1 ecuaciones diferenciales tarea
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tarea que hice en mi curso de edTRANSCRIPT
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uaeh.jpgECUACIONES DIFERENCIALES
TAREA 1
Hector Miguel Palomares Maldonado
1. Verifique que las siguientes funciones son soluciones de las correspondientes ecuacionesdiferenciales:
a) y = c1e2x + c2e
2x
d2y
x 4y = 0
y = 2c1e2x 2c2e2x
y = 4c1e2x + 4c2e
2x
4c1e2x + 4c2e
2x 4(c1e2x + c2e2x) = 04c1e
2x + 4c2e2x 4c1e2x 4c2e2x) = 0
0 = 0
b) y + seny = x, (ycosy seny + x)dydx
dy
dx+ cosy
dy
dx= 1
dy
dx(1 + cosy) = 1
dy
dx=
1
1 + cosy
(ycosy senyx)dydx
= y
dy
dx=
y
ycosy seny + xdy
dx=
y
ycosy + ydy
dx=
y
y(cosy + 1)dy
dx=
1
1 + cosy
c) y2 = x2 cx, 2xy dydx
= x2 + y2
y2 = x2 cx2ydy
dx= 2x c
dy
dx=
2x c2y
2xydy
dx= x2 + y2
dy
dx=x2 + y2
2xydx
dy=x2 + x2 cx
2xydx
dy=x(2x c)
2xydx
dy=
2x c2y
1
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2. Encuentre la solucion mas general de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) (1 + x)dy
dx= x
dy =x
1 + xdx
y = x
1 + xdx
y = x
1 + xdx
y = x + 1 1
1 + xdx
y = x + 1
1 + xdx 1
1 + xdx
y =dx 1
1 + xdx
y = 1 ln | 1 + x | +cb)
dy
dx+ ytanx = 0
dy
dx= ytanx
dy
y = tanxdx
dyy
=tanxdx
ln | y |1= ln | secx | +celn|y|
1= eln|secx| + ec
y1 = |secx|+ c
c) xdy
dx= (1 2x2)tany
dy
tany=
(1 2x2)x
dx dytany
= dxx 2xdx dy
seny
cosy
= dxx 2xdx
cosydyseny
= dxx 2xdx cosydy
seny= dxx 2xdx
ln|seny| = ln|x| x2eln|seny| = elnx ex2seny = xex
2
+ c
3. Encuentre la solucion particular que satisface la condicion inicial dada en las siguientesecuaciones diferenciales
a)dy
dx= xex, y(x = 1) = 3
dy = xexdxdy =
xexdx
y = xex exdxy = xex ex + cy = ex(x 1) + cy = ex(1 1) + c3 = c
b)dy
dx= 2senxcosxdx, y = (x = 0) = 1
dy = 2senxcosxdx
y = sen2x + cy = sen2x + c1 = sen2(0) + cc = 1
2
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4. Realice un esbozo de la familia de curvas y encuentre sus trayectorias ortogonales
a) yx = c
y =c
xy = c
x2para encontrar la pendientesustituimos cy =
y
x
familia ortogonal debe cumplir 1m
y = xy
dy
dx= x
yydy =
xdx
y2
2=x2
2+ c
y2 = x2 + cc = y2 x2 solucion
b) y = cx2
dy
dx= 2cx
dy
dx=
2yx
x2dy
dx=
2y
x
familia ortogonal: 1m
dy
dx= x
2x2ydy = xdx
y2 = x2
2+ c
c = 2y2 + x2
5. Si la mitad de cierta cantidad de radio se desintegra en 1600 anos, que porcentaje dela cantidad original quedara despues de 2400 anos?
sea N0 la cantidad inicial y N la cantidad de radio variable
dN
dt= kN
dN
N= kdt dN
N= k
dt
ln|N | = kt + celn|N | = ekt+c
eln|N | = cekt
N(t) = cekt
y ahora para t = 0;N(0) = N0N0 = ce
k(0)
N0 = csustituyendo cN(t) = N0e
kt
veamos para t = 1600
N(t) =N02
N0ek(1600) =
N02
ek(1600) =1
2
lnek(1600)
= ln
(1
2
)1600k = ln
(1
2
)
k =
ln
(1
2
)1600
K0,0004quedando:N(t) = N0e
0,0004t
ahora veamos para 2400 anosN(100) = N0e
0,0004(2400)
N(100) = 2,6N0
3