )1/ / 1 / 1ˆ ˆ ˆk k k k k k k kx x u K y Cx+ − −= Φ + Γ + − [1.74]

el error de estimación es ˆx x x= − [1.75]

( )( )

1/ / 1 / 1

/ 1

ˆk k k k k k k

k k

x x K Cx Cx

KC x+ − −

−

= Φ − −

= Φ − [1.76]

esto debe converger a cero, de aquí se puede calcular K Se calcula usando lo ya visto para asignación de polos.


Ejemplo 1.7. Observador de Tiempo Finito

[ ]1 1

2 2

111 0

10 1o

k k TTKC

k k−

Φ = Φ − = − = − [1.77]

la ecuación característica es

( )21 1 22 0z k z k k T− − − + = [1.78]

si se desea obtener un polinomio 2

1 2 0z p z p+ + = [1.79]

resulta

( )1 1

1 22

21

k pp p

kT

= +

+ +=

[1.80]

si fuese de tiempo finito sería

1

2

21

k

kT

=

= [1.81]

y el observador

( )1 1

21 1ˆ ˆ ˆ10 1k k k kx x y x

T+

= + Γ −

[1.82]

o, reemplazando el estado,


( )1 11

2 11

ˆ 21ˆ

k kk

k kk

x y y

x y yT

−+

−+

= −

= − [1.83]

1.3.2. Observador Sin Retardo el observador anterior tiene un retardo de una muestra. Para evitar esto se puede plantear

( )( )( )

/ 1/ 1 1 1/ 1 1

1/ 1 1

ˆ ˆ ˆ

ˆk k k k k k k k k

k k k k

x x u K y C x u

I KC x u Ky− − − − − −

− − −

= Φ + Γ + − Φ + Γ = − Φ + Γ +

[1.84]

el error de estimación será

( )/ 1/ 1ˆk k k k k kx x x KC x − −= − = Φ − Φ [1.85]

Ahora el par que debe ser observable es [ ],CΦ Φ en lugar de [ ],CΦ .

Pero se puede demostrar que si [ ],CΦ es observable, también lo es [ ],CΦ Φ , por lo que se puede encontrar K para ubicar arbitrariamente los autovalores del observador.


Ejemplo 1.8. Observador reducido El observador sin retardo aplicado al doble integrador

resulta

( ) ( )

( )2

111 1

/ 1/ 1 12 22 2

1 21 1ˆ ˆ

1 1 2k k k k k k

Tk kk T kx x u yk kk Tk T T

− − −

−− − = + + − − − [1.86]

haciendo la primer fila de 0I CK− = o sea 1 1k = , se obtiene

( )/ 1/ 1 122 2 2

00 0 1ˆ ˆ

11 2k k k k k kx x u ykT Tk Tk k− − −

= + + −− − [1.87]

es decir, 1 /ˆ kk kx y= no se necesita observarlo.

El único estado a observar es

( ) ( ) ( )22 2 2 2 1 1/ 1/ 1ˆ ˆ1 1 2k k kk k k k

kx Tk x k y y T T u− −− −= − + − + − [1.88]

si se quiere un observador de tiempo finito se hace 21k T=

por lo tanto,

( )2 1 1/1ˆ 2k k kk k

Tx y y uT − −= − + [1.89]


1.4. Realimentación con Observador Ahora la ley de control es

ˆk ku Lx= − [1.90]

con

( )1/ / 1 / 1ˆ ˆ ˆk k k k k k k kx x u K y Cx+ − −= Φ + Γ + − [1.91]

¿Cómo se comporta en lazo cerrado?. Para analizarlo se define

ˆx x x= − [1.92]

en lazo cerrado, el sistema se rige por

( )( )

1/ / 1

1/ / 1

k k k k k

k k k k

x L x Lx

x KC x+ −

+ −

= Φ − Γ + Γ

= Φ − [1.93]

Se tienen 2n estados. Los autovalores serán los de LΦ −Γ y los de KCΦ − que corresponden al control y al observador.

