1. gaia: aljebra lineala eta geometria4 1. gaia. aljebra lineala eta geometria. 1.2. irudia....

1. GAIA:

Aljebra lineala eta Geometria

Matematika Aplikatua,

Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila

Zientzia eta Teknologia Fakultatea

Euskal Herriko Unibertsitatea

Aurkibidea

1. Aljebra lineala eta Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Espazio bektoriala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espazio tridimentsionaleko bektoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Biderkadura eskalarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Biderkadura bektoriala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Propietateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Biderkadura nahasia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3. ~b× ~c-ren interpretazio geometrikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Aplikazio geometriko batzuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Triangelu baten azalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2. Paralelepipedo baten bolumena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3. Zuzenaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4. Planoaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.5. Puntu batetik plano baterako distantzia . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Espazio euklidear n-dimentsionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.1. IRn-rako eragiketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Aljebra matrizialaren oinarrizko kontzeptuak . . . . . . . . . . . . . 251.7.1. Matrizeen biderketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7.2. Aplikazio linealak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.3. 2× 2 eta 3× 3 matrizeak eta haien determinanteak . 281.7.4. n× n matrize baten determinantea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.5. Determinanteen propietate nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.6. Determinantea kalkulatzeko beste metodo batzuk . . . 33

1.7.6.1. Chio-ren erregela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7.6.2. Matrize bat triangeluar bihurtzea . . . . . . . . . . . 34

1.7.7. Matrize motak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.8. Alderantzizko matrizea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.8.1. Alderantzizko matrizearen propietate batzuk 381.7.9. Bektoreen eta matrizeen normak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7.10. Autobalioak eta autobektoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8. Ekuazio linealezko sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.8.1. Sistema linealen sailkapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.8.1.1. Rouche-Frobenius-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . 461.8.1.2. Gauss-en metodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8.1.3. Cramer-en erregela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.8.2. Aplikazioak: planoen eta zuzenen arteko posizioak . . . 511.8.2.1. IR3-ko bi zuzenen arteko posizioak . . . . . . . . . . . 511.8.2.2. IR3-ko bi planoren arteko posizioak . . . . . . . . . . 52

iii

1.8.2.3. IR3-ko planoen eta zuzenaren arteko posizioak 531.9. Gainazal koadrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.9.1. Elipsoidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.9.2. Hiperboloide azalbakarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.9.3. Azalbiko hiperboloidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.9.4. Konoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.9.5. Paraboloide eliptikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.9.6. Paraboloide hiperbolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.9.7. Zilindro parabolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.9.8. Zilindro eliptikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.9.9. Zilindro hiperbolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

iv

1. gaia

Aljebra lineala eta Geometria.

1.1. Espazio bektoriala.

Definizioa: E multzoa IR multzoarekiko espazio bektoriala da, baldinE multzoak propietate hauek betetzen baditu:

(A) Batuketarekiko honako hauek:0. ∀~a,~b ∈ E , ~a +~b ∈ E .1. ~a +~b = ~b + ~a, ∀~a,~b ∈ E .2. (~a +~b) + ~c = ~a + (~b + ~c), ∀~a,~b,~c ∈ E .3. Gai neutroa, ~0, existitzen da, non ~a +~0 = ~a, ∀~a ∈ E .4. Alderantzizko gaia, −~a, existitzen da, non ~a+(−~a) = ~0, ∀~a ∈ E .

(B) Zenbaki erreal batezko biderketarekiko honako hauek:0. ∀λ ∈ IR eta ∀~a ∈ E , λ~a ∈ E .

1. 1~a = ~a, ∀~a ∈ E .2. α(β~a) = (αβ)~a, ∀α, β ∈ IR, ∀~a ∈ E .

3. (α + β)~a = α~a + β~a, ∀α, β ∈ IR, ∀~a ∈ E .

4. α(~a +~b) = α~a + α~b, ∀α ∈ IR, ∀~a,~b ∈ E .

Bestalde, E-ko gaiei bektore deritzegu.

1.1. adibidea. (a) IRn = IR×. . .×IR multzoa espazio bektoriala da IR-rekiko, non horren bektoreak (a1, a2, . . . , an) n-kote ordenatuak baitira.(b) Pn(x) = {amxm +am−1x

m−1 + . . .+ . . .+a0 | m ≤ n, m ∈ IN}; hauda, n baino txikiago diren edo n-ren maila berdineko diren polinomioenmultzoa ere espazio bektoriala da IR-rekiko.

