1.-fundamentos de elasticidad

27/04/2023

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIASFÍSICA AVANZADA

ELASTICIDAD

Autor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora

Trujillo-2014Segundo L. Gallardo Zamora 1

La elasticidad es el estudio del grado de deformaciones (transito-rias o permanentes) que sufren los cuerpos bajo la acción de fuerzas externas.

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27/04/2023 2Segundo L. Gallardo Zamora

Estas deformaciones se deben a variaciones de las posiciones relativas de las moléculas o enlaces interatómicos de los átomos de un cuerpo, bajo la acción de fuerzas mecánicas externas que pueden producir: tracción, compresión,o torsión.

Figura 1. Como mode-lo simplificado de las deformaciones de un cuerpo, consideremos las variaciones de las dimensiones relativas de los enlaces, repre-sentados mediante re-sortes que unen áto-mos y moléculas

F

-F

Deformación por

compresión

-F F

a) Deformación por tracción

Deformación por torsión

En las Fig.2, Fig. 3 y Fig.4, se muestran algunos tipos de deforma-ciones que realizamos o vemos en la vida práctica

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Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elástico o que tuvo una deformación transitoria.

Figura 2. Deformación por Estiramiento (tracción)

Figura 3. Deformación por aplastamiento (compresión)

Figura 4. Deformación por torsión

En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plástico o que tuvo una deformación permanente

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Los cuerpos de comportamiento plástico pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre estos, tal como se muestra en la Fig.5, con un vehículo deformado por la colisión o un CD deformado por torsión hasta romperlo.

Figura 5. Deformación Permanente y rotura

Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo). Es la relación entre la fuerza deformadora y el área de la superficie sobre la cual actúa. Se represente por la letra griega épsilon minúscula:

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Unidades: N/m2, din/cm2 , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2

Deformación (Tensor de Deformación o deformación unitaria).

La deformación es un número sin unidades

Esfuerzo = FuerzaÁrea

Deformación = = Variación de la dimensión

Dimensión inicial

= FA (1)

Es la medida del grado de deformación que sufre una determina-da dimensión del cuerpo cuando es sometida a un esfuerzo. Se representa por la letra griega delta minúscula:

Según la dimensión que se tome en cuenta, la deformación puede ser de varios tipos.

I. Deformación longitudinal. Es la deformación que sufre la di-mensión paralela a la dirección de la fuerza deformadora (por estiramiento o compresión).

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Deformación longitudinal =Variación de la longitud Longitud inicial

Ejemplo 1. En la Fig.6 y Fig.7 se muestra un cable cilíndrico deformado por estiramiento.

Figura 6. Cable sujeto a estiramiento por tensión

F = Tensión = T

F = m g

L = =L – L0

L0

D L L0

(2)

D

Do

A

LLo

F

F

Figura 7. En vista ampliada el cable es deformado longitudinal y transversalmente.

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En todos los cuerpos, la deformación en una determinada dimensión implica también deformaciones en las dimensio-nes transversales a la dirección de la fuerza, tal como se ilustra en la Fig.7 para el diámetro de un cable cilíndrico.

Deformación transversal = Variación de la dimensión transversal Dimensión transversal inicial

II. Deformación transversal. Es la deformación que sufre la di-mensión transversal (perpendicular) a la dirección de la fuerza deformadora.

T = =D – D0

D0

D D D0

(3)

Por ejemplo, en la varilla cilíndrica de la Fig.7, la deforma-ción transversal es definida por el diámetro. Por lo tanto:

Razón de Poisson. Es la relación entre la deformación transversal y la deformación longitudinal. Se representa por la letra griega sigma minúscula:

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Razón de Poisson = Deformación transversalDeformación longitudinal

= - = -DD / D0

D L / L0

D D Lo

D L D0

(4)

Para una barra cilíndrica de diámetro Do y longitud Lo iniciales, como el de la Fig.7, la razón de Poisson es:

La razón de Poisson es un número sin unidades y el signo negativo permite cancelar el signo negativo que puede surgir en la deformación lineal o en la deformación transversal. Su valor puede estar entre 0,0 y 0,5.Pregunta. ¿Cómo definiría: a) la defor-mación longitudinal, b) la deformación transversal y c) la razón de Poisson de la barra rectangular de la Fig.8, some-tida a la fuerza deformadora F paralela a la arista b.

Figura 8.

aobo

co

- F F

III. Deformación por torsión (corte o cizalladura). Es la deforma-ción o desplazamiento que sufren los planos o capas de un cuerpo por efecto de una fuerza tangencial que produce un torque.

