1.- funciones. caracterÍsticas. funciones elementales · lÍmites y continuidad de funciones...
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2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 7.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS. FUNCIONES ELEMENTALES
Definición de función
Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real “y”, que se representa por f(x).
Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R → R, y = f(x)
Se llama imagen de un valor dado x, al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de x.
Ejemplo:
Si f es la función dada por la expresión f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es f(4) = 3.4 + 2 = 14
El dominio de definición, D(f), es el conjunto de valores de “x” para los que se puede calcular f(x).
Continuidad de una función
Monotonía y extremos de una función
Funciones elementales más importantes
Lineales Afines Constantes Cuadráticas
( , )
f( )
v →v
v v
v v
bx =
x y 2a
y = x
−
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y = sen x
-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π
-2
-1
1
2
X
Y
y = cos x
-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π
-2
-1
1
2
X
Y
y = tg x
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
X
Y
2.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONTINUIDAD
Cálculo de límites puntuales con tabla de valores o usando la gráfica
2x 1 , si x 3
Sea, por ejemplo f (x) 1, si x 3
x 3
− <
= > −
− +→ →≠ ⇒ ∃
x 3 x 3
lim f(x) lim f(x)→x 3lim f(x)
− +
− +
→→ →
→ →
= = ⇒ ∃ =
≠ ⇒ ∃
x ax a x a
x a x a
Si lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L
En general,Si lim f(x) lim f(x)
→
x a
lim f(x)
− +→ →x a x a
lim f(x) y lim f(x) se llaman límites laterales
Cálculo de límites puntuales usando la fórmula
Si f(x) viene dada por la fórmula, para calcular →x alim f(x) , se sustituye “x” por “a”, es decir
→=
x alim f(x) f(a) .
Por ejemplo, →−
− = − − = −� ���� ��� � �� �� �
* Si la función es constante entonces el límite es el mismo número. Por ejemplo, →
= ���� � �
* Si la función es definida a trozos y “a” es el punto donde cambia de expresión la función, tenemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden.
x → 3– 2,8 2,9 2,99 …
−→=
x 3
lim f(x) 5 si x < 3� f(x) = 2x – 1 4,6 4,8 4,98 …
x → 3+ 3,01 3,001 3,0001 …
+→= ∞
x 3
lim f(x) si x > 3� f(x) =
−�
� � 10 100 1000 …
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Reglas para el cálculo de límites
+ ∞ = ∞ −∞ = −∞ ∞ + ∞ = ∞ −∞ − ∞ = −∞ ∞ − ∞ =a a Indet erminación
∞ >∞ = ∞∞ = ∞ ∞ =
−∞ <
, si a 0a. . 0. Indet erminación
, si a 0
+ −
∞ > ∞ < ∞ ∞= = = ±∞ = = = =
−∞ < −∞ >∞ ∞ ∞
, si a 0 , si a 0a 0 a a 00 0 Indet erminación Indeterminación
, si a 0 , si a 00 00 0
∞ ∞ ∞ ∞∞ >> = ∞ =∞ = ∞ = = =
< <
0 0, si a 1Si a 0, a 0 0 Indeterminación 0 Indeterminación 1 Indeterminación
0, si 0 a 1
Ejercicio 1 Halla 2
lim ( )x
f x→
, si
>−
<+−
=2 xsi ,)126(
2 xsi ,2
4
)(
2
xx
x
x
xf
Resolución de indeterminaciones en límites puntuales
→= = ±∞ ⇒
� �
��� ��� �� ! �"#$%&%'��#()�*#! �% )(�)+�(# �,- �.��&%- �(&%'(�%-
/
Ejercicio 2 Calcula: a)( )( )4
3
3 3
1
+
+−→ x
xlimx
b)
−→ 1
sen21 x
limx
π
p(x)
q(x)→= ⇒ −
0 1
234 546 789:;< ;=649>?4@9A 3; B>?<C=4D>9 5CE FC549C64CE G E; E46F54B4?> ;5 B>?<C=7H >A
2
Ejercicio 3 Calcula: a)3 2
3 23
5 3 9lim
7 15 9x
x x x
x x x→ −
+ + −
+ + + b)
( )2
2 2
1limx a
x a x a
x a→
− + +
−
c) 2
22
2 4lim
24x
x x
xx→
− −− −−
d) 2
22
3 2lim tg
4x
x x
x→
− + −
e) 2
21
1lim
2 1 1x
x
x x→
−
− − −
Algunas veces aparece la indeterminación I
I en expresiones radicales. Para resolver esta indeterminación se
utiliza la expresión conjugada.
