1 Exercices sur les DEFORMATIONS

Exercice 1.1

On considère le champ de déplacement suivant :

3

4

2

4

1

4

3

3

4

2

4

1

4

2

3

4

2

4

1

4

1

10.510.210.33

10.210.410.32

10.3310.3210

XXXu

XXXu

XXXu

1. Calculer le tenseur symétrique de déformation et le tenseur antisymétrique de rotation

2. Calculer la dilatation linéaire (allongement relatif) dans la direction 1 31

32

a e e

3. Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?

=======================================================================

CORRECTION

======================================================================= 1. Calculer le tenseur symétrique de déformation et le tenseur antisymétrique de rotation

T

HH2

1 et

T

HH2

1

Or 4

1 2 3 3 3

( ) 2 3 4 2 .1 0

3 3 2 5

H g ra d u

et est symétrique donc H et 0

2. Calculer la dilatation linéaire (allongement) dans la direction 1 31

32

a e e

L'allongement dans la direction a est donné par: ( ) . .a a a

Soit 4

1 1

1 2 3 3 32 2

( ) 2 3 4 2 . 0 . 0 .1 0

3 3 2 5 3 3

2 2

a

donc:

4 4 4 4 4

1 9 1 1

42 2 2 2

( ) 3 3 . 0 .1 0 0 . 0 .1 0 2 .1 0 6 .1 0 8 .1 0

3 5 3 4 3 33 3

2 2 2 2

a

3. Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?

4 4 41 .1 0 4 .1 0 5 .1 0 0tr

Or 1

3

d

tr I donc le tenseur de déformation est déjà déviatorique : déformation sans changement de

volume.

Remarques:

tr : caractérise le changement de volume au voisinage d'un point matériel (un invariant du tenseur ).

1

3s

tr : déformation principale moyenne.

La partie sphérique du tenseur de déformation 1

3

s

tr I

caractérise la dilatation uniforme au voisinage

d'un point matériel.

La partie déviatorique du tenseur de déformation 1

3

d s

tr I

caractérise la distorsion sans

changement de volume au voisinage d'un point matériel.

Exercice 1.2

Soit le vecteur déplacement

1 2 3

1 2 3

1 3

3 5 2 3 2

7 1 2 1 0

6 2 0

X X X

u X X X

X X

:

1. Déterminer le tenseur de déformation et de rotation. 2. Calculer le tenseur déviateur de déformation.

=======================================================================

CORRECTION

======================================================================= 1. Déterminer les tenseurs de déformation et de rotation.

Les tenseurs de déformation et de rotation se déduisent du tenseur gradient par

T

HH2

1 et

T

HH2

1 .

3 5 2 3 2

( ) 7 1 2 1 0

6 0 2 0

H g ra d u

:

2052

51215

21535

et

054

508

480

2. Calculer le tenseur déviateur de déformation.

Le tenseur déviateur de déformation se détermine par 1

3

d

tr I .

Or la trace du tenseur de déformation est égale à 3 5 1 2 2 0 3tr

Donc le tenseur déviateur de déformation

3 4 1 5 2

1 5 1 3 5

2 5 2 1

d

Exercice 1.3

Sous l’action des charges extérieures, les déplacements en un point P 321

,, xxx sont définis à partir de l’état neutre :

3 3

1 1 2

3 3

2 1 2

3

2 .1 0 1 0

3 .1 0 2 .1 0

0

u x x

u P u x x

u

1. Définir les tenseurs de déformation et de rotation 2. A l’aide de la représentation de Mohr, déterminer les déformations et les directions principales

3. Au point P, on place une jauge électrique dans une direction 1 1, , 02 2

q

. Quelle sera la mesure ainsi

effectuée.

=======================================================================

CORRECTION

=======================================================================

1. Définir les tenseurs de déformation et de rotation

1

2

T

H H

et 1

2

T

H H

or 3

2 1 0

1 0 . 3 2 0

0 0 0

H

; 3

2 1 0

1 0 . 1 2 0

0 0 0

et

3

0 2 0

1 0 . 2 0 0

0 0 0

2. A l’aide de la représentation de Mohr, déterminer les déformations et les directions principales Une déformation principale évidente est 0. La direction principale associée à cette déformation principale est

3

0

0

1

e

.

Plaçons nous dans le plan 1 2,e e , le point 3 3

1 1 1 2, 2 .1 0 , 1 0A

et le point

3 3

2 2 1 2, 2 .1 0 , 1 0B

sont diamétralement opposés sur le cercle de Mohr associé aux deux

déformations principales qui restent.

