1. 통계역학이란bh.knu.ac.kr/~ilrhee/lecture/modernphys/4-statistics.pdf · 2012. 3. 4. ·...
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통계역학이란1. ?
물리계를 구성하는 입자의 수가 아주 많을 때 입자 개개의 운동을-
기술하는 것은 불가능하다.
입자들의 집단이 거시적으로 보이는 가장 근사한 행동을 구한다- .
통계역학은 계의 거시적인 특성을 통계적인 방법을 이용하여-
구하여 이를 통해 계의 미시적인 특성을 유추하는 분야이다.
에너지- 와 입자의 수 이 고정되어 있는 물리계
각 입자가 가질 수 있는 에너지준위는- ⋯
에너지- 가 되도록 각 입자가 에너지준위에 분포하는 방법
입자사이의 상호작용의 특성이나 입자의 물리적 특성에 맞는-
가장 근사한 분포를 찾는 것이 통계역학이 추구하는 목표이다.
입자들의 떨어진 거리가 충분히 멀 경우 즉 밀도가 희박한 경우- ,
입자를 구별할 수 있는 경우- (distinguishable identical particles)
-Maxwell-Boltzmann 분포 고전 통계분포,
기체 분자들이 이 통계분포를 따르는 대표적인 예-
입자를 구별할 수 없는 경우- (undistinguishable identical particles)
-양자통계 분포 양자 통계분포는 두 가지로 구별,
입자의- 스핀양자수가 이거나 정수인 경우0 (Boson)
의 배수가 되는 경우-1/2 (Fermion)
입자 광자 들에 관련된 통계분포를-Boson ( ) Bose-Einstein 분포
입자 전자 들에 대한 통계분포를-Fermion ( ) Fermi-Dirac 분포
입자의 경우 공간 파동함수는 대칭적이므로 두 입자에 대한-Boson
파동함수는
두 입자가 같은 에너지 상태 즉- , 인 경우
한 에너지 상태에 존재할 수 있는 의 수에는 제한이 없다- Boson .
의 경우 공간 파동함수는 반대칭적인이므로 두 입자에-Fermion
대한 파동함수는
두 입자가 같은 에너지 상태 즉- , 인 경우 파동함수는 영(0)
은 같은 상태에 두 이 존재할 수 없다-Fermion Fermion .
배타율을 따른다-Pauli .
2. Maxwell-Boltzmann 분포
분간할 수 있는 입자들에 대한 가장 가능한- (most probable) 분포
-개의 분자들로 구성된 물리계
분자들이 가질 수 있는 에너지준위는- ⋯ ⋯로 제한
에너지준위- 에 존재하는 분자들의 수를 라고 하자.
에너지준위가 축퇴- (degenerate) 되어 있다고 하자.
축퇴란 한 에너지준위에 동일한 에너지를 가지는-
여러 준위(sublevel)가 존재한다는 것을 의미한다.
두 분자가 다른 운동량 벡터적으로 크기는 같으나- (
방향이 다른 경우 을 가지지만 에너지는 동일할 수가 있다) .
다른 운동량을 가지는 에너지준위들은 각각 구별이 된다- .
축퇴도- 인 준위 에 개의 입자가 분포할 수 있는 방법의 수
-준위 안에는 개의 에너지준위들이 존재하므로 개의 입자를1
생각하면 이 입자가 분포할 수 있는 방법은 가지이다.
개의 입자의 경우 입자들은 구별이 가능하므로-2 의 분포방법
-입자가 준위에 분포할 수 있는 방법의 수는 가 된다.
- ⋯의 입자들이 축퇴도가 ⋯인 에너지준위
⋯에 분포할 수 있는 방법의 수는
⋯
이 됨을 알 수 있다.
각 에너지준위에 분포된 입자들은 구별이 가능하기 때문에-
입자들 사이의 교환에 의해 다른 분포방법들이 만들어진다.
총- 개의 입자들을 늘어놓는 방법 순열 의 수는( ) 이 된다.
동일한 에너지준위 안에 있는 분자들의 순열은 의미가 없으므로-
순열의 수는⋯
가 된다.
-개의 분자가 에너지준위에 분포할 수 있는 방법의 수 는
⋯
⋯
가장 가능한 분포방법은 방법의 수가 가장 큰 경우이다- .