Definizioa: Izan bedi B = {~a1,~a2, . . . ,~an}, E espazioko bektoreenazpimultzoa (edo sistema), E-ko ~v bektorea B-ko bektoreen konbinaziolineala dela esaten da, baldin λ1, λ2, . . . , λn zenbaki errealak existitzenbadira, non ~v = λ1~a1 + λ2~a2 + . . . + λn~an baita.

1

2 1. gaia. Aljebra lineala eta Geometria.

1.2. adibidea. (a) ~a = (−5, 2,−6) ∈ E = IR3 bektorea, ~a1 = (2, 1,−6)eta ~a2 = (−3, 0, 2) bektoreen konbinazio lineala da. Izan ere, ~a = 2~a1 +3~a2. (b) ~a = 2x2 +x− 5 ∈ E = P2 bektorea, ~a1 = x2 +x eta ~a2 = x+5bektoreen konbinazio lineala da. Izan ere, ~a = 2~a1 + (−1)~a2.

Definizioa: Izan bedi B = {~a1,~a2, . . . ,~an}, E espazioko bektoreensistema bat, ~a1,~a2, . . . ,~an linealki askeak dira, baldin ez bada existitzen~0 bektorea sortzen duen konbinazio linealik, λ1 = λ2 = . . . = λn = 0salbu. Hori betetzen ez bada, ~a1,~a2, . . . ,~an linealki menpekoak dira.

1.3. adibidea. ~a1 = (2, 3, 0), ~a2 = (−1, 4, 2), ~a3 = (3,−5, 4), ~a4 =(1, 0,−2) linealki menpekoak dira. Izan ere, λ1~a1+λ2~a2+λ3~a3+λ4~a4 =~0 garatuz gero, ekuazio-sistema hau dugu:

2λ1 − λ2 + 3λ3 + λ4 = 03λ1 + 4λ2 − 5λ3 = 02λ2 + 4λ3 − 2λ4 = 0,

eta horrek infinitu soluzio dauka. Aldiz, ~a1 = (2, 3, 0), ~a2 = (−1, 4, 2)linealki askeak dira, zeren λ1~a1 + λ2~a2 = ~0 berdintzak sortzen duensistemaren soluzio bakarra λ1 = λ2 = 0 baita.

Definizioa: Izan bedi B = {~a1,~a2, . . . ,~an}, E espazioko bektoreensistema. Baldin ∀~v ∈ E B-ren konbinazio lineal bat existitzen bada ~v

bektorea sortzen duena, B sistema sortzaile deitzen zaio.

1.4. adibidea. ~ı = (1, 0, 0), ~ = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) bektoreensistemak IR3 espazio bektoriala sortzen duenez gero, B = {~ı,~,~k} IR3-ren sistema sortzailea da.

Definizioa: B bektoreen sistema bat E-ren sortzailea eta linealki askeabada, B-ri E-ren oinarria deritzogu.

1.5. adibidea. B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} IR3-ren sis-tema sortzailea da, baina ez da oinarri bat, zeren konbinazio lineal batexistitzen baita ~0 ematen duena, eta, ondorioz, ez da linealki askea.Aldiz, 1.4. adibideko B sistema bada IR3-ren oinarri bat; oinarri kano-niko deitzen zaio, hain zuzen ere.

Mat. Aplik., Estat. eta Iker. Op. Saila (UPV/EHU)

§1. 2. Espazio tridimentsionaleko bektoreak. 3

1.2. Espazio tridimentsionaleko bektoreak.

Marratu ditzagun bi zuzen perpendikular: x eta y ardatzak. Planoko P

puntuak (a, b) bikote ordenatuen bidez adierazten dira. a eta b zenbakieiP -ren koordenatu kartesiar deitzen zaie.

1.1. irudia. Planoko koordenatu kartesiarrak.

~v ∈ IR2 bektorea zuzenki zuzendua da. O koordenatu-jatorrian berejatorria dauka, eta P puntuan bere muturra. Hots, ~v = −−→

OP .

Beraz, planoko P (a, b) puntu bakoitzari ~v bektore bat dagokio; eta,alderantziz, ~v bektore bakoitzari planoko P (a, b) puntu bat dagokio.

Horrela, ~v bektorea (a, b)-rekin identifikatzen dugu, eta ~v = (a, b) idaz-ten. Horregatik, IR2-ko gaiak zenbaki erreal bikoteak direnez, bektoreakIR2-ko gaiak ere badira. a eta b ~v-ren osagaiak dira.

