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1
1
Eléments de Mécanique des Fluides
.be
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
2
• Introduction des principes de traînée et portance
• Utilité du fluide parfait– Fluide barotrope
Fonction de Helmholtz généralisation de Bernoulli
Objectifs de la séance
.be
– Fonction de Helmholtz – généralisation de Bernoulli
– Théorème de Kelvin
• Continuité, Vecteur potentiel et Fonction de courant
• Ecoulements irrotationnels– Principe, propriétés du système et simplifications
– Liaison à la fonction de courant
Défi iti d t ti l d it
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ww.hach.ulg.ac. – Définition du potentiel de vitesse
– Méthodes de résolution
– Applications
• Condition d’imperméabilité
• Houle parfaite
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Principes de traînée et portance
.be
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• Problème fondamental historique :
« un corps solide et mince est placé dans un écoulementhomogène et parallèle de vitesse dont la densité et lapression sont et de propriétés internes connues »
Ecoulement autour d’un corps
Uet p
.be
pression sont et de propriétés internes connues »
• Observation :
« l’écoulement autour de l’obstacle engendre unedistribution de vitesse, pression et frottement en fonction
et p
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ww.hach.ulg.ac. de sa forme, de sa position relative et des paramètres de
l’écoulement »
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3
5
• Les efforts totaux appliqués sur le corps engendrent dès lors:– Parallèlement à l’écoulement traînée – « Drag »
– Perpendiculairement à l’écoulement portance – « Lift »
Notions de traînée et portance.be
portance 0cos sinF p dA
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traînée 0
traînée de forme traînée de frottement
sin cosF p dA
Comment évaluer ces forces ?
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Fluide parfait
.be
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4
7
• Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) parEuler (1707-1783) pour des études des fluides peu visqueux(air et eau)
Aspects Historiques.be
Impossibilité de représenter certains phénomènes (pertes decharge, traînée, séparation d’un écoulement, …)
• Introduction de l’influence de la viscosité, indépendamment etsur base de concepts différents, par Navier (1822) et Stokes
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• Prandtl, 1904, introduit le concept de « couche limite »
Les forces de viscosité ont de l’influence uniquement dans lacouche limite et le sillage pour autant qu’elles restent faiblesvis-à-vis des forces de pression
8
• Décomposition du problème en :
– Problème « extérieur » : viscosité négligée
– Problème « intérieur » : couche limite visqueuse
Aspects Historiques
.be
• Analysons d’abord le problème « extérieur »– Fluide parfait équations d’Euler
– Formulation alternative de Lamb
0Ut
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2
2
1UU F p
U
t
rotationnel de vitesse
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5
9
• Considérons les hypothèses suivantes :– les forces extérieures dérivent d’un potentiel G (champ conservateur)
– Le fluide est barotrope (la masse volumique ne dépend que de la pression)
Simplification de la formule de Lamb.be
• La conservation de quantité de mouvement peut s’écrire
1 dp
pp p
2
U d U
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2
U dG
t
UpU
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• Pour un fluide barotrope :
Fluide barotrope
1 dp
pp p
.be
• En effet, pour une fonction H(p) donnée :
dHH p p
dp
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• Ici, si on pose :
alors
dp
H pp
1dH
dp
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6
11Fonction d’Helmholtz
2
2
UdpG
H =Fonction de Helmholtz:
0U
Fonction scalaire!