Ejercicio 4 Determina: a)0
3 3limx
x
x→
+ − b) lim
x a
x a
x a→
−−
Practica tú:
1 Calcula los siguientes límites: a) ( )2
1lim 3 6 1x
x x→
− + b) ( )3 2
5lim 2x
x x→
+ − c) 3
2lim
3 1x
x
x+→ −
+
+ −
d) 0
2lim
3 1x
x
x→
+
+ − e)
1
8 1lim
3x
x
x→
++
f) 1
lim2x
x x
x→
− g)
1lim
2x
x x
x→ −
− h)
112
12
2
0 −−−
−→ xx
xlimx
i)0
3 3
3 3
x x
x xxlim
−
−→
−
+
j) )(5
xflimx→
, si
>−
<+=
5 xsi ,76
5 xsi ,1)(
2
x
xxf k) )(
1xflim
x→, si
2 2 5, si x 1( )
3 5, si x 1
x xf x
x
+ − <=
− >
3 1Sol.: a) 2 b) 2 c)1 d) 1 3 e) f ) 0 g) 1 h) i)0 j)
2 3− − + ∃ (los límites laterales son 26 y 23) k) 2−
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2 Halla los siguientes límites: a)2
20
6 9limx
x x
x→
− + b)
2
21
2lim
2 1x
x x
x x→
+ −
− + c)
2
25
25lim
5x
x
x x→
−
−
d)
3 2
4 31
6 5lim
1x
x x x
x x x→
− +
− + − e)
4 3 2
4 3 22
4 5 4 4lim
4 4x
x x x x
x x x→ −
+ + + +
+ + f)
4 3
3 22
2 2lim
4 11 2x
x x x
x x x→
− + −
+ − −
g) 4 2
4 31
6 8 3lim
2 2 1x
x x x
x x x→
− + −
− + − h)
0lim
2x
x x
x→
− i)
2
2lim
3 1x
x
x→ −
+
+ − j)
0
2 2limx
x
x→
+ −
Sol.: a) b)∞ ∃ 5 9(los límites laterales son e ) c) 2 d) 2 e) f ) g) 2
4 17
h)
−∞ ∞ −
∃ 2(los límites laterales son 0 y 1) i) 2 j)
4
Estudio de la continuidad a partir del límite puntual
− +→ →
∃= = =x a x a
f(a)
Una f(x) es continua en el punto x a si se cumple lim f(x) lim f(x) f(a)
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad asintótica o de salto infinito
Se da cuando −→
= ±∞x a
lim f(x) y/o +→
= ±∞x a
lim f(x) .
Ejemplos:
−→
= ∞x a
lim f(x) −→
= −∞x a
lim f(x) −→
= −∞x a
lim f(x)
+→
=x a
lim f(x) L +→
= −∞x a
lim f(x) → +
= ∞x alim f(x)
( ∃ f(a) ) ( ∃ f(a) ) (f(a) = b )
En todos los casos, se dice que la asíntota vertical es la recta de ecuación A.V. : x = a
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Discontinuidad de salto finito
Se da cuando −→
=x a
lim f(x) b , +→
=x a
lim f(x) c , pero b ≠ c
Ejemplos:
−→=
x a
lim f(x) b −→
=x a
lim f(x) b −→
=x a
lim f(x) b
+→
=x a
lim f(x) c +→
=x a
lim f(x) c +→
=x a
lim f(x) c
(f(a) = c ) ( ∃ f(a) ) (f(a) = d )
Discontinuidad evitable
Se da cuando →
=x alim f(x) b , pero b ≠ f(a)
Ejemplos:
−→=
x a
lim f(x) b −→
=x a
lim f(x) b
+→
=x a
lim f(x) b +→
=x a
lim f(x) b
(f(a) = c) ( ∃ f(a) )
Ejercicio 5 Sea f la función definida por ( )( )(2 1)
kf x
x a x=
− − para x ≠ a y x ≠ 1/2.
Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0, 2) y que la recta x = 2 es una asíntota de dicha gráfica. Ejercicio 6 Estudia la continuidad de la siguiente función, clasificando sus posibles discontinuidades:
11
1)(
−−
=x
x
e
xf
Ejercicio 7 Sea f: R → R la función definida por 2
, 1( )
1, 1
asi x
xf x
x si x
− ≤ −= + > −
(a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) Esboza la gráfica de f.
Ejercicio 8 Si f: R → R es la función continua definida por 2
2 ,( )
5 7,
x si x af x
x x si x a
− <=
− + ≥, donde a es un número
real. Determina a.
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Ejercicio 9 Se define la función f del modo siguiente:
≤++
>−=
1 x si baxx2
1 x si 1xln)x(f
2
Encontrar los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas
Practica tú:
3 Sea la función
>−+
≤≤+
<
=
3 si 3
5
30 si
0 si
)( 2
2
xx
x
xax
xe
xf
x
con a un parámetro real. Se pide:
a) Determinar, razonadamente, el valor del parámetro a para que f(x) sea continua en x = 0. Sol.: a 1=
b) ¿Para qué valores del parámetro a es continua f(x) en x = 3? Razonar la respuesta.
Sol.: ∃ a, porque a , f tiene una discontinuidad asin tótica en x 3∀ =
4 Se sabe que la función f : (−1, +∞) → R definida por
≥+
+
<<−+−=
01
0134
)( 2
2
xsix
ax
xsixx
xf es continua en (−1,+∞ ). Halla el valor de a. Sol.: a 3=
5 Sea la función
≥+−
<<−+
−≤+
=
1 si 8
11 si 43
1 si 1
)(
3
2
2
xx
xx
xbx
xf donde b es un parámetro real. Se pide:
Calcular el valor del parámetro b para que f(x) sea continua en x = −1 y en x = 1. Sol.: b 6=
6 Calcula los valores de a y de b para que la siguiente función sea continua:
2 2 1, si x 0
( ) , si 0 x 1
2, 1
x x
f x ax b
si x
+ − <
= + ≤ < ≥
y dibuja su gráfica para dichos valores. Sol.: Sólo voy a dar los valores de a y b: a 3, b 1= =−
3.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO
Concepto de límite en +∞ Concepto de límite en – ∞
X
Y
2
X
Y
x → ∞ 100 200 300 …
f(x) = +JK L
MK 2,0033 2,0017 2,0011 …
→ ∞=
xlim f(x) 2
x → – ∞ –100 –200 –300 …
f(x) = 3x2 30 000 120 000 270 000 …
→ −∞= ∞
xlim f(x)
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Límite en el infinito de una función polinómica
→±∞xPara calcular lim p(x) se multiplica y divide por la mayor potencia de x
Ejemplo: → ∞
− + −N
OPQR S TU VU WX =
→ ∞
− + −Y
Y
YZ
[\ ]\ ^_`a b \
\
= → ∞
− + −
cc
c c cd
ef gf hijk l f
f f f
=
→ ∞
− + −
m
n mo
p qrst u v w
w w
=→ ∞
− = − ∞ = −∞
x x
yz{| } ~ }�
→ ∞ → ∞
∞ >= = ∞ = ∞ =
−∞ <
n n n
x x
, si a 0Regla general : lim p(x) lim ax a. a. , siendo ax el término de mayor grado de p(x)
, si a 0
→ −∞ → −∞= n
x xAnálogamente : lim p(x) lim ax
Límite en el infinito de una función racional
Al calcular el límite de una función racional llegamos a una indeterminación ∞∞
. Para resolver esta
indeterminación podemos dividir numerador y denominador entre la potencia de x con mayor exponente
Ejemplo: +→ ∞ → ∞ → ∞
−+ − − + −
