1 — funções do 2o grau · o gráfico de uma função do 2o grau é uma curva denominada...
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DefiniçãoGráfico
Forma canônicaMáximo e mínimoSinal da função quadráticaInequações do 2o grauExercícios de fixaçãoExercícios de vestibular
1 — Funções do 2o grau
1.1 Definição
Definição 1.1.1 — Função do 2o grau. Se f : R→ R for dada por:
f (x) = ax2 +bx+ c
com a,b,c ∈ R,a 6= 0, então diremos que f é uma função do 2o grau (ou quadrática).
� Exemplo 1.1 São exemplos de funções do segundo grau:(a) f (x) = 2x2−4x+3
a = 2,b =−4,c = 3(b) f (x) = x2 +7x
a = 1,b = 7,c = 0
(c) f (x) =−x2 +12
a =−1,b = 0,c =12
(d) f (x) = x2
a = 1,b = 0,c = 0�
1.2 GráficoPropriedade 1.2.1 — Gráfico da função quadrática. O gráfico de uma função do 2o graué uma curva denominada parábola.
! Em Geometria Analítica, é possível provar o motivo pelo qual a curva de uma parábola tero formato que será exposto nos exemplos a seguir.
� Exemplo 1.2 Construa o gráfico de f (x) = x2−3x+2 e g(x) =−x2 +1.Usando-se a tabela de valores abaixo, determinaremos pontos do gráfico de f e g.
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2 Funções do 2o grau
x y = x2−3x+2−1 y = (−1)2−3 · (−1)+2 ⇒ y = 60 y = 02−3 ·0+2 ⇒ y = 21 y = 12−3 ·1+2 ⇒ y = 02 y = 22−3 ·2+2 ⇒ y = 03 y = 32−3 ·3+2 ⇒ y = 2
x
y
f
−1 0 1 2 3
2
6
x y =−x2 +1−2 y =−(−2)2 +1 ⇒ y =−3−1 y =−(−1)2 +1 ⇒ y = 00 y =−02 +1 ⇒ y = 11 y =−12 +1 ⇒ y = 02 y =−22 +1 ⇒ y =−3
x
y
g
−2−1
01 2
−3
�
1.2.1 Forma canônicaA fim de demonstrar certas propriedades da função do 2o grau, tomamos uma outra expressão dasua forma geral conhecida como forma canônica:
f (x) = ax2 +bx+ c = a(
x2 +ba
x+ca
)
= a
x2 +ba
x+b2
4a2︸ ︷︷ ︸quadrado perfeito
− b2
4a2 +ca
= a
[(x+
b2a
)2
− b2
4a2 +ca
]
= a
[(x+
b2a
)2
−(
b2−4ac4a2
)]Sendo ∆ = b2−4ac, temos:
Definição 1.2.1 — Forma canônica da função do 2o grau.
f (x) = a
[(x+
b2a
)2
− ∆
4a2
]
Para determinar as raízes da função quadrática, devemos resolver a equação do 2o grau:
ax2 +bx+ c = 0
cujo método mais prático de solução é dado pela Fórmula de Bhaskara.
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1.2 Gráfico 3
Propriedade 1.2.2 — Fórmula de Bhaskara. As raízes da equação do 2o grau ax2 +bx+c = 0 são dadas por:
x =−b±
√∆
2a
onde ∆ = b2−4ac é dito ser o discriminante da equação, isto é,• se ∆ > 0: há duas raízes reais distintas;• se ∆ = 0: há duas raízes reais iguais;• se ∆ < 0: não há raízes reais.
Demonstração. Igualando a forma canônica a zero, temos:
a
[(x+
b2a
)2
− ∆
4a2
]⇔(
x+b
2a
)2
− ∆
4a2 = 0
⇔(
x+b
2a
)2
=∆
4a2
⇔ x+b
2a=±√
∆
2a
⇔ x =− b2a±√
∆
2a
⇔ x =−b±
√∆
2a
�
! O termo independente da função quadrática f (x) = ax2 +bx+ c vale c.
� Exemplo 1.3 Determine as raízes de f (x) = 2x2−5x+2.Basta resolvermos a equação 2x2−5x+2 = 0. Temos que a = 2,b =−5 e c = 2, logo
∆ = 9. E, através da Fórmula de Bhaskara, obtemos:
x =−(−5)±
√9
2 ·2⇒ x =
5±34
x =5+3
4=
84⇒ x = 2
x =5−3
4=
24⇒ x =
12
Assim, suas raízes são:
x =12
e x = 2
�
� Exemplo 1.4 Determine os zeros reais da função f (x) = x4−3x2−4.Para determinar os zeros de f , devemos resolver a equação:
x4−3x2−4 = 0
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4 Funções do 2o grau
! A equação acima é do tipo biquadrada, ou seja,
ax2n +bxn + c = 0, n ∈ Z
A sua resolução consiste em uma mudança de variável a fim de que tenhamos umaequação do 2o grau, equação esta que já sabemos resolver pela Fórmula de Bhaskara.