Le centre du cercle 02

10.210.2

2

33

BA

C

xxx

Le Rayon du cercle 2 22 2 3 3 3

2 .1 0 1 0 5 .1 0A C A

R x x y

Donc les 2 autres déformations principales sont3

1 , 25 .1 0

Cx R

Les déformations principales (1 2 3

) sont :

33

3

2

33

1

10.23.210.5

0

10.23.210.5

Comme illustré dans la figure ci-dessus, l'angle 1

ˆ( C A ) est égal à 2 , avec représente l'angle orienté 1

1(e , )e

entre la direction principale associée à 1

et la direction d'allongement au point A (en l'occurrence 1e puisque

l'allongement en ce point est donné par 1 1

).

( 2 )A

A C

yta n

x x

3

3

1 1 1 0 1 11 3 .2 8

2 2 2 .1 0 2 2

A

A C

ya tn a tn a tn

x x

L’angle entre 1e (la direction d'allongement au point A) et la direction principale associée à 1

( )

Donc la direction pour la première déformation principale est :

0

223.0

973.0

0

28.13sin

28.13cos

In

Comme la deuxième déformation principale est la composante2 3 3

, la deuxième direction est

1

0

0

IIn .

La troisième direction se déduit directement par un produit vectoriel pour obtenir un trièdre directe :

0

973.0

223.0

1

0

0

0

223.0

973.0

IIIIIInnn

3. Au point P, on place une jauge électrique dans une direction 1 1, , 02 2

q

. Quelle sera la mesure

ainsi effectuée.

La jauge de déformation mesure un allongement (dit aussi dilatation linéaire). Donc

3 3

3 3 3

1 1 3 1

2 2 2 22 .1 0 1 0 0

1 1 1 1 3 1. . 1 0 2 .1 0 0 . . .1 0 . .1 0

2 22 2 2 20 0 0

0 0 0 0

e q q

3 31 0

Exercice 1.4

On place 3 jauges électriques en un point M d’une structure. La première placée suivant 1

x mesure une déformation de

0.4. La deuxième placée suivant 2

x mesure une déformation de 0.266. La troisième placée suivant la bissectrice de ces

deux axes mesure une déformation de -0.225.

Déterminer le tenseur des déformations. En déduire par la représentation de Mohr, les déformations et directions

principales.

=======================================================================

CORRECTION

=======================================================================

On a un problème plan. On peut donc simplifier le tenseur de déformation comme suit: 1 1 1 2

1 2 2 2

=> 3 inconnues.

Les jauges de déformation mesurent une dilatation linéaire. Donc

1 1 1 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

1 2 2 2 2 2

( ) . . . . 2n n

e n n n n n n nn n

4.00

1.

0

1.

11

2212

1211

ae ; 266.0

1

0.

1

0.

22

2212

1211

ce ;

225.02

2

1

2

1

.

2

1

2

1

.12

2211

2212

1211

ce => 558.0

12

Le point 558.04.0 A et le point 558.0266.0B

Le centre du cercle

333.02

266.04.0

2

BA

C

xxx

Le Rayon du Cercle

562.0

558.0333.04.02222

ACA

yxxRayon

Donc les déformations principales sont

562.0333.0 RayonxC

soit

229.0

895.0

2

1

L’angle de la direction principale entre le point A et la

déformation principale est

6.41726.0

33.04.0

558.0

2

1

2

1atn

xx

yatn

CA

A

x1

x2

a

bc

x1

x2

a

bc

Dilatation linéaire

Dis

torsio

n

Cercle

Point A

point B

Diamètre

Centre

A

B

O

Donc la direction pour la première déformation principale est donc

6.41sin

6.41cosI

n

La deuxième direction a un angle de 90° avec la première direction : 0. III

nn

;

6.41cos

6.41sinII

n

Exercice 1.5

Le tenseur gradient de déplacement en un point O a pour matrice dans un système d’axes orthonormés 21

, xx :

0 0 .1

0 0

i

j

U

x

1. Quelles sont les coordonnées des points M,N,P, dans l’état actuel ? (construction graphique) Coordonnées initiales en mm : M(100,0) ; N(0,100) et P(100,100)

2. Calculer la partie symétrique ij

et la partie antisymétriqueij

. Quelles sont les nouvelles coordonnées

des points M,N,P, après la déformationij

. Calculer l’angle de rotation (le vérifier graphiquement).

3. Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales.

===================================================================

CORRECTION

===================================================================

1. Quelles sont les coordonnées des points M,N,P, dans l’état actuel ? (construction graphique)

Coordonnées initiales en mm : M(100,0) ; N(0,100) et P(100,100)

XX

xXFx

..

, et Xxu

; X

X

uXIFu

..

; I

X

uF

or HPP Ix

uF

;

10

1.01F Donc les coordonnées actuelles : OO

0

0

0

0

10

1.01 ;

MM

0

100

0

100

10

1.01 ;

100

10

100

0

10

1.01N ;

100

110

100

100

10

1.01P

2. Calculer la partie symétrique ij

et la partie antisymétriqueij

. Quelles sont les nouvelles

coordonnées des points M,N,P, après la déformationij

. Calculer l’angle de rotation (le vérifier

graphiquement).

005.0

05.00

2

1

,, ijjiijuu et

005.0

05.00

2

1

,, ijjiijuu .

OO

0

0

0

0

105.0

05.01 ;

5

100

0

100

105.0

05.01M ;

100

5

100

0

105.0

05.01N ;

105

105

100

100

105.0

05.01P .

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100 120

OM=M'

M''

N N'N''

P P'

P''

05.0100

5"tan

OM

MM

3. Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales. Calculer les déformations principales ainsi que les directions principales.

Le point 05.00A et le point 05.00 B

Le centre du cercle 02

00

2

BA

C

xxx

Le Rayon du Cercle 05.005.0002222

ACA

yxxRayon

Donc les déformations principales sont 05.00 RayonxC

soit

05.0

05.0

2

1

L’angle de la direction principale entre le point A et la déformation principale est

45

2

90

.0.0

05.0

2

1

2

1atn

xx

yatn

CA

A

Donc la direction pour la première déformation principale est donc

2

2

2

2

In

La deuxième direction a un angle de 90° avec la première direction : 0. III

nn

;

2

2

2

2

IIn

-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075

-0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075

Dilatation linéaire

Dis

tors

ion

Cercle

Point A

point B

Diamètre

Centre

A

B

O

Exercice 1.6 Chargement déformation d’un barreau rectangulaire

Dans un repère orthonormé direct (zyx

EEEO

,,/ ) le milieu continu étudié est défini par :

22;

22;0 ezehyhLx

La section définie par x=L est encastrée dans un milieu galiléen indéformable. L’état de déformation en tout

point M(x,y,z) est défini par :

zz

yyxy

xyxx

ij

00

0

0

avec

2

2

2

2

12

142

13

121

h

BxyA

eh

h

y

eh

A

h

BxyA

eh

zzyy

xy

xx

Dans ces expressions A, B et représentent des constantes.

On a L = 120 mm, h = 20 mm, e = 5 mm, A = 5 10-4

mm², B = 2.5 10-3

mm², =0.29

1. Au point Q (80,10,0) situé sur la face AB, on colle une rosette de trois jauges à 45° selon le schéma ci-

dessus. Quelles doivent être les valeurs données par ces jauges

2. Au point Q, quel est le changement de volume ? En déduire le tenseur de déformation déviatorique ? 3. Les équations de compatibilités sont-elles satisfaites, en un point quelconque du barreau ?

===================================================================

CORRECTION

===================================================================

1. Au point Q, valeurs données par ces jauges ?

2

22

2

2

2

2

1200

012143

12

0143

1212

1

h

BxyA

h

BxyA

h

yA

h

yA

h

BxyA

ehQ

ij

2

4

4

2

4

4

2

24

2

24

2

4

4

20

1080105.21210529.000

020

1080105.21210529.01

20

104

3

105129.02

0120

104

3

105129.02

20

1080105.212105

100

1Q

ij

510

6.100

06.10

005.5

Qij

Jauge a : 555105.5

0

0

1

.10.

0

0

5.5

0

0

1

.

0

0

1

.10.

6.100

06.10

005.5

ijija

nne

C’

A’ B’

A B

D C

D’

yE

xE

z

E

Jauge b :

55

55

1095.1102

6.1

2

5.5

2

1

0

2

1

.10.

2

6.1

0

2

5.5

2

1

0

2

1

.

2

1

0

2

1

.10.

6.100

06.10

005.5

ijijb

nne

Jauge c : 555106.1

0

1

0

.10.

6.1

0

0

1

0

0

.

1

0

0

.10.