방법의 수- 가 최대가 되는 분포방법을 찾으면 된다.
변분- 을 구하여 으로 둘 경우의 분포방법을 찾으면 된다0 .
의 공식-Stirling (≫인 경우 인) 을 이용하면
- 을 이용가장 가능한 분포가 되기 위해서 작은 변화- 에 대해
이 만족되어야 한다.
-
를 이용
한 에너지준위에 입자의 수를 감소시키면 다른 준위에 동일한-
수의 입자를 증가시켜야 하므로 이 만족된다.
위 식이 가능한 분포를 주기 위해서는 분자의 수가 변하지 않는-
조건과 총 에너지가 변하지 않는 조건을 만족하여야 한다.
- , 변분을 구해보면, , 임의의 변분- 에 대해 위 조건들을 만족시키기 위해서는 이들에
미결정 상수를 곱하여 위 식에 더해주면 된다 변분법(Lagrange ).
- 는 와 무관한 량이다.
모든- 에 대해 식이 만족하려면 괄호안의 량이 영이 되어야 한다.
따라서- →∴
가장 가능한 분포에서 에너지- 를 가지는 분자의 수 의 표현
-Maxwell-Boltzmann 분포라고 부른다.
분포함수 는-Maxwell-Boltzmann (distribution function)
≡
-로 대체
- 가 연관된 물리량을 이상기체의 경우를 적용함으로써 결정
분자들의 수가 많을 경우 연속적 에너지준위로 고려-
연속적인 에너지를 고려할 경우 에너지 간격- 과 사이에 존
재하는 분자의 수인 은
(1)
-의 운동량 공간에서의 표현운동량 방향 이 다르더라도 에너지가 같은 경우가 있기 때문- ( )
운동량의 크기가- 인 구(sphere)
입자의 운동량의 크기가 이 구의 표면에 존재할 경우 운동량- ( 의 방향에관계없이 동일한 에너지를 가진다) .
두께- 인 구각의 체적 는 에 대응
-와 사이의 운동량을 가지는 에너지준위의 수 는 에
비례하게 된다.
- , 는 비례상수
-
이므로
식 에 대입하고- 1 ≡로 두면
분자의 총수가- 이면
∞
을 만족하여야 한다.
이에 따라-
⇐
∞
분자 수가- 인 물리계의 총에너지 는
∞
-
∞
를 이용
이상기체의 상태방정식과 비교하면-
이상기체에서-
이고 이므로
속도 근방의 안에 있는 분자의 수는
평균제곱근- (rms) 속도 ⟨⟩ ,평균속도- ,
∞
,
가장 가능- (most probable) 속도 (
를 이용),
3. Bose-Einstein 분포
분포는 스핀양자수가 이거나 정수인 입자-Bose-Einstein 0
입자들은 분포와 달리 분간할 수 없다- Maxwell-Boltzmann .
에너지준위- 의 축퇴도를 라고 하자.
에너지준위에- 개의 입자가 분포하는 경우
입자들은 분간이 안 되므로- 개의 입자들을 에너지준위 에
분포시키는 방법의 수는 개의 입자들을 의 칸과 함께
늘어놓는 방법의 수와 동일하다.
- 개의 물체를 늘어놓는 방법의 수와 동일하다.
-사이의 순열과 사이의 순열은 의미가 없다.
이에 따라 순열의 수는-
- ⋯의 입자들이 축퇴도가 ⋯인
에너지준위 ⋯에 분포할 수 있는 방법의 총수는
≅
- ≫을 이용
양변에- 을 취하면 공식에서-Stirling 이므로
- 에서
- ,
등을 이용
입자의 수가 변하지 않는 조건과 총 에너지가 변하지 않는 조건-
동일한 과정을 적용하면-
가장 가능한 분포에서 에너지- 를 가지는 분자의 수 의 표현
- 분포함수는Bose-Einstein
- 를 이용
광자- : 일반적으로,
∞
의 조건에서 결정
-Bose-Einstein 분포를 흑체복사 광자 에 적용( )
에너지- 과 사이를 가지는 광자의 수는
-를 결정하여야 한다.