.be
• En stationnaire, comme H est une fonction scalaire, le produit vectoriel est normal aux surfaces de H constante
0Ut
UU
t
H
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p
Cependant est normal à la fois à et à U
U
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Surface à H constante contient les lignes de courant et les lignes tourbillonnaires
Propriétés de la fonction d’Helmholtz
.be
U H
U
Ligne de courant contenue
Ligne tourbillonnaire contenue dans H constante
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Surface H constante
Ligne de courant contenue dansH constante
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7
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• Corollaire, le long d’une ligne de courant, H est constante
Propriétés de la fonction d’Helmholtz
1
.be
2 2
2
1 2H H
U
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• En écoulement incompressible
2 2
2 2
U Udp pG G
H =
On retrouve l’équation de Bernoulli, le long d’une ligne de courant…
14
• La « circulation » du champ de vitesse est définie comme
Rappel : définition de la circulation du champ de vitesse
2 -1circulation (grandeur scalaire) [m s ]C
U dr
.be
CS
dr
U
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• En appliquant le théorème de Stokes
UC S
U dr n dS
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« Pour un fluide parfait, barotrope et soumis à un champ de force conservateur, la circulation du champ de vitesse
autour d’une courbe arbitraire et fermée, qui se meut avec le fluide, demeure constante »
Théorème de Kelvin.be
f ,
0D
Dt
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• Démarche :– Suivre une courbe quelconque dans son mouvement
– Appliquer les hypothèses :
• Fluide parfait
Démonstration du théorème de Kelvin
.be
luide pa fait
• Fluide barotrope
• Champ de force conservateur
– Les équations d’Euler sont valables et la fonction d’Helmholtz est définie
– Exprimer la circulation en fonction de la fonction d’Helmholtz
– Cette fonction est univoque, son intégrale sur un contour fermé d ll
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ww.hach.ulg.ac. est donc nulle
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• Si nous suivons la courbe dans son mouvement
Démonstration du théorème de Kelvin
C C C
D D D DU DU d r U d r dr U dr
Dt Dt Dt Dt Dt
.be
• représente la distance entre des particules de fluide
peut évoluer au fil du temps
peut s’exprimer en terme de variation de vitesse
d r
dr
Ddr
dU
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ww.hach.ulg.ac. peut s exprimer en terme de variation de vitesse dr
DtdU
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• Selon les hypothèses :– Fluide idéal non visqueux les équations d’Euler sont valables
– Fluide barotrope la masse volumique ne dépend que de la pression
– Champ de force conservateur les forces extérieures dérivent d’un potentiel
Démonstration du théorème de Kelvin
.be
U DU dp
U U Gt Dt p
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C C
dpG
D DU Ddr U d r dr U dU
Dt pDt Dt
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19Démonstration du théorème de Kelvin
C
Ddr U dUG
t
dp
D p
G
.be
Gdx
xG
d r dy dGy
G
G
dzz
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2
2
dp dpdr d
UU d
p
U d
p
20
d
Démonstration du théorème de Kelvin
2
2C
dpdG d
UDd
Dt p
.be
Etant donné que :– C est une courbe fermée
– l’expression dans l’intégrale représente un potentiel est univoque
2
dpUD
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0
2C
dpd G
p
D
Dt
-H
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21
• Pour un écoulement rotationnel de fluide parfait :
Application du théorème de Kelvin
S
n dS
.be
« Le débit tourbillonnaire au travers de la surface S, qui se meut avec le fluide(parfait, barotrope et soumis à un champ de
force conservateur), demeure constant »
0S
D Dn dS
Dt Dt
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f ),
22
• Considérant les mêmes hypothèses que le théorème de Kelvin:
Théorème de circulation de Helmholtz
.be
– « Un tube tourbillonnaire se meut avec l’écoulement en gardant son intensité »
– « Il ne peut prendre naissance ou disparaître qu’aux surfaces-frontières du fluide »
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Continuité, vecteur potentiel et
.be
, pfonction de courant
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24
• Considérant la seule équation de continuité
Définition du vecteur potentiel
0D
U Ut Dt
.be
• Et plus particulièrement pour les écoulements
2
2
1
t Dt
UU F p
t
U
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ww.hach.ulg.ac. • Et plus particulièrement pour les écoulements
