1 数の性質・場合の数 - edu-network.jp · 3）30 45 最大公約数…3×5＝15 5）10 15...
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重
要
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題
の
解
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例
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
数の性質・場合の数▼指導ページ P4～ 13 ▼
●素因数分解◎下の計算方法を確認しておく。 2）60 2）30 60 ＝ 2 × 2 × 3 × 5 3）15 5※約数の個数は素因数分解の結果から求める。 60の約数の個数…（2＋ 1）×（1＋ 1）×（1＋ 1）＝12（個）
2の個数 3の個数 5の個数
●倍数の見分け方3 の倍数…各位の数の和が 3の倍数4の倍数…下 2けたが 4の倍数または 009 の倍数…各位の数の和が 9の倍数
●最小公倍数・最大公約数◎連除法を利用できるようにする。△）▲ □ 最小公倍数…△×■×◇×○■）☆ ◎ 最大公約数…△×■ ◇ ○
1
●図の利用◎場合の数は表や樹形図，条件を整理するときは表やベン図を用いるとよい。
342423
1 2 3 A B234
A1 B
C
●並び方と選び方・Ｎ人の並び方 Ｎ×（Ｎ－ 1）×…× 2× 1・Ｎ人から 3人の選び方
Ｎ×（Ｎ－ 1）×（Ｎ－ 2）3× 2× 1●～ではない場合の数（～ではない場合の数）＝（全体の場合の数）－（～である場合の数）
基本１⑴ 32 をわると 2あまる→（32 － 2 ＝）30 をわり切る 48 をわると 3あまる→（48 － 3 ＝）45 をわり切る30 と 45 の公約数を求める。3）30 45 最大公約数…3× 5＝ 155）10 15 公約数…15 の約数より 1，3，5，15 2 3 「3あまる」→わる数は 3より大きい→ 5，15
答 5，15基本７⑴ ①より，C＝ 0とわかるので，Dは 0ではない。 よって，③より，A＝ 1 答 1⑵ A＝ 1より，②から，B＝ 2とわかる。 よって，④より，D÷ 2＝ 2，D＝ 4 答 4基本 10⑴
答 126 通り⑵
答 60 通り⑶
答 90 通り
514 10 20 35 563 6 10 152 3 4 5 6
各点を通る場合の数を図に書く（左の 15 と下の 6の和）
1
Ａ
Ｂ
1 1111
11
15 1267035
21
514 10 20 35 563 6 10 152 3 4 5 6
各点を通る場合の数を図に書く（左の 15 と下の 6の和）
1
Ａ
Ｂ
1 1111
11
15 1267035
21
1 2 3 43 62 3 C 1 1
ＡからＣまで…6通りＣからＢまで…10 通り 6 × 10 ＝ 60（通り）
1
Ａ
Ｂ
1
1 1
1
1 1063
1 2 3 43 62 3 C 1 1
ＡからＣまで…6通りＣからＢまで…10 通り 6 × 10 ＝ 60（通り）
1
Ａ
Ｂ
1
1 1
1
1 1063
1 2 33 62 3C D 1
ＡからＣまで…6通りＤからＢまで…6通り×印の道を通る行き方は， 6 × 6 ＝ 36（通り）×印の道を通らない行き方は， 126 － 36 ＝ 90（通り）
1
Ａ
Ｂ
1
1 1
1
631
1 2 33 62 3C D 1
ＡからＣまで…6通りＤからＢまで…6通り×印の道を通る行き方は， 6 × 6 ＝ 36（通り）×印の道を通らない行き方は， 126 － 36 ＝ 90（通り）
1
Ａ
Ｂ
1
1 1
1
631
練習２⑴ 112cm
70cm
28cm
42cm
14cm
112 ÷ 70＝ 1 あまり 42 → 1 枚70 ÷ 42＝ 1 あまり 28 → 1 枚42 ÷ 28＝ 1 あまり 14 → 1 枚
28 ÷ 14 ＝ 2 → 2 枚1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 5（枚） 答 5枚
⑶ ⑴の方法をユークリッドの互除法といい，大きな整数の最大公約数を求めるのに便利である。 1007 ÷ 583 ＝ 1 あまり 424 583 ÷ 424 ＝ 1 あまり 159 424 ÷ 159 ＝ 2 あまり 106 159 ÷ 106 ＝ 1 あまり 53 106 ÷ 53 ＝ 2 →最大公約数 53 答 53練習８◎ 7個の点の中から 3個選ぶ… 7× 6× 53 × 2 × 1 ＝ 35（通り） （A，O，C），（B，O，D），（M，O，N）の 3通りは，一直線になってしまい三角形にならない。 35 － 3 ＝ 32（個） 答 32 個練習 11⑴ 赤と青の 2種類を取り出すとき
赤 青赤
赤青
青
赤と黄，青と黄のときも同様なので， 6× 3＝ 18（通り） 答 18 通り⑵ 続けて取り出す 2個の玉が赤のとき① 青 ② 黄 ③①～③のいずれかに（赤，赤）を入れると考える→ 3通りまた，青と黄が逆のときも考える→ 3＋ 3＝ 6（通り）2個取り出す玉が，青，黄のときも同様なので， 6× 3＝ 18（通り） 答 18 通り
赤赤青
青青 赤 6通り
赤赤青
青青 赤 6通り
★整数の持つ性質や，各計算のしくみを理解する。★連除法等の計算方法を正しく扱えるようにする。★並び方か選び方かを正しく判断し，適切な方法で解けるようにする。
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規則性▼指導ページ P14 ～ 23 ▼
●周期算◎ 1つの周期がいくつずつで区切られているのか，また，周期をいくつまで数えればよいのかを確認する。（値の個数）＝（1つの周期の個数）×（周期の数）
●等差数列◎数の並びを見たときに，等差数列になっているかを確認する。このときに差がいくつになっているかも求める。◎等差数列の和の公式は忘れやすいので，何度も問題を解かせて，公式を確実に覚えさせる。等（Ｎ番目）差数列の和＝（はじめの数＋Ｎ番目の数）×Ｎ÷ 2
2★植木算，周期算，方陣算などの特珠算について理解する。★等差数列を中心とした数列の規則をみつけ，利用して計算できるようにする。
●方陣算◎中実方陣と中空方陣で解き方を分けるとよい。中空方陣では卍図を使わせるのがよい。○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○ ○○ ○○○○○○○○ ○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○ （中実方陣） （中空方陣）
⇒
8
卍図
88
82
2
46
89 は第 8組の最後の数で，第 8組の和は，
12 ＋12 ×（8－ 1）＝ 4
よって，第 1組から第 8組までの和は，
（ 12 ＋ 4）× 8÷ 2＝ 18 答 18
⑵ 12 を除いて 5回目の12 →12 の分子と分母を 6倍した数
1× 62 × 6 ＝612 …第 11 組の 6番目
（1＋ 10）× 10 ÷ 2 ＋ 6 ＝ 61（番目） 答 61 番目練習９⑴ 1辺が 4個，辺が 6つ分のご石を加えるので， （4－ 1）× 6＝ 18（個） 答 18 個⑵ もとのご石に加えたご石の数を足す。 1＋（2－ 1）× 6＝ 7（個）…1辺が 2個 7＋（3－ 1）× 6＝ 19（個）…1辺が 3個 19 ＋（4－ 1）× 6＝ 37（個）…1辺が 4個 37 ＋（5－ 1）× 6＝ 61（個）…1辺が 5個 61 ＋（6－ 1）× 6＝ 91（個）…1辺が 6個 答 91 個練習 10⑴ 2進法で表している。16 は 2 進法で 100002）162） 8…02） 4…02） 2…0 よって，点灯している電球は 5番 1…0 答 5番⑵ 1回目は 2進法で 111 ，2 回目は 1011 ，3 回目は1101 である。
1101 は 10 進法で，1＋ 4＋ 8＝ 13 答 13 秒後⑶ 1分 40 秒＝ 100 秒，100 は 2 進法で 1100100 2）1002） 50…02） 25…02） 12…12） 6…0 よって，点灯している電球は，2） 3…0 3 番，6番，7番 1…1 答 3番，6番，7番
基本２◎どこまでで 1つの周期なのかを示す。4，5，5，1，3，2／ 4，5，5，1，3，2／ 4，5，…
⑴ 1つの周期に 6個の数字がある。90 個並べたとき，周期の数は，90 ÷ 6 ＝ 15
よって，15 周期であまりなしなので， 1周期に 5は 2個あるから，
2× 15 ＝ 30（個） 答 30 個⑶ 1周期にふくまれている奇数は，（5，5，1，3）の 4個。これらの和は，5＋ 5＋ 1＋ 3＝ 14よって，15 周期分は，14 × 15 ＝ 210 答 210
基本７⑴ 5段目の 4列目は，4段目の 1列目より 4大きい。 5×（5－ 1）＋ 4＝ 24 答 24⑵ 46 ÷ 5 ＝ 9 あまり 19段目の 5列目より 1大きいのは，10段目の 1番目の数偶数段は 5列目が 1番目の数なので，10 段目の 5列目
答 10 段目の 5列目⑶ 3列目が 5ずつ増える等差数列になっているので，3列目を基準として考える。 奇数段…2列目は 3列目より 1小さい 偶数段…2列目は 3列目より 1大きい よって，1段目から 8段目の和は，2列目と 3列目で等しい。 3＋ 5×（8－ 1）＝ 38…8 段目の 3列目 （3＋ 38）× 8÷ 2＝ 164 答 164練習５
⑴ 第 1組の和… 12 第 2組の和… 13 ＋
23 ＝ 1
第 3組の和… 14 ＋24 ＋34 ＝ 1
12
⋮ ⋮各組の和は， 12 ずつ大きくなる等差数列
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中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
