1. factorul timp.pdf
TRANSCRIPT
Note de curs la Economia energeticii
9
1 FLUXURILE DE NUMERAR ŞI VALORILE ACESTORA
11 Factorul timp şi fluxurile de numerar
111 Fructificarea şi tehnica actualizării banilor
Introducere
Un proiect sau o activitate economică de regulă cuprinde un interval de
timp relativ icircndelungat Cheltuielile cu investiţia se realizează icircntr-o
perioadă de timpsbquo iar veniturile se obţin icircn altă perioadă Este important ca
icircn calculele tehnico-economice şi cele economico-financiare să se ţină
seama de faptul că cheltuielileveniturile reprezintă valori dispersate icircn timp
şi că timpul nemijlocit influenţează valorile sumelor de bani implicate
Factorul timp reflectă fenomenul schimbării valorii unei unităţi
monetare (um) icircn timp un leu astăzi nu este echivalent cu un leu
disponibil macircine şi viceversa Un ban deţinut astăzi este mai valoros decacirct
cel deţinut la un moment de timp t icircn viitor deoarece banul de astăzi
fiind investit pacircnă la momentul t poate aduce un cacircştig suplimentar
Axa timpului Procesele economice studiate se desfăşoară icircntr-o perioadă
de timp (perioadă de studiu) pentru care timpul după necesitate poate fi
cuantificat icircn ani luni zile ore Adesea icircn scopul simplificării analizei se
acceptă ca originea axei timpului să corespundă momentului (0) ce
marchează icircnceputul perioadei de studiu (fig 11)
0 1 2 t T timpti ti+1 tfti-1
Figura 11 Axa timpului cuantificată
Icircn această lucrare vom opera cu axa timpului segmentată pe ani ndash anul
1 2 hellip t hellip T sau anul ti ti+1 tf -1 tf Aici ti reprezintă primul an al
perioadei de studiu iar T şi tf ultimul an De menţionat că prin T adesea
vom nota şi durata perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
10
Cheltuielileveniturile aferente unei activităţi economice icircn caz general
sunt dispersate icircn timp atacirct pe anii perioadei de studiu cacirct şi icircn interiorul
fiecărui an Pentru un an concret fie notat prin t valoarea totală a
cheltuielilorveniturilor icircn mod convenţional poate fi integrată şi ulterior
plasată la icircnceputul anului t la mijlocul sau la sfacircrşitul acestuia Pe viitor
vom accepta ipoteza că cheltuielileveniturile asociate anului t icircntotdeauna
sunt plasate pa axa timpului la sfacircrşitul anului respectiv (fig 12)
0 1 2 t T timp
Ct
Figura 12 Plasarea unei cheltuieli anuale pe axa timpului
Fenomenul fructificării banilor
Vom considera cazul plasării unei sume de bani spre fructificare pe un cont
bancar (fig 13) Fie că momentul actual icircn fig 13 se identifică cu sfacircrşitul
anului 0 Mai jos vom considera două cazuri particulare
PT
timp0 1 2 t T
P0
Pt
Figura 13 Creşterea banilor pe un cont de depozit
Cazul 1 Suma de bani P0 este plasată la anul 0 pe un cont bancar la rata
dobacircnzii bancare i pe termen de T ani
Note de curs la Economia energeticii
11
Peste un an la finele anului 1 pe cont vom avea suma P1 care include
suma iniţială P0 şi dobacircnda corespunzătoare d1
P1 = P0 + d1 sau P1 = P0 middot(1+i) unde d1 = P0 middot i
La finele anului 2 deja vom deţine suma P2 P2 = P1 + d2 sau
P2 = P0 middot (1+ i)2 unde d2 = P1 middot i
La un an intermediar t vom avea suma Pt unde Pt = Pt-1 + dt sau
Pt = P0 middot (1+ i)t dt = Pt-1 middot i
La sfacircrşitul perioadei de fructificare vom avea suma PT
PT = PT-1 + dT sau PT = P0 middot (1+ i)T unde dT = PT-1 middot i (11)
Cazul 2 Fie că suma de bani Pt ce dorim a fi fructificată este plasată nu la
momentul 0 ci la finele unui an arbitrar t pe axa timpului (fig 13)
Valoarea acestei sume la sfacircrşitul anului T deci peste (T ndash t) ani va fi
PT = Pt middot (1+ i) T- t
(12)
Exemplu Fie Pt = 100 um i = 10 t = 4 T = 8
PT = 100 middot (1+ 01)8-4
= 100 middot 146 = 146 um
Acest proces de creştere a banilor icircn timp este cunoscut sub denumirea de
fructificare Valoarea obţinută icircn urma fructificării unei sume de bani se
numeşte valoare finală sau valoare viitoare (eng - final value sau future
value рус - наращенное значение)
De la fenomenul fructificării se desprind cele două afirmaţii precum că ndash
timpul icircnseamnă bani şi
banul face ban
Icircn expresiile (11) şi (12) multiplicatorii (1+i)T
şi (1+i)T-t
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de fructificare sau compunere sau
capitalizare
Note de curs la Economia energeticii
12
Tehnica actualizării banilor
Acum vom formula problema altfel fie că la un moment de timp T icircn viitor
pe un cont de depozit la bancă vom deţine o sumă de bani PT (fig 13) se
icircntreabă - care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la un careva
an anterior anului T
Vom căuta răspunsul pentru două cazuri
Cazul 1 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul 0
deci cu T ani icircn urmă
Răspunsul rezultă din expresia (11)
T
0 TP = P 1+i sau -T
0 TP = P 1+i (13)
Cazul 2 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul t
deci cu (T-t) ani icircn urmă
Din (12) obţinem
T-t
t TP = P 1+i sau - (T-t)
t TP = P 1+i (14)
Exemplu Fie PT = 150 um i = 10 T = 8 t = 4
Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)
= 150 middot 11- 4
= 1024 um
Readucerea unei sume de bani de la un moment icircn viitor la un alt moment
anterior este numită actualizare Valoarea recalculată este cunoscută ca
valoarea actuală sau valoarea actualizată (eng - present value sau
descounted value рус - приведенное sau десконтированное значение)
Icircn expresiile (13) şi (14) multiplicatorii (1+i)-T
şi (1+i)ndash(T-t)
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de actualizare sau de discontare
Note de curs la Economia energeticii
13
Mişcarea banilor pe axa timpului generalizare
Icircn baza celor expuse mai sus putem concluziona
o sumă de bani icircşi schimbă valoarea icircn timp
o sumă de bani formal poate fi mişcată pe axa timpului atacirct icircn
direcţia + (spre viitor) cacirct şi - (dinspre viitor)sbquo efectuacircnd
recalculările respective
mişcarea banilor pe axa timpului
spre + conduce la creşterea valorii (proces de fructificare)sbquo
spre - conduce la micşorarea valorii acestora (actualizare)
fructificarea reprezintă un proces realsbquo pe cacircnd actualizarea ndash
o tehnică de recalculare
Care este necesitatea actualizării valorilor
La faza de proiectare sau planificaresbquo fie identificată cu prezentulsbquo se