Se puede separa el problema en dos. El control se puede ver como una relación entrada-salida

con una función de transferencia de la forma

( ) ( ) 1lcH z L zI L KC K−= − −Φ + Γ + [1.94]

Este control tiene un retardo de una muestra. Se puede evitar si se utiliza el observador sin retardo.


Ejemplo 1.9. Control del Doble Integrador con Observador L se calcula para obtener una respuesta en lazo cerrado con 1ω = , 0,7ξ = y 0,44T =

[ ]0,73 1,21L = [1.95]

0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2


1.4.1. Diferentes Perturbaciones Un sistema con perturbaciones se puede modelar como

[ ]

1

1 0 0

0

k xw kk

k w k

kk

k

x xu

w w

xy C

w

+

+

Φ Φ Γ = + Φ

=

[1.96]

generalmente, los autovalores de wΦ están sobre la circunferencia unidad.

la matriz de controlabilidad es 1

0 0 0

n

cW− Γ ΓΦ ΓΦ

=

[1.97]

es no controlable debido a que la perturbación es no controlable.

La ley de control que se debe utilizar es ˆ ˆk k w ku Lx L w= − − [1.98]

donde

[ ]1

1

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ0 0k xw k

k k kk w k w

x x Ku y Cx

w w K+

+

Φ Φ Γ = + + − Φ

[1.99]

la perturbación es observable pero no controlable


1.4.2. Efecto Integral Caso perturbación constante y desconocida.

1w

xw

Φ =Φ = Γ

[1.100]

si se hace 1wL = [1.101]

se cancela la perturbación. El conjunto observador, control es

( )1

1

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ

k k k

k k k k k

k k w k

k k k

u Lx wx x w u Kw w K

y Cx

εε

ε

+

+

= − −

= Φ + Γ + +

= += −

[1.102]

Se está integrando en error de observación. w

yu

L

Observadorde la

Perturbación

Observadordel Estado

Proceso

w

ε

x -

-

la ecuación anterior se puede rescribir


( ) ( )( )

1

1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

k k k

k k k k

k k w k k

u Lx wx L x K y Cx

w w K y Cx+

+

= − −

= Φ − Γ + −

= + −

[1.103]

el estado se observa como si no hubiera perturbación. Si se calcula la función de transferencia,

( ) ( ) 1H z L zI L KC K−= −Φ + Γ + [1.104]

la relación entrada salida del regulador es

( )( )

( )( ) ( )1

111 w

L zI L KC KU z Y z

K I C zI L KC Kz

−

−

−Φ + Γ + + = − + − −Φ + Γ + −

[1.105]


1.5. Seguimiento de Referencias Ley de control lineal

ˆk k c ku Lx L r= − + [1.106]

( )

1

1ˆ ˆ ˆˆ

k k k

k k

k k k k k

k k c k

x x uy Cx

x x u K y Cxu Lx L r

+

+

= Φ + Γ=

= Φ + Γ + −

= − +

[1.107]

haciendo ˆx x x= − [1.108]

se obtiene

( )( )

1

1

k k k c k

k k

k k

x L x Lx L r

x KC xy Cx

+

+

= Φ + Γ + Γ + Γ

= Φ −

=

[1.109]

el error de observación no depende de la referencia, es no controlable respecto a la misma.

La relación referencia-salida

( ) ( ) ( )( )

1lc c c

m

B zH z C zI L L L

A z−= −Φ + Γ Γ = [1.110]

y en lazo abierto es

( ) ( ) ( )( )

1 B zH z C zI

A z−= −Φ Γ = [1.111]


se mantienen los ceros Los autovalores para el rechazo de perturbaciones y para

seguimiento de referencias son los mismos y se varían con L.