▼指導ページ P24 ～ 33 ▼和と差
●和差算◎ 2つの数量の和と差がわかっているとき，数量の関係は下の図のように表せる。
差 和小
大
●ポイント●大きい方を求めるとき （和＋差）÷ 2小さい方を求めるとき （和－差）÷ 2
●差集め算◎ 1個あたりの差と全体の差から個数を求める問題。●ポイント●（全体の差）＝（1個あたりの差）×（個数）（個数）＝（全体の差）÷（1個あたりの差）
3
●消去算，代入算◎ 2つの数量○，□を求める方法 消去算…○か□にかける個数をそろえる。 代入算…○，□の一方をもう一方におきかえる。●つるかめ算◎ 2つの数量○，□の合計がわかっているとき，全部○だったときの値と実際の値との差を用いて〇と□を求める方法。
●平均◎数量をならして，同じ数量にしたもの。●ポイント●（平均）＝（合計）÷（個数）（合計）＝（平均）×（個数）（個数）＝（合計）÷（平均）
基本３
Ａ
Ｂ
Ｃ
全体90cm
2cm
17cm
Aを基準とすると， 90 ＋ 2 ＋（2＋ 17）＝ 111（cm）…Aの 3倍 よって，Aの長さは，111 ÷ 3 ＝ 37（cm）
答 37cm基本５◎差集め算では，「1個あたりの差」「全体の差」をそれぞれ求めることから始めるとよい。
⑴ 35 － 30 ＝ 5（個）…1箱あたりの差 50 － 20 ＝ 30（個）…全体の差 よって，箱の数は，30 ÷ 5 ＝ 6（個）
答 6個⑵ 1箱 30 個で考えると， 30 × 6 ＋ 50 ＝ 230（個）
答 230 個基本 13㋐の面積＝㋑の面積より，㋑の面積は， （80 － 70）× 1＝ 10よって， （70 － 68）×□＝ 10 □＝ 10 ÷ 2 ＝ 5
答 5回
㋐
□回 1回
68点 70点80点
㋑㋐
□回 1回
68点 70点80点
㋑
練習８⑴ 20 ＋ 10 ＝ 30（円）� 答 30 円⑵ ミカン…㋯，リンゴ…㋷，ナシ…㋤とすると，
㋯
△
△
△
㋷
㋷㋯㋯㋯㋤㋤
㋷－20
㋤－10
380△
㋤ ㋷＋10⇒
ミカンとナシをリンゴに置きかえると， ㋷× 6－ 20 × 3 ＋ 10 × 2 ＝ 380 ㋷× 6＝ 420 ㋷＝ 70 よって，㋯＝㋷－ 20 ＝ 70 － 20 ＝ 50
答 50 円練習 11⑴
30円
50円
x個 y個 z個
50円
100円80円
影をつけていない部分は，30 × y ＋ 50 × z 影をつけた部分は，50 × 15 ＝ 750 よって，30 × y ＋ 50 × z ＋ 750 ＝ 1160 30 × y ＋ 50 × z ＝ 1160 － 750 ＝ 410
答 410⑵ ⑴より，3× y＋ 5× z ＝ 41 yと z の組を表にすると，
y 12 7 2z 1 4 7↓ ↓ ↓ x＋ y＋ z ＝ 15 より
x 2 4 6 答 3通り
★和差算・差集め算・消去算・代入算・つるかめ算などについて理解する。★平均とのべの計算ができるようにする。★棒グラフ，折れ線グラフ，柱状グラフなどを読み取れるようにする。
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中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
▼指導ページ P34 ～ 43 ▼4 割合と比
●割合●ポイント●（割合）＝（割合にあたる量）÷（もとにする量）（割合にあたる量）＝（もとにする量）×（割合）（もとにする量）＝（割合にあたる量）÷（割合）
◎割合と百分率・歩合割合 1 0.1 0.01 0.001百分率 100％ 10％ 1％ 0.1％歩合 10 割 1 割 1 分 1 厘
●比◎Bに対するＡの割合をA：Bと表す。◎連比の求め方 A：B＝ 1：2 B：C＝ 1：3のとき， A：B：C＝ 1：2：6
Ａ Ｂ Ｃ1： 2 1： 31 ： 2 ： 6
×1 ×2
Ａ Ｂ Ｃ1： 2 1： 31 ： 2 ： 6
×1 ×2
◎比例式の性質 a：b＝ c：dのとき，a× d＝ b× c◎逆比
A× a＝ B× bのとき，A：B＝ 1a ：1b
●食塩水●ポイント●（こさ）＝（食塩の重さ）÷（食塩水の重さ）（食塩の重さ）＝（食塩水の重さ）×（こさ）（食塩水の重さ）＝（食塩の重さ）÷（こさ）
●年令算◎ 2人の年令の差が，何年後でも何年前でも変わらないことを利用する方法。
●仕事算◎ 1日にする仕事量をもとに全体の仕事量を求める方法。
基本４受験者数の割合を 1とすると，
1
34
15
合格者数 不合格者数
20人 18人
よって，1－（ 15 ＋ 34 ）＝ 120 の割合にあたる人数は，20 ＋ 18 ＝ 38（人）
38 ÷ 120 ＝ 760（人）…受験者数
760 × 15 ＋ 20 ＝ 172（人）� �答 172 人基本 11⑴ A，Aと B，Aと Bと Cの 1日の仕事量の比は，
130 ：112 ：
16 ＝ 2：5：10
Aの 1日の仕事量を 2とすると， 5－ 2＝ 3…Bの 1日の仕事量 10 － 5 ＝ 5…Cの 1日の仕事量 2× 30 ＝ 60…全体の仕事量 60 ÷ 5 ＝ 12（日）� �答 12 日⑵ ⑴より，3人で 8日間仕事をすると，仕事量は， 10 × 8 ＝ 80 全体の仕事量は 60 より， 80 － 60 ＝ 20…仕事量の差 仕事量の差が，Cが休んだ日の仕事量なので， 20 ÷ 5 ＝ 4（日）� �答 4日練習７
2個
3個
12
13
14
34
6個
Ｃが残りの 14 と 3 個を取ると，残りは 6個
⇒Ｂが取った残りの 34 は，3＋ 6＝ 9（個）
よって，Ｂが取った残りは，9÷ 34 ＝ 12（個）
同様に，Ｂが残りの 13 と 2 個を取ると，残りは 12 個
⇒Ａが取った残りの 23 は，12 ＋ 2 ＝ 14（個）
よって，Ａが取った残りは，14 ÷ 23 ＝ 21（個）したがって，はじめの数は，
21 ÷ 12 ＝ 42（個）� �答 42 個練習 11 母の 14年前の年令と 10年後の年令を比べると， 1：2.5 ＝ 2：5…年令の比 14 ＋ 10 ＝ 24（才）…年令の差 24 才は比の，（5－ 2＝）3にあたるので， 24 ÷ 3 ＝ 8（才）…比の 1にあたる年令 よって，現在の母の年令は，8× 2＋ 14 ＝ 30（才） したがって，子を生んだときの母の年令は， 30 － 7 ＝ 23（才）� �答 23 才練習 14 Ａの食塩水の重さを同じにして考える。 1：2＝ 2：4より，Ａの食塩水の重さを 2，Ｂの食塩水の重さを 4とすると，11％の食塩水にふくまれる食塩の重さは， （2＋ 4）× 0.11 ＝ 0.66 Ａの食塩水の重さを 2，Ｂの食塩水の重さを 1とすると，9％の食塩水にふくまれる食塩の重さは， （2＋ 1）× 0.09 ＝ 0.27 これより，0.66 － 0.27 ＝ 0.39� …Ｂの食塩水 3にふくまれる食塩の重さ したがって，Ｂの食塩水のこさは， 0.39 ÷ 3 ＝ 0.13 → 13％ また，9％の食塩水にふくまれる食塩の重さより， 0.27 － 1 × 0.13 ＝ 0.14� …Ａの食塩水 2にふくまれる食塩の重さ よって，Ａの食塩水のこさは， 0.14 ÷ 2 ＝ 0.07 → 7％ � �答 Ａ…7％，Ｂ…13％
10年後14年前
24才
25
10年後14年前
24才
25
★割合の 3用法と比の性質を正しく理解し，計算できるようにする。★分配算・年令算・食塩水の計算・仕事算などについて理解する。
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中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
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▼指導ページ P44 ～ 53 ▼5 速さ
●速さ◎速さの 3公式●ポイント●（速さ）＝（道のり）÷（時間）（道のり）＝（速さ）×（時間）（時間）＝（道のり）÷（速さ）
◎速さの単位換算 1km＝ 1000m，1時間＝60分，1分＝60秒を利用する。◎往復の平均の速さ●ポイント●（往復の道のり）÷（往復にかかった時間）
◎速さと比 速さの比が a：b，道のりの比が c：dならば，かかる時間の比は，（c÷ a）：（d÷ b）
★速さの 3公式や単位換算について理解し，計算できるようにする。★旅人算・時計算・通過算・流水算などについて理解する。
●旅人算◎ 2人の速さの差を使って，2人の間の距離について考えていく。●ポイント●（出会うまでの時間）＝（はじめの道のり）÷（速さの和）（追いこすまでの時間）＝（はじめの道のり）÷（速さの差）
●時計算◎時計の長針は 1分間に 6度，短針は 1時間に 30 度，1分間に 0.5 度まわる。
●通過算◎トンネルなどの図を用いて説明する。●流水算◎川の図を用いて説明する。●ポイント●（上りの速さ）＝（静水時の速さ）－（川の流れの速さ）（下りの速さ）＝（静水時の速さ）＋（川の流れの速さ）
基本４◎グラフから速さを求めることができるようにする。グラフの傾き（右上がりと左下がり）は移動の様子を表していることに注意して計算する。
⑴ 50 分で 40km進む。40km＝ 40000mより，分速，40000 ÷ 50 ＝ 800（m）
答 分速 800m⑵ 普通列車がＣ駅を出発したのは，貨物列車がＡ駅を出発した 10 分後。800 × 10 ÷ 1000 ＝ 8（km）
答 8km⑶ ⑵のとき，普通列車と貨物列車は，
40 － 8 ＝ 32（km）離れている。普通列車の速さは，40×1000÷40＝1000（m）→分速1000mよって，1分で（800 ＋ 1000 ＝）1800mずつ近づくので，
32 × 1000 ÷ 1800 ＝ 17 79（分後）
9時 30 分＋ 17 79 分＝ 9時 4779 分
答 9時 47 分
基本７⑵ 4時のとき，長針と短針の作る角は，30× 4＝ 120（度）1分間に（6－ 0.5 ＝）5.5 度縮まるので，
120 ÷ 5.5 ＝ 21 911（分）