광자가- 방향으로 길이가 각각 인 상자에 갇혀있는 경우
광자가 벽을 투과할 수 없다는 경계조건에서-
- ⋯ 값만을 가질 수 있는 양자수이다.
-
를 이용하면
- 방향에서도 동일하게
를 얻는다.
- 와 같이 공간에서의 벡터
같은 파장 같은 에너지 을 가지는 광자의 수는- ( ) 공간에서
벡터의 크기, 가 같은 점들의 수와 동일
반경- 이고 두께가 인 구 껍질의 체적은
- 는 양 이므로 이 조건을 만족하는 구 껍질의 체적은(+)
- ×
×
를 곱한 것은 광자의 두 개의 분극방향 평행 및 수직 를 고려-2 ( )
양자수-
를 이용하여 진동수의 표현으로 바꾸면
-을 이용
각 에너지준위에 분포하는 광자의 수 광자의 에너지는- ( 는)
흑체복사에 적용하면 흑체복사의 에너지 분포는-
위 식은 흑체복사의 실험을 잘 설명해 준다- .
4. Fermi-Dirac 분포
분포는 구별할 수 없는 입자들에 대한 분포-Fermi-Dirac
스핀양자수가 의 배수인 에 관련- 1/2 Fermion
입자들은 배타율을 만족해야 한다- Pauli .
배타율을 만족하기 위해 한 에너지준위에 하나의 입자만 존재-Pauli
입자가 축퇴도- 인 에너지준위 에 분포하는 경우
-를 입자가 준위를 채우는 확률이라고 하면 준위를 채우는
입자의 수는
-개의 준위는 채워지나 개의 준위는 채워지지 않는다.
순열은- 이나 안에서의 순열과 안의 순열이 의미가
없으므로 순열의 수는
축퇴도가- ⋯인 에너지준위 ⋯에 분포할 수 있는
방법의 총수는
-를 취한 후 의 공식을 적용하면Stirling
- 에서
입자의 수가 변하지 않는다는 조건- ( 과)
총 에너지가 변하지 않는 조건( 을 만족하여야 한다) .
동일한 과정을 적용하면-
입자가- 준위를 채우는 확률은
와 같이 주어진다.
-를 채우는 입자의 수는 이므로
-Fermi-Dirac 분포함수는
에너지-Fermi 는 입자가 존재하는 최대의 에너지준위
-
로 정의 이에 따라,
이므로
-에서 이면 이고 이면
- 보다 낮은 준위는 모두 차 있고 보다 높은 준위는 비어 있다.
-인 경우 보다 높은 준위도 차여진다.
에너지가- 와 사이에 존재하는 입자의 수는Fermion
(1)
-는 의 경우와 동일하게 구할 수 있다Bose-Einstein .
-
전자의 경우를 생각해 보면 전자의 두 스핀상태는 광자에서의- ,
두 분극상태에 대응된다.
경계조건에서-
를 만족
파장은-de Brogile
이므로
-를 이용,
이므로 식 은(1)
금속에서의 자유전자들은 금속 내부에서 자유롭게 움직일 수 있다- .
자유전자들은 정지한 원자들에 의해 전기적으로 차단- (shielded)
전자 서로 간의 상호작용은 작은 편이다- .
금속 안의 자유전자들을 이상기체로 간주할 수 있다- .
전자기체들은 이기 때문에 분포를 따른다- Fermion Fermi-Dirac .
에너지가 열에너지보다 훨씬 적을 경우 즉-Fermi , ≪인 경우
분포와 동일하게 된다-Maxwell-Boltzmann .
금속의 경우- 는 상온의 열에너지 보다 훨씬 크다(0.026eV) .
구리와 철의 경우 에너지는 각각 와 이다- Fermi 7.06eV 11.2eV .
전도전자의 에너지가- 보다 아주 작은 경우, ≪ 이면
-보다 낮은 에너지준위는 전도전자로 채워져 있는 상태이다.
전도전자의 에너지가- ≫ 이면
에너지- 가 커짐에 따라 분포함수는 지수적으로 감소한다.
-보다 큰 에너지준위는 전도전자로 채워질 확률이 급격히 준다.
에너지가- 일 때 에너지준위가 전도전자로 채워질 확률은 1/2
-가 채워진 상태 에서 채워지지 않은 상태 로 전이하는1( ) 0( )
영역은 의 근방임을 알 수 있다.