1.5.1. Acción Integral se agrega,

( ) ( )( )

1

1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

k k k c k

k k k k k k

k k w k k

u Lx v L rx x v u K y Cx

v v K y Cx+

+

= − − +

= Φ + Γ + + −

= + −

[1.112]

ó

( ) ( )( )

1

1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

k k k c k

k k c k k k

k k w k k

u Lx v L rx L x L r K y Cx

v v K y Cx+

+

= − − +

= Φ − Γ + Γ + −

= + −

[1.113]


1.5.2. Simulación Doble integrador continuo 1 - Realimentación del estado sin observador. No se

compensa la perturbación estados y actuación

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2 - Realimentación del estado sin observador. Se mide y se

compensa la perturbación

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


3 - Realimentación del estado con observador. No se compensa la perturbación

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

4 - Realimentación del estado con observador. Se mide y se

compensa la perturbación

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


5 - Realimentación del estado con observador. Se observa y se compensa la perturbación

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Perturbación real y observada

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


6 - Realimentación del estado con observador. Se observa y se compensa la perturbación. Se agrega una salida deseada

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


1.6. Controlador con Dos Grados de Libertad Se separa el rechazo a perturbaciones del seguimiento de

trayectorias

yu

ProcesofbH−

r

fbu

ffH−ffu

fbH se calcula para rechazo de perturbaciones

ffH es insensible al diseño para rechazo de perturbaciones

Se define un modelo

1m m m m kk k

m m mk k

x x ry C x

+ = Φ + Γ

= [1.114]

Una ley de control natural es

( )ˆk fb ffk k

m k ffk k

u u u

L x x u

= +

= − + [1.115]

si el estado sigue al modelo no hay realimentación

yffu

L

Modelo +Control enAdelanto


Proceso

r

x

fbumx


Cómo generar la acción en adelanto

( )( )

mff kk

H qu r

H q= [1.116]

Caso SISO

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )mm

B q B qH q H q

A q A qλ= = [1.117]

( )( )

( ) ( )11 1

11

1m n m

n nff k kn m n mk

m n

a a q a aA qu r r

A q q a q aλ λ

−

−

− + + −= = +

+ + + [1.118]

Los estados del modelo en la forma canónica controlable son

1m m m m kk kx x r+ = Φ + Γ [1.119]

con

1 2 1

01 0 0 000 1 0 0

00 0 1 0

m m m mn n

m m

a a a a λ− − − − −

Φ = Γ =

[1.120]

definiendo

1 1 2 2m m m

ff n nC a a a a a a = − − − [1.121]


la ley de control resulta

ff k ff mkku r C xλ= + [1.122]

1.7. Adición del Observador

( )1

1

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ

k fb ffk k

ff k ff mkk

fb m k w kkk

k k xw k k k

k w k w k

k k k

m m m m kk k

u u u

u r C x

u L x x L w

x x w u Kw w K

y Cxx x r

λ

εε

ε

+

+

+

= +

= +

= − −

= Φ +Φ + Γ += Φ += −= Φ + Γ

[1.123]

yu


Proceso

w

x

mxL

wL−

fbuModelo +

Control enAdelanto

r

ffu

Se logra separar el efecto de perturbaciones de carga, ruido

de medición y seguimiento de referencias.


1.7.1. Simplificación Se hace

m mC C λ= Γ = Γ [1.124]

Se define ˆ ˆme x x= − [1.125]

( )

1 11ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

k m kk

m m m k k xw k k kk

k xw k m m k k kk

e x xx r x w u K

e w x r u K

ε

λ ε

+ ++= − =

= Φ + Γ −Φ −Φ −Γ −

= Φ −Φ + Φ −Φ + Γ − Γ −

[1.126]

el vector ( )m m kkx rλΦ −Φ + Γ tiene todos sus elementos ceros excepto el primero que es

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 2m m m

m m n n m k ff m kna a x a a x a a x r C x rλ λ− + − + + − + = + [1.127]

recordando

( )k fb ffk k

fb ff m kkk

u u u

u C x rλ

= +

= + + [1.128]