�答 4時 21�� 分911911
⑶ 長針と短針が重ならずに一直線 →長針が短針より（120＋ 180＝）300度多くまわったとき
300 ÷ 5.5 ＝ 54 611（分）
答 4時 54�� 分611611
7979
練習８
ホーム
Ａ号
5.5 秒7 秒
330m
⑴ 5.5 秒後から 7秒後まではホームに入っているＡ号の長さは一定→Ａ号の長さは 330m 330 ÷ 5.5 ＝ 60（m）→秒速 60m…Ａ号の速さ ホームの長さ＝Ａ号が 7秒で進む距離 60 × 7 ＝ 420（m）
答 420m⑵ Ｂ号の速さはＡ号の 1.2 倍より， 60 × 1.2 ＝ 72（m）→秒速 72m 出会ってからすれちがい終わるまでに動く距離の合計は， 330 ＋ 330 ＝ 660（m） 1秒で（60 ＋ 72 ＝）132mより， 660 ÷ 132 ＝ 5（秒）� �答 5秒練習 11⑴ 下りと上りの速さの比は，
12：15 ＝ 5：2＝（船＋川）：（船－川）
下りの速さを 5とすると， （5＋ 2）÷ 2＝ 3.5…静水時の船の速さ 5－ 3.5 ＝ 1.5…川の流れの速さ よって，3.5：1.5 ＝ 7：3� �答 7：3⑵ Ａ町 Ｂ町
12
上りの速さを 2とすると，川の流れの速さは 1.5
8 分もどされたので，1.5 × 8 ＝ 12 エンジンをかけて進んだ距離は，2×（39 － 8）＝ 62 Ａ町とＢ町の間の距離は，62 － 12 ＝ 50 よって，静水時の船の速さは， 毎分，5000 ÷ 50 × 3.5 ＝ 350（m）� 答 毎分 350m
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
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問
題
の
解
説
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平面図形▼指導ページ P54 ～ 63 ▼
●平行線と角◎平行線と他の直線が交わるとき，同位角やさっ角は等しくなる。
●多角形の性質●ポイント●n角形の内角の和＝ 180°×（n－ 2）n角形の対角線の数＝（n－ 3）× n÷ 2
●長さの公式●ポイント●円周の長さ＝半径× 2×円周率
おうぎ形の弧の長さ＝半径× 2×円周率×中心角360
○○
○
××
○×
×
○○
○
××
○×
×
6
●面積の公式●ポイント●正方形の面積＝ 1辺× 1辺＝対角線×対角線÷ 2長方形の面積＝たて×横三角形の面積＝底辺×高さ÷ 2平行四辺形の面積＝底辺×高さ台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷ 2ひし形の面積＝対角線×対角線÷ 2円の面積＝半径×半径×円周率
おうぎ形の面積＝半径×半径×円周率×中心角360
●相似な図形●ポイント●右の図で，三角形ABCと三角形ADEは相似 B C
D E
A
×
×
△
△
B C
DEA
×
×
○
○
△
△
B C
D E
A
×
×
△
△
B C
DEA
×
×
○
○
△
△
基本２正五角形の内角の和は，180 ×（5－ 2）＝ 540（度）よって，正五角形の 1つの角は，540 ÷ 5 ＝ 108（度）
三角形ABEはAB＝AEの二等辺三角形なので，角あ＝（180 － 108）÷ 2＝ 36（度）同様に，角EDA＝ 36 度より，角DEB＝ 108 － 36 ＝ 72（度）三角形の外角より，角い＝角EDA＋角DEB ＝ 36 ＋ 72 ＝ 108（度）
答 あ…36 度，い…108 度
基本 14⑴ 三角形ADEの面積は 三角形ABCの面積の，
22 ＋ 1×
11 ＋ 1＝
13
よって，三角形ADE の面積は，
75 × 13 ＝ 25（cm2）
答 25cm2⑵ 三角形AFEの面積は， 25 － 15 ＝ 10（cm2） 三角形ADF：三角形AFE＝ 15：10 ＝ 3：2 これとDF：FEは等しいので， DF：FE＝ 3：2
答 3：2
あい
A
B
C D
Eあい
A
B
C D
E
1
A
B C
D EF
②
①
1
1
A
B C
D EF
②
①
1
練習２ 右の図で，三角形ABCは正三角形である。よって，角ACB＝ 60 度より，角ACD＝ 90 － 60 ＝ 30（度） 三角形CDAは CA＝ CDの二等辺三角形なので，角CDA＝（180 － 30）÷ 2 ＝ 75（度）また，角DCE＝ 90 ÷ 2 ＝ 45（度）で，三角形CDEはCD＝ CEの二等辺三角形なので，角CDE＝（180 － 45）÷ 2＝ 67.5（度）よって，角あ＝角CDA－角CDE＝ 75－ 67.5 ＝ 7.5（度）
答 7.5 度
練習７⑴ AB＝ BCより， DB＋AB＝ DB＋ BC ＝ DC＝ 8cm 同様にDE＝ ECより， FE＋ DE＝ FE＋ EC ＝ FC＝ 8cm よって，影をつけた部分のまわりの長さは，
8× 2× 3.14 × 14 ＋ 8 ＋ 8 ＝ 28.56（cm）
答 28.56cm⑵ 求める面積は，四分円－直角二等辺三角形× 2 直角二等辺三角形 2つ分の面積 ＝対角線の長さが 8cmの正方形の面積より，8× 8÷ 2＝ 32（cm2）
四分円の面積は，8× 8× 3.14 × 14 ＝ 50.24（cm2）
よって，求める面積は，50.24 － 32 ＝ 18.24（cm2）答 18.24cm2
あA
B C
D
Eあ
A
B C
D
E
A
B
C
D
EF
A
B
C
D
EF
★平行線と角や多角形の性質を理解する。★いろいろな図形の長さや面積を求める公式を正しく扱えるようにする。★対称な図形や相似を利用した問題が解けるようにする。
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
授
業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
図形の移動▼指導ページ P64 ～ 73 ▼
●多角形の辺上の点の移動◎点が出発してからの時間と，そのときの点の位置の関係を正確に読み取る。
●円周上の点の移動◎点が 1秒間に何度動くかを考える。（例）点 P…8秒で 1周（360 度） → 1秒に 45 度点 Q…12 秒で 1周 → 1秒に 30 度
O
A
Q
PO
A
Q
P
7★点が移動したときの時間と位置の関係を把握する。★図形が平行移動・回転移動したときの様子をとらえ，長さや面積などを求めることができる。
●平行移動◎図形の各点が同じ方向に同じ長さずつ移動する。・重なりの形の変化 ・重なっている時間
●回転移動◎回転の中心を中心として，各点が同じ角度だけ回転する。 120°120°120°120°
基本５⑴
① ② ③
→ →
上の図より，①の後に②のように五角形となり，③になる。①から③までの間に正方形は 4cm動くので， 4÷ 1＝ 4（秒間）
答 4秒間⑵ 10 秒後の図は右のようになる。 重なっていない部分は，直角をはさむ部分が 2cmの 直角二等辺三角形で，この部分を引いたものが求める面積なので， 8× 4÷ 2－ 2× 2÷ 2× 2＝ 12（cm2）
答 12cm2基本７⑴ 求める長さは，直径 16cmの半円の弧 2つ分とおうぎ形ABCの弧の長さをたしたものである。
16× 3.14 ÷ 2× 2＋ 16× 2× 3.14 × 45360＝ 62.8（cm）
答 62.8cm⑵ 求める面積は，半径 8cmの半円の面積と半径 16cmで中心角45°のおうぎ形の面積をたしたものから半径 8cmの半円をひく。 つまり，半径16cmで中心角45° のおうぎ形の面積と等しい。
よって，16 × 16 × 3.14 × 45360 ＝ 100.48（cm2）答 100.48cm2
練習３⑴ はじめて二等辺三角形になるのは右の図のときである。 BP＝ BA＝ 8cmで， 点 Pが 動き始めてから 4秒後なので， 8÷ 4＝ 2（cm） 答 毎秒 2cm
2cm2cm 4cm 2cm2cm 4cm
A B
C
45°O
O′
16cmA B
C
45°O
O′
16cm
8cmA B
C
DP
8cm
8cmA B
C
DP
8cm
⑵ 2回目に二等辺三角形になるのは，辺CDの真ん中に点 Pがきたときである。 CP＝ 10 ÷ 2 ＝ 5（cm） 12 ＋ 5 ＝ 17（cm）…点 Pが動いた長さ 動き始めてから， 17 ÷ 2 ＝ 8.5（秒後）
答 8.5 秒後⑶ 点 Pが辺 CDの真ん中にあるとき，三角形 PECと三角形PFDは合同であるから， CE＝ DF＝（12 － 6）÷ 2 ＝ 3（cm） よって，三角形ABPの底辺を辺ABとしたときの高さは，
6＋ 3＝ 9（cm） したがって，三角形ABPの面積は， 8× 9÷ 2＝ 36（cm2）
答 36cm2練習８⑴ 中心Oの動いたあとを，直線部分，曲線部分に分けて考えると， 直線部分は， （4－ 1）＋（2－ 1）＋ 4＝ 8（cm）
曲線部分は，1× 2× 3.14 × 90360 ＝ 1.57（cm）
よって，8＋ 1.57 ＝ 9.57（cm）答 9.57cm
⑵ 求める面積は，半円 2個，おうぎ形，長方形 2個からアの部分をひいた面積である。 1× 1× 3.14 ÷ 2 × 2 ＝ 3.14（cm2）…半円 2個
2× 2× 3.14 × 90360 ＝ 3.14（cm2）…おうぎ形
2×（4＋ 4）＝ 16（cm2）…長方形 2個
1× 1－ 1× 1× 3.14 × 90360 ＝ 0.215（cm2）…アの部分
よって，3.14 × 2 ＋ 16 － 0.215 ＝ 22.065（cm2）答 22.065cm2
12cm
A B
C
D
P
6cm
8cm
EF
12cm
A B
C
D
P
6cm
8cm
EF
アO 2cm
4cm
4cm アO 2cm
4cm
4cm
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
授
業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