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Ejemplo 3. La deformación por torsión que sufre el alambre atado a un disco, como el de la Fig.9, se mide mediante el pequeño ángulo que gira el disco por acción del torque .

Figura 4

IV. Deformación volumétrica. Es la deformación del volumen de un cuerpo como consecuencia de la variación de la presión externa que actúa sobre el cuerpo.

c = Tan (5)

Deformación por Corte Cizalladura o Torsión

Tangente del ángulo de la deformación por torsión=

Figura 9.

F

Alambre

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Módulo de Elasticidad.El módulo de elasticidad se define como la razón entre el esfuerzo y la correspondiente deformación.

Figura 10. Submarino sujeto a deformación volumétrica por la presión del agua

Agua

F = DP A

Módulo de Elasticidad = = EsfuerzoDeformación

(7)

Deformación Volumétrica = Variación del volumen Volumen inicial

V = =V – V0

V0

D V V0

(6)

ELASTICIDAD


El módulo de elasticidad es una constante característica del material del cual esta hecho un cuerpo. En un gráfico del esfuerzo vs la deformación, el módulo de elasticidad es igual a la pendiente del gráfico como se muestra en la Fig.11.

Límite elástico

Límite de rupturaEs

fuer

zo

Deformación

Comportamien

to

elástic

o

Figura 11

Tipos de módulos.Módulo de Young.

Este módulo mide la resistencia de un sólido a un cambio de longitud.

La relación lineal entre y se denomina la Ley de Hooke y es válida dentro del límite de elasticidad. Luego:

EsfuerzoDeformación

= constante

Esfuerzo = (const) Deformación

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Unidades: N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2

Módulo de Young = Esfuerzo longitudinal

Deformación longitudinal

F/A

DL/Lo

Y = L

Y = (8)

Módulo de Torsión (Corte, Rigidez o Cizalladura) Este módulo mide la resistencia que presentan los planos (o capas) de un sólido a ser desplazados unos con respecto a otros por acción de una fuerza tangencial que actúa sobre la superficie del cuerpo.

Para una varilla cilíndrica como la de la Fig.12, el módulo de Young es:

D

Do

A

LLo

F

F

Figura 12.

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27/04/2023 Segundo L. Gallardo Zamora

Ejemplo 4. Para la fuerza F, que actúa tangen-cialmente a la superficie de área A, deformando el bloque de la Fig.13, se tiene que: h

A F

Dx

-F

Figura 13

Esfuerzo por corte = c =

F A

Módulo de Torsión

Esfuerzo por torsión Deformación por

torsión= G =

c = rad.Entonces:

Si el ángulo de deformación es pequeño: Tan rad.

13

y la deformación por corte es: c = Tan = D x / h (9)

ELASTICIDAD


Por lo tanto, el módulo de corte se define como:

Módulo Volumétrico.

Mide la resistencia que presentan los sólidos o líquidos a cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de presión.

G =

F / A

(10)

Módulo Volumétrico

Esfuerzo volumétricoDeformación Volumétrica= B =

Donde el esfuerzo volumétrico, según la Ec.(1), sería:

Que no es sino, la variación de presión que al actuar sobre un cuerpo hace cambiar su volumen.

F A v = = D P (11)

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Módulo Volumétrico = B = - D PD V / Vo

Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-) en la expresión anterior para cancelar el signo (-) que puede surgir en D P o en DV.

B = - Vo ( ) D PD V

(13)

Y por definición, la deformación volumétrica es:

Por lo tanto:

Las unidades del módulo volumétrico son iguales a las del módulo de Young. N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2

F

FF

F

F

A

Figura 14

vo

v

En la Fig. 14 se muestra el cambio de volu-men DV en un paralelepípedo debido a la variación de presión DP.

v =D V Vo

(12)

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La unidades del módulo de compresibilidad son el inverso de la unidades del módulo volumétrico

Los valores de los módulos de elasticidad y la razón de Poisson, para diversos materiales, se encuentra en los textos de Física, tal como se muestran en la Tabla 1.

m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbf

K = = - ( ) D V D P

1 B

1Vo

(14)

Módulo de Compresibilidad.

