1. エネルギ 2. ラグランジェ方程式 3. ラグランジェ …...9-12....
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1. エネルギ
2. ラグランジェ方程式
3. ラグランジェ方程式による解法
4. 倒立振子のモデリングと安定化
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9-9. 倒立振子のモデリング(1)
q
J m2
y
x m1
l
f
2222
2
2
1
222
2
2
1
2
1cos2
2
1
2
1
2
1sincos
2
1
2
1
qqqq
qqqqq
Jlxlxmxm
JllxmxmT
運動エネルギ
ポテンシャルエネルギ
qcos2 lgmU
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9-10. 倒立振子のモデリング(2)
fx
L
x
L
t
d
d
0d
d
LL
t より、
ここで、平衡点近傍、すなわち、
とすると、以下の線型方程式が導かれる。
flmlmxmm qqqq sincos 2
2221
0sinsincos 22
222 qqqqq glmJlmxlmxlm
qq sin 1cos q 02 q 0qq
flmxmm q221
022
22 qq glmJlmxlm
(1)
(2)
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9-11. 倒立振子の安定化(1)
前のスライドの式(1)より、
これを前のスライドの式(2)に代入する。
f = 0 の時の系の極は以下のようになる。
fmmmm
lmx
2121
2 1
q
f
mm
lmglm
mm
Jmmlmm
21
22
21
212
21
Jmmlmm
mmglmp
212
21
212
q
正が含まれるため、不安定。
(3)
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9-12. 倒立振子の安定化(2)
以下のようなフィードバック制御を行う。
この時、前のスライドの式(3)は以下のようになる。
よって、
ここで、
ならば、系を安定にすることができる。
qq 21 hhf
qqqq 2121
22
21
212
21 hhmm
lmglm
mm
Jmmlmm
02122212212
21 qqq glmmmlhmlhmJmmlmm
01 h gmmh 212
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9-13. まとめ
ラグランジェ方程式について学習しました。
二重振子の運動方程式を導出しました。
倒立振子のモデリングを行いました。
モデリングを通じて,制御による倒立振子の安定化の方法を学習しました。
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電磁サスペンション
ボールねじと電動モータで構成される電磁アクチュエータを 提案してきた。高効率、高応答性が期待できる。
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10-14 最適制御のプラントモデル
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
21
1000
0100
m
c
m
c
m
k
m
k
m
c
m
c
m
k
m
kkA
T
umm
B
21
1100
x0
k2
x1
k1
m1
x2
m2
u c
T
wm
kB
000
1
1
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10-15 最適制御器
0000
0000
001030
00008
Q
1R
LQ1
x2の制振に集中
LQ2
0000
0000
001030
0001098
8
Q
1R
x1の制振も考慮
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10-16 最適制御の制振性能(1)
10-1
100
101
102
10-2
10-1
100
101
Frequency (Hz)
Gai
n (
x 2 / x
0)
10-1
100
101
102
10-2
10-1
100
101
Frequency (Hz)
Gai
n (
x 1 / x
0)
passiveLQ1LQ2
passiveLQ1LQ2
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10-17 最適制御の制振性能(2)
10-1
100
101
102
100
101
102
103
Frequency (Hz)
Gai
n (
d2 x 2
/dt
2 /
x0)
passiveLQ3
dtRuuQYYJ TT
0
ここで,
uDCXY u
2
2
2
2
2
2
2
2
m
c
m
c
m
k
m
kC
5101Q
1R