立体図形▼指導ページ P74 ～ 83 ▼
●直方体と立方体●ポイント●
（直方体の体積）＝（たて）×（横）×（高さ）（立方体の体積）＝（1 辺）×（1 辺）×（1 辺）
●角柱・円柱・角すい・円すい●ポイント●
（角柱・円柱の表面積）＝（底面積）× 2 ＋（側面積）（角柱・円柱の体積）＝（底面積）×（高さ）（角すい・円すいの表面積）＝（底面積）＋（側面積）
（角すい・円すいの体積）＝（底面積）×（高さ）× 13
◎複雑な立体の表面積を求めるときは，前，後，左，右，上，下の 6 つの方向から見える面積の合計として求めることもできる。ただ，見えない面がある場合もあるため，注意して指導したい。
8★いろいろな立体の体積や表面積を求めることができるようにする。★展開図や投影図の用い方を確認し，場合に応じて使い分けることができるようにする。
●円柱の展開図●ポイント●円柱の表面積を求めるときは，
（側面の長方形の横の長さ） ＝（底面の円周の長さ）を利用する。
●円すいの展開図●ポイント●
（円すいの側面積） ＝（母線の長さ）×（底面の半径）×（円周率）
（底面の半径）（母線の長さ）＝（側面のおうぎ形の中心角）
360
例 26 ＝（中心角）
360 より，
中心角は，360 × 13 ＝ 120（度）
側面積は，6 × 2 × 3.14 ＝ 37.68（cm2）
円周円周
6cm
2cm
6cm
2cm
基本３⑴ この立体を正面から見ると
右の図のようになる。 三角形 ABC と三角形 ADE
は相似なので， 6：3 ＝ 2：1…相似比 AE ＝ EC ÷（2 － 1）× 1 ＝ 4 ÷ 1 × 1 ＝ 4（cm）
よって，求める体積は，
6 × 6 × 3.14 ×（4 ＋ 4）× 13 － 3 × 3 × 3.14 × 4 × 1
3＝ 263.76（cm3） 答 263.76cm3
⑵ AD ＝ DB ÷（2 － 1）× 1 ＝ 5 ÷ 1 × 1 ＝ 5（cm）側面積は，（5 ＋ 5）× 6 × 3.14 － 5 × 3 × 3.14
＝ 45 × 3.14（cm2）表面積は，3 × 3 × 3.14 ＋ 6 × 6 × 3.14 ＋ 45 × 3.14
＝ 282.6（cm2） 答 282.6cm2基本６⑴ 右の図は，ひもの通る面の展
開図である。 三角形 ABP と三角形 GCP は
相似なので， 6：4 ＝ 3：2…相似比
BP ＝ 8 ÷（3 ＋ 2）× 3 ＝ 4.8（cm）
答 4.8cm⑵ EA
CB
D H
FG
Q R
8cm 8cm4cm
6cm
上の図で，三角形 AHR と三角形 FGR は相似なので， （8 ＋ 4）：8 ＝ 12：8 ＝ 3：2…相似比 GR ＝ 6 ÷（3 ＋ 2）× 2 ＝ 2.4（cm）
答 2.4cm
6cm
3cm5cm 4cm
A
CB
D E
6cm
3cm5cm 4cm
A
CB
D E
A
CB
D
F G
P
6cm
4cm
8cm
A
CB
D
F G
P
6cm
4cm
8cm
練習６⑵ 切り分けられるブロックを段ごとに調べる。
下から 1 段目，2 段目，3 段目とすると，
（A）C
（B）4個
1段目（C）A
B2 個
2 段目 （A，C）
（B）なし
3段目
よって，切り分けられるブロックは，4 ＋ 2 ＝ 6（個）
答 6 個練習７⑴ （cm）
15
0 6
エ
イ
アウ
アイ ウ
エ
11.6 16.6 （分）
グラフのア，イ，ウ，エのとき，図のア，イ，ウ，エの部分に水が入っている状態を表している。 アのときより，6 分で（20 × 40 × 15）cm3 入れている。
よって，20 × 40 × 15 ÷ 6 ＝ 2000 →毎分 2000cm3イの高さを求める。イの体積は，2000 ×（11.6 － 6）＝ 11200（cm3）イの底面積は，40 ×（8 ＋ 20）＝ 1120（cm2）イの高さは，11200 ÷ 1120 ＝ 10（cm）よって，仕切り板の高さは，15 ＋ 10 ＝ 25（cm）
答 25cm⑵ ウの体積は，2000 ×（16.6 － 11.6）＝ 10000（cm3）
ウの底面積は，10000 ÷ 25 ＝ 400（cm2）よって，x の長さは，400 ÷ 40 ＝ 10（cm）
答 10cm
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
授
業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
数の性質・場合の数▼指導ページ P84 ～ 93 ▼
●最小公倍数・最大公約数◎連除法を用いる。
3）30 75 最小公倍数…3 × 5 × 2 × 5 ＝ 150 5）10 25 最大公約数…3 × 5 ＝ 15 2 5
●約数の個数◎素因数分解の結果を利用して求める。 126 の約数の個数は， 126 ＝ 2 × 3 × 3 × 7 より， （1 ＋ 1）×（2 ＋ 1）×（1 ＋ 1）＝ 12（個）
●倍数の個数◎ 1 からの数ならばわり算で求められる。 1 から 200 までの 13 の倍数の個数は， 200 ÷ 13 ＝ 15 あまり 5 → 15 個
9★倍数や約数を正しく求め，問題を解くのに利用することができる。★条件を満たす場合の数を正確に求められるようにする。
●がい数のはんい◎四捨五入して百の位までのがい数にすると 2500 にな
るような整数のはんいは， 最小の整数…2450 最大の整数…2549●条件の整理
◎表やベン図を利用する。全体
国語だけ好き
算数だけ好き
両方とも好きではない両方好き
国語が好き 算数が好き
●場合の数◎ 5 人が 1 列に並ぶ…5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120（通り）
◎ 6 人から 2 人選ぶ… 6 × 52 × 1 ＝ 15（通り）
基本７⑴ 1 試合に 5 チーム中 2 チームが試合をするので，
5 × 42 × 1 ＝ 10（試合）
答 10 試合
⑵ Ｂは 1 勝 3 敗なので，Ｄ以外は負け，Ｃは 3 勝1 敗なので，Ａ以外は勝ちとなる。
これを表に書きこむと右のようになる。
Ａは 2 勝 2 敗なので，Ａ が 勝った チーム は， 表よりＢとＣである。
答 ＢとＣ
⑶ 表より，ＤはＢとＣに負けている。Ｄは 2 勝 2敗なので，ＤはＡとＥに勝つことになる。
よって，ＥはＤに負けることになる。
答 ×
練習６
⑴ 64 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2これより，分子が 2 の倍数だと約分できる。よって，2 の倍数ではない数の個数を求める。1 より小さい数で考えるので，分子は 63 以下。63 ÷ 2 ＝ 31 あまり 1 → 2 の倍数は 31 個したがって，63 － 31 ＝ 32（個）
答 32 個
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
Ａ ○ ○
Ｂ × × ○ ×
Ｃ × ○ ○ ○
Ｄ × ×
Ｅ ○ × ア
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
Ａ ○ ○
Ｂ × × ○ ×
Ｃ × ○ ○ ○
Ｄ × ×
Ｅ ○ × ア
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
Ａ ○ ○ ×
Ｂ × × ○ ×
Ｃ × ○ ○ ○
Ｄ ○ × × ○
Ｅ ○ × ア
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
Ａ ○ ○ ×
Ｂ × × ○ ×
Ｃ × ○ ○ ○
Ｄ ○ × × ○
Ｅ ○ × ア
⑵ 分子が 1 から 63 までのうちで，5 の倍数で，2 でわり切れない数は，5 の奇数倍となる数。
5 ＋ 15 ＋ 25 ＋ 35 ＋ 45 ＋ 55＝（5 ＋ 55）× 6 ÷ 2＝ 180
よって，求める分数の和は，18064 ＝ 2 52
64 ＝ 2 1316
答 2
練習 15⑴ 図のようにすると，となり
合う部分を異なる色にするには，アで 1 色，イとエで 1 色，ウとオで 1 色となる。
アを固定して，イとエの色とウとオの色を逆にしても，回転
すると同じぬり方になるので，ア 1 色に対して，1 通りのぬり方となる。アをぬる色は赤，青，黄の 3 通りなので，全部で 3 通り。
答 3 通り⑵ アを赤とすると，イ～オのぬり方は，イとエで 1 色，
ウで 1 色，オで 1 色ということになり，ウの色とオの色を逆にしても，回転すると同じぬり方になる。また，ウとオで 1 色としても，回転すると同じぬり方になるので，イとエ 1 色に対して，1 通りのぬり方となる。ぬる色は，赤以外の青，黄，緑の 3 通りより，アが赤のとき，3 通りのぬり方がある。
アが青，黄，緑のときも同様に 3 通りずつあるので，全部で，
3 × 4 ＝ 12（通り）答 12 通り
13161316
エ オ
ウ イ
ア
エ オ
ウ イ
ア
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
授
業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
規則性▼指導ページ P94 ～ 103 ▼
●植木算◎道が一直線の場合 （木の本数）＝（道の長さ）÷（間隔の長さ）＋ 1◎道が一周している場合 （木の本数）＝（道の長さ）÷（間隔の長さ）●周期算◎ 1つの周期とその個数を利用する。 A，C，A，B，C / A，C，A，B，C / A，C，… 1つの周期の個数…5個 32 番目の文字は， 32÷ 5＝ 6あまり2→（6＋ 1＝）7周期目の2番目→C●等差数列◎（N番目の数）＝（はじめの数）＋（増える数）×（N－ 1）◎（N番目までの和）＝（はじめの数＋N番目の数）×N÷2 3，7，11 ，15 ，19…→はじめの数が 3で，4ずつ増える。 20 番目の数は，3＋ 4×（20 － 1）＝ 79 20 番目の数までの和は，（3＋ 79）× 20 ÷ 2 ＝ 820