6.100

06.10

005.5

ijijc

nne

2. Au point Q, quel est le changement de volume ?

555 103.210.6.16.15.510.

6.100

06.10

005.5

trtrV

V

ij

En déduire le tenseur de déformation déviatorique ?

555 10.

37.200

037.20

0074.4

100

010

001

103

3.210.

6.100

06.10

005.5

3

1

ijijijij

tre

3. Les équations de compatibilités sont-elles satisfaites, en un point quelconque du barreau ?

iljkjkilijklklij ,,,, Soit

xxyzyzxxzxxyxyzx

zzxyxyzzyzzxzxyz

yyxzxzyyxyyzyzxy

xzxzxxzzzzxx

yzyzyyzzzzyy

xyxyxxyyyyxx

,,,,

,,,,

,,,,

,,,

,,,

,,,

2

2

2

Or ijppijij

EE

1

2

22

2

2

2

2

1200

012142

13

0142

1312

1

h

BxyA

h

BxyA

h

yA

h

yA

h

BxyA

ehij

Donc les dérivées du tenseur de déformation non-nulles sont

0

0

0

,

,

,

xyxy

xxyy

yyxx

;

0

0

0

,

,

,

yzyz

yyzz

zzyy

;

0

0

0

,

,

,

xzxz

xxzz

zzxx

0

0

0

0

,

,

,

,

yyxz

xzyy

xyyz

yzxy

;

0

12

0

0

,

3,

,

,

zzxy

xyzz

yzzx

zxyz

eh

B

;

0

0

0

0

,

,

,

,

xxyz

yzxx

zxxy

xyzx

Donc le champ est incompatible

Exercice 1.7 : Jauges de déformation

On considère un point P à la surface d’un corps en un endroit où ne s’applique aucune

force extérieure. Les résultats d’enregistrés sur chaque jauge d’une rosette à 45° collée

dans le plan tangent en P sont

mm

mJ

1061

1 ;

mm

mJ

5.237 ; mm

mJ

586

2

1. Quels sont les éléments du tenseur de déformation.

2. Dans quelle direction enregistrerait-on une dilatation linéaire nulle ?

3. Dans quel système d’axes enregistrerait-on une distorsion extremum ?

===================================================================

CORRECTION

===================================================================

1. Quels sont les éléments du tenseur de déformation.

Dans le plan on a le tenseur suivant

2212

1211

ij avec comme valeur issue des jauges

mm

mJJJ

mm

mJ

mm

mJ

0

2

58610615.237

2;586;1061

21

12222111

2. Dans quelle direction enregistrerait-on une dilatation linéaire nulle ?

02sin2cos22

12

22112211

e ;

5.823

5.2372cos

2211

2211

=>

4.53

3. Dans quel système d’axes enregistrerait-on une distorsion extremum ?

Quand

2cos2sin2

12

2211

est maximum ou minimum

Soit

2cos2

02211

=> 02cos =>

4 2k

avec k un entier

Exercice 1.8 : Jauges d’extension

En vue de déterminer expérimentalement le tenseur des déformations au

point M d’un ouvrage, on place autour de ce point un dispositif

expérimental (6 jauges extensométriques voir figure jointe) permettant

la mesure directe des allongements unitaires suivant les 6 directions

considérées.

En appelant FEDCBA

,,,,, les 6 mesures effectuées, définir

le tenseur des déformations au point M.

Application numérique :

333

33

105.4;105.1;105.4

0;103;106

FDB

ECA

===================================================================

CORRECTION

===================================================================

Les 6 jauges de déformation mesurent une dilatation linéaire. La dilatation linéaire est égale à dans le plan

21

, xx

sincos2sincos

0

sin

cos

..

0

sin

cos

12

2

22

2

11

332313

232212

131211

jiji

nn

.

La dilatation linéaire est égale à dans le plan 32

, xx

sincos2sincos23

2

33

2

22 .

La dilatation linéaire est égale à dans le plan 31

, xx

sincos2sincos13

2

33

2

11 .

Or les directions des 6 jauges sont :

31

3

32

2

21

1

45sin45cos

45sin45cos

45sin45cos

xxn

xn

xxn

xn

xxn

xn

F

E

D

C

B

A

133311

33

233322

22

122211

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

F

E

D

C

B

A

soit

ECD

EAF

CAB

E

C

A

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

23

13

12

33

22

11

; A.N.