Chamando y = x2⇒ y2 = x4, logo:
x4−3x2−4 = 0⇒ y2−3y−4 = 0
cuja solução é dada por y = 4 ou y =−1. Mas, uma vez que y = x2, segue que:
x2 = 4⇒ x =±2
e:x2 =−1⇒ @x ∈ R
Portanto, os zeros reais de f (x) = x4−3x2−4 são x =−2 ou x = 2. �
Propriedade 1.2.3 — Orientação da concavidade. A parábola de uma função do 2o grauf (x) = ax2 +bx+ c pode ter duas orientações:• se a > 0 : concavidade voltada para cima:
x
a > 0
• se a < 0 : concavidade voltada para baixo:
x
a < 0
Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as duas raízes de uma função do 2o grau, caso existam,são dadas por:
x1 =−b−
√∆
2ae x2 =
−b+√
∆
2a
Ao somarmos, obtemos:
x1 + x2 =
(−b−
√∆
2a
)+
(−b+
√∆
2a
)
=−b−�
�√
∆−b+��√
∆
2a
=−2b2a
=−ba
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1.2 Gráfico 5
e, fazendo o produto entre si, de modo análogo, iremos obter:
x1 · x2 =ca
Propriedade 1.2.4 — Soma e produto. A soma S e o produto P das raízes de uma funçãodo 2o grau f (x) = ax2 +bx+ c são dados por:
S =−ba
e P =ca
! Para se determinar quais números satisfazem à soma e ao produto, torna-se mais fácilbuscar os valores usando o produto primeiro.
� Exemplo 1.5 Determine as raízes de f (x) = x2−7x+12 usando soma e produto.Temos que a = 1, b =−7 e c = 12. Assim devemos encontrar dois valores que quando
somados nos dão S = 7 e multiplicados, P = 12.{S = 7P = 12
⇒{
x1 + x2 = 7x1 · x2 = 12
⇒{
x1 = 3x2 = 4
�
� Exemplo 1.6 Esboce o gráfico de f (x) = 2x2−5x+2.Como a = 2 > 0, então a parábola terá concavidade voltada para cima. Além disso, vimos
no Exemplo 1.3 que suas raízes são x = 1/2 e x = 2. E, uma vez que seu termo independente(isto é, o ponto pelo qual o gráfico corta o eixo y) vale c = 2, concluímos que:
x
y
12
2
2
Observe que, sendo ∆ > 0, então há, de fato, duas raízes reais distintas, de tal modo que ográfico de f corta o eixo x em dois pontos. �
� Exemplo 1.7 Construa o gráfico da função f (x) =−3x2−1.Sendo a =−3, b = 0 e c =−1, temos que:
∆ = b2−4ac⇒ ∆ = 02−4 · (−3) · (−1)
⇒ ∆ = 0−12
⇒ ∆ = 12
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6 Funções do 2o grau
Uma vez que ∆ < 0, segue que não existem raízes reais, ou seja, o gráfico de f não corta oeixo das abscissas; e do fato que a =−3 < 0, o esboço do gráfico da função é dado por:
x
y
�
Exercício resolvido 1.1 — UNIFOR. O gráfico da função f , de R em R, definida porf (x) = x2 +3x−10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é iguala:
(a) 3(b) 5
(c) 7(d) 8
(e) 9
Resolução: Basta calcular as raízes de f - que interceptam o eixo x nos pontos A e B - edeterminar o que se pede. Como a = 1, b = 3 e c =−10, segue que:
∆ = b2−4ac⇔ ∆ = 49
Assim,
x =−3±
√49
2 ·1⇒ x =
−3±72
x =−3+7
2=
42⇒ x = 2
x =−3−7
2=−10
2⇒ x =−5
x
y
−5 2
A B
Portanto, AB = 7. Alternativa C. �
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1.2 Gráfico 7
Abaixo, segue um quadro resumo relacionando a orientação da concavidade de uma funçãodo segundo grau e o valor do discriminante junto com a existência (ou não) das raízes x1 e x2 dafunção.
∆ < 0
∆ = 0
∆ > 0
a > 0 a < 0
x
y
x
y
x
y
x1 = x2
x
y
x1 = x2
x
y
x1 x2
x
y
x1 x2
� Exemplo 1.8 Determine os valores de m para que a função do 2o grau:
f (x) = mx2 +(2m−1)x+(m−2)
tenha dois zeros reais e distintos.Para que f satisfaça as condições do exercício devemos ter a 6= 0, pois f deve ser do 2o
grau e ∆ > 0 que, devido a Fórmula de Bhaskara, tal função terá duas raízes reais e distintas,ou seja,
m 6= 0 e ∆ = (2m−1)2−4(m)(m−2)> 0
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8 Funções do 2o grau
assim,
∆ = 4m2−4m+1−4m2 +8m > 0
4m+1 > 0
m >−14
Portanto, temos que, para f ter duas raízes reais e distintas, deve se ocorrer:
m >−1/4 e m 6= 0
�
! (a+b)2 = a2 +2ab+b2
(a−b)2 = a2−2ab+b2
a2−b2 = (a+b)(a−b)
1.3 Máximo e mínimo
Definição 1.3.1 — Valor máximo. Um número yM ∈ Im f é dito valor máximo de y = f (x)se,
yM ≥ y,∀y ∈ Im f
O valor xM ∈ D f tal que yM = f (xM) é chamado de ponto de máximo da função.
Analogamente, temos a seguinte definição:
Definição 1.3.2 — Valor mínimo. Um número ym ∈ Im f é dito valor mínimo de y = f (x) se,
ym ≤ y,∀y ∈ Im f
O valor xm ∈ D f tal que ym = f (xm) é chamado de ponto de mínimo da função.
Definição 1.3.3 — Vértice da parábola. O ponto:
V = (xV ,yV ) =V =
(− b
2a,− ∆
4a
)é definido como vértice da parábola.
x
y
V
! No caso da função quadrática f (x) = ax2+bx+c temos que ela admitirá um valor máximo
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1.3 Máximo e mínimo 9
(mínimo) em seu vértice, isto é, em y =−∆
4ae x =
−b2a
se a < 0 (a > 0).