10★植木算，周期算，方陣算などの特殊算の使い方を確認する。★数列の規則性を正確に見つけ，等差数列などに応用できる。
●方陣算◎中実方陣…�（ご石の数）＝（1辺に並ぶご石の数）×（1
辺に並ぶご石の数） 1辺が 15 個の中実方陣のご石の数は， 15 × 15 ＝ 225（個）◎中空方陣…卍図を使って数える。 いちばん外側の 1辺が 15 個の中空方陣の，いちばん外側から 3列のご石の数は， 3× 12 × 4 ＝ 144（個）
（15－3＝）12 個
○○○○…○○○○○…○○○○○…○
○○○○…○
○○○○…○
○○○○…○
○○○○…○○○○○…○○○○○…○
○○○○…○
○○○○…○
○○○○…○
3 個
基本４⑴ 1月は 31 日，2月は 29 日（うるう年なので），3月は31 日，1月 15 日は 1月 1日の（15 － 1 ＝）14 日後なので，1月 15 日から数えて 100 日目は， 1月 1日から数えて（14 ＋ 100 ＝）114 日目 114 － 31 － 29 － 31 ＝ 23（日）→ 4月 23 日
答 4月 23 日⑵ 1月 15 日を 1日目とすると，1日目が火曜日より 100 ÷ 7 ＝ 14 あまり 2→周期の 2番目と同じ曜日 ｛火，水，木，金，土，日，月｝の周期の 2番目は水曜日
答 水曜日⑶ うるう年は 1年 366 日なので，次の年の 1月 15 日は， 1＋ 366 ＝ 367（日目） 367÷ 7＝ 52あまり 3→⑵の周期の 3番目と同じ曜日 よって，木曜日
答 木曜日基本９⑴ 1番目の図形には正三角形が 6個あり，以降は 2個ずつ増えていく。 6＋ 2×（7－ 1）＝ 18（個）
答 18 個⑵ 1番目の図形にはマッチ棒が 13 本使われていて，以降は 4本ずつ増えていく。 13 ＋ 4 ×（10 － 1）＝ 49（本）
答 49 本⑶ 正三角形が 32 個となる図形をN番目とすると， 6＋ 2×（N－ 1）＝ 32 ����N ＝（32 － 6）÷ 2＋ 1 ����＝ 14（番目） よって，14 番目の図形のマッチ棒の数は， 13 ＋ 4 ×（14 － 1）＝ 65（本）
答 65 本
練習５⑴ 帯分数で表すと以下のようになる。
15，25，35，45 / 1 15，1 25，1 35，1 45 / 2 15，2 25，…
1組 �2 組 �3 組
よって，n組は整数部分が（n－ 1），分数部分が
15 ，25 ，35 ，45 の 4 個で 1組となっている。
したがって，20 番目の数は，20 ÷ 4 ＝ 5 より 5組の最
後の数なので，4 45 ＝245
� 答
⑵ 15 ＋25 ＋35 ＋45 ＝105 ＝ 2
� 答 2
⑶ 各組の数の和は，1組が 2で，（1× 4＝）4ずつ大きくなるので， 2＋ 4×（5－ 1）＝ 18…5 組の数の和 よって，1組から 5組までの数の和は， （2＋ 18）× 5÷ 2＝ 50
答 50練習 13⑴ 3種類の数字→ 0，1，2の 3進法を用いるとよい。 3）20 3）� 6…2 ⇒ 202 �2…0 1 → 2 ，2 → 5 とするので，20 番目の整数は 505
答 505⑵ 2005 を 2 → 1 ，5 → 2 とすると，1002 となる。 3進法で 1002 という数を 10 進法で表すと，（3× 3× 3）× 1＋ 1× 2＝ 29よって，2005 は 29 番目
答 29 番目
245245
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
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業
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開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
和と差▼指導ページ P104 ～ 113 ▼
●和差算◎ 2つの数量の和と差がわかるときに用いる。
24cm 120cm短いリボン
長いリボン
⎩⎨⎧
（120 － 24）÷ 2＝ 48（cm）…短いリボン●差集め算◎ 1個あたりの差，全体の差がわかるときに用いる。 1本 100 円のボールペンと，1本 70 円のえん筆� …1 本あたり（100 － 70 ＝）30 円の差 同じ本数ずつ買い，代金の差が 240 円のとき → 240 ÷ 30 ＝ 8（本）ずつ買った。●消去算◎一方の数量を消去して 2つの数量を求める方法。 パン 2個，牛乳 1本で 390 円→○× 2＋□× 1＝ 390…① パン 5個，牛乳 2本で 900 円→○× 5＋□× 2＝ 900…② パン 4個，牛乳 2本で 780 円→○× 4＋□× 2＝ 780…③ ②－③より，900 － 780 ＝ 120（円）…パン 1個 ①に代入して，390 － 120 × 2 ＝ 150（円）…牛乳 1本
2倍2倍
11★どの特殊算の考え方を用いて解くのか判断できるようにする。★平均と合計の関係を利用して問題を解くことができる。
●つるかめ算◎一方の数量におきかえて 2つの数量を求める方法。
Ａ：5g のおもりＢ：10g のおもり
���18 個で合計 120g のとき
10 × 18 ＝ 180（g）…全部Ｂだったときの重さ 180 － 120 ＝ 60（g）…実際との差 ＡとＢの 1個あたりの差は（10 － 5 ＝）5g なので， 60 ÷ 5 ＝ 12（個）…Ａ，18 － 12 ＝ 6（個）…Ｂ●平均◎合計を個数でわって求める。 国語 75 点，数学 92 点，理科 84 点，社会 83 点 （75 ＋ 92 ＋ 84 ＋ 83）÷ 4＝ 83.5（点）…4教科の平均点●のべ 4人で 30 分かかる仕事を 6人でするとき 1人で 1日にする仕事量を 1とすると， 1× 30 × 4 ＝ 120…のべの仕事量 120 ÷ 6 ＝ 20（分）…6人のときのかかる時間
基本６⑴ 470 － 40 × 2 ＝ 390（円）…�合計からミカンを引いた
代金 トマト 1個の値段をト円，ジャガイモ 1個の値段をジ円とすると， ト× 3＋ジ× 5＝ 390 ト＝ジ＋ 50 より， ト× 3＝ジ× 3＋ 150 ジ× 3＋ 150 ＋ジ× 5＝ 390 ジ× 8＝ 240ジャガイモ 1個の値段は，240 ÷ 8 ＝ 30（円）
答 30 円⑵ 30 ＋ 50 ＝ 80（円）
答 80 円基本８⑴ 1本 40 円のえん筆Ａと 1本 70 円のえん筆Ｂを 2：1の割合で買ったので， （40 × 2 ＋ 70 × 1）÷（2＋ 1）＝ 50（円）
答 50 円⑵ 11 本すべてえん筆と考えると， 50 × 11 ＝ 550（円） 900 － 550 ＝ 350（円）…実際との差 1本あたりの差は（120 － 50 ＝）70 円なので， 350 ÷ 70 ＝ 5（本）
答 5本基本 10⑴ 25 －（2＋ 5＋ 5＋ 6）＝ 7（人）
答 7人⑵ 2.6 × 25 ＝ 65（点）…クラスの合計点 65 －（0× 2＋ 1× 5＋ 2× 5＋ 3× 6）＝ 32（点）
…4点と 5点の人の合計点 ⑴の 7人全員が 4点と考えると， 4× 7＝ 28（点） 32 － 28 ＝ 4（点）…実際との差 4÷（5－ 4）＝ 4（人）� 答 4人
代入代入
練習１⑴ Ａ
116 人4 人
Ｂ3人
Ｃ
Ｄ2人
⎩――⎨――⎧
もっとも人数が多い…Ａ もっとも人数が少ない…Ｃ図より，差は，3＋ 4＝ 7（人）� 答 7人
⑵ Cは，Aより 7人，Bより 3人，Dより 2人少ない。116 －（7＋ 3＋ 2）＝ 104（人）…Ｃ× 4104 ÷ 4 ＝ 26（人）…Cよって，Ｄは，26 ＋ 2 ＝ 28（人）� 答 28 人
練習 15⑴ 右の図の㋐の面積は， 0.5 × 4 ＝ 2（点） ㋐と㋑は同じ面積なので， ㋑のたては， 2÷ 1＝ 2（点）
答 2点⑵ 右の図の㋒の面積は， 1× 3＝ 3（点） ㋓も 3点なので，ＡとＢの合計点は平均点の 2倍より 3点低い。 Ａは平均点より，2点高いので， Ｂは平均点より，（3＋ 2＝）5点低い。 よって，ＡとＢの差は， 5＋ 2＝ 7（点）� 答 7点⑶ 76.5 × 2 ＝ 153（点）…ＡとＢの合計点 ＡはＢより 7点高いので， （153 ＋ 7）÷ 2＝ 80（点）� 答 80 点
㋐ ㋑0.5点
4人 Ａ1人
㋐ ㋑0.5点
4人 Ａ1人
1点
3人 ＡとＢ2人
㋓
㋒1点
3人 ＡとＢ2人
㋓
㋒
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
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業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
割合と比▼指導ページ P114 ～ 123 ▼
●割合◎割合にあたる量ともとにする量を本文から読み取れるようにする。 リボンを 14 より 15cm長い長さを使うと 45cm残る。 はじめのリボンの長さは何 cmか。 （もとにする量）＝（はじめのリボンの長さ） 15 ＋ 45 ＝ 60（cm）…全体の（1－ 14 ） 60 ÷（1－ 14 ）＝ 80（cm）…はじめのリボンの長さ●比◎比の 1にあたる量を利用して数量を求める。 姉と妹のはじめの金額の比が 2：1で，2人とも 300円ずつ使うと残りの金額の比が 5：2となった。姉のはじめの金額は何円か。 2人の金額の差は変わらない→比の差をそろえる � � � � × 3 � � � ����2：1 → 6：3 � � � ����5：2 → 5：2 300 ÷（6－ 5）＝ 300（円）…比の 1にあたる金額 300 × 6 ＝ 1800（円）…姉のはじめの金額
12★割合の意味を理解し，食塩水の計算などに応用できる。★比や逆比を使って分配算や仕事算などを解くことができる。