incompressibles et compressibles stationnaires…
ou 0U
0U
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25Définition du vecteur potentiel
• Il est toujours possible d’exprimer :
L’équation de continuité est vérifiée immédiatement car la divergence
0U A
U A
.be
L équation de continuité est vérifiée immédiatement car la divergence d’un vecteur rotationnel est nulle
est le vecteur potentiel
• n’est cependant pas défini de manière univoque, en effet
fonction scalaire
U A B A B A
A A
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• On peut choisir une condition additionnelle, par exemple,
que soit solénoïdal (ou à divergence nulle)
fonction scalaire
0A
A
26
• Pour un écoulement plan dans xy :
Choisissons
Fonction de courant d’un écoulement plan
0
0A
0
u
U v
, écoulement compressible
écoulement incompressible
x y
x y t
.be
est solénoïdal
0 0 , 0A x yx y z
i j k y
, , écoulement incompressiblex y t
A
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0
00 0 ,
où , et sont les composantes unitaires selon les axes
U Ax y z x
x y
i j k
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14
27 • Pour un écoulement plan dans xy :
Fonction de courant d’un écoulement plan
0
u
U v
0u
.be
est appelée fonction de courant
• Considérons 2 points du plan xy reliés par une courbe arbitraire C
0
0
uy
vx
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ww.hach.ulg.ac. • Considérons 2 points du plan xy reliés par une courbe arbitraire C
O
PC
28
Le « débit massique » à travers C :
Fonction de courant d’un écoulement plan
O
PC
C
M U n ds
, ,0dy dx
nds ds
.be
Par définition, le long d’une ligne de courant :
0 0 0
, ,0 , ,0C C
P O
C C
dy dxM u v ds udy vdx
ds ds
M dy dx
x dy
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A travers une ligne de courant
est une constante le long de cette ligne de courant, ce qui explique l’appellation de « fonction de courant »
0M
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29
• Pour autant que le vecteur potentiel soit défini, l’équationde continuité est identiquement vérifiée
• Pour que le système d’équations reste fermé le vecteur
Remarque sur le vecteur potentiel.be
• Pour que le système d’équations reste fermé, le vecteurpotentiel ne peut donc contenir que deux inconnues
• En 2D, avec le choix d’un vecteur potentiel solénoïdal, on retrouve bien comme seule inconnue la fonction de courant
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• En 3D, s’exprime en fonction de
1 2, , , , ,x y z x y z
A
30
• Une ligne de courant dans l’espace est définie par l’intersection de deux surfaces de courant S1 et S2 :
Fonctions de courant en 3D
1 1 1, , constanteS x y z
.be
• Si et désignent les normales à S1 et S2 :
2 2 2, , constanteS x y z
1n
2n
1 1
2 2
suit la direction
suit la direction
n
n
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• Et est normal à et :
Le vecteur vitesse est orienté suivant le produit vectoriel
:
1 2 0U U U
1n
2n
0 1 2 0U A 1 2
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16
31
• Cette équation vérifie la continuité :
Fonctions de courant en 3D
0 1 2 0U A
.be
• En 3D, la définition du vecteur potentiel amène à des expressions très complexes
0 1 2 0 2 1 0 1 2
0 0
0U
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ww.hach.ulg.ac. expressions très complexes.
32
Ecoulement irrotationnel
.be
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17
33
• Pour un écoulement irrotationnel, le rotationnel de vitesse est nul
Irrotationnalité
0u v
( 2D)
.be
• C’est une caractéristique de l’écoulement et non du fluide
• Comment se comporte un fluide newtonien incompressible
0y x
(en 2D)
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ww.hach.ulg.ac. • Comment se comporte un fluide newtonien incompressible
visqueux développant un écoulement irrotationnel ??
34
• Mobilisation des contraintes visqueuses d’un fluide newtonien
Mobilisation des contraintes visqueuses
Somme des termes visqueux de la ie équation de quantité de mouvement :
.be
0j jii
j j j i i j
u uuu
x x x x x x
Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien
si écoulement irrotationnelji
j i
uu
x x
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ww.hach.ulg.ac. Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien
incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses !!!
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35
• Pour un écoulement irrotationnel, il existe une fonction dite « potentiel de vitesse » telle que
Potentiel de vitesse
.be
;u vx y
2 2
0u v
y x y x x y y x x y
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ww.hach.ulg.ac.
La vitesse dérive ainsi d’un potentiel !