IR3 espazioko puntuak era antzeko batean adierazten dira. Marratuditzagun hiru zuzen perpendikular. Espazioko P puntuak (a, b, c) hiruko-te ordenatuen bidez adierazten dira. Kasu horretan, ~v = (a, b, c) bek-torea dugu, eta a, b eta c ~v-ren osagaiak dira. Askotan (a, b, c)-renordez (x, y, z) notazioa erabiltzen da.

IR zuzen erreala IR1-en bidez adieraz dezakegu. (x, y) bikote ordenatuguztien multzoa IR2-k adierazten du, eta (x, y, z) hirukote ordenatu guz-tien multzoa, IR3-k. Oro har mintzatzen denean IRn esaten da, n = 1, 2edo 3 izanik.



1.2. irudia. Espazioko koordenatu kartesiarrak.

IR-ko batuketa IR2-ra eta IR3-ra zabaltzen da. IR3-rako honako haudugu. Izan bitez (x1, y1, z1) eta (x2, y2, z2) hirukoteak, batuketa honeladefinitzen da:

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).

1.6. adibidea.

(1, 1, 1) + (2,−3, 4) = (3,−2, 5),

(x, y, z) + (0, 0, 0) = (x, y, z),

(1, 7, 3) + (2, 0, 6) = (3, 7, 9).

• (0, 0, 0) gaiari IR3-ko zero gaia deritzogu.

• (−x,−y,−z) gaiari (x, y, z) gaiaren aurkako deitzen diogu, eta

(x1, y1, z1)− (x2, y2, z2)

idazten da, (x1, y1, z1) + (−x2,−y2,−z2) idatzi ordez.Nola adierazten da ~b− ~a bektorea geometrikoki?~a + (~b− ~a) = ~b denez, ~b− ~a bektoreak ~a-ren muturrean du jatorria etab-ren muturrean, muturra.


§1. 2. Espazio tridimentsionaleko bektoreak. 5

Definizioa: Eskalar batezko biderketa: Izan bitez α zenbaki errealaeta (x, y, z) hirukotea, eragiketa honela definitzen da:

α(x, y, z) = (αx, αy, αz).

1.7. adibidea.

2(4, e, 1) = (2 · 4, 2 · e, 2 · 1) = (8, 2e, 2)

6(1, 1, 1) = (6, 6, 6)

1(x, y, z) = (x, y, z)

0(x, y, z) = (0, 0, 0)

(α + β)(x, y, z) = ((α + β)x, (α + β)y, (α + β)z) =

(αx + βx, αy + βy, αz + βz) = α(x, y, z) + β(x, y, z).

1.4. adibidean esan dugun bezala, {~ı,~,~k} bektoreen sistema IR3-kooinarri kanonikoa da. Beraz, IR3-ko ~v = (x, y, z) bada, honako haudugu:

~v = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = x~ı + y~ + z~k.

Adibidez, (2,3,2) puntuan bukatzen den bektorea 2~ı + 3~ + 2~k da.

1.3. irudia. (2,3,2)-ren adierazpena oinarri kanonikoarenbidez.



1.3. Biderkadura eskalarra.

Biderkadura horren bidez bi bektorek sortutako planoan eratzen dutenangelua (txikiena) kalkula dezakegu.Izan bitez ~a = a1~ı + a2~ + a3

~k eta ~b = b1~ı + b2~ + b3~k.

1.4. irudia. ~a eta ~b bektoreen arteko θ angelua.

Definizioa: ~a-ren eta ~b-ren biderkadura eskalarra, zeina ~a · ~b idaztenbaita, eta zenbaki erreal honen bidez definitzen da:

~a ·~b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3.

Propietateak: Definizio horretatik propietate batzuk ondorioztatzendira. Izan bitez ~a,~b,~c ∈ IR3 eta α, β ∈ IR.

(i) ~a · ~a ≥ 0;~a · ~a = 0 ⇐⇒ ~a = ~0.

(ii) α~a ·~b = α(~a ·~b) eta ~a · β~b = β(~a ·~b).(iii) ~a · (~b + ~c) = ~a ·~b + ~a · ~c eta

(~a +~b) · ~c = ~a · ~c +~b · ~c(iv) ~a ·~b = ~b · ~a.

Lehenengo propietatea frogatzeko, kontsidera dezagun ~a = a1~ı + a2~ +a3

~k. Orduan, a1, a2, a3 ∈ IR direnez, ~a ·~a = a21 + a2

2 + a23 ≥ 0 bete behar

da. Gainera, a21 + a2

2 + a23 = 0 da, baldin eta soilik baldin a1 = a2 =

a3 = 0 bada, alegia, ~a = ~0.Beste propietateen frogantzak ere erraz egiten dira.