� Exemplo 1.9 Determine o vértice da função f (x) = 2x2−5x+2.Temos:
xV =− b2a
=54
e yV =− ∆
4a=−9
8Portanto,
V = (xV ,yV ) =V =
(54,−9
8
)�
� Exemplo 1.10 Um sitiante dispõe de 400m de cerca de arame e gostaria de montar o maiorgalinheiro possível de forma retangular. Como ele deve proceder?
Sendo o perímetro do galinheiro retangular de 400m, chamemos de x sua largura e, assim,seu comprimento será de 200− x.
x
200− x
A área S de um retângulo é dada por S = base · altura e, portanto,
S = (200− x)x
S =−x2 +200x
A maior área possível está diretamente ligada ao lado que implica nisto. Como a maior áreapossível é a ordenada do vértice da função, isto é, yv, então o ponto de máximo (xv) da funçãoque é dado por:
x =− b2a
=−200−2⇒ x = 100m
nos dá o lado que gerará a maior área possível. Logo, a maior área possível será a de umretângulo de lado x = 100m e 200− x = 100m, ou seja, um quadrado de lado 100m cuja áreaé dada por 10.000m2. �
Exercício resolvido 1.2 — PUC. A temperatura, em graus centígrados, no interior de umacâmara, é dada por f (t) = t2−7t +A, em que t é medido em minutos e A é constante. Se noinstante t = 0 a temperatura é de 10oC, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima,em minutos, é:
(a) 3,5(b) 4,0
(c) 4,5(d) 6,5
(e) 7,5
Resolução: Inicialmente, calculemos o valor da constante A. Como em t = 0, f (t) = 10,
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10 Funções do 2o grau
segue que:
f (0) = 10⇔ 02−7 ·0+A = 10
⇔ A = 10
Ou seja,f (t) = t2−7t +10
A temperatura mínima f (tmin) coincide com a ordenada do vértice da parábola, isto é,
f (tmin) =−∆
4a
x
y
f (tmin)tmin
(tmin, f (tmin)
onde o tempo correspondente tmin é a abscissa do vértice da parábola de f , ou seja,
tmin =−b2a⇒ tmin =
72⇒ tmin = 3,5
Alternativa A. �
Suponha que f seja uma função do 2o grau cujo gráfico é dado abaixo:
x
y
yV
Observe que a projeção do gráfico no eixo y, isto é, seu conjunto-imagem, está diretamenterelacionada com o ponto yV do vértice da parábola.
Propriedade 1.3.1 — Conjunto-imagem da função do 2o grau. O conjunto-imagem dafunção do 2o grau é dado por:
• Se a > 0⇒ Im f =
{y ∈ R
∣∣∣∣ y≥− ∆
4a
}• Se a < 0⇒ Im f =
{y ∈ R
∣∣∣∣ y≤− ∆
4a
}
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1.4 Sinal da função quadrática 11
� Exemplo 1.11 O conjunto-imagem da função f (x) = 2x2−5x+2 é igual a:
Im f =
{y ∈ R
∣∣∣∣ y≥−98
}�
1.4 Sinal da função quadrática
O sinal de uma função do 2o grau depende da orientação da concavidade da parábola e do valordo seu discriminante (∆).
� Exemplo 1.12 Estude o sinal da função f (x) = x2− x−6.Como a = 1 > 0, temos que sua parábola tem concavidade orientada para cima. Além
disso, ∆ = 25 > 0, ou seja, f possui duas raízes reais distintas, a saber x =−2 e x = 3, o quenos dá:
x+
−+
−2 3
ou seja, f (x)> 0 se x <−2 ou x > 3f (x) = 0 se x =−2 ou x = 3f (x)< 0 se −2 < x < 3
�
� Exemplo 1.13 Faça o estudo do sinal da função f (x) =−x2 +2x−1.As raízes de f são idênticas e valem x = 1. Além disso, sendo a < 0, então sua concavi-
dade está voltada para baixo:
x
− −1
Assim, f (x)> 0 ∅f (x) = 0 se x = 1f (x)< 0 ∀x ∈ R\{1}
�
1.5 Inequações do 2o grau
A resolução de inequações do segundo grau são feitas através da análise do sinal da função quese relaciona com a expressão da inequação.
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12 Funções do 2o grau
� Exemplo 1.14 Resolva, em R, x2− x+2 > 0.Temos que a = 1 > 0 o que implica na orientação para cima da concavidade e ∆ =−7 < 0,
ou seja, não há raízes reais:
x+ +
Como, ∀x ∈ R, f (x) = x2− x+2 > 0, então S = R. Observe que se tivéssemos de resolver ainequação:
x2− x+2 < 0
obteríamos S =∅ �
Exercício resolvido 1.3 — UFRS. A equação 2mx2 +mx+12= 0 possui 2 raízes reais
distintas. Então:
(a) m = 0(b) m > 0(c) m < 4
(d) m < 0 ou m > 4(e) 0 < m < 4
Resolução: Do enunciado, conclui-se que:{“possui 2 raízes” ⇒ equação do 2o grau ⇒ a 6= 0“2 raízes reais distintas” ⇒ ∆ > 0
Sendo a = 2m, segue que:2m 6= 0⇔ m 6= 0
Além disso,
∆ = m2−4 ·2m · 12> 0⇔ m2−4m > 0
Devemos, portanto, resolver a inequação do segundo grau m2−4m > 0. Aqui, a = 1, b =−4e c = 0. Através de soma e produto, segue que:{
S = 4P = 0
⇒{
m = 0 oum = 4
E uma vez que a = 1 > 0, então a parábola da função f (m) = m2−4m tem concavidade paracima e corta o eixo horizontal nos pontos 0 e 4:
x+
−+
0 4
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1.5 Inequações do 2o grau 13
Como buscamos os valores de m tais que m2−4m > 0, segue que a solução desta inequaçãoé dada por:
S = {m ∈ R | m < 0 ou m > 4}
E, fazendo a intersecção com a condição de que m 6= 0, então, para que a equação 2mx2 +
mx+12= 0 tenha duas raízes reais distintas, devemos ter:
m < 0 ou m > 4
Alternativa D. �
As inequações produto/quociente que envolvem funções do segundo grau são resolvidasusando o quadro de sinais, de maneira análoga ao que fora feito no capítulo anterior.