●年令算◎年令の差が比のいくつ分かを考える。 現在，母が 40 才，子が 8才。母の年令が子の年令の3倍になるのは何年後か。
母③
32 才
子①
2 人の年令の差が子の（3－ 1＝）2倍となるとき。32 ÷ 2 ＝ 16（才）16 － 8 ＝ 8（年後）
●仕事算◎仕事量の比は仕事にかかった日数の逆比に等しい。 Ａ 1人で 36 日，Ｂ 1人で 45 日かかる仕事を，Ａ，Ｂ 2人でするときのかかる日数は何日か。 136：
145 ＝ 5：4…ＡとＢの仕事量の比
Ａ 1日の仕事量を 5とすると， 5× 36 ＝ 180…全体の仕事量 180 ÷（5＋ 4）＝ 20（日）
基本９⑴ 100 ＋ 60 ＝ 160（円）…定価で売ったときの利益 これは仕入れ値の 20％なので， 160 ÷ 0.2 ＝ 800（円）
答 800 円⑵ 100 × 50 ＝ 5000（円）…仕入れ総額 5000 ＋ 520 ＝ 5520（円）…売り上げ 100 ×（1＋ 0.2）＝ 120（円）…1枚の定価 5520 ÷ 120 ＝ 46（枚）…売った枚数 よって，割れた皿は， 50 － 46 ＝ 4（枚）
答 4枚基本 10⑴ 250 × 0.04 ＝ 10（g）…食塩の重さ 10 ÷ 0.05 ＝ 200（g）…蒸発後の食塩水の重さ よって，蒸発させた水の重さは， 250 － 200 ＝ 50（g）
答 50g⑵ 3％の食塩水の重さを 2とすると， 2× 0.03 ＋ 1 × 0.09 ＝ 0.15…食塩の重さ できた食塩水の重さは（2＋ 1＝）3なので，
0.15 ÷ 3 ＝ 0.05 → 5％答 5％
⑶ 10％と 18％の食塩水の重さの比は，
112 － 10：
118 － 12 ＝
12：16＝ 3：1
10％の食塩水の重さは， 600 ÷（3＋ 1）× 3＝ 450（g）
答 450g
練習１⑴ 人口密度が等しいとき，人口の比は面積の比と等しい。
200：300 ＝ 2：3…Ａ市とＢ市の面積の比 50000 ÷ 2 × 3 ＝ 75000（人）� …人口密度が等しいときのＢ市の人口75000 － 72000 ＝ 3000（人）
答 3000 人⑵ Ａ市とＢ市の人口の比が 2：3になればよい。 Ａ市とＢ市の人口の合計は変わらないので，（50000 ＋ 72000）÷（2＋ 3）× 3＝ 73200（人）…Ｂ市の人口73200 － 72000 ＝ 1200（人）
答 1200 人練習 15
115 ：112 ＝ 4：5…ＡとＢの 1日の仕事量の比
Ａの 1日の仕事量を 4とすると，4× 15 ＝ 60…全体の仕事量60－（4＋ 5）×2＝42…ＡとＢが2日働いた残りの仕事量42 ÷（8－ 2）－ 5＝ 2…Ｃの 1日の仕事量60 ÷（4＋ 2）＝ 10（日）
答 10 日練習 16
全体の作業量を 1とすると，1日あたりの作業量は 112112 × 4 ＝
13 …4 日分の作業量
25 －13 ＝
115 …6 時間分の作業量
115 ÷ 6 ＝
190 …1 時間あたりの作業量
112 ÷
190 ＝ 7.5（時間）…1日の作業時間
答 7.5 時間
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例
重
要
問
題
の
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例
速さ▼指導ページ P124 ～ 133 ▼
●速さ◎何を求めるのかをきちんと読み，求める単位が合っていることを確認する。 3000mはなれたＡ地とＢ地の間を，行きは分速 40m，帰りは分速 60mで往復するときの平均の速さ 3000 ÷ 40 ＋ 3000 ÷ 60 ＝ 75 ＋ 50 ＝ 125（分）
…往復にかかる時間 3000 × 2 ÷ 125 ＝ 48（m）→分速 48m…平均の速さ●旅人算◎出会いの旅人算か追いこしの旅人算かを読み取る。 1200mはなれた地点から，Ａが分速 80m，Ｂが分速70mで向かい合って歩いたときの出会う時間
1200 ÷（80 ＋ 70）＝ 8（分）→ 8分後に出会う。●時計算◎短針と長針の位置関係を確認する。 9時 30 分のときの長針と短針の作る小さい方の角度 30× 9 3060＝ 285（度）…12の位置から短針が動いた角度 6× 30 ＝ 180（度）…12 の位置から長針が動いた角度 285－ 180＝ 105（度）…長針と短針の作る小さい方の角度
13★グラフを正しく読み取り，速さの 3公式を利用して問題が解けるようにする。★問題文から，どの特殊算の考え方を用いて解けばよいか判断できるようにする。
●通過算◎電車の走るきょりに注意する。 わたり始めてからわたり終わるまで→（鉄橋）＋（電車） 鉄橋に完全に入ってから出始めるまで→（鉄橋）－（電車） 長さ 150mの電車が秒速 30mで 1200mの鉄橋をわたり始めてからわたり終わるまでの時間 （150 ＋ 1200）÷ 30 ＝ 45（秒）●流水算◎川を上るとき，下るときの流れの向きに注意する。 分速 200mの船が分速 50mで流れる川を 3000m上るのにかかる時間 3000 ÷（200 － 50）＝ 20（分）●速さと比◎道のりが一定のとき，かかる時間の比は速さの比の逆比となる。 Ａ地点からＢ地点まで，分速 80mで歩くときと分速120mで走るときのかかる時間の比
180 ：1120 ＝ 3：2
基本２⑴ 4.8 ÷ 12 ＝ 0.4（km）→分速 0.4km…バスの速さ 4.8 ＋ 0.4 ×（20 － 14）＝ 7.2
答 7.2⑵ 7.2kmを（20 － 12 ＝）8分で走るので， 7.2 ÷ 8 ＝ 0.9（km）→分速 0.9km 0.9 × 60 ＝ 54（km）→時速 54km
答 時速 54km⑶ バスが停留所を出発したときのバスとオートバイの間の道のりは， 4.8 － 0.9 ×（14 － 12）＝ 3（km） バスとオートバイの間の道のりが 1kmになるのは，間の道のりが（3－ 1＝）2km近づいたときである。 オートバイはバスに 1分あたり（0.9 － 0.4 ＝）0.5km近づくので， 2÷ 0.5 ＝ 4（分） よって，（14 － 12）＋ 4＝ 6（分後）
答 6分後基本 13
⑴ 15：120 ＝ 4：1…ＡとＢの速さの和と差の比
ＡとＢの速さの和を 4とすると，
1 4
⎩⎨⎧
Ａ
Ｂ （4＋ 1）÷ 2＝ 2.5…Ａの速さ 4－ 2.5 ＝ 1.5…Ｂの速さ よって，ＡとＢの速さの比は， 2.5：1.5 ＝ 5：3
答 5：3⑵ Ａの速さを 5とすると， （5＋ 3）× 5＝ 40…池のまわりの長さ 40 ÷ 5 ＝ 8（分）
答 8分
練習 12⑴ 特急電車は，電車の長さだけ進むのに 8秒，電車とトンネルの長さの和だけ進むのに（1分 44 秒＝）104 秒かかるので，104 － 8 ＝ 96（秒）
…特急電車がトンネルの長さを進む時間2400 ÷ 96 ＝ 25（m）→秒速 25m…特急電車の速さ25 × 60 × 60 ÷ 1000 ＝ 90（km）→時速 90km
答 時速 90km⑵ 特急電車の長さは秒速 25mの速さで 8秒かかる長さなので， 25 × 8 ＝ 200（m） 電車の長さの比は，普通：特急＝ 3：5より， 200 ÷ 5 × 3 ＝ 120（m）…普通電車の長さ この長さを 6秒で通過するので， 120 ÷ 6 ＝ 20（m）→秒速 20m…普通電車の速さ よって，かかる時間は， （120 ＋ 2400）÷ 20 ＝ 126（秒）→ 2分 6秒
答 2分 6秒練習 13⑴ 18km＝ 18000m Ｐ，Ｑが近づく速さは静水時の速さの和に等しいので， 18000÷（450× 2）＝ 20（分）…Ｐ，Ｑが出会うまでの時間 450 ＋ 50 ＝ 500（m）→分速 500m…Ｐの速さ 500 × 20 ＝ 10000（m）→ 10km
答 10km⑵ 出会うまでにＰは，（10 － 1 ＝）9km進むので， 9× 1000÷ 500＝ 18（分）…Ｐ，Ｑが出会うまでの時間 Ｑのいつもの速さは，分速（450 － 50 ＝）400mなので，4km進むのに， 4× 1000 ÷ 400 ＝ 10（分）かかる。 よって，速度を上げてからＰと出会うまでの時間は，18 － 10 ＝ 8（分）
答 8分
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展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
平面図形・図形の移動▼指導ページ P134 ～ 143 ▼
●角の大きさ◎平行線と角…対頂角や同位角，さっ角を用いる。
40°
70°
ℓ
m
あ
40°
70°
ℓ
m
いう
⇒
ℓとmは平行
い＝ 40 度…平行線のさっ角 う＝ 70 度…平行線の同位角あ＝ 40 ＋ 70 ＝ 110（度）◎図形の角…図形の性質を利用する。
55°30°
Ｏえ 30°
Ｏえ⇒
30°え
二等辺三角形の性質より， え＝ 55 － 30 ＝ 25（度）
14★角の大きさや長さ・面積を，図形の性質を利用して正しく求めることができる。★点や図形が移動したときの様子をとらえ，時間や長さ・面積を求めることができる。
●図形の面積◎複雑な図形は，複数の図形に分けて考える。 2つの三角形に分けて考える。 10 × 4 ÷ 2 ＋ 10 × 8 ÷ 2＝ 60（cm2）
●点の移動◎どのように移動するのかを正確にとらえることが大切。 頂点Aを同時に出発した点Pと点Qがはじめて重なるのは何秒後か。 Pと Qが｛（50 ＋ 40）× 2＝｝180cmはなれていて，1秒間に（2＋ 3＝）5cmずつ近づくと考える。 180 ÷ 5 ＝ 36（秒後）
4cm
8cm
10cm4cm
8cm
10cm
A
B C
DＰ
Ｑ
50cm
40cm
P…毎秒2cmQ…毎秒3cm
A
B C
DＰ
Ｑ
50cm
40cm
P…毎秒2cmQ…毎秒3cm
基本１ 折り返す前後で同じ部分の角の大きさは等しいので， 角GEF＝ 75 度 180 － 75 × 2 ＝ 30（度）
…角GEB 三角形GBEの内角より， 180 －（90 ＋ 30）＝ 60（度）