§1. 3. Biderkadura eskalarra. 7

Bektoreen luzera: Pitagoras-en teorematik ~a = a1~ı + a2~ + a3~k bek-

torearen luzera√

a21 + a2

2 + a23 dela ateratzen da.

~a bektore baten luzerari norma deitzen zaio, eta ‖~a‖ idazten.

1.5. irudia. Bektore baten luzera.

• Ondorioz, ~a · ~a = a21 + a2

2 + a23 denez honako hau dugu:

‖~a‖ = (~a · ~a)1/2.

• 1 normadun bektoreari unitario deitzen diogu. Adibidez, ~ı,~ eta~k bektore unitarioak dira. Aipa dezagun zeroren desberdina denedozein ~a bektorerekiko ~a/‖~a‖ bektore unitarioa dela.

• ~a bektorea ‖~a‖ eskalarraz zatitzen dugunean ~a bektorea normalizatuegin dugula esaten da.

• Planoan~ıθ = (cos θ)~ı+(sin θ)~ bektore unitarioa definitzen da, zeinax ardatzarekin θ angelua eratzen baitu.

1.6. irudia. ~ıθ-ren koordenatuak.



Bistan denez, ‖~ıθ‖ = (cos2 θ + sin2 θ)1/2 = 1.

• Izan bitez ~a eta ~b bektoreak.~b−~a bektorearen definizioa kontuan hartuz honako hau dugu: ~a-renmuturretik ~b-ren muturrerako distantzia ‖~b− ~a‖ dela.

1.7. irudia. ~a-ren eta ~b-ren muturren arteko distantzia.

1.8. adibidea. Aurkitu ~ı-ren muturretik ~-ren muturrera dagoen dis-tantzia.

Ebazpena: ‖~−~ı‖ =√

(0− 1)2 + (1− 0)2 + (0− 0)2 =√

2.

1.1. teorema. Izan bitez ~a,~b ∈ IR3 bektoreak, eta izan bedi θ, 0 ≤ θ ≤π, haiek sortutako angelua. Orduan:

~a ·~b = ‖~a‖‖~b‖ cos θ.

Beraz ~a-ren eta ~b-ren arteko angelua honela adieraz dezakegu:

θ = arccos

(~a ·~b‖~a‖‖~b‖

)

~a eta ~b bektoreak ez badira zero.

Formula hori askotan erabiltzen da problema geometrikoetan.


§1. 3. Biderkadura eskalarra. 9

1.1. korolarioa. Cauchy-Schwarz-en desberdintza

Edozein ~a eta ~b bektoretarako honako hau betetzen da:

|~a ·~b| ≤ ‖~a‖‖~b‖,

non berdintza baitugu ~a eta ~b kolinealak direnean, edo bietariko bat zerodenean.

Frogantza: ~a eta ~b ez badira kolinealak, | cos θ| < 1 dugu eta des-berdintza hertsia betetzen da. Bi bektoreak kolinealak badira, θ = 0edo θ = π eta | cos θ| = 1.

1.9. adibidea. Aurkitu ~ı+~+~k eta ~ı+~−~k bektoreen arteko angelua.

Ebazpena: 1. teorema erabiliz, honako hau dugu:

(~ı + ~ + ~k) · (~ı + ~− ~k) = ‖~ı + ~ + ~k‖‖~ı + ~− ~k‖ cos θ.

Hortaz:1 + 1− 1 = (

√3)(√

3) cos θ.

Hortik:

cos θ = 1/3 ⇒ θ = cos−1(1/3) = 1.23 radian.

1.8. irudia. Bi bektoreren arteko angeluaren kalkulua.

• ~a eta ~b ez badira zero eta haien arteko angelua θ bada, hau dugu:

~a ·~b = ~0 ⇐⇒ cos θ = 0.



Beraz, bi bektore ez-nuluren arteko biderkadura eskalarra zero da,baldin eta soilik baldin bi bektoreak perpendikularrak badira. Bektoreperpendikularrak ortogonalak direla esaten da.

• Oinarri kanonikoaren bektoreak, hots, ~ı, ~ eta ~k, elkarrekiko orto-gonalak direnez eta haien luzera 1 denez, ortonormal deitzen zaie.Horrelako ezaugarriak betetzen dituen edozein sistemari ortonor-mal esaten zaio. Zero bektorea bektore guztiekiko ortogonala delajoko dugu.