− + − − + − −= = = = = −∞
− +− + − +− +
� �
� � � � � � �
� �� � �
� �� � �
�� �� � � ��
�� �� � � � � �� � � � ���� ��� ���� � � � � ��� � � �� � � �� � �
� � �
También se puede resolver así: → ∞
→ ∞
→ ∞
− + −− + −
=− + − +
� �� �
�
� ��
�
��� � �� �� ���� �� �
���
�� � � ������ � ��
=→ ∞
→ ∞
−�
�
�
�
��� � �� �
��� ��� �
=→ ∞
−�
��
�� ¡¢
£�
→ ∞ → ∞
< =
= = ±∞ >
m
nx x
m n
0 , si m n
a, si m n
bp(x) axRegla general : lim lim
q(x) bx
a. ( ) , si m n
b
siendo ax , bx los términos de mayor grado de los polinomios
→ −∞ → −∞=
m
nx x
p(x) axAnálogamente : lim lim
q(x) bx
Resolución de indeterminaciones con expresiones con radicales en límites en el infinito
Para resolver indeterminaciones ∞∞
con expresiones radicales se suele dividir numerador y denominador entre
la potencia de x con mayor exponente entendiendo que si x está dentro de un radical su exponente es el que lleva dividido entre el índice del radical. Cuando lleguemos a la indeterminación ∞ − ∞ ó ∞¤¥ con expresiones radicales se suele usar la expresión conjugada.
Ejercicio 10 Calcula los límites: a)2
1lim
4 4x x x→ ∞ − + b) lim
2x
x x
x→ −∞
− c) ( ) ( )( )2 2
lim log 2 6 log 2 3 5x
x x x x→ ∞
− + − + −
d) 112
12
2
−−−−
∞→ xx
xlimx
e)2
lim sen1x x
π→ ∞
− f)
1lim 1
1x
xx
x→ ∞
−− +
g) ( )3 5 5lim 1 2 2 2 3x
x x x x x→ ∞
+ − − +
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Practica tú:
7 Calcula los siguientes límites: a) ( )2lim 2 1x
x x→ ∞
− + b) ( )3lim 3x
x x→ −∞
− + c)4
4 3lim
2 3 6x
x
x x→ ∞ − + − d)
4 2
5lim
1x
x x
x→ ∞
−
+
e) 3 2
2
2lim
2 6x
x x x
x x→ ∞
− +
− f)
5 2
2
3lim
2 1x
x x
x→ −∞
− +
− g)
1 1lim
2 2x x x→ ∞
+ + − h) lim
2x
x x
x→ ∞
− i)
2
2
1 1lim
2 4x
x
x→ ∞
+ −
+ −
j)2
1lim
1x
x
x→ −∞
++
k)2 1 2 1
limx
x x
x→ ∞
+ − − l)
2lim
3 1x
x
x→ ∞
+
+ − m) ( )2
lim 3 2x
x x x→ ∞
+ − n) ( )( )lim 1 1x
x x x→ ∞
+ − −
1Sol.: a) b) c) d) 0 e) f ) g) 0 h)0 i)1 j) 1 k) 0 l) m) n) 1
2
−∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −∞
Asíntotas en el infinito
→±∞= ⇒ ± ∞
xSi lim f(x) L f(x) tiene una en de ecuación :asíntota horizontal ¦§¨§ © ª «¬
Análogamente podemos hablar de asíntotas horizontales en –∞
X
Y
2
Por ejemplo, la función representada tiene una asíntota horizontal en ∞, que es la recta de ecuación A.H.: y = 2
[ ]→ ±∞ → ±∞
= ≠ − = ⇒ ± ∞x x
f(x)Si lim m 0 y lim f(x) mx n f(x) tiene una en de ecuación :
xasíntota oblicua ®¯® ° ± ²³´ µ¶
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Asíntotas en el infinito de las funciones racionales
< ⇒ =
= ⇒ ==
− = = + ⇒ =
m n
Si m n A.H : y 0
aSi m n A.H : y
p(x) bSea f(x)q(x) r(x)
Si m n 1 , se expresa c(x) A.O : y c(x)q(x)
En otro caso, no hay asíntotas
ax , bx son los términos de mayor grado de los polinomios p(x) y q(x), respectivamen
p(x)
q(x)
te
Posición de la gráfica respecto de la asíntota
- La gráfica está por encima de la asíntota en ∞ cuando ygráfica
> yasíntota
, o sea cuando ygráfica
– yasíntota
> 0.