02

1103

2

1105.1

02

1106

2

1105.4

1032

1106

2

1105.4

0

103

106

33

23

33

13

333

12

33

3

22

3

11

,

0

105.1

0

0

103

106

23

3

13

12

33

3

22

3

11

Exercice 1.9 : Jauges de déformation

Sur une pièce soumise à un chargement mécanique, on place une rosette d’extensométrie afin de déterminer

l’état de déformation en ce point. La rosette est composée de trois jauges placées à 0°, 120° et 240° de la

direction X1 du repère carthésien défini pour exprimer le tenseur des déformations.

1. Les variations relatives de longueur suivantes ont été mesurées successivement à la surface d’une pièce :

0,1 10-3

, 0,1415 10-3

et -0,2915 10-3

.

Déduisez les composantes du tenseur des déformations, en supposant un état de déformation plan

2. Déterminez la dilatation linéaire une direction à 60° de la direction X1. 3. Déterminer le tenseur de déformation déviatorique.

===================================================================

CORRECTION

===================================================================

1. Les variations relatives de longueur suivantes ont été mesurées successivement à la surface d’une

pièce : 0,1 10-3

, 0,1415 10-3

et -0,2915 10-3

.

Déduisez les composantes du tenseur des déformations, en supposant un état de déformation plan

Les 3 jauges mesurent des dilatations linéaires l’une selon l’axe 1, la deuxième selon une direction de 120° par

rapport à cet axe 1 et la dernière selon une direction de 240°.Une dilatation linéaire est défini par : jiij

nne

avec

000

0

0

2212

1211

ij

, soit2

2222112

2

1112 nnnne

. Les trois directions de mesure sont

0

0

1

,

0

23

21

et

0

23

21

, soit le système d’équation à résoudre :

2212

11

240

2212

11

120

110

4

3

2

3

4

4

3

2

3

4

e

e

e

soit

3

2

3

1

0120240

22

12024012

011

eee

ee

e

=>

33

22

33

12

3

11

10.1333,010.3

1,01415,02915,02

10.25,010.1415,02915,0

3

1

10.1,0

2. Déterminez la dilatation linéaire une direction à 60° de la direction X1.

Le vecteur de direction à 60° est :

0

23

21

soit 2402212

11

60

4

3

2

3

4ee

3. Déterminer le tenseur de déformation déviatorique.

Le tenseur déviatorique est défini par :ijkkij

d

ij

3

1

or la trace du tenseur est égale à 33

10.0333,010.1333,01,0

kk

donc le déviateur :

3310.

0111,000

01222,025,0

025,01111,0

10.

3

0333,000

03

0333,01333,025,0

025,03

0333,01,0

ij

Exercice 1.10 : Déformations principales

On considère un solide soumis à un état de déformation uniforme, représenté

par le tenseur des déformations suivant :

1. Déterminer les déformations principales par la méthode de votre choix.

2. Quel est l’angle de rotation entre le repère initial et le repère principal ?

310.

000

004,007,0

007,02,0

ij

===================================================================

CORRECTION

===================================================================

1. Déterminer les déformations principales par la méthode de votre choix.

Une des déformations principales est égale à MPa01 . Pour les 2 autres il faut soit résoudre

0det ijij

ou de passer par le cercle de Mohr.

Cercle de Mohr :Le centre du cercle à pour abscisse :332211

1008.0102

04.02.0

2

Cx .Le

rayon est égale à 3322

10139.01007.008.02.0

Rayon . Donc les deux autres valeurs

propres sont 3

210219.0

Rayonx

c ,

3

310059.0

Rayonx

c . Pour avoir les

déformations principales il suffit de classer les valeurs de i

telle queIIIIII

donc

3310059.0;0;10219.0

IIIIII

Résoudre 0det

ijij :

0det ijij

=> 01007.01004.0102.02

333

=>

0100129.01016.0632

. Soit 66

23

100772.0100129.041016.0

Donc les deux autres valeurs propres sont 363

210219.0

2

100772.01016.0

,

3

63

310059.0

2

100772.01016.0

. Pour avoir les déformations principales il suffit de classer

les valeurs de i

telle queIIIIII

donc 33 10059.0;0;10219.0

IIIIII

2. Quel est l’angle de rotation entre le repère initial et le repère principal ?

13.15

08.02.0

07.0

2

1

2

1atn

xx

yatn

cA

A

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

(10-3

) Dilatation linéaire

(10

-3)

Dis

tors

ion

Cercle 1

Point A

point B

Diamètre

Centre

Cercle 2

Cercle 3

A(0.2;-0.07)

B(-0.04;0.07)