答 60 度基本４ ABが 8cmなので， 8÷ 2＝ 4（cm）
…おうぎ形の半径 4× 2＋ 2＝ 10（cm）…AD 4× 2＋ 8＝ 16（cm）…BC （10＋ 16）× 8÷ 2＝ 104（cm2）…四角形ABCDの面積 四角形の内角の和は 360 度より，4つのおうぎ形を組み合わせると 1つの円になる。 求める面積は四角形ABCDの面積から 4つのおうぎ形の面積をひいた大きさなので， 104 － 4 × 4 × 3.14 ＝ 53.76（cm2）
答 53.76cm2基本 11⑴
あ いあ い い
あ
上の図より，この間にあは 6cm動く。 6÷ 1＝ 6（秒間）
答 6秒間⑵ （1× 12 ＝）12cm動くので，右の図のようになる。 4×（4÷ 2）÷ 2＝ 4（cm2）
答 4cm2
75°あ
A
B C
D
E
F
G75°あ
A
B C
D
E
F
G
2cm
8cm
8cm
A
B C
D2cm
8cm
8cm
A
B C
D
あい
4cm
あい
4cm
練習７
⑴ 三角形ABFの面積は，長方形ABCDの面積の 12，
三角形BCFの面積は，FCの長さがDCの長さの
（ 22 ＋ 3＝）25 より，長方形ABCDの面積の，
（ 12 × 25 ＝）15よって，求める面積比は， 12 ：
15 ＝ 5：2
答 5：2⑵ 右の図のように，Eから BCに垂直な線をひき，BFとの交点をHとする。 三角形BCFと三角形BEHは相似で，相似比は，CF：EH＝ BC：BE＝ 2：1 また，三角形ABGと三角形EHGも相似で，相似比は，AG：EG＝AB：EH＝（3＋ 2）：1＝ 5：1
三角形AGFと三角形AEFの面積の比は，AGとAEの長さの比と等しいので，315 ÷ 5 ×（5＋ 1）＝ 378（cm2）
答 378cm2⑶ 長方形ABCDの面積を 1とすると，
12 × 1 ×12 ＝14 …三角形ABE
12 × 1 ×32 ＋ 3 ＝
310 …三角形AFD
12 ×12 ×
22 ＋ 3 ＝
110 …三角形 FEC
よって，
1－（ 14 ＋ 310 ＋ 110 ）＝ 720 …三角形AEF三角形AEFの面積は 378cm2 より，
378 ÷ 720 ＝ 1080（cm2）…長方形ABCD
1080 ÷ 36 ＝ 30（cm）� 答 30cm
36cmA
B CE
D
GF
H
36cmA
B CE
D
GF
H
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例
重
要
問
題
の
解
説
例
立体図形▼指導ページ P144 ～ 153 ▼
●角柱・円柱◎（体積）＝（底面積）×（高さ） （表面積）＝（底面積）× 2＋（側面積） 体積…6× 8÷ 2× 8 ＝ 24 × 8 ＝ 192（cm3） 表面積… 24 × 2 ＋（6＋ 8＋ 10）× 8 ＝ 240（cm2）●角すい・円すい
◎（体積）＝（底面積）×（高さ）× 13 （表面積）＝（底面積）＋（側面積） 体積…5× 5× 3.14 × 12 × 13 ＝ 25 × 3.14 × 4 ＝ 314（cm3） 表面積… 25 × 3.14 ＋ 13 × 5 × 3.14 ＝ 90 × 3.14 ＝ 282.6（cm2）
8cm
8cm
6cm
10cm
三角柱
8cm
8cm
6cm
10cm
三角柱
5cm
12cm
13cm
5cm
12cm
13cm
15★角柱・円柱や角すい・円すいの体積や表面積の求め方を利用して問題を解くことができる。★展開図や投影図を利用して問題を解くことができる。
●立体の切断◎切り口の辺において，平行な面を通る辺どうしは平行となる。 3点 C，D，Pを通るように切る。切り口とBFの交点をQとすると，DPと CQは平行なので ， 四角形DPQCは長方形。
●立方体の展開図◎どの点とどの点が重なるのかを見極める。 重なる点 Cと E，Jと L，Bと F， I とM，Aと G，HとN
A
P HB
E F
G
CD
Q
立方体
A
P HB
E F
G
CD
Q
立方体
A N
B C D
E
M L
K J I
F G H
A N
B C D
E
M L
K J I
F G H
基本８⑴ 表面積は上，下，左，右，前，後ろの 6面から見たときの面積の和。 図はどの面から見ても 6cm2 なので，ペンキがぬられた面の数の合計は， 6× 6＝ 36（個） 積み木 11 個の面の数の合計は， 6× 11 ＝ 66（個） よって，ペンキがぬられていない面の数は， 66 － 36 ＝ 30（個） より，1× 30 ＝ 30（cm2）
答 30cm2⑵ 赤くぬられた面の数をそれぞれ数える。
5
1 段目
2 3
3 3
2 段目
3 2 5
2
5
3
3 段目
答 5個練習６⑴ 三角形BCDの面積を 1とすると，
11 ＋ 1 ×
33 ＋ 2 ＝
310 …三角形 CPQ
よって，三角形CPQと四角形BPQDの面積の比は，
310 ：（1－ 310 ）＝ 3：7答 3：7
⑵ 三角形BPQと三角形CPQの面積は等しい。 よって，三角すいA―BPQの体積は，三角すいA―BCD
の体積の 310 である。
500 × 310 ＝ 150（cm3）
答 150cm3
⑶ 三角すいA―BRQと三角すいA―BPQの体積の比は，三角形ABRと三角形ABPの面積の比と等しい。 三角形ABR：三角形ABP＝ 1：（1＋ 2）＝ 1：3 よって，150 ÷ 3 × 1 ＝ 50（cm3）
答 50cm3練習 10⑴ グラフより，20cmになったところで水位が上がらなくなっているので，PQ＝ 20cmであることがわかる。 これより，アの容積を求めると， 40 × 30 × 20 ＝ 24000（cm3） → 24L 2分間で 24000cm3 入るので 1分あたり， 24000 ÷ 2＝ 12000（cm3）→ 12L
答 12L⑵ グラフより，RS＝ 60cm よって，水そうの容積は，
40× 30× 60＋ 40× 60× 60＝ 216000（cm3）→ 216L したがって，満水までにかかる時間は，216 ÷ 12 ＝ 18（分）� 答 18 分後
⑶ 給水量と排水量の比が 1：2なので，排水量は 1分あたり，（12 ÷ 1 × 2 ＝）24L である。 ただし，排水しても⑴のアの部分に水は残ってしまうので，実際に排水される水の容積は，216 － 24 ＝ 192（L）
この排水にかかる時間は， 192 ÷ 24 ＝ 8（分） よって，水を入れ始めてから排水が終わるまで，18 ＋ 8 ＝ 26（分）� 答 26 分後
R
S
P
Qア 20cm30cm
60cm
60cm
30cm
R
S
P
Qア 20cm30cm
60cm
60cm
30cm
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入試頻出直前対策⑴▼指導ページ P154 ～ 159 ▼
1実戦問題Ａの難易度・他①各問いの難易度の確認1 ⑵・⑸・⑺…［ト］ ⑴・⑶・⑷・⑹…［基］2 ［基］3 ［基］4 ［基］5 ［基］6 ［基］7 ［基］8 ［基］9 ［基］� ［基］②注意事項 �⑵は水の中のおもりの体積を求めるのではなく，水の体積は変わらないことを利用することに気付かせたい。
16★入試直前の実戦形式による演習。★実戦問題Ａ・Ｂの 2段階に分けて構成。
2実戦問題Ｂの難易度・他①各問いの難易度の確認1 ⑴…［基］ ⑵…［練］2 ⑴…［基］ ⑵…［練］3 ⑴…［基］ ⑵…［練］4 ［練］5 ［練］6 ［練］②注意事項 1⑵は数列の各組がどのようになっているかだけではなく，25 が各組の何番目にあるかまで確認しておく。
※難易度の略号・トレーニング…［ト］・基本問題…［基］・練習問題…［練］
実戦問題Ａ1⑶ 全体を 1とすると，
赤…38より 27枚多い
青… 38×23＝14
より，（27 × 23 ＝）18 枚多い 1－（ 38＋ 14）＝ 38 これは，（27 ＋ 18 ＝）45 枚にあたる割合
45 ÷ 38＝ 120（枚）答 120 枚
⑹ 比の差を同じにする。 5：3…はじめの比 5：4＝ 10：8…最後の比 500 ÷（10 － 5）＝ 100（円）…比の 1にあたる金額 100 × 3 ＝ 300（円）
答 300 円実戦問題Ａ9⑴ 右の図は，立方体から三角柱を切り取った立体である。よって，求める表面積は，立方体の表面積から減った面積と増えた面積を考える。 12 × 12 × 6 ＝ 864（cm2） …立方体の表面積 6× 8＋ 6× 6＝ 84（cm2）…減った面積 6× 10 ＝ 60（cm2）…増えた面積 よって，表面積は， 864 － 84 ＋ 60 ＝ 840（cm2）
答 840cm2⑵ 立方体から三角柱をひいて求める。 12 × 12 × 12 ＝ 1728（cm3）…立方体の体積 8× 6÷ 2× 6＝ 144（cm3）…三角柱の体積 1728 － 144 ＝ 1584（cm3） 答 1584cm3
23 倍23 倍
12cm12cm
12cm
8cm
6cm
6cm10cm
増えた面積
減った面積
12cm12cm
12cm
8cm
6cm
6cm10cm
増えた面積
減った面積
実戦問題Ｂ1⑴ 1 2 4 3 5 7 …
1 組 2 組 3 組 〇組は，〇から始まり 2ずつ大きくなる整数が〇個並ぶ。30 ＝ 1 ＋ 2 ＋…＋ 6＋ 7＋ 2
より，30 番目の数は 8組の 2番目8＋ 2＝ 10 答 10
⑵ 組の最後に 25 が現れる組を求める。 各組の最後は，1，4，7，…と 3ずつ大きくなるので， 25 ＝ 1 ＋ 3 × 8より，25 は（1＋ 8＝）9組の 9番目 また，7を例にすると，3，5，7 5 ，7 ，9 ，11 ，13 7，9，11，13，…3組 5組 7組
となり，3組の 3番目，5組の 2番目，7組の 1番目に現れる。 よって，2組後の組では 1つ手前にその数が現れる。 したがって，25は「9組の 9番目，11組の 8番目，13組の 7番目，…，25 組の 1番目」の 9回出てくる。