1.9. irudia. ~ıθ eta ~θ bektore ortogonalak.

1.10. adibidea. ~ıθ = (cos θ)~ı + (sin θ)~ eta ~θ = −(sin θ)~ı + (cos θ)~bektoreak ortogonalak dira. Izan ere:

~ıθ · ~θ = − cos θ sin θ + sin θ cos θ = 0.

1.11. adibidea. Izan bitez ~a eta ~b bi bektore ortogonal ez-nulu. ~c

bektorea ~a-k eta ~b-k sortutako planoan badago, orduan badaude α etaβ eskalarrak, non ~c = α~a + β~b betetzen baita. Kalkulatu α eta β.

Ebazpena: ~a · ~c = ~a · (α~a + β~b) = α~a · ~a + β~a ·~b dugu.

~a eta ~b ortogonalak direnez, ~a ·~b = ~0. Beraz:

α =~a · ~c~a · ~a =

~a · ~c‖~a‖2 .

Era antzeko batean:

β =~b · ~c~b ·~b

=~b · ~c‖~b‖2

.


§1.4.1. Propietateak. 11

1.10. irudia. α-ren eta β-ren kalkulurako geometria.

• Adibide horretako α~a bektoreari ~a bektorean zeharko ~c-ren proiekziodeitzen zaio, eta β~b da haren proiekzioa ~b-n zehar.

1.4. Biderkadura bektoriala.

Izan bitez ~a = a1~ı + a2~ + a3~k eta ~b = b1~ı + b2~ + b3

~k IR3-ko bektoreak.~a-ren eta ~b-ren biderkadura bektoriala, zeina ~a×~b-ren bidez adieraztenbaitugu, bektore honen bidez definitzen da:

~a×~b = (a2b3 − b2a3)~ı + (b1a3 − a1b3)~ + (a1b2 − b1a2)~k,

edo, sinbolikoki,

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣.

• Gogoratu bi bektoreren biderkadura bektoriala beste bektore batdela.

1.12. adibidea. Aurkitu (3~ı− ~ + ~k)× (~ı + 2~− ~k).

Ebazpena:

(3~ı− ~ + ~k)× (~ı + 2~− ~k) =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

3 −1 11 2 −1

∣∣∣∣∣∣= −~ı + 4~ + 7~k.



1.4.1. Propietateak.

Izan bitez ∀~a,~b,~c ∈ IR3 eta ∀α ∈ IR. Orduan:

(i) ~a×~b = −(~b× ~a)

(ii) (α~a)×~b = α(~a×~b)

(iii) ~a ×~b = ~0 ⇐⇒ ~a = ~0 edo ~b = ~0 edo, ~a eta ~b paraleloakdira

(iv) ~a× (~b + ~c) = ~a×~b + ~a× ~c

Propietate horiek biderkadura bektorialaren definiziotik ondorioztatzendira.

• Ohartu ~a× ~a = −(~a× ~a) betetzen dela (i) propietateagatik. Beraz,~a× ~a = ~0.

• Zehazki,~ı×~ı = ~0, ~× ~ = ~0 eta ~k × ~k = ~0.

• Gainera,~ı× ~ = ~k, ~× ~k =~ı eta ~k ×~ı = ~,

zeina ~ı, ~ eta ~k ziklikoki permutatuz gogora baitezakegu.

1.11. irudia. ~ı, ~ eta ~k bektoreen zikloa.

1.4.2. Biderkadura nahasia.Izan bitez ~a, ~b eta ~c bektoreak.


§1.4.3. ~b× ~c-ren interpretazio geometrikoa. 13

~a · (~b × ~c) zenbaki errealari ~a-ren, ~b-ren eta ~c-ren biderkadura nahasiaderitzogu (ordena horretan). Erraz egiazta daiteke honela ere idatzdezakegula (egin frogantza ariketa gisa):

~a · (~b× ~c) =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣.

1.4.3. ~b× ~c-ren interpretazio geometrikoa.

Norabidea.- Eman dezagun ~a bektorea ~b eta ~c bektoreek sortutakoplanoan dagoela. Horrek honako hau esan nahi du: α eta β eskalarrakexistitzen direla, non ~a = α~b + β~c baita.

Beraz, biderkadura nahasiaren adierazpen matriziala kontuan hartuz,matrizeko lehenengo lerroa beste bi lerroen konbinazio lineal bat da.