Este módulo se define como el inverso del módulo volumétrico

TABLA 1. Módulos de Elasticidad y razón de Poisson de algunos materiales


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Material Módulo de Young N/m2 Módulo de Corte N/m2

Módulo Volumétrico N/m2

Razón de Poisson

Acero 21 x 1010 8,1 x 1010 16 x 1010 0,30

Aluminio 6,8 x 1010 2,5 x 1010 7,0 x 1010

Bronce 9,1 x 1010 3,5 x 1010 6,1 x 1010

Cobre 10,8 x 1010 4,2 x 1010 14 x 1010

Cuarzo 5,6 x 1010 2,6 x 1010 2,7 x 1010

Estaño 4,5 x 1010 1.67 x 1010 5,1 x 1010

Latón 4,6 x 1010 3,5 x 1010 6,1 x 1010

Oro 7,6 x 1010 2,8 x 1010 16,6 x 1010

Plata 7,4 x 1010 2,8 x 1010 10,9 x 1010

Vidrio 6,5 - 7,8 x 1010 2,6 – 3,2 x 1010 5,0 – 5,6 x 1010

Mercurio ---------------- ---------------- 2,8 x 1010 ----------------

Agua ---------------- ---------------- 0,21 x1010 ----------------

Glicerina ---------------- ----------------- 4,5x109 ----------------

Relaciones entre módulos de elasticidad.

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Usando la Tabla 1, se puede verificar que en cuerpos Isotrópi-cos (de igual propiedad en todas direcciones) y Homogéneos (igual densidad) los tres módulos de elasticidad y la razón de Poisson se relacionan mediante la expresión:

Y = 3 B ( 1 – 2 ) = 2 G ( 1 + ) (15)

Ejemplo 1Un alambre de 100 cm de longitud y 0,64 cm de radio es sujetado en su extremo superior y tiene una carga de 1,2 kgf en su extremo inferior. Si el módulo de Young es 9,0x1011 din/cm2 y la razón de Poisson es 0,30, calcular: a) la deformación por extensión, b) la disminución en el radio y c) la disminución en el área de la sección transversal del alambre.Datos: L = 100 cm = 1,00 m; ro = 0,64 cm = 0,0064 m; F = 1,2 kgf = 11,772 N; Y = 9,0x1011 din/cm2 = 9,0x1010 N/m2 y = 0,30

Por ejemplo: La razón de Poisson del acero, se ha obtenido usando la relación: = (Y/2G) – 1 = (21x1010/2x8.1x1010) – 1 = 0,2962… 0,30

Solución

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19Segundo L. Gallardo Zamora


a) La deformación por extensión L = DL/Lo , se puede obtener del módulo de Young es: Y = (F/A)/(DL/Lo)

de donde L = (DL/Lo) = F/AY

Donde el área de la sección transversal es: A = (0,0064)2 = 1,29x10-4 m2

Entonces: L = (11,772/[(1,29x10-4 )(9,0x1010 )]

L = 1,01x10-6 b) La disminución en el radio se obtiene de = – (DD/Do)/(DL/Lo),

de donde: DD = – Do(DL/Lo) = – Do L y como D = 2 r, se demuestra que: DD = 2Dr = – 2 ro L

Entonces: Dr = – ro L = -(0,30x0,0064x1,01x10-6 )

= - 1,9x10-9 m c) La disminución en la sección transversal del área es: DA = (r2

– r2o) = [(ro + D r )2 – r2

o] ≈ 2 ro Dr

Esta expresión se obtiene cuando, en el cálculo de DA, no se consideran potencias de segundo o mayor orden en (D r), por ser una cantidad muy pequeña.

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Un martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20 [m/s] en un clavo de acero de 2,5 [mm] de diámetro. Rebota con una rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. ¿Cuál es la deformación longitudinal promedio del clavo durante cada impacto?

Ejemplo 2

Datos: m = 0,300 kg; V1 = 20 m/s; Do= 2,5 mm = 2,5 x10-3 m; V2 = 10 m/s; Dt = 0,11 s, Y = 21x1010 N/m2.Solución.La deformación por compresión es L = DL/Lo , y como el módulo de Young es: Y = (F/A)/(DL/Lo)Entonces : L = (DL/Lo) = F/AY

Por lo tanto, usando valores se tiene: DA ≈ (2)( )(0,0064)(-1,9x10-9) = -7,6x10-11 m2

Para calcular la fuerza usamos la relación entre impulso y mo-mento lineal: FDt = m Dv.

F = m Dv/Dt.