( )

( )( )0

0

ff m kk

m m k ff k fbk k k

C x r

x r u u u

λ

λ

+ Φ −Φ + Γ = = Γ = Γ −

[1.129]

1ˆ ˆ ˆk k xw k fb kke e w u Kε+ = Φ −Φ + Γ − [1.130]


además ˆˆ

ˆ

k k k

k k m mk k

k m kk

y Cxy Cx Cx Cxy y Ce

ε = −= − + −

= − +

[1.131]

el control resulta

( )

( )( )

1

1

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

k fb ffk k

ff k ff mkk

fb k w kk

k k xw k fb m k kkk

k w k w m k kk

m m m m kk k

u u u

u r C x

u Le L w

e e w u K y y Ce

w w K y y Ce

x x r

λ

+

+

+

= +

= +

= −

= Φ −Φ + Γ + − −

= Φ + − −

= Φ + Γ

[1.132]

caso perturbación constante 1w xww v= Φ = Φ = Γ [1.133]

quedando

( )

( ) ( )( )

1

1

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

k fb ffk k

ff k ff mkk

fb k kk

k k m kk

k k w m k kk

m m m m kk k

u u u

u r C x

u Le v

e L KC e K y y

v v K y y Ce

x x r

λ

+

+

+

= +

= +

= −

= Φ − Γ − + −

= + − −

= Φ + Γ

[1.134]


tiene efecto integral

yu

-1

Proceso

v−

emyL

1wK

z −

fbuModelo +

Control enAdelanto

r ffu


C−

Ejemplo 1.10. Doble integrador ---------------------------


1.8. Diseño de Movimiento Flexible

I Motor M1

M2

1ω

1ϕ1J

transmisión flexible

2ω

2ϕ 2J 1 1 2

12

0

23

0

x

x

x

ϕ ϕω

ωω

ω

= −

=

=

[1.135]

con

( )1 20

1 2

J Jk J Jω += [1.136]

el proceso es

[ ]

0 1 1

2 2

0

0 1 1 0 01

0 0

0 0

dx x u vdt

y x

ω α β β γ δα β β

ω

= − − + +

− =

[1.137]

con


( )1

1 2

11 0

22 0

1

1 0

1 0

1

JJ J

dJ

dJ

kJ

J

α

β ω

β ω

γ ω

δ ω

= +

=

=

=

=

[1.138]

Valores

d factor de amortiguamiento

viscoso

.1

1k constante de corriente del motor

1

1J momento de inercia 1 109

2J momento de inercia 1 10

v torque de perturbación en 1J

0ω 1

1 23,p p polos del proceso 1

23

00,05 0,999

pp j== − ±


1z ceros del proceso 1 10z = −

pξ factor de amortiguamiento

0,05

pω frecuencia natural 1radseg

---------------fig 418--------------------- ---------------fig 419---------------------

- Condiciones de diseño: 0,5 0,7m mω ξ= = [1.139]

- Período de Muestreo dado que la frecuencia natural deseada es 0,5mω = se

puede elegir una 10N mTπω ω= > resultando

0,5T segs= [1.140]

Se debería poner un filtro antialiasing

- Realimentación del Estado

k k c ku Lx L r= − + [1.141]

Polinomio deseado

( ) ( )221

1

2 0

2m m m ms s sξ ω ω α ω

α

+ + + =

= [1.142]


se discretiza para el período elegido y se calcula cL para ganancia unitaria.

No se introduce integrador ------------fig 420-----------------

- Observador se eligen los polos del observador de la forma

( )( )( )220 0 0 1

0 1

2 0

2m m m ms s sξ α ω α ω α α ω

α α

+ + + =

= = [1.143]

es dos veces más rápido que el proceso. el período de muestreo es un poco grande ---------------fig 421--------------------

1. diseño basado en la ubicación de polosmaterias.fi.uba.ar/6631/material/digital_04.pdf · ulx...

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