operează cu viitorul - se fac previziunisbquo calculesbquo etc Proiectarea unui
obiectiv presupune evaluarea şi compararea ulterioară a mai multor
variantesoluţii privind realizarea şi funcţionarea acestuia Variantelesbquo de
regulăsbquo se deosebesc atacirct după valoarea sumară a investiţiei şi modului de
eşalonare a acesteiasbquo cacirct şi după valoarea cheltuielilor anuale de producţie
Cum pot fi comparate asemenea variante din punct de vedere al costului
sumar - Doar prin actualizarea (raportarea) tuturor cheltuielilor
(investiţionalesbquo operaţionale) la unul şi acelaşi moment de timp (notat icircn
această lucrare prin θ)
Note de curs la Economia energeticii
14
112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale
O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces
economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp
(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток
наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux
de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]
Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite
fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)
Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile
veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei
primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar
speciale (eng - due cash-flows)
De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri
speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare
Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat
(ordonat)
Un flux de numerar este caracterizat de trei valori
bull valoarea nominală
bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi
bull valoarea finală
Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora
Fluxul de cheltuieli (fig 14)
Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale
Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp
considerată (perioadă de studiu)
f
i
t
t
t t
CTN C
(15)
unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
10
Cheltuielileveniturile aferente unei activităţi economice icircn caz general
sunt dispersate icircn timp atacirct pe anii perioadei de studiu cacirct şi icircn interiorul
fiecărui an Pentru un an concret fie notat prin t valoarea totală a
cheltuielilorveniturilor icircn mod convenţional poate fi integrată şi ulterior
plasată la icircnceputul anului t la mijlocul sau la sfacircrşitul acestuia Pe viitor
vom accepta ipoteza că cheltuielileveniturile asociate anului t icircntotdeauna
sunt plasate pa axa timpului la sfacircrşitul anului respectiv (fig 12)
0 1 2 t T timp
Ct
Figura 12 Plasarea unei cheltuieli anuale pe axa timpului
Fenomenul fructificării banilor
Vom considera cazul plasării unei sume de bani spre fructificare pe un cont
bancar (fig 13) Fie că momentul actual icircn fig 13 se identifică cu sfacircrşitul
anului 0 Mai jos vom considera două cazuri particulare
PT
timp0 1 2 t T
P0
Pt
Figura 13 Creşterea banilor pe un cont de depozit
Cazul 1 Suma de bani P0 este plasată la anul 0 pe un cont bancar la rata
dobacircnzii bancare i pe termen de T ani
Note de curs la Economia energeticii
11
Peste un an la finele anului 1 pe cont vom avea suma P1 care include
suma iniţială P0 şi dobacircnda corespunzătoare d1
P1 = P0 + d1 sau P1 = P0 middot(1+i) unde d1 = P0 middot i
La finele anului 2 deja vom deţine suma P2 P2 = P1 + d2 sau
P2 = P0 middot (1+ i)2 unde d2 = P1 middot i
La un an intermediar t vom avea suma Pt unde Pt = Pt-1 + dt sau
Pt = P0 middot (1+ i)t dt = Pt-1 middot i
La sfacircrşitul perioadei de fructificare vom avea suma PT
PT = PT-1 + dT sau PT = P0 middot (1+ i)T unde dT = PT-1 middot i (11)
Cazul 2 Fie că suma de bani Pt ce dorim a fi fructificată este plasată nu la
momentul 0 ci la finele unui an arbitrar t pe axa timpului (fig 13)
Valoarea acestei sume la sfacircrşitul anului T deci peste (T ndash t) ani va fi
PT = Pt middot (1+ i) T- t
(12)
Exemplu Fie Pt = 100 um i = 10 t = 4 T = 8
PT = 100 middot (1+ 01)8-4
= 100 middot 146 = 146 um
Acest proces de creştere a banilor icircn timp este cunoscut sub denumirea de
fructificare Valoarea obţinută icircn urma fructificării unei sume de bani se
numeşte valoare finală sau valoare viitoare (eng - final value sau future
value рус - наращенное значение)
De la fenomenul fructificării se desprind cele două afirmaţii precum că ndash
timpul icircnseamnă bani şi
banul face ban
Icircn expresiile (11) şi (12) multiplicatorii (1+i)T
şi (1+i)T-t
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de fructificare sau compunere sau
capitalizare
Note de curs la Economia energeticii
12
Tehnica actualizării banilor
Acum vom formula problema altfel fie că la un moment de timp T icircn viitor
pe un cont de depozit la bancă vom deţine o sumă de bani PT (fig 13) se
icircntreabă - care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la un careva
an anterior anului T
Vom căuta răspunsul pentru două cazuri
Cazul 1 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul 0
deci cu T ani icircn urmă
Răspunsul rezultă din expresia (11)
T
0 TP = P 1+i sau -T
0 TP = P 1+i (13)
Cazul 2 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul t
deci cu (T-t) ani icircn urmă
Din (12) obţinem
T-t
t TP = P 1+i sau - (T-t)
t TP = P 1+i (14)
Exemplu Fie PT = 150 um i = 10 T = 8 t = 4
Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)
= 150 middot 11- 4
= 1024 um
Readucerea unei sume de bani de la un moment icircn viitor la un alt moment
anterior este numită actualizare Valoarea recalculată este cunoscută ca
valoarea actuală sau valoarea actualizată (eng - present value sau
descounted value рус - приведенное sau десконтированное значение)
Icircn expresiile (13) şi (14) multiplicatorii (1+i)-T
şi (1+i)ndash(T-t)
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de actualizare sau de discontare
Note de curs la Economia energeticii
13
Mişcarea banilor pe axa timpului generalizare
Icircn baza celor expuse mai sus putem concluziona
o sumă de bani icircşi schimbă valoarea icircn timp
o sumă de bani formal poate fi mişcată pe axa timpului atacirct icircn
direcţia + (spre viitor) cacirct şi - (dinspre viitor)sbquo efectuacircnd
recalculările respective
mişcarea banilor pe axa timpului
spre + conduce la creşterea valorii (proces de fructificare)sbquo
spre - conduce la micşorarea valorii acestora (actualizare)