� Exemplo 1.15 Resolva, em R, a inequação (x2− x−2)(−x2 +4x−3)> 0.Calculando as raízes de f (x) = x2− x−2 e g(x) =−x2 +4x−3 e analisando seus sinais,
temos:
xf−1 2
xg1 3
xf ·g
+ − − + +
− − + + −− + − + −
−1 1 2 3
Portanto S = {x ∈ R | −1 < x < 1 ou 2 < x < 3}=]−1,1[∪]2,3[. �
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14 Funções do 2o grau
1.6 Exercícios de fixaçãoDefinição e gráfico
1. Construir os gráficos das funções definidas em R:
(a) y = x2
(b) y =−x2
(c) y = 2x2
(d) y =−2x2
(e) y = x2−2x(f) y =−2x2−4x(g) y =−3x2−3(h) y = x2−2x+4
2. Determinar uma função quadrática f tal que f (−1) =−4, f (1) = 2 e f (2) =−1.
3. Determinar os zeros reais das funções:
(a) f (x) = x2−3x+2(b) f (x) =−x2 +7x−12(c) f (x) = 3x2−7x+2(d) f (x) = x2−2x+2(e) f (x) = x2 +4x+4
(f) f (x) =−x2 +32
x+1
(g) f (x) = x2−2x−1
(h) f (x) =−x2 +3x−4
(i) f (x) = x2−√
2x+12
(j) f (x) = x2 +(1−√
3)x−√
3(k) f (x) = 2x2−4x(l) f (x) = 4x2 +3
(m) f (x) =−5x2
4. Resolver o sistema:
1x+
1y=
712
x · y = 12.
5. Determinar os zeros reais das funções:
(a) f (x) = x4−5x2 +4(b) f (x) =−x4 +5x2 +36(c) f (x) = x4− x2−6(d) f (x) = x4−4x2 +4
(e) f (x) = 2x4 +6x2 +4(f) f (x) =−x4 +3x2−3(g) f (x) = 3x4−12x2
(h) f (x) = x6−7x3−8
6. Determinar os valores de m para que a função quadrática f (x) = (m−1)x2+(2m+3)x+mtenha dois zeros reais e distintos.
7. Determinar os valores de m para que a equação do 2o grau (m+2)x2 +(3−2m)x+(m−1) = 0 tenha raízes reais.
8. Determinar os valores de m para que a função f (x) = mx2 +(m+1)x+(m+1) tenha umzero real duplo.
9. Determinar os valores de m para que a equação x2 +(3m+2)x+(m2 +m+2) = 0 tenhaduas raízes reais iguais.
10. Determinar os valores de m para que a função f (x) = (m+ 1)x2 +(2m+ 3)x+(m− 1)não tenha zeros reais.
11. Determinar os valores de m para que a equação mx2 +(2m−1)x+(m−2) = 0 não tenharaízes reais.
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1.6 Exercícios de fixação 15
12. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R:
(a) y = x2−2x−3(b) y = 4x2−10x+4
(c) y =−x2 +12
x+12
(d) y =−3x2 +6x−3
(e) y = x2−3x+94
(f) y = 3x2−4x+2(g) y =−x2 + x−1
(h) y =−12
x2− x− 32
13. Na equação do 2o grau 2x2−5x−1 = 0 de raízes x1 e x2, calcular:(a) x1 + x2(b) x1 · x2
(c)1x1
+1x2
(d) (x1)2 +(x2)
2
(e)x1
x2+
x2
x1(f) (x1)
3 +(x2)3
14. Obter uma equação do segundo grau de raízes:(a) 2 e −3
(b)12
e −32
(c) 0,4 e 5(d) 1 e −
√2
(e) 1+√
3 e 1−√
3
15. Se a equação ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, admite as raízes reais não nulas x1 e x2, obter aequação de raízes:
(a) (x1)2 +(x2)
2
(b)1x1
+1x2
(c)x1
x2+
x2
x1(d) (x1)
3 +(x2)3
16. Determinar m na equação mx2−2(m−1)x+m = 0 para que se tenhax1
x2+
x2
x1= 4, onde
x1 e x2 são as raízes da equação.
Máximo e mínimo, vértice da parábola17. Determinar o valor máximo ou valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo
das funções abaixo, definidas em R.
(a) y = 2x2 +5x(b) y =−3x2 +12x(c) y = 4x2−8x+4
(d) y = x2− 72
x+52
(e) y =−x2 +5x−7
(f) y =−x2
2+
43
x− 12
18. Determinar o valor de m na função real f (x) = 3x2−2x+m para que o valor mínimo seja53
.
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16 Funções do 2o grau
19. Determinar o valor de m na função real f (x) = −3x2 +2(m−1)x+(m+1) para que ovalor máximo seja 2.
20. Determinar o valor de m na função real f (x) = mx2 +(m−1)x+(m+2) para que o valormáximo seja 2.
21. Determine o valor de m na função real f (x) = (m−1)x2 +(m+1)x−m para que o valormínimo seja 1.
22. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.