Por ejemplo, la función f(x) tiene asíntota horizontal en ∞ A.H.: y = 2.
Observa que y
gráfica – y
asíntota = f(x) – 2 > 0
- La gráfica está por debajo de la asíntota en ∞ cuando y
gráfica < y
asíntota , o sea cuando y
gráfica – y
asíntota < 0.
Por ejemplo, la función f(x) tiene asíntota oblicua en ∞ A.O.: = +1
y x 12
.
Observa que ygráfica
– yasíntota
= − +
1f(x) x 1
2< 0
Análogamente podemos hablar de la posición entre gráfica y asíntota en –∞
Ejercicio 11 Sea f la función definida por 22
( )( 1)( 2)
xf x
x x=
+ − para x ≠ –1 y x ≠ 2.
(a) Calcula el dominio y las asíntotas de la gráfica de f. (b) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a Ia asíntota horizontal.
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Ejercicio 12 Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x ≠ 0, por 2
1/1( ) , ( ) ( ) ln | |xxf x g x e y h x x
x
−= = =
(a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. (b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.
Ejercicio 13 Estudia las asíntotas y la continuidad de la función
11
1)(
−−
=x
x
e
xf
Ejercicio 14 Sea g la función definida por 3
2( )
( )
mxg x
x n=
− para x ≠ n.
a) Halla m y n sabiendo que la recta y = 2x − 4 es una asíntota de la gráfica de g. b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.
Ejercicio 15 Considera la función f definida para x ≠ –2 por 22 2
( )2
xf x
x
+=
+.
(a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas.
Ejercicio 16 Calcula las asíntotas de la gráfica de 2
2
1( )
x
xf x e +=
Practica tú:
8 Determina el dominio de definición y las asíntotas de la función 2
)1x(
4xy
−+=
{ }Sol.: D(f ) R 1 A.V.:x 1; A.O.: y x= − = =
9 Sea f la función definida como 2
( )ax b
f xa x
+=
− para x ≠ a.
Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4. Sol.: a 4 b 10= =−
10 Se sabe que la función f : [0, →∞) R definida por 2
, 0 8
( ) 32, 8
4
ax si x
f x xsi x
x
≤ ≤= −
>−
es continua en [0, ∞).
(a) Halla el valor de a. Sol.: a 8= (b) Calcula la asíntota oblicua Sol.: A.O.: y x 4= +
11 Dada la función f definida para x ≠ –1 por 3
2( )
(1 )
xf x
x=
+, determina:
(a) Las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.:x 1; A.O.: y x 2=− = −
(b) El punto de corte de dicha gráfica con su asíntota oblicua. 2 8Sol.: P( , )
3 3
− −
12 Sea f : R → R la función definida por 2
5 8( )
1
xf x
x x
+=
+ +
(a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. 8Sol.: P( , 0) , Q(0, 8)
5
−
(b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V. No hay; A.H.: y 0→ =
2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 7.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
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4.- TEOREMAS EN FUNCIONES CONTINUAS
Teorema de Bolzano
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] de forma que f(a) y f(b) tienen distinto signo, entonces existe al menos un punto c del intervalo (a, b) para el que f(c) = 0
El teorema de Bolzano dice que la gráfica de la función f(x) corta al eje X por lo menos en un punto c en el intervalo (a, b), es decir, la ecuación f(x) = 0 tiene por lo menos una solución en el intervalo (a, b).
Ejercicio 17 Demuestra que la función 2x4x)x(f 2 +−= corta al eje de abscisas en el intervalo [0, 2].
¿Se puede decir lo mismo de la función 1x
3x2)x(f
−−
= ?
Ejercicio 18 Comprobar que la ecuación x3 − 3x + 40 = 0 tiene alguna raíz real. Aproximar su valor hasta las centésimas.
Ejercicio 19 Comprobar si la ecuación x = x.senx + cos x tiene solución en [ ]ππ− , .