fructificarea reprezintă un proces realsbquo pe cacircnd actualizarea ndash
o tehnică de recalculare
Care este necesitatea actualizării valorilor
La faza de proiectare sau planificaresbquo fie identificată cu prezentulsbquo se
operează cu viitorul - se fac previziunisbquo calculesbquo etc Proiectarea unui
obiectiv presupune evaluarea şi compararea ulterioară a mai multor
variantesoluţii privind realizarea şi funcţionarea acestuia Variantelesbquo de
regulăsbquo se deosebesc atacirct după valoarea sumară a investiţiei şi modului de
eşalonare a acesteiasbquo cacirct şi după valoarea cheltuielilor anuale de producţie
Cum pot fi comparate asemenea variante din punct de vedere al costului
sumar - Doar prin actualizarea (raportarea) tuturor cheltuielilor
(investiţionalesbquo operaţionale) la unul şi acelaşi moment de timp (notat icircn
această lucrare prin θ)
Note de curs la Economia energeticii
14
112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale
O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces
economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp
(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток
наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux
de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]
Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite
fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)
Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile
veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei
primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar
speciale (eng - due cash-flows)
De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri
speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare
Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat
(ordonat)
Un flux de numerar este caracterizat de trei valori
bull valoarea nominală
bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi
bull valoarea finală
Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora
Fluxul de cheltuieli (fig 14)
Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale
Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp
considerată (perioadă de studiu)
f
i
t
t
t t
CTN C
(15)
unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
11
Peste un an la finele anului 1 pe cont vom avea suma P1 care include
suma iniţială P0 şi dobacircnda corespunzătoare d1
P1 = P0 + d1 sau P1 = P0 middot(1+i) unde d1 = P0 middot i
La finele anului 2 deja vom deţine suma P2 P2 = P1 + d2 sau
P2 = P0 middot (1+ i)2 unde d2 = P1 middot i
La un an intermediar t vom avea suma Pt unde Pt = Pt-1 + dt sau
Pt = P0 middot (1+ i)t dt = Pt-1 middot i
La sfacircrşitul perioadei de fructificare vom avea suma PT
PT = PT-1 + dT sau PT = P0 middot (1+ i)T unde dT = PT-1 middot i (11)
Cazul 2 Fie că suma de bani Pt ce dorim a fi fructificată este plasată nu la
momentul 0 ci la finele unui an arbitrar t pe axa timpului (fig 13)
Valoarea acestei sume la sfacircrşitul anului T deci peste (T ndash t) ani va fi
PT = Pt middot (1+ i) T- t
(12)
Exemplu Fie Pt = 100 um i = 10 t = 4 T = 8
PT = 100 middot (1+ 01)8-4
= 100 middot 146 = 146 um
Acest proces de creştere a banilor icircn timp este cunoscut sub denumirea de
fructificare Valoarea obţinută icircn urma fructificării unei sume de bani se
numeşte valoare finală sau valoare viitoare (eng - final value sau future
value рус - наращенное значение)
De la fenomenul fructificării se desprind cele două afirmaţii precum că ndash
timpul icircnseamnă bani şi
banul face ban
Icircn expresiile (11) şi (12) multiplicatorii (1+i)T
şi (1+i)T-t
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de fructificare sau compunere sau
capitalizare
Note de curs la Economia energeticii
12
Tehnica actualizării banilor
Acum vom formula problema altfel fie că la un moment de timp T icircn viitor
pe un cont de depozit la bancă vom deţine o sumă de bani PT (fig 13) se
icircntreabă - care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la un careva
an anterior anului T
Vom căuta răspunsul pentru două cazuri
Cazul 1 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul 0
deci cu T ani icircn urmă
Răspunsul rezultă din expresia (11)
T
0 TP = P 1+i sau -T
0 TP = P 1+i (13)
Cazul 2 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul t
deci cu (T-t) ani icircn urmă
Din (12) obţinem
T-t
t TP = P 1+i sau - (T-t)
t TP = P 1+i (14)
Exemplu Fie PT = 150 um i = 10 T = 8 t = 4
Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)
= 150 middot 11- 4
= 1024 um
Readucerea unei sume de bani de la un moment icircn viitor la un alt moment
anterior este numită actualizare Valoarea recalculată este cunoscută ca
valoarea actuală sau valoarea actualizată (eng - present value sau
descounted value рус - приведенное sau десконтированное значение)
Icircn expresiile (13) şi (14) multiplicatorii (1+i)-T
şi (1+i)ndash(T-t)
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de actualizare sau de discontare
Note de curs la Economia energeticii
13
Mişcarea banilor pe axa timpului generalizare
Icircn baza celor expuse mai sus putem concluziona
o sumă de bani icircşi schimbă valoarea icircn timp
o sumă de bani formal poate fi mişcată pe axa timpului atacirct icircn
direcţia + (spre viitor) cacirct şi - (dinspre viitor)sbquo efectuacircnd
recalculările respective
mişcarea banilor pe axa timpului
spre + conduce la creşterea valorii (proces de fructificare)sbquo
spre - conduce la micşorarea valorii acestora (actualizare)
fructificarea reprezintă un proces realsbquo pe cacircnd actualizarea ndash
o tehnică de recalculare
Care este necesitatea actualizării valorilor
La faza de proiectare sau planificaresbquo fie identificată cu prezentulsbquo se
operează cu viitorul - se fac previziunisbquo calculesbquo etc Proiectarea unui
obiectiv presupune evaluarea şi compararea ulterioară a mai multor
variantesoluţii privind realizarea şi funcţionarea acestuia Variantelesbquo de
regulăsbquo se deosebesc atacirct după valoarea sumară a investiţiei şi modului de
eşalonare a acesteiasbquo cacirct şi după valoarea cheltuielilor anuale de producţie
Cum pot fi comparate asemenea variante din punct de vedere al costului
sumar - Doar prin actualizarea (raportarea) tuturor cheltuielilor
(investiţionalesbquo operaţionale) la unul şi acelaşi moment de timp (notat icircn
această lucrare prin θ)
Note de curs la Economia energeticii
14