23. Dentre todos os números reais x e z tais que 2x+ z = 8 determine aqueles cujo produto émáximo.
24. Dentre todos os retângulos de perímetro 20cm, determine o de área máxima.
25. Dentre todos os números de soma 6, determine aquele cuja soma dos quadrados é mínima.
26. Determine o retângulo área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados noseixos cartesianos e um vértice na reta y =−4x+5.
27. É dado uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhadaresultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima.
6
8
28. Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm,estando a base do retângulo num lado do triângulo.
29. Num triângulo isóscels de base 6cm e altura 4cm está inscrito um retângulo. Determine oretângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.
30. Determinar os vértices das parábolas:
(a) y = x2−4(b) y =−x2 +3x(c) y = 2x2−5x+2
(d) y =−x2 +12
x+32
(e) y =−x2 + x− 29
(f) y = x2− 73
x−2
31. Determinar a imagem das funções definidas em R:
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1.6 Exercícios de fixação 17
(a) y = x2−3x(b) y =−x2 +4(c) y = 3x2−9x+6(d) y =−4x2 +8x+12
(e) y =−x2 +32
x+1
(f) y =12
x2 + x+1
32. Determinar m na função f (x) = 3x2− 4x+m definida em R para que a imagem sejaIm f = {y ∈ R | y≥ 4}.
33. Determinar m na função f (x) = −x2
3+mx− 1
2definda em R para que a imagem seja
Im f = {y ∈ R | y≤ 7}.
Inequações do 2o grau34. Resolver as inequações em R:
(a) x2−3x+2 > 0(b) −x2 + x+6 > 0(c) −3x2−8x+3≤ 0
(d) −x2 +32
x+10≥ 0
(e) 8x2−14x+3≤ 0(f) 4x2−4x+1 > 0
(g) x2−6x+9≥ 0(h) −4x2 +12x−9≥ 0(i) x2 +3x+7 > 0(j) −3x2 +3x−3 < 0(k) 2x2−4x+5 < 0
(l) −13
x2 +12
x− 14> 0
35. Resolver em R as inequações:(a) (1−4x2)(2x2 +3x)> 0(b) (2x2−7x+6)(2x2−7x+5)≤ 0(c) (x2− x−6)(−x2 +2x−1)> 0(d) (x2 + x = 6)(−x2−2x+3)≥ 0(e) x3−2x2− x+2 > 0(f) 2x3−6x2 + x−3≤ 0
36. É dada a função y = (2x2−9x−5)(x2−2x+2). Determinar:(a) os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas;(b) o conjunto dos valores de x para os quais y≤ 0.
37. Resolver em R as inequações:
(a)4x2 + x−5
2x2−3x−2> 0
(b)−9x2 +9x−23x2 +7x+2
≤ 0
(c)x2 +2x
x2 +5x+6≥ 0
(d)x2 +3x−16−x2 +7x−10
≥ 1
(e)2x2 +4x+53x2 +7x+2
<−2
(f)6x2 +12x+17−2x2 +7x−5
≥−1
38. Resolver as inequações:(a) 4 < x2−12≤ 4x(b) x2 +1 < 2x2−3≤−5x(c) 0≤ x2−3x+2≤ 6(d) 7x+1 < x2 +3x−4≤ 2x+2(e) 0 < x2 + x+1 < 1(f) 4x2−5x+4 < 3x2−6x+6 < x2 +3x−4
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18 Funções do 2o grau
39. Resolver os sistemas de inequações:
(a){
x2 + x−2 > 03x− x2 < 0
(b){
x2 + x−20≤ 0x2−4x−21 > 0
(c){
1+2x≥ 0−4x2 +8x−3 < 0
(d){−2x2− x+1≥ 04x2−8x+3≤ 0
40. Resolver em R as inequações:
(a) x4−10x2 +9≤ 0(b) x4−3x2−4 > 0(c) x4 +8x2−9 < 0
(d) 2x4−3x2 +4 < 0(e) x6−7x3−8≥ 0(f) 3x4−5x2 +4 > 0
41. Determinar m para que se tenha ∀x ∈ R,(a) x2 +(2m−1)x+(m2−2)> 0(b) x2 +(2m+3)x+(m2 +3)≥ 0(c) x2−mx+m > 0(d) x2 +(m+1)x+m > 0(e) −x2 +(m+2)x− (m+3)≥ 0(f) (m−1)x2 +4(m−1)x+m > 0(g) mx2 +(m−2)x+m≤ 0(h) mx2 +(m+3)x+m≥ 0(i) (m+1)x2−2(m−1)x+3(m−1)< 0(j) (m2−1)x2 +2(m−1)x+1 > 0
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1.7 Exercícios de vestibular 19
1.7 Exercícios de vestibular1. (FUVEST) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A,
pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o total deunidades compradas foi a de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$2,00 opreço unitário do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado.
2. (UNIP) Uma das raízes da equação x2 + kx+3 = 0 é 1 e a outra raíz é a. O valor de a+ ké:
(a) 1(b) −1
(c) 4(d) −4
(e) 3
3. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação x2 +mx+ 27 = 0 seja oquadrado da outra, é:
(a) -3(b) -9
(c) -12(d) 3
(e) 6
4. (FAAP) Numa região, foram colhidas 8400 toneladas de trigo. A mesma colheita poderiater sido obtida numa área com 20 hectares a menos, se mais uma tonelada tivesse sidocolhida por hectare. Quantas toneladas foram colhidas por hectare?