Ejercicio 20 Probar que la ecuación 2x x2xe −=+ tiene al menos una raíz positiva y otra negativa.
Ejercicio 21 Consideremos la función f(x)= senx
x. Comprobar que 0
3
4fy0
3f <
π>
π; comprobar que
no existe
ππ∈α
3
4,
3 tal que 0)(f =α . Razona que no contradice el teorema de Bolzano
Ejercicio 22 Se piden los valores de los parámetros a y b para que la función cumpla el teorema de Bolzano
π≤≤
<<+
≤<π−
=
x1six
b
1x0sixa
0xxcos
)x(f 2 . Hallar así mismo el punto interior al intervalo
Ejercicio 23 Supongamos que f es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x perteneciente a [0, 1]. Probar que debe haber un número c en (0, 1) tal que f(c) = c Indicación: Utilizar el teorema de Bolzano aplicado a la función g(x)= f(x) − x
Ejercicio 24 Probar que las gráficas de las funciones ( ) Ln y ( ) xf x x g x e−= = se cortan en algún punto y
localizarlo aproximadamente.
Practica tú: 13 ¿Podemos afirmar que 53)( 23 +−= xxxf toma el valor 2 en algún punto del intervalo [1, 2]? Sol.: No
14 Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0, 1].
15 Prueba que las ecuaciones siguientes tienen al menos una raíz real:
a) 053 =+− xx b) 01002 25 =−++ xxx
16 Demostrar si la función f(x)=x3 + x2 − 5x − 2 tiene al menos una raíz en (1, 2).
17 Probar que existe al menos una raíz de la ecuación x + sen x − 1 = 0
18 La ecuación 2 1x
x + = tiene alguna solución en el intervalo [0, 1]. Razónese por qué.
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19 Probar que las ecuaciones cos x = 2x − 1, ex =π tienen al menos una raíz real.
20 Probar que la ecuación 02 =−−x
x tiene una única raíz en [0,1].
21 Demostrar que la ecuación x.lnx = 0 tiene raíz en [0,5; 2]
22 Demostrar que la ecuación 2x3 = 6x −1 tiene raíz real.
23 Probar que la función senx2
5)x(f
+= alcanza el valor 2 en el intervalo
π2
,0 . Razonar la respuesta y
resolver en caso de ser posible.
24 Sea la función f(x) =0
2
2 0
sen x si x
x a si x
π
π
− ≤ < + ≤ ≤
¿Para qué valores de a se puede aplicar el teorema de Bolzano
a dicha función en el intervalo ,2
ππ
−
? Sol.:a 0=
25 ¿Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función x
xfcos
1)( = en el intervalo [0, π]? Sol.:No
Teorema de Weierstrass
Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es decir: hay al menos dos puntos x
1, x
2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:
El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentran el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen. Ejercicio 25 Para cada una de las funciones siguientes, indicar si se puede aplicar el teorema de Weierstrass
a) [ ]2( ) 1 en 1,1f x x= − − b) [ ]1( ) en 2, 5
3f x
x=
− c)
2
1( ) en ( , )
1f x
x= −∞ +∞
+
Ejercicio 26 Determina el valor de a para que a la función 2
2 ,( )
5 7,
x si x af x
x x si x a
− <=
− + ≥ se le pueda aplicar el
teorema de Weierstrass en el intervalo [a – 1, a + 1]
Ejercicio 27 Determina el valor de a para que a la función 2
, 1( )
1, 1
asi x
xf x
x si x
− ≤ −
= + > −
se le pueda aplicar el
teorema de Weierstrass en el intervalo [– 1, 1]
Practica tú:
26 Para cada una de las funciones siguientes, indicar si se puede aplicar el teorema de Weierstrass
a) [ ]3( ) en 1, 5f x x= Sol.:Si b) [ ]1( ) en 1, 2
1f x
x=
− Sol.:No c)
1( )
2f x
x=
− en [0, 3] Sol.:No
27 Determina el valor de a para que a la función
2
2
4 3, 1 0
( ), 0
1
x x si x
f x x asi x
x
− + − < <= +
≥+
se le pueda aplicar el
teorema de Weierstrass en el intervalo [– 1, 1] Sol.:a 3=