112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale
O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces
economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp
(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток
наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux
de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]
Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite
fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)
Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile
veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei
primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar
speciale (eng - due cash-flows)
De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri
speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare
Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat
(ordonat)
Un flux de numerar este caracterizat de trei valori
bull valoarea nominală
bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi
bull valoarea finală
Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora
Fluxul de cheltuieli (fig 14)
Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale
Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp
considerată (perioadă de studiu)
f
i
t
t
t t
CTN C
(15)
unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
12
Tehnica actualizării banilor
Acum vom formula problema altfel fie că la un moment de timp T icircn viitor
pe un cont de depozit la bancă vom deţine o sumă de bani PT (fig 13) se
icircntreabă - care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la un careva
an anterior anului T
Vom căuta răspunsul pentru două cazuri
Cazul 1 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul 0
deci cu T ani icircn urmă
Răspunsul rezultă din expresia (11)
T
0 TP = P 1+i sau -T
0 TP = P 1+i (13)
Cazul 2 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul t
deci cu (T-t) ani icircn urmă
Din (12) obţinem
T-t
t TP = P 1+i sau - (T-t)
t TP = P 1+i (14)
Exemplu Fie PT = 150 um i = 10 T = 8 t = 4
Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)
= 150 middot 11- 4
= 1024 um
Readucerea unei sume de bani de la un moment icircn viitor la un alt moment
anterior este numită actualizare Valoarea recalculată este cunoscută ca
valoarea actuală sau valoarea actualizată (eng - present value sau
descounted value рус - приведенное sau десконтированное значение)
Icircn expresiile (13) şi (14) multiplicatorii (1+i)-T
şi (1+i)ndash(T-t)
poartă
denumirea de factori (coeficienţi) de actualizare sau de discontare
Note de curs la Economia energeticii
13
Mişcarea banilor pe axa timpului generalizare
Icircn baza celor expuse mai sus putem concluziona
o sumă de bani icircşi schimbă valoarea icircn timp
o sumă de bani formal poate fi mişcată pe axa timpului atacirct icircn
direcţia + (spre viitor) cacirct şi - (dinspre viitor)sbquo efectuacircnd
recalculările respective
mişcarea banilor pe axa timpului
spre + conduce la creşterea valorii (proces de fructificare)sbquo
spre - conduce la micşorarea valorii acestora (actualizare)
fructificarea reprezintă un proces realsbquo pe cacircnd actualizarea ndash
o tehnică de recalculare
Care este necesitatea actualizării valorilor
La faza de proiectare sau planificaresbquo fie identificată cu prezentulsbquo se
operează cu viitorul - se fac previziunisbquo calculesbquo etc Proiectarea unui
obiectiv presupune evaluarea şi compararea ulterioară a mai multor
variantesoluţii privind realizarea şi funcţionarea acestuia Variantelesbquo de
regulăsbquo se deosebesc atacirct după valoarea sumară a investiţiei şi modului de
eşalonare a acesteiasbquo cacirct şi după valoarea cheltuielilor anuale de producţie
Cum pot fi comparate asemenea variante din punct de vedere al costului
sumar - Doar prin actualizarea (raportarea) tuturor cheltuielilor
(investiţionalesbquo operaţionale) la unul şi acelaşi moment de timp (notat icircn
această lucrare prin θ)
Note de curs la Economia energeticii
14
112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale
O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces
economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp
(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток
наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux
de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]
Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite
fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)
Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile
veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei
primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar
speciale (eng - due cash-flows)
De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri
speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare
Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat
(ordonat)
Un flux de numerar este caracterizat de trei valori
bull valoarea nominală
bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi
bull valoarea finală
Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora
Fluxul de cheltuieli (fig 14)
Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale
Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp
considerată (perioadă de studiu)
f
i
t
t
t t
CTN C
(15)
unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
13
Mişcarea banilor pe axa timpului generalizare
Icircn baza celor expuse mai sus putem concluziona
o sumă de bani icircşi schimbă valoarea icircn timp
o sumă de bani formal poate fi mişcată pe axa timpului atacirct icircn
direcţia + (spre viitor) cacirct şi - (dinspre viitor)sbquo efectuacircnd
recalculările respective
mişcarea banilor pe axa timpului
spre + conduce la creşterea valorii (proces de fructificare)sbquo
spre - conduce la micşorarea valorii acestora (actualizare)
fructificarea reprezintă un proces realsbquo pe cacircnd actualizarea ndash
o tehnică de recalculare
Care este necesitatea actualizării valorilor
La faza de proiectare sau planificaresbquo fie identificată cu prezentulsbquo se
operează cu viitorul - se fac previziunisbquo calculesbquo etc Proiectarea unui
obiectiv presupune evaluarea şi compararea ulterioară a mai multor
variantesoluţii privind realizarea şi funcţionarea acestuia Variantelesbquo de
regulăsbquo se deosebesc atacirct după valoarea sumară a investiţiei şi modului de