36
• La continuité s’exprime :
Expression des équations d’Euler en termes du potentiel de vitesse
0D
t Dt
.be
• Si les forces dérivent d’un potentiel G, la conservation de quantité de mouvement devient :
2 2
2 2
1UUU F G p
t t
U
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Le membre de gauche représente le gradient d’une fonction scalaire ne peut dépendre que de p (fluide barotrope par définition)
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37
• Fluide barotrope– fluide parfait compressible en évolution isotherme
– fluide parfait compressible en évolution adiabatique
– fluide incompressible de densité homogène
Fluide barotrope ‐ écoulement irrotationnel.be
– …
l’écoulement peut être irrotationnel
• Fluide non barotrope– fluide compressible général
– fluide incompressible de densité non homogène
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
p g
– …
l’écoulement ne peut pas être irrotationnel
Pour des forces dérivant d’un potentiel GF
38
• Pour un fluide barotrope,
Fluide barotrope ‐ écoulement irrotationnel
2
0dp U
G
.be
20
tG
H
C t
H
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
Où C(t) est une constante d’intégration, dépendant toujours du temps puisque l’intégration n’est que spatiale
t
![Page 20: 1 Eléments de Mécanique des Fluides - uliege.be - eclts... · 2020. 7. 16. · 4 7 • Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) par Euler (1707-1783) pour des études](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc938be304cf040715abbaf/html5/thumbnails/20.jpg)
20
39
• Rappel : en écoulement stationnaire, H est constante le long d’une ligne de courant
Propriétés de la fonction d’Helmholtz en irrotationnel.be
• Si l’écoulement est de plus irrotationnel :
H est constante sur l’ensemble du domaine
C tH
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. C tH
40
• Système de base : Euler
i d’ i l d i
Résumé des équations d’un écoulement irrotationnel
2
2
0
1
Ut
UU F p
U
t
.be
• existence d’un potentiel de vitesse
• Système général de l’écoulement irrotationnel :
• Hypothèse : les forces dérivent d’un potentiel
0 ;u vx y
2
2
0
1
D
Dt
F pU
t
F G
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. • Hypothèse : les forces dérivent d un potentiel
Condition nécessaire d’existence : fluide barotrope
F G
0D
Dt
C tt
H
![Page 21: 1 Eléments de Mécanique des Fluides - uliege.be - eclts... · 2020. 7. 16. · 4 7 • Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) par Euler (1707-1783) pour des études](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc938be304cf040715abbaf/html5/thumbnails/21.jpg)
21
41
Ecoulement irrotationnel
.be
Equations de Laplace
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
42
• Utilisons la fonction de courant :
Equation de Laplace en terme de « fonction de courant »
en 2D : ;u vy x
0,0,A
.be
• Cette fonction de courant vérifie par définition la continuité
• Objectif : imposer un écoulement irrotationnel
0 0U A
0U A
0U A A A A
pour un fluide incompressible :
0A et
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
en 2D : 0y y x x
0
Equation de Laplace
p p
![Page 22: 1 Eléments de Mécanique des Fluides - uliege.be - eclts... · 2020. 7. 16. · 4 7 • Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) par Euler (1707-1783) pour des études](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc938be304cf040715abbaf/html5/thumbnails/22.jpg)
22
43
• Le système général d’un écoulement irrotationnel s’exprime :
Equation de Laplace en terme de « potentiel de vitesse »
0D
Dt
C t
H
.be
• Objectif : imposer la continuité
pour un fluide incompressible0
0D
Dt
C tt
H
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
en 2D : 0x x y y
Equation de Laplace
44
• Les deux équations
pour un fluide incompressible en stationnaire ou non
Deux équations similaires …
0
.be
pour un fluide incompressible en stationnaire ou non
sont écrites formellement de manière identique mais représentent physiquement des problèmes totalement différents.
i i ll
0
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. isopotentielle
ligne de courant
-
constante
constante
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23
45
• Puisque la vitesse est tangentielle à une ligne de courant
Lien entre fonction potentiel et fonction de courant
0U
.be
• Les isopotentielles sont perpendiculaires aux lignes de courant
0
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
46
Notion de « circulation »
.be
en écoulement irrotationnel
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
![Page 24: 1 Eléments de Mécanique des Fluides - uliege.be - eclts... · 2020. 7. 16. · 4 7 • Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) par Euler (1707-1783) pour des études](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc938be304cf040715abbaf/html5/thumbnails/24.jpg)
24
47
• Pour un écoulement irrotationnel :
Circulation en écoulement irrotationnel
0U
.be
0C S
U d r n U dS
La « circulation » autour d’une courbe fermée dans un écoulement irrotationnel est nulle, si elle ne contient
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
,pas de points singuliers
48 Théorème de circulation de Kelvin
Théorème de circulation de Helmholtz (1858)
0D
Dt
.be
« Si l’écoulement est irrotationnel au départ, il restera irrotationnel »
si le fluide est initialement au repos, tout écoulement qui d i i i l
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
! Des couches tourbillonnaires peuvent prendre naissance aux surfaces-frontières du fluide !