(a) 14(b) 34
(c) 16(d) 28
(e) 20
5. (PUCCAMP) Considere as seguintes equações:I. x2 +4 = 0
II. x2−2 = 0III. 0,3x = 0,1
Sobre as soluções dessas equações é verdade dizer que em:(a) II são números irracionais(b) III é um número irracional(c) I e II são número reais(d) I e III são números não reais(e) II e III são números racionais
6. (UFG) Para que a soma das raízes da equação (k−2)x2−3kx+1 = 0 seja igual ao seuproduto, devemos ter:
(a) k =±13
(b) k =−13
(c) k =13
(d) k =√
3(e) k =
√3
3
7. (UNICAMP) Determine o valor de m na equação 8x2 +2x−(
m−12
)= 0, de modo que
o produto de suas raízes seja igual a −158
.
8. (CEFET-BA) O gráfico da função y = ax2 +bx+ c tem uma só intersecção com o eixo Oxe corta o eixo Oy em (0,1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:
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20 Funções do 2o grau
(a) b2 = 4a(b) −b2 = 4a
(c) b = 2a(d) a2 =−4a
(e) a2 = 4b
9. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2+ax+b = 0, onde a e b são coeficientesreais, então v2 +w2 é igual a:
(a) a2−2b(b) a2 +2b(c) a2−2b2
(d) a2 +2b2
(e) a2−b2
10. (ESPM) O conjunto solução da equação x3 + x2−100x−100 = 0, é:
(a) S = {−1,10}(b) S = {−1,1,10}(c) S = {−10,1,10}
(d) S = {−10,−1,10}(e) S = {−1,100}
11. (PUC) O número de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2−1 é:
(a) 0(b) 1
(c) 2(d) 3
(e) 4
12. (FUVEST) O gráfico de f (x) = x2+bx+c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos
(0,0) e (1,2). Então, f(−2
3
)vale:
(a) −29
(b)29
(c) −14
(d)14
(e) 4
13. (MACKENZIE) A equação (3k−1)x2− (2k+3)x+(k−4) = 0, em x, com k 6= 13
, admiteduas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumiré:
(a) 2(b) 3
(c) 4(d) 5
(e) 6
14. (UFV) As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadaspelas raízes da equação x2−9x+20 = 0. A área desse triângulo é:
(a) 10(b) 6
(c) 12(d) 15
(e) 20
15. (UFMG) A função f (x)= x2+bx+c, com b e c reais, tem duas raízes distintas pertencentesao intervalo [−2,3]. Então, sobre os valores de b e c, a única afirmativa correta é:
(a) c <−6(b) c > 9(c) −6 < b < 4(d) b <−6(e) 4 < b < 6
16. (UFMG) Seja P(x) = x3 +(k−3)x2 +(2− k)x− (6+6k), em que k é um número real.
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1.7 Exercícios de vestibular 21
(a) Mostre que o número 3 é raíz de P(x) para todo número real k;(b) Determine todos os valores de k para os quais as raízes de P(x) sejam todas reais.
17. (UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x2 +mx+8 sejatangente ao eixo do x. Faça o gráfico da solução (ou das soluções) que você encontrar parao problema.
18. (FAAP) Analistas de produção verificaram que numa determinada montadora o número depeças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:
f (t) ={
50(t2 + t), para 0≤ t ≤ 4200(t +1), para 4≤ t ≤ 8
O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é:
(a) 1000(b) 800
(c) 200(d) 400
(e) 600
19. (MACKENZIE) Na função real definida por f (x) = x2 + 2mx− (m− 2), sabe-se que:f (a) = f (b) = 0, em que a < 1 < b.Então, em U = {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}, o número de valores que m pode assumir é:
(a) 1(b) 2
(c) 3(d) 4
(e) 9
20. (UNICAMP)(a) Encontre as constantes a, b e c de modo que o gráfico da função y = ax2 +bx+ c
passe pelos pontos (1,10), (−2,8) e (3,12);(b) Faça um gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais.
21. (CESGRANRIO) Determine o parâmetro m na equação x2 +mx+m2−m− 12 = 0, demodo que ela tenha uma raíz nula e outra positiva.
22. (VUNESP) Considere a função:
f (x) =(
14a
)x2 + x+a,
em que a é um número real não nulo. Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser ográfico dessa função.
(a) (b)
(c) (d)
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22 Funções do 2o grau
(e)
23. (FUVEST) A função f (x), definida para −3≤ x≤ 3, tem o seguinte gráfico:
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
em que as linhas ligando (−1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta. Supondoa≤ 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) = a(x2−4) intercepta o gráficode f (x) em exatamente 4 pontos distintos?
(a) −12< a < 0
(b) −1 < a <−12
(c) −32< a <−1
(d) −2 < a <−32
(e) a <−2
24. (UEMA) O gráfico da função f (x) = mx2− (m2−3)x+m3 intercepta o eixo x em apenasum ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é:
(a) -3(b) -4
(c) -2(d) 2
(e) -1
25. (UNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinadohotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preçode cada passagem é de R$20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida aimportância de R$1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa deônibus, em cada viagem, é dado pela função f (x) = (40− x)(20+ x), em que x indica onúmero de lugares vagos (0≤ x≤ 40). Determine:
(a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que aempresa obtenha faturamento máximo;
(b) qual é o faturamento máximo em cada viagem.
26. (UFMS) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio em repouso, o número Nde batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t, em grauscelsius, segundo a função N = 0,1t2−4t +90. Com base nessas informações, calcule:
(a) a temperatura em que o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo;(b) o número mínimo de batimentos cardíacos por minuto;(c) o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia que está
dormindo, quando a temperatura ambiente for de 30oC.
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1.7 Exercícios de vestibular 23
27. (UFOP) Em relação ao gráfico da função f (x) =−x2 +4x−3, pode-se afirmar:(a) é uma parábola de concavidade voltada para cima.(b) seu vértice é o ponto V (2,1).(c) intercepta o eixo das abscissas em P(−3,0) e Q(3,0).(d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.(e) intercepta o eixo das ordendas em R(0,3).