答 9回実戦問題Ｂ5⑴ 三角形DFGは，三角形ABCから三角形ADG，三角形DBF，三角形GFCをひいた図形。 三角形ABCの面積を 1とすると，それぞれの面積は， 13×
12＝16…三角形ADG
23×34＝12…三角形DBF
14×12＝18…三角形 GFC
よって，1－（ 16＋ 12＋ 18）＝ 524（倍） 答 5 倍24
⑵ 三角形DEFと三角形DFGについて，DFを底辺とすると，高さの比はEH：HGと等しい。 三角形ABCの面積を 1とすると，
12×23＝13…三角形DEF
よって，EH：HG＝ 13：524＝ 8：5 答 8：5
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
授
業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
入試頻出直前対策⑵▼指導ページ P160 ～ 165 ▼
1実戦問題Ａの難易度・他①各問いの難易度の確認1 ⑶～⑸…［ト］ ⑴・⑵・⑹・⑺…［基］2 ［基］3 ［基］4 ［基］5 ［基］6 ［基］7 ［基］8 ［基］9 ［基］� ［基］②注意事項 8⑶は，面積の変化のしかたを，グラフから読み取れるようにしたい。
17★入試直前の実戦形式による演習。★実戦問題Ａ・Ｂの 2段階に分けて構成。
2実戦問題Ｂの難易度・他①各問いの難易度の確認1 ⑴・⑵…［基］ ⑶…［練］2 ⑴…［基］ ⑵…［練］3 ［練］4 ［練］5 ［練］6 ［練］②注意事項 6⑵は，面積比から相似比を求めるという考え方に気付かせたい。
※難易度の略号・トレーニング…［ト］・基本問題…［基］・練習問題…［練］
実戦問題Ａ3⑴ 1分間にする仕事量の比はかかる時間の逆比なので， 118 ：
18 ：19 ＝ 4：9：8
…Ａ 1人，ＡとＢ，ＢとＣの仕事量の比 Ａが 1分間にする仕事量を 4とすると， 9－ 4＝ 5…Ｂの 1分間の仕事量 8－ 5＝ 3…Ｃの 1分間の仕事量 Ａ 1人でペンキをぬると 18 分かかるので， 4× 18 ＝ 72…かべ 1枚をぬる仕事量 72 ÷ 3 ＝ 24（分） 答 24 分⑵ 2時間 24 分＝ 144 分より， 5× 144 ＝ 720…Ｂ 1人の仕事量の総量 ⑴より，かべ 1枚に 72 の仕事量が必要なので， 720 ÷ 72 ＝ 10（枚） 答 10 枚⑶ 4＋ 5＋ 3＝ 12…Ａ，Ｂ，Ｃの 1分間の仕事量の合計 72 ÷ 12 ＝ 6（分）…1人が仕事をした時間 6× 3＝ 18（分） 答 18 分実戦問題Ａ8⑴ グラフより，AB間を 8秒で移動するので， 2× 8＝ 16（cm） 答 16cm⑵ 8秒後の三角形APDの面積は 96cm2 より， BC＝ 96 × 2 ÷ 16 ＝ 12（cm） 点ＰはBC間を（12 ÷ 2 ＝）6秒で移動するので， 8＋ 6＝ 14…ア 点 Pは CD間を（20 － 14 ＝）6秒で移動するので， CD＝ 2× 6＝ 12（cm） よって，14 秒後の三角形APDの面積は， 12 × 12 ÷ 2 ＝ 72…イ 答 ア…14 ，イ…72⑶ 台形ABCDの面積の半分は， （16 ＋ 12）× 12 ÷ 2 ÷ 2 ＝ 84（cm2） グラフより，2度目に半分になるのは8秒後から14秒後までの間である。このとき，三角形APDの面積は1秒間に， （96 － 72）÷（14 － 8）＝ 4（cm2） 減るので，84cm2 になるのは 96cm2 のときから， （96 － 84）÷ 4＝ 3（秒後） よって，8＋ 3＝ 11（秒後） 答 11 秒後
実戦問題Ｂ2
⑴ 112 － 6：
115 － 12 ＝ 1：2…ＡとＢの重さの比
600 ÷（1＋ 2）× 2＝ 400（g） 答 400g⑵ ＡとＣを 3：2の割合で混ぜるので， （6× 3＋ 12 × 2）÷（3＋ 2）＝ 8.4（％） ＢとＣを混ぜると 13％になったので，
115 － 13：
113 － 12＝ 1：2＝ 2：4…ＢとＣの重さの比
Ｂに残っていた食塩水の重さを 2とすると， Ａに残っていた食塩水の重さは 3，Ａに混ぜたＣの重さは 2，Ｂに混ぜたＣの重さは 4なので，Ｃにできた食塩水の重さは（2＋ 4＝）6にあたる。 600 ÷ 6 ＝ 100（g）…1にあたる重さ 100 ×（3＋ 2）＝ 500（g）
答 こさ…8.4％，重さ…500g実戦問題Ｂ6⑴ 容器からこぼれた水は，図 2の水が入っていない部分。 8× 12 ＝ 96（cm2）…底面積（平行四辺形） 96 × 30 ＝ 2880（cm3） 答 2880cm3⑵ 右の図のようにBAと CDを延長して交わった点を Pとすると，水の入っている部分と三角形 PBCは相似である。 12：20 ＝ 3：5…相似比 （3× 3）：（5× 5）＝ 9：25…面積比 BCをゆかにつけると，水の入っていない部分と三角形 PBCは相似である。 三角形 PBCの面積を 1とすると，
1－ 925＝1625＝
45×45…水の入っていない部分
よって，水の入っていない三角形は三角形 PBCの 45 の縮図なので，水の深さは，
20 － 20 × 45＝ 4（cm） 答 4cm
45°
D
A
B
CP
45°
D
A
B
CP
DA
B C
P
DA
B C
P
中学受験新演習 小 6下 算数 指導のポイント
指導のねらい
授
業
展
開
例
重
要
問
題
の
解
説
例
入試頻出直前対策⑶▼指導ページ P166 ～ 171 ▼
1実戦問題Ａの難易度・他①各問いの難易度の確認1 ⑴～⑷…［ト］ ⑸～⑺…［基］2 ⑴…［基］ ⑵…［練］3 ［基］4 ⑴・⑵…［基］ ⑶…［練］5 ［基］6 ［基］7 ［基］8 ［基］9 ［練］②注意事項 2⑵は場合の数を正確に求めるために，順番に数えるようにしたい。
18★入試直前の実戦形式による演習。★実戦問題Ａ・Ｂの 2段階に分けて構成。
2実戦問題Ｂの難易度・他①各問いの難易度の確認1 ［練］2 ［練］3 ［練］4 ［練］5 ［練］②注意事項 1は，箱づめされるかんづめの数だけでなく，新たに運ばれてくるかんづめの数にも注目する。
※難易度の略号・トレーニング…［ト］・基本問題…［基］・練習問題…［練］
実戦問題Ａ4⑴ 750 × 600 ＝ 450000（円）
答 450000 円⑵ 750 ×（1＋ 0.2）＝ 900（円）…定価（1日目） 900 ×（1－ 0.1）＝ 810（円）…定価の 10％引き（2日目） 1日目は 400 個，2日目は（600 － 400 ＝）200 個売ったので， 900 × 400 ＋ 810 × 200 ＝ 522000（円）…総売り上げ 522000 － 450000 ＝ 72000（円）
答 72000 円⑶ 450000 ＋ 81000 ＝ 531000（円）…必要な総売り上げ 531000 － 900 × 400 ＝ 171000（円）
…必要な 2日目の売り上げ 171000 ÷ 200 ＝ 855（円）…必要な 2日目の売り値 1－ 855 ÷ 900 ＝ 0.05 → 5％ 答 5％実戦問題Ａ8⑴ 円Qの中心は，円Oの中心から（6－ 1.5 ＝）4.5cmの位置を移動するので，半径 4.5cmの円の円周の長さになる。 4.5 × 2 × 3.14 ＝ 28.26（cm）
答 28.26cm⑵ 右の図より，半径 12cmの円から半径 6cmの円を取った面積となる。 12 × 12 × 3.14 － 6× 6× 3.14 ＝ 108 × 3.14 ＝ 339.12（cm2）
答 339.12cm2⑶ 円Qが通ったあとの面積は， 半径 6cmの円から半径 3cmの円を取った面積なので， 6× 6× 3.14 － 3 × 3 × 3.14 ＝ 27 × 3.14（cm2） よって， （108 × 3.14）÷（27 × 3.14）＝ 108 ÷ 27 ＝ 4（倍） 答 4倍
円 Pが通ったあと
円O
6cm
3cm6cm
円 Qが通ったあと
3cm6cm
12cm
円 Pが通ったあと
円O
6cm
3cm6cm
円 Qが通ったあと
3cm6cm
12cm
実戦問題Ｂ1⑴ Ａ 1台で 1分間に箱につめられるかんづめの個数を5とすると，
5× 4× 25 ＝ 500…Ａ 4台で 25 分間つめる数 4× 6× 15 ＝ 360…Ｂ 6台で 15 分間つめる数（500 － 360）÷（25 － 15）＝ 14
…1 分間に新たに運ばれる数 Ａについて，500 の箱づめした数のうち（14 × 25 ＝）350 は新たに運ばれてきたものなので，500 － 350 ＝ 150…始めの 450 個450 ÷ 150 ＝ 3（個）…1あたりの個数3× 5＝ 15（個）…Ａ 1台3× 4＝ 12（個）…Ｂ 1台 答 Ａ…15 個，Ｂ…12 個
⑵ 3× 14 ＝ 42（個）…1分間に新たに運ばれるかんづめ Ａ 2台で（15 × 2＝）30 個，Ｂ 4台で（12 × 4＝）48 個 つめるので， 30 ＋ 48 － 42 ＝ 36（個）…1分間で減るかんづめ
450 ÷ 36 ＝ 12 12（分後）→ 12 分 30 秒後 答 12 分 30 秒後⑶ 450 － 36 × 10 ＝ 90（個）…10 分後の残りのかんづめ Ａ 2台だけだと，1分で（42 － 30 ＝）12 個ずつ増えるので，90 ＋ 12 × 20 ＝ 330（個） 答 330 個実戦問題Ｂ5⑴ 三角形 PEFと三角形 PABは相似より， EF：AB＝ PE：PA＝ 1：2…相似比 6÷ 2× 1＝ 3（cm）…EFの長さ EがPAの真ん中の点より，直方体EFGH–IJKLの高さは
四角すい P–ABCDの高さの 12 なので，
9× 12 ＝ 4.5（cm） 3× 3× 4.5 ＝ 40.5（cm3） 答 40.5cm3⑵ 三角形 PEFと三角形 PABは相似より， PE：PA＝ 1：（1＋ 2）＝ 1：3…相似比 6÷ 3× 1＝ 2（cm）…EFの長さ PE：EA＝ 1：2より，直方体EFGH-IJKL の高さは
四角すい P-ABCDの高さの（ 21 ＋ 2 ＝）23 倍なので，
9× 23 ＝ 6（cm）
2× 2× 6＝ 24（cm3） 答 24cm3