pourra se produire sera irrotationnel
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25
49
Applications des écoulements irrotationnels
.be
pp
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
50
• Tout fluide parfait barotrope, soumis à un champ de forces conservateur, initialement au repos doit engendrer un écoulement irrotationnel
Domaine d’application des écoulements irrotationnels
.be
Valable pour un fluide incompressible de densité constante
Valable pour un fluide compressible si:Écoulement stationnaire et faible nombre de Mach (adimensionnel)
ou
Ecoulement instationnaire et temps caractéristique du mouvement grand vis à vis du déplacement des ondes acoustiques
fluide
son
UMa
U
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http://w
ww.hach.ulg.ac. grand vis-à-vis du déplacement des ondes acoustiques
Fluide incompressible = vitesse infinie des ondes
son
cL
U
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26
51Equations régissant l’écoulement irrotationnel incompressible
Continuité 0
U
.be
2Quantité de mouvement
2
C tt
pG
H
H =
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ww.hach.ulg.ac.
Le potentiel est entièrement déterminé par la cinématique de l’écoulement
Si l’écoulement est possible du point de vue cinématique, il l’est aussi du point de vue dynamique
52
• L’équation de Laplace ne contient pas de dérivée temporelle
Equations de Laplace « Stationnaire » ou « Instationnaire » ?
.be
l’écoulement instationnaire doit vérifier les conditions aux limites instantanées
chaque image de l’écoulement instantané est une image possible d’un écoulement stationnaire et vice-versa
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ww.hach.ulg.ac.
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27
53
• L’équation de Laplace est linéaire et donc le principe de superposition est d’application
Rappel mathématique : Principe de superposition.be
2
2
2 2
0
0
0
f f
g g
m f g
m f g
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
54
• Une solution de l’équation de Laplace est une fonction
Harmonique (2x continûment dérivable)
Rappel mathématique : Fonction harmonique
.be
• Une fonction harmonique ne possède pas de point stationnaire où est minimale ou maximale à l’intérieur du domaine
Les valeurs maximales et minimales ne peuvent se ’ b f iè
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http://w
ww.hach.ulg.ac. trouver qu’aux bornes frontières
![Page 28: 1 Eléments de Mécanique des Fluides - uliege.be - eclts... · 2020. 7. 16. · 4 7 • Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) par Euler (1707-1783) pour des études](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc938be304cf040715abbaf/html5/thumbnails/28.jpg)
28
55
• Par Gauss, en considérant un volume de contrôle V :
Rappel mathématique : Fonction harmonique
0V V S S
dV dV n dS dSn
.be
Si V contenait un maximum de la solution, alors < max sur la surface S.
00 0dSn n
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
Sn n
56
• Courbe réductible :
« par une déformation continue, la courbe fermée peut êtrerétrécie jusqu’à un point, sans quitter le domaine »
Rappel mathématique : Courbes réductibles ou irréductibles
.be
• Un domaine où toutes les courbes fermées sont réductibles estune région simplement connexe
• Si la région est percée, il existe
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
g p ,des courbes irréductibles
• Une telle région est dite doublement connexe
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29
57Rappel mathématique : Courbes réductibles ou irréductibles
.be
• La circulation n’est pas nécessairement nulle autour de courbesirréductibles dans un champ de vitesse irrotationnel mais elleest constante autour de courbes du même type
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
58
Théorème de Dirichlet :
Une solution de l’équation de Laplace
Rappel mathématique : Conditions aux limites et unicité des solutions
.be
• est univoque à une constante près, dans une région Dsimplement connexe, pourvu que ou soit donné sur la frontière C de la région D.
• Dans une région multi-connexe pour laquelle est donné sur la frontière il faut aussi spécifier la circulation
n
n
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. donné sur la frontière, il faut aussi spécifier la circulation
autour de toutes les courbes irréductibles.