eşalonare a acesteiasbquo cacirct şi după valoarea cheltuielilor anuale de producţie
Cum pot fi comparate asemenea variante din punct de vedere al costului
sumar - Doar prin actualizarea (raportarea) tuturor cheltuielilor
(investiţionalesbquo operaţionale) la unul şi acelaşi moment de timp (notat icircn
această lucrare prin θ)
Note de curs la Economia energeticii
14
112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale
O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces
economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp
(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток
наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux
de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]
Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite
fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)
Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile
veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei
primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar
speciale (eng - due cash-flows)
De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri
speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare
Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat
(ordonat)
Un flux de numerar este caracterizat de trei valori
bull valoarea nominală
bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi
bull valoarea finală
Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora
Fluxul de cheltuieli (fig 14)
Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale
Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp
considerată (perioadă de studiu)
f
i
t
t
t t
CTN C
(15)
unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
14
112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale
O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces
economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp
(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток
наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux
de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]
Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite
fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)
Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile
veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei
primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar
speciale (eng - due cash-flows)
De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri
speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare
Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat
(ordonat)
Un flux de numerar este caracterizat de trei valori
bull valoarea nominală
bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi
bull valoarea finală
Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora
Fluxul de cheltuieli (fig 14)
Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale
Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp
considerată (perioadă de studiu)
f
i
t
t
t t
CTN C
(15)
unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
15
Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale
Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale
cheltuielilor anuale Ct
f
i
tt
t
t t
CTA C (1 i)
(16)
unde (1+i)θ-t
reprezintă factorul de actualizare
i şi θ - rata şi anul de actualizare
ti ti+1 tf-1 tf ani
Cti+1 Ctf-1 CtfCti
ti-1
CTACTF
θ Figura 14 Un flux de cheltuieli
Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se
determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct
f
i
tT t
t
t t
CTF C (1 i)
(17)
unde (1+i)T-t
reprezintă factorul de fructificare
Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul
ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul
θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea
poate fi asociată oricărui an
Fluxul de venituri (fig 15)
Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri
Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
16
T
t
t 1
VTN V
(18)
unde Vt reprezintă venitul anului t
T - ultimul an al perioadei de studiu
0 1 2 t T ani
V1 V2 VTVt
VTFVTA
Figura 15 Un flux de venituri
Valoarea prezentă a fluxului de venituri
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(19)
Valoarea finală a fluxului
T
1t
tT
t i)(1VVTF (110)
Fluxul de numerar al unui proiect investiţional
Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură
simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17
ani0 1 2 t
I
T
VNan
Vt
Ct
VNt
Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
17
0 1 2 t T
VNt
Vt
Ct
ani
I1
I2
I3
-1-2
ti ti+1 tf
Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex
Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă
I - costul investiţiei
Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t
Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t
VNt - venitul net al anului t
Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului
de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula
f
i
tθ t
t t t
t = t
CFA (V I C ) (1 i) sau (111)
CFA = VTA ndash CTA (112)
unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat
Tθ t
t
t 1
VTA V (1 i)
(113)
CTA - cheltuielile totale actualizate
f
i
tθ t
t t
t = t
CTA (I + C ) (1 i) (114)
Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii
f
i
tT- t
t t t
t = t
CFF (V - I - C ) (1 i) (115)
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
18
Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)
Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri
fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi
fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli
ti ti+1 t tf ani
CFti+1 CFt CFtf
Ct
Vt
tf -1
CFti
ti-1
CFACFF
CFtf-1
θ
Figura 18 Un flux de numerar mixt
Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt
se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -
CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine
valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative
Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt
Valoarea nominală - f
i
t
t
t t
CFN CF
(116)
Valoarea prezentă - f
i
tθ t
t
t = t
CFA CF (1 i) (117)
Valoarea finală - f
i
tT-t
t
t = t
CFF CF (1 i) (118)
Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi
valoarea finală converg către valoarea nominală
CFA = CFF = CFN (119)
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
19
113 Alegerea anului de actualizare
La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la
compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere
de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen
lung
Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi
acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ
Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia
cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important
de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea
variantei optime
Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la
finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului
va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de
actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii
economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi
mai mult abstracte
Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica
formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care
cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este
binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a
obiectivului ( =0)
Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului
coincide cu valoarea ei nominală
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
20
12 Anuitatea şi perpetuitatea
121 Anuitatea şi valorile ei
Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli
sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei
de studiu (fig 114)
Valorile unui flux de cheltuieli constante
Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli
constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor
fluxului respectiv
Can
ani0 1 2 t T
CTACTF
Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)
şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF
Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can
pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula
CTN = Can ∙ T (120)
Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula
TT t
an
t 1
CTF C (1 i)
sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)
unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii
(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)
TT t
FA
t 1
k (1 i)
(122)
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
21
Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină
conform expresiei
Tt
an
t 1
CTA C (1 i)
sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)
unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii
(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T
t
PA
t 1
k (1 i)
(124)
O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123
Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli
constante
Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem
3
θ- t
an an PA
t = 1
CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can
(1+i)-1 = 11-1 = 091
(1+i)-2 = 11-2 = 083
(1+i)-3 = 11-3 = 075
CTA = 249 Can
091 Can
083 Can
075 Can
091 Can
083 Can
075 Can
Can = const
0 1 2 3 ani
Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate
Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea
prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a
rezultat că CTA le CTN le CTF
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
22
122 Perpetuitatea
Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă
o anuitate cu o durată infinită (T infin)
Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind
către + infin
CTN = infin şi an FACTF = C k (125)
Valoarea actuală a perpetuităţii
an PACTA = C k (1 i) (126)
iar pentru θ = 0 avem
an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
23
123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi
Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T
Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in
paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei
valori sintetice sunt
CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T
Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat
că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite
durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu
Astfel am putea scrie
CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)
unde T iT şi
T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a
perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv
T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de
studiu de T ani calendaristici
Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt
T
T tTi
t 1
T (1 i)
(131) şi T
tTi
t 1
T (1 i)
(132)
Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii
geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel
expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)
TTiT (1 i) 1 i
(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)
Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată
tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o
valoare limită iT = 1 i
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
24
Din expresiile de mai sus rezultă
CTA CTF = TiT TiT (135)
Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui
flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T
) din (135) obţinem
TiT = TiT ∙ (1+i)-T
(136)
Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată
actualizată a perioadei de T ani calendaristici
Ct
1 32 Tt
Ct
0CTA C T
ani1 2 Tani
b)a)
0
1
(1 )T
t
t
CTA C i
0 (1 ) tC i
0C
1C
3C
2C
tC
TC
0C
0CTN C T
Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)
Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori
durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i
Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai
mare cu atacirct
bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
25
Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata
fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T
Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub
aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie
nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea
duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată
sau actualizată)
O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil
formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă
claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi
CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)
al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))
Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT
alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces
economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)
icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)
Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)
FRC = i T1 (1 i) (137)
El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de
o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma
neachitată
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
26
13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor
131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar
Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o
sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum
escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc
creşterea continuă a costului forţei de muncă
degradarea icircn timp a capacităţii de producţie
creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a
instalaţiilor energetice şi altele
Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul
de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea
consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a
instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia
Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau
mai multor parametriindicatori
Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de
funcţii exponenţiale simple (fig 119)
0t t
t 0y y 1 r
icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT
y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă
Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t
t 0y y 1 r
Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul
descreşterii
132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata
perioadei de studiu
Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris
de o funcţie exponenţială - t
t 0C C (1 k) (138)
icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
27
Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF
CTACT
CTF
C2
t ani0 1 2 t T
C0
C1
t-1
Ct-1
Ct = Ct-1 (1+k)
Ct
Ct = C0 (1+k)t
Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială
Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (139)
iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie
Tθ-t
0
t=1
CTA C (1+x)
sau icircn final Tx0CTA C T (140)
unde T xT
reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la
rata x
T- t T
Tx
t=1
T (1+x) 1 (1 x) x (141)
x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp
şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu
11+x ( i) (1 k) (142)
k - rata creşterii anuale a cheltuielilor
i - rata de actualizare (costul capitalului)
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
28
Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor
numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd
escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn
funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care
conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică
egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de
studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =
gt CTN unde CTN = C0 middot T
Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate
de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă
parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar
CTA = CTN = C0 middot T
Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T
T-t
t
t=1
CTF C (1+i) (143)
sau Tx0CTF = C T
sau T T
Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la
rata x T
T-t TTx
t=1
T (1+x) = (1 x) 1 x (145)
Icircn final o relaţie importantă şi utilă
TTx TxT = T (1+i)
Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor
prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi
extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale
cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al
perioadei de studiu
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
29
Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a
cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn
formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t
Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a
perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea
cheltuielilor de-a lungul anilor
133 Fluxurile de numerar complexe
Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn
creşteredescreştere etc (vezi fig 120)
Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se
recomandă -
a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene
a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură
platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale
a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat
Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea
actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
C1
I1
I2
-1-2
I3
5 6 7
C5
C6-8C9
C10
Figura 120 Flux de numerar complex
Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli
fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii
perioadei de execuţie
fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5
caracterizat de o creştere exponenţială la rata k
fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
30
fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10
Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate
şi fructificate (fig 121)
I Fluxul de cheltuieli cu investiţia
Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula
0θ-t
I t
t=-(d-1)
CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3
Valoarea finală a fluxului
0T-t
I t
t=-(d-1)
CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12
+ I2 middot (1+i)11
+ I3 middot (1+i)10
II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială
Valoarea actuală
1TxII 1CTA = C (1 k) T
unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată
anului 1
T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu
evoluţie exponenţială (T = 5 ani)
TTxT 1 (1 x) x
x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct
şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani
x = (1+i)(1+k) - 1
Valoarea finală
-1TxII 1CTF = C (1 k) T
unde T xT
reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de
5 ani
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
31
TTxT (1 x) -1 x
0 1 2 3 4 8 9 10 t ani
CTAI
5 6 7
CTAIII
CTAII
CTAIV
CTACTF
CTFI
CTFIV
CTFIICTFIII
Figura 121 Fluxul de numerar simplificat
III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante
Valoarea actuală
TiIII anCTA = C T
unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8
T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli
(T = 3 ani) la rata i
TTiT 1 (1 i) i
Valoarea finală