28. (ACAFE) Seja uma função f (x) = x2−2x+3 de domínio [−2,2].O conjunto-imagem é:
(a) [0,3](b) [−5,4](c) ]−∞,4]
(d) [−3,1](e) [−5,3]
29. (UFSM) A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vérticena reta que passa pelos pontos A(0,12) e B(8,0).
x
y
A(0,12)
B(8,0)
P(x,y)
0
As dimensões x e y do retângulo para que sua área seja máxima devem ser, respectivamente,iguais a:
(a) 4 e 6
(b) 5 e92
(c) 5 e 7(d) 4 e 7
(e) 6 e 3
30. (UFMG) Observe a figura:
x
y
5
V-5
0
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V , gráfico de função do segundo graucuja expressão é:
(a) y =(
x2
5
)−2x
(b) y = x2−10x(c) y = x2 +10x
(d) y =(
x2
5
)−10x
(e) y =(
x2
5
)+10x
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24 Funções do 2o grau
31. (FGV) A área do quadrado ABCD é 4cm2. Sobre os lados AB e AD do quadrado sãotomados dois pontos M e N, tais que AM +AN = AB. Desse modo, o maior valor quepode assumir a área do triângulo AMN é:
A
B C
D
M
N
(a)14
cm2 (b) 2cm2
(c)12
cm2
(d) 4cm2
(e)18
cm2
32. (ENEM) A empresa WQTU Cosmético vende uma quantidade x de determinado produto,cujo custo de fabricação é dado por 3x2 + 232, e o seu valor de venda é expresso pelafunção 180x−116. A empresa vendeu 10 unidades do produto, contudo a mesma desejasaber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo.Considerando que o lucro obtido é dado pela diferença entre os valores de venda e custo, aquantidade de unidades a serem vendidas para se obter lucro máximo é:
(a) 10(b) 30
(c) 58(d) 116
(e) 232
33. (UNIRIO) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas são, em metros, expressas por x, 20− x e 2. O maiorvolume que esta piscina poderá ter, em m3, é igual a:
(a) 240(b) 220
(c) 200(d) 150
(e) 100
34. (UDESC) Seja ABCD um quadrado de área unitária, são tomados dois pontos P ∈ AB eQ ∈ AD, tais que |AP|+ |AQ|= |AD|. Calcule o maior valor para a área do triângulo APQ.Como seria tratado esse problema, se fosse pedido para calcular a menor área?
A B
CD
Q
P
35. (UFMG) O ponto de coordenadas (3,4) pertence à parábola de equação y = ax2 +bx+4.A abscissa do vértice dessa parábola é:
(a)12
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1.7 Exercícios de vestibular 25
(b) 1
(c)32
(d) 2
36. (FUVEST) Considere a função f (x) = x√(1−2x2)
(a) Determine constantes reais a,b e g de modo que ( f (x))2 = a[(x2 +b)2 +g](b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados
paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação 2x2 + y2 = 1
37. (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definidapor f (x) = (2x−1)(3− x), é o par ordenado (a,b). Então, a−b é igual a:
(a)−39
8(b)−11
8
(c)38
(d)118
(e)398
38. (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dadopor: C = 2510− 100n+ n2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter ocusto mínimo?
39. (FUVEST) No triângulo ABC, AC = 5cm, BC = 20cm e cosα =35
.
N P CB
AQM
α
O maior valor possível, em cm2, para a área do retângulo MNPQ, construído conformemostra a figura acima, é:
(a) 16(b) 18
(c) 20(d) 22
(e) 24
40. (FGV-adaptado) Quando uma pizzaria cobra R$14,00 por pizza, 80 unidades são vendidaspor dia. Quando o preço é R$12,00 por pizza, 90 unidades são vendidas. Admitindoque a quantidade vendida (y) seja função do 1o grau do preço (x), dada pela expressãoy =−5x+150, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita diária?
41. (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descritaem função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t−3t2, em que h é a alturaatingida em metros.
(a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?(b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
42. (FGV) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade defrequentadores (x) por sessão atráves da relação: p =−0,2x+100.
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26 Funções do 2o grau
(a) Qual a receita arrecadada por sessão caso o preço do ingresso seja de R$60,00?(b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão?
Observação: receita=(preço)·(quantidade)
43. (FGV) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x2 + 30x− 5, em que x é aquantidade mensal vendida.
(a) Qual o lucro mensal máximo possível?(b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a
195?
44. (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f : [−7,10]→ R definida por f (x) =x2−5x+9?
45. (FAAP) Com relação ao gráfico da função f (x) = 2(x− 1)2− 4 são feitas as seguintesafirmações.
I. É uma parábola com concavidade para cima.II. É uma parábola cujo vértice é o ponto (−2,4).
III. O ponto de intersecção com o eixo y é (0,−2).Nessas condições:
(a) Somente a afirmação I é verdadeira.(b) Somente a afirmação III é verdadeira.(c) As afirmações I, II e III são verdadeiras.(d) As afirmações I e III são verdadeiras.(e) As afirmações II e III são verdadeiras.
46. (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de umaunidade de certo produto é x− 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. Aquantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, iguala 70− x.Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente,uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:
(a) 1200(b) 1000
(c) 900(d) 800
(e) 600
47. (UEL) Seja a função f , de R em R, dada pelo gráfico seguinte,
x
y
1,5
-1 310
O conjunto-imagem de f é:(a) R(b) {y ∈ R | 0≤ y≤ 1,5}
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1.7 Exercícios de vestibular 27
(c) {y ∈ R | 0≤ y≤ 1,8}(d) {y ∈ R | y≤ 2}(e) {y ∈ R | y≤ 1,8}
48. (UFRJ) Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um ventocom velocidade v [km/h] na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de(300+ v) [km/h]. Se o avião se desloca em sentido contrário ao do vento, sua velocidadeé de (300− v) [km/h].Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida,consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento sejaconstante e tenha a mesma direção que a do movimento do avião. Determine:
(a) d como função de v.(b) para que valor de v a distância d é máxima.