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30
59
• Théorème de Gauss
Rappel mathématique : Théorème de Green
S V
n q dS q dV
.be
• Si q f g
2q f g f g f g
S S S
gn f g dS f n g dS f dS
n
2
S V
gf dS f g f g dV
n
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
• Si
- =
2
S V
fg dS g f g f dV
n
q g f
2 2
S V
g ff g dS f g g f dV
n n
Théorème de Green
60
• Problème de Dirichlet ou premier problème aux limites :
Rappel mathématique : Conditions aux limites
C
n
C solutions de 0
.be
• Problème de von Neumann ou deuxième problème aux limites:
0
D
1 2
1 2
1 2 1 2
, solutions de 0
Vu les CL, 0
Or est harmonique 0
D
C
D
C
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
0
D
n
C
n n
C
3 1 2
233 3 3 3 3
00
2
3 1 20 constante
S V
V
dS dVn
dV
Par Green
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31
61
• Problème de Cauchy ou problème mixte aux limites :
Rappel mathématique : Conditions aux limites
0
C’’
n"C
.be
0
D
n
'C
n n
C’ n
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
62
Pour résoudre un problème aux limites :– Méthodes analytiques
• Méthodes de superposition de singularités
• Méthodes de séparation des variables
Rappel mathématique : Méthodes d’analyse
.be
• Méthodes des images symétrie
• 2D : Méthode avec variable complexe
,
0
x y
f x g y h z
fgh f fh g fg h
f
, z
x
g
g
, ,y z
x
h
h
, y
,
1 2 3
0
Valable seulement si constante= , = , =
z
f g h
f g h
Les CL doivent être séparables
1 2+ + =0h
h
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
p
• et transformation conforme (une courbe dans un plan une autre courbe dans un autre plan)
– Méthodes numériques « TP Laplace »
; , , ,z x iy x y z x y z
; ; z x iy i z
![Page 32: 1 Eléments de Mécanique des Fluides - uliege.be - eclts... · 2020. 7. 16. · 4 7 • Introduction du concept de fluide idéal (non visqueux) par Euler (1707-1783) pour des études](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc938be304cf040715abbaf/html5/thumbnails/32.jpg)
32
63.be
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
64
Condition d’imperméabilité
.be
p
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
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33
65Corps imperméable
• En toute généralité, à la paroi d’un corps imperméable, une particule fluide adhère à la paroi :
U W
.be
• Si le corps est fixe :
fluide à la paroi surface du corps
fluide à la paroi0U
U
n
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http://w
ww.hach.ulg.ac. 0U n U t t
66
Corps imperméable
• Pour un fluide parfait, il n’y a pas de viscosité et donc pas de frottement entre le fluide et le corps:
tangentielle 0U
.be
• Pour un corps imperméable dans un fluide parfait, la condition sur la vitesse normale est donc suffisante :
tangentielle 0U
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
U n W n
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34
67Corps imperméable
• Soit décrivant une surface imperméable
• Un observateur se déplaçant en restant sur cette surface doit vérifier à tout moment cette équation :
, 0F r t
( )r t
.be
surface doit vérifier à tout moment cette équation :
• est dirigé selon la normale à la surface du corps :
, 0d F
F r t t W Fdt t
F
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http://w
ww.hach.ulg.ac. est dirigé selon la normale à la surface du corps :F
0F F DF
W F U Ft t Dt
68
• Un profil bidimensionnel fixe dans un repère cartésien défini par :
Corps imperméable en 2D
y h x
.be
, , 0F x y t y h x
'
1
Fh x
xF
y
0 ' 1 ' 0DF
U h x uh x vDt
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ww.hach.ulg.ac.
• La surface d’un corps immobile est donc une ligne de courant
0F
t
'v
h xu Ligne de courant
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35
69
• Si les rayons de courbure de la surface de séparation sont grands :
imposition de la continuité de la composante normale
Surface de séparation entre deux fluides immiscibles.be
imposition de la continuité de la composante normale et de la pression des deux côtés de la surface
• Si les rayons de courbure sont faibles :
1 2
1 1sp p
R R
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http://w
ww.hach.ulg.ac. 1 2
1
2
1
1 2
pression côté concave
pression côté convexe
est la tension superficielle Nm
et rayons de courbure principaux
s
R R
p
p
R R
70
Ecoulements incompressibles irrotationnels à
.be
surface libre
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
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36
71
• Si un corps se meut à la surface libre ou proche de celle-ci, un système de vagues va se créer et se propager
• En toute généralité, le mouvement est instationnaire, il faut donc résoudre :
Ecoulements incompressibles irrotationnels à surface libre.be
donc résoudre :
Continuité 0
U
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ww.hach.ulg.ac.