-T=0K ( 인 경우 이고 에는 에서)
에너지를 구해보도록 하자Fermi .
-개의 전자가 에너지준위가 인 상태에서부터 시작하여0 인
상태까지를 차례로 채워나간다.
-Fermi 에너지는
Fermi, Dirac, Heisenberg
5. 통계열역학
단위체적당- (m3) 1022개의 분자나 원자들로 구성된 거시계
거시계의 열역학적 특성은 엔트로피 내부에너지 비열 등이 결정- , ,
이들 사이의 관계를 설명하는 것이 열역학 법칙들이다- .
거시계를 이루는 것은 분자나 원자들이고 이러한 입자들의- ,
파동함수 에너지준위 등의 물리적 특성은 양자역학을 통해 설명,
거시계의 물리적 특성이 그 구성원인 분자나 원자의 특성에 관련-
-1022개의 분자나 원자들의 물리적 특성을 거시계의 물리적 특성에
연관시키는 것은 쉬운 일이 아니다.
통계열역학은 분자나 원자들의 특성에서부터 그것들에 의해-
구성된 거시계의 특성을 구하는 것이다.
통계열역학에서는 거시계에 맞는 모델을 설정하여 문제를 해결-
구성 분자나 원자사이에 상호작용을 무시할 수 있는 경우에는-
이상기체로 가정하여 문제를 해결
입자들 사이의 상호작용이 있는 경우 이상기체의 모델을 변형시켜-
새로운 모델을 만들어야 한다.
방정식을 만족하는 입자들의 에너지준위-Schrődinger ⋯
에너지준위의 크기는- ≤ ≤ ≤⋯이라고 한다.
등호는 에너지가 동일한 경우 즉 축퇴된 경우를 고려한 것- ,
계가 준위- 에 존재할 확률은 Boltzmann 인자(factor)에 비례
-∼,
비례상수는-
의 조건에서 구한다.
위 조건은 입자가 어떤 에너지상태에서든 발견되어야 함을 표현-
비례상수를- 라고 두면
에서
계가 에너지준위- 에서 발견될 확률은
-
을 분배함수(partition function)라고 부른다.
이는 입자가 가능한 에너지준위에 어떻게 분배되는지를 나타낸다- .
분배함수에는 입자들의 에너지준위 입자들의 운동 상태 와- ( )
열역학적 특성인 온도( 를 모두 포함하고 있다) .
분배함수는 미시계인 입자들의 특성을 거시계의 열역학적 특성에-
연관시켜 줄 수 있는 량이다.
-평균에너지
⟨⟩
-
을 이용
-를 를 대치하면 ⟨⟩
비열-
⟨⟩
-엔트로피:
부분적분을 이용- , 에서의 엔트로피는 완전히 정렬된 상태0( )
- ⟨⟩
자유에너지가-Helmholtz ⟨⟩로 정의되므로 압력-
화학에너지,
-고전적인 이상기체
단원자 기체 입자의 크기는 무시 외부 장 자기장 중력 을 무시- , , ( , ) ,
에너지준위는 상자 안에 갇힌 입자로 근사 에너지준위는 준위사이,
간격이 열에너지보다 작으므로 연속적인 에너지준위로 가정 등
상자 속에 갇힌 입자의 에너지준위는-
- 는 양자수 양의 정수,
분배함수는-
라 두면
∞
∞
∞
-
∞
∞
∞
를 이용
이상기체 상태 방정식- ()
내부에너지는- ⟨⟩
기체 원자 한 개당 에너지는-
임도 알 수 있다.
스핀양자수가 인- 1/2 개의 자기원자(magnetic atom)들의 집단
원자의 자기모멘트는- ≡로 주어진다.
- 는 인자Lande g- , 마그네톤Bohr , 방향의 스핀양자수
외부자기장 내에서 에너지준위는- ∙ ±
- ± 과 ≈를 이용
위 식에서 에너지준위는 자기모멘트가 자기장에 평행한 경우- + ,反
에너지는 자기모멘트가 자기장에 평행한 경우-
분배함수-
에너지-
⟨⟩
자화도-
-↑↓ ±을 이용