TiIII anCTF = C T
unde T iT
reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i
TTiT (1 i) -1 i
III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale
Valoarea actuală
-9 10
IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)
Valoarea finală
1
IV 9 10CTF = C (1+i) C
Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)
5
I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
32
şi valoarea finală a lui 5 2
II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF
14 Nivelarea fluxurilor de numerar
141 Ce reprezintă un flux nivelat
Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a
proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de
cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi
Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)
Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi
prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate
142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor
Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de
numerar
Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme
Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care
mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare
(fig 123)
CAN = CTA TiT (146)
unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate
CTA - cheltuielile totale actualizate
T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
33
De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T
I1
3210 t ani-1
I2
C2C1
C3Ct CT
hellip t T 0
CTA
t ani 3210 t ani
CAN
Thellip t
a) b) c)
Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau
de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)
Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale
Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială
(fig 124) - t
t 0C C (1 k) (147)
TT
1 t Thellip hellip ani0
Cmed CAN
C0 C0 C1
Ct
CT
Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani
Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula
Tθ-t
t
t=1
CTA C (1+i) (148)
Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn
Tx0CTA C T (149)
unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x
x = (1+i)(1+k) - 1
Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat
TiCAN CTAT (150)
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
34
sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem
Tx Ti0CAN C T T (151)
unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la
anul 0
T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x
T iT - durata actualizată a perioadei de T ani
Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)
rezultă 0CAN C FN (153)
Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de
Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv
Tx TiFN = T T
Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce
icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar
CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori
valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a
acestuia icircn anul de referinţă t0
Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada
operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin
substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se
vor suprapune cheltuielilor anuale
CAN = Can + CI (154)
unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT
iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului
hellip t 3210 t aniT
Can
3 hellip t 210 t aniT
Can
I CAN
a) b)
CI
Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
35
143 Determinarea ratei de actualizare
Aspecte generale
Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale
Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului
icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din
acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce
caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit
Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori
sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo
durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument
de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o
operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi
acelaşi moment
Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor
investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un
proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum
sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi
valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo
inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei
de actualizare este icircn competenţa investitorului
Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată
cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei
Icircn caz general am putea scrie ndash
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)
unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata
inflaţiei
Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate
valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund
anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală
de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică
Note de curs la Economia energeticii
36
valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro
disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5
]
Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic
existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea
(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)
Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor
100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul
2015
Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi
se determină conform expresiei
i = rb + rinf + rrisc (157)
unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru
creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)
rinf - rata previzibilă a inflaţiei
rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi
riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)
Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării
produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce
reprezintă valori neglijabile
Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul
respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele
energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i
constantă pentru durata de studiu
De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la
creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie
mai mică