49. (UNESP) Seja a função y = x2−2x−3. O vértice V e o conjunto-imagem da função sãodados, respectivamente, por:
(a) V (1,4), Im = {y ∈ R | y≥ 4}(b) V (1,−4), Im = {y ∈ R | y≥−4}(c) V (1,4), Im = {y ∈ R | y≤ 4}(d) V (1,−4), Im = {y ∈ R | y≤−4}(e) V (1,1), Im = {y ∈ R | y≥ 1}
50. (UFLA-MG) O conjunto de todos os valores reais de X , para os quais o gráfico de P(X) =8−X2 está acima do gráfico de Q(X) = 3X2 (isto é, P(X)> Q(X)) é:
(a) −√
2 < X <√
2(b) X >
√2
(c) 0≤ X ≤√
2
(d) −2 < X < 2(e) −2≤ X ≤ 2
51. (PUC) Considere a função do 1o grau f , de R em R, definida por:
f (x) =(
m2−3m1−m
)x+1,
onde m ∈ R. Para que valores de m essa função é decrescente?
52. (UNIRIO) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2cm. Se asua área é menor ou igual a 24cm2, então o valor de x, em cm, será:
(a) 0 < x < 6(b) 0 < x≤ 4
(c) 2 < x≤ 6(d) 2 < x < 6
(e) 2 < x≤ 4
53. (UNICAMP) O índice I de massa corporal de uma pessoa adulta é dado pela fórmula,I = M/h2 em que M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a altura da pessoa,em metros. O índice I permite classificar uma pessoa adulta, de acordo com a seguintetabela:
(a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 64,0kg e cuja altura 1,60m.Classifique-a segundo a tabela anterior.
(b) Qual é a altura mínima para que um homem cuja massa é de 97,2kg não sejaconsiderado obeso?
Uso
excl
usiv
ode
Nom
edo
Clie
nte
-CPF
:000
.000
.000
-00
28 Funções do 2o grau
Homens Mulheres Classificação20≤ I ≤ 25 19≤ I ≤ 24 Normal25≤ I ≤ 30 24 < I ≤ 29 Levemente obeso
I > 30 I > 29 Obeso
54. (MACKENZIE) O domínio da função real definida por:
f (x) = 3√[(x2−2x+6)/(x2−5x+6)]
é:
(a) R\{2,3}(b) R∗(c) R
(d) R∗ \{2,3}(e) R\{−2,−3}
55. (VUNESP) Resolva o sistema:{3 < 2xx2−4x+3≥ 0
56. (UFMG) Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 2n2−75n+700≤ 0. Assimsendo, é correto afirmar que:
(a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4.(b) apenas dois dos elementos de M são primos.(c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79.(d) M possui exatamente seis elementos.
57. (UNIFENAS) Para que valores de m, a equação 4x2− 4mx+(4m− 3) = 0 não admiteraízes reais?
(a) m ∈ R | 1 < m < 3(b) ∀m, m ∈ R(c) m ∈ R | m < 1 ou m > 3(d) m > 0(e) nenhum valor real de m
58. (MACKENZIE) Se 2x2−ax+2a > 0, qualquer que seja x ∈ R, o maior valor inteiro que apode assumir é:
(a) 15(b) 16
(c) 18(d) 20
(e) 22
59. (CESGRANRIO) A solução da inequação x >(
1x
)é:
(a) −1 < x < 0 ou x > 1(b) x <−1 ou x > 1(c) x > 1
(d) x > 0(e) x >−1
60. (FUVEST) O conjunto de soluções, no conjunto R, dos números reais, da inequação[x
(x+1)
]> x é:
Uso
excl
usiv
ode
Nom
edo
Clie
nte
-CPF
:000
.000
.000
-00
1.7 Exercícios de vestibular 29
(a) vazio(b) R(c) {x ∈ R | x < 0}
(d) {x ∈ R | x >−1}(e) {x ∈ R | x <−1}
61. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de x2−2x−35 < 0 é:
(a) −5(b) −4
(c) −3(d) −2
(e) −1
62. (CESGRANRIO) As soluções de(x2−2x)(x2 +1)
> 0 são os valores de x que satisfazem:
(a) x < 0 ou x > 2(b) x < 2(c) x < 0
(d) 0 < x < 2(e) x > 2
63. (PUC) No universo R, o conjunto-solução da inequação(x−3)(3x− x2)
< 0 é:
(a) {x ∈ R | x > 0}(b) {x ∈ R | x > 3}(c) {x ∈ R | x < 0 ou x > 3}
(d) {x ∈ R | 0 < x < 3}(e) {x ∈ R | x > 0 e x 6= 3}
64. (FAAP) A variação de temperatura y = f (x) num intervalo de tempo x é dado pela funçãof (x) = (m2−9)x2 +(m+3)x+m−3; calcule m de modo que o gráfico da função sejauma parábola com a concavidade voltada para baixo.
(a) −3≤ m≤ 3(b) m > 3 e m <−3(c) −3≤ m < 3(d) −3 < m≤ 3(e) −3 < m < 3
65. (FGV) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3,−4). Sabe-seque 2 é uma raíz da função.
(a) Obtenha a expressão da função f .(b) Para que valores de x tem-se f (x)> 0?