2Quantité de mouvement
2
C tt
pG
H
H =
72
• Si le système est soumis à la gravité seule :
Ecoulements incompressibles irrotationnels à surface libre
2
2
pgz C t
t
.be
• Les conditions aux limites à respecter :
– à la surface du corps :
2t
0n
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
– à la surface libre : CL non linéaire
– au fond du liquide : pour une profondeur finie
refp p
0n
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37
73
• Hypothèses :– Amplitude des vagues faible vis-à-vis de la longueur d’onde
• Démarche :– Utiliser la condition cinématique et la condition dynamique à la surface
lib bli l i l i l
Houle irrotationnelle en 2D.be
libre moyenne pour y établir une relation générale sur ce potentiel
– Dans le cas de vagues sinusoïdales sur un océan de profondeur infinie, établir analytiquement les trajectoires :
• Résoudre le laplacien du potentiel par séparation des variables
2
2
0
0z
gz t
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
p p p p
• Utiliser la condition précédente pour lier célérité des ondes et longueur d’onde
• Solution analytique du potentiel expression des vitesses trajectoires
• Résultats• Trajectoires = cercles dont le rayon dépend de la profondeur
74
Houle irrotationnelle en 2D
: amplitude des vagues
: longueur d'onde
L
L
.be
• En 2D :
– à la surface libre :
– condition cinématique :
, , 0z h x t F z h x t
0DF F h h
U FDt t t x x z
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. Dt t t x x z
1h
x
L
0DF h
Dt t z
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38
75Houle irrotationnelle en 2D
: amplitude des vagues
: longueur d'onde
L
L
.be
• Si l’amplitude des vagues est petite vis-à-vis de la longueur d’onde, il est possible de linéariser la relation
• Condition dynamique à la surface libre moyenne (z=0):
2
2
pgz C t
t
2
t
L
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ww.hach.ulg.ac. Condition dynamique à la surface libre moyenne (z 0):
0ght
0 refzp p
76
• Combinant:
Houle irrotationnelle en 2D
en z=0
0
0
h
h
t
g
z
.be
0ht
g
2
2
0
0z
gz t
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Condition aux limites générale en z = 0
0z
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39
77
• Considérons les vagues sinusoïdales :– De vitesse de propagation c
– N’ayant pas de modification d’amplitude le long d’une trajectoire :x-ct=Cste
Vague sur un océan de profondeur infinie.be • Utilisons une séparation des variables :
2
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– Fonction f(z) ??
– Relation entre c et L ??
2, , sinx z t f z x ct
L
78
• Avec pour solution :
Vague sur un océan de profondeur infinie
22
0 ''f fL
.be
2 2z z
L Lf Ae Be
lim 0 0z
f B
2 2
sin , 0z
LAe x ct zL
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• La CL de surface libre exprime :
22 2
2
g c gLc
L L
2
2
0
0z
gz t
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40
79
• h à la surface libre permet de trouver A :
Vague sur un océan de profondeur infinie
0
1 2 2cos
2z
gL Ah x ct
g t L g L
0
0en z=0
h
t z
ght
.be
avec2
gLA
2 2
sinz
Lce x ctL
: amplitude des vagues
: longueur d'onde
L
L
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2
2
2 20 cos
2 2sin
z
Lx
z
Lz
z v c e x ctx L L
v c e x ctz L L
80
• Les trajectoires:
Vague sur un océan de profondeur infinie
0 0 0 0, , , , ,x z
dx dzv x z t v x z t
dt dt
.be
0
0
0
2
0 1
2
0 1
42 2 2
1 1
2sin
2cos
z
L
z
L
z
L
x e x ct xL
z e x ct zL
x x z z e
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• Les trajectoires sont des cercles de rayon décroissant avec la profondeur z0
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41
81Vague sur profondeur finie
.be
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