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Ejemplo 3Dos placas metálicas se mantienen juntas por medio de cuatro remaches de diámetro 0,50 cm, como se muestra en la Fig.16. Si el esfuerzo máximo de corte que puede soportar cada remache es de 3,0x108 N/m2. ¿Cuánta fuerza paralela a las placas es necesaria aplicar para desprender los remaches?Datos: D = 0,50 cm = 0,0050 m; c = 3,0x108 N/m2

Donde el cambio de velocidad se obtiene usando la Fig.14. Dv = v2 – v1 = (10 j-(-20 j)) = 30 j = 30 m/s Entonces: F = 0,300(30)/0,11 = 81,8 Ny como A = ()(2,5 x10-3 )2 /4 = 4,9x10-6 m2 Finalmente: L = 81,8/[(4,9x10-6)(21x1010)] = 7,9x10-5

v1 v2

Figura 15

Y

Xj

i

Solución

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El esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es: c = FT /A

y para “n” remaches es: F = n A , con A = D2/4

Ejemplo 4Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la presión atmosférica normal. (1,013x105 Pa). Calcular el cambio de radio “a” de la esfera si: a) es llevada a la luna (presión esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fondo del océano, donde la presión es de 8,0x107 Pa. (Pa = N/m2)

Usando valores: F = 4(3,0x108)() (0,0050)2 /4 = 2,4x104 N

De donde la fuerza tangencial o paralela que se aplica a las placas para desprender un remache es: FT = c A

-FT

remache

Figura 16

FT

FTA-FT

Datos: ro = 10,0 cm = 0,100 m; Po = 1,013x105 Pa = 1,013x105 N/m2 = 1 atm; P1 ≈ 0, P2 = 8,0 x107 Pa y Bvidrio = 5,6x1010 N/m2

ELASTICIDAD



Solucióna) El cambio en el radio en la Luna se obtiene del módulo volu-

métrico: B = – Vo DP/DV. de donde: DV = – Vo DP/B. Pero: DV = (4/3)(r3 – r3

o) ≈ 4 r2o Dr

por lo tanto: DV = – (4/3)ro

3 (P – Po)/B = 4 ro2

Dr que simplificando se tiene: Dr = – (ro/3)(P – Po )/B

b) Esta pregunta queda como ejercicio para el alumno.

Usando valores se tiene: Dr = – (0,100/3)(0 – 1,013x105)/5,6x1010 )

Dr = 6,03x10-8 m (Esto es un aumento del radio)

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EJERCICIO EL-01

4. Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un cable cuya diá-metro es 2,54 cm. ¿Cuál es el esfuerzo en el cable?

5. Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105 kgf/m2 producido por un peso de 4,80 kgf. ¿Cuál es el diámetro del alambre?

3. Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta alcanzar una longitud de 35.07 cm. ¿Cuál es la deformación lineal del alambre?

6. Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m de longitud soporta una carga que la comprime longitudinalmente en 6,25 mm. ¿Cuál es la magnitud de la carga?

7. Un semáforo de 50 kgf es sostenido mediante dos cables iguales de acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables forman un ángulo de 14° con la horizontal, ¿cuál es la deformación longitudinal y la deformación transversal del alambre?

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1. Definir el esfuerzo y la deformación producida en una varilla de sección transversal rectangular cuando es sometida a una fuerza de tracción.

2. Completar los valores de la razón de Poisson de la Tabla 1, (Diap. 17) usando una de las relaciones de la Ec. 15 (Diap. 18)

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8. Un cubo de latón de 6 cm de lado es sometido a una fuerza uniforme de 2,5x102 N en cada una de sus caras. Calcular la deformación volumétrica del cubo.

9. Demostrar que, cuando un esfuerzo cortante c deforma un cuerpo en un ángulo , el trabajo por unidad de volumen es ½ c y que, cuando un esfuerzo uniforme F produce una deformación volumétrica Dv, el trabajo por unidad de volumen realizado es ½ P DV

10. Un torque de 24,53 N.m, aplicado en el extremo de una varilla cilíndrica de 1,25 cm de diámetro y 60,6 cm de longitud, le produce una torsión de 2° cuando el otro extremo es mantenido fijo. Encontrar: i) el módulo de rigidez de la varilla y ii) el trabajo realizado en esta deformación

11. Un bloque cúbico como el de la Fig.13 (Diapos.14) es sometido a una tensión uniforme F perpendicular a un par de caras opuestas. Demostrar que: i) la deformación volumétrica del cubo es aproximadamente: v = L (1 - 2 ) y ii) el decremento fraccionario en el área de la sección transversal, sobre la que actúa F, es aproximadamente (DA/Ao ) = 2 L

FIN

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