Kasu horretan, ~a ordezkatuz, erraz ikusten da ~a · (~b × ~c) = 0 betetzendela. Hau da, ~b×~c bektorea ortogonala da ~b-k eta ~c-k sortutako planokoedozein bektorerekiko.

Luzera.- Erreparatu honako honi:

‖~b× ~c‖2 = (b2c3 − b3c2)2 + (b1c3 − c1b3)2 + (b1c2 − c1b2)2.

Adierazpen hori garatuz, honen berdina dela ikusten da:

(b21 + b2

2 + b23)(c

21 + c2

2 + c23)− (b1c1 + b2c2 + b3c3)2

= ‖~b‖2‖~c‖2 − (~b · ~c)2

= ‖~b‖2‖~c‖2 − ‖~b‖2‖~c‖2 cos2 θ = ‖~b‖2‖~c‖2 sin2 θ,

non θ ~b-ren eta ~c-ren arteko angelua baita, 0 ≤ θ ≤ π. Ondorioz,‖~b× ~c‖ = ‖~b‖‖~c‖| sin θ|.Bi emaitza horiek konbinatuz honako hau dugu:~b × ~c bektorea ~b-k eta ~c-k sortutako planoarekiko perpendikularra da,‖~b‖‖~c‖| sin θ| haren luzera izanik.



1.12. irudia. ~b× ~c-ren noranzkoa.

Zein da haren noranzkoa ~n1 ala −~n1?

Noranzkoa.- Aztertzeko ~b×~c-ren noranzkoa eskuineko eskuaren arauakontuan hartu behar dugu. Ebatzi ~k = ~ı × ~ bezalako kasu batzukegiaztatzeko.

1.13. irudia. Eskuineko eskuaren araua.

Oharrak:

1. ~b eta ~c kolinealak badira, sin θ = 0. Beraz: ~b × ~c = ~0 [gogoratubiderkadura bektorialaren (iii) propietatea].

2. Ez badira kolinealak, plano bat sortzen dute eta ~b×~c bektorea planohorrekiko perpendikularra da.

1.13. adibidea. Aurkitu ~ı + ~ eta ~ + ~k bektoreekiko ortogonala denbektore unitario bat.


§1.5.1. Triangelu baten azalera. 15

Ebazpena: ~ı +~ eta ~ +~k bektoreekiko perpendikularra da bektore hau:

(~ı + ~)× (~ + ~k) =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

1 1 00 1 1

∣∣∣∣∣∣=~ı− ~ + ~k.

‖~ı − ~ + ~k‖ =√

3 denez, (1/√

3)(~ı − ~ + ~k) bektorea unitarioa da, etaortogonala ~ı + ~ eta ~ + ~k bektoreekiko.

1.5. Aplikazio geometriko batzuk.

1.5.1. Triangelu baten azalera.

Beheko iruditik erraz ondorioztatzen denez, ~b × ~c-ren luzera —hots,‖~b‖‖~c‖| sin θ|— ~b eta ~c bektoreak albo-alde gisa dituen paralelo-gramoaren azalera da.

1.14. irudia. ~b×~c-ren luzera = paralelogramoaren azalera.

Ondorioz, espazioko hiru puntuk sortzen duten triangelu baten aza-lera erraz kalkula daiteke. Izan bitez ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3),~c = (c1, c2, c3) bektoreek adierazten dituzten espazioko puntuak (gogo-ratu puntu horien koordenatuak bektore horien osagaiak direla). Or-duan, puntu horiek sortzen duten triangeluaren azalera ~b−~a eta ~c−~a

bektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren erdia da. Beraz,triangeluaren azalera kalkulatzeko honako adierazpen hau erabil daiteke:

A =12‖(~b− ~a)× (~c− ~a)‖.



1.5.2. Paralelepipedo baten bolumena.

Izan bitez ~a = a1~ı+ a2~+ a3~k, ~b = b1~ı+ b2~+ b3

~k eta ~c = c1~ı+ c2~+ c3~k

IR3-ko bektoreak.~a, ~b eta ~c ertzak dituen paralelepipedoaren bolumena determinante ho-nen balio absolutua da:

D =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣.

Frogantza ariketa gisa geratzen da.

1.15. irudia. ~a-k, ~b-k eta ~c-k sortutako paralelepipedoa.

1.5.3. Zuzenaren ekuazioa.l zuzen baten ekuazioa kalkulatuko dugu, non ~v bektoreak zuzenarennorabidea adierazten baitu eta ~a bektoreak l zuzeneko puntu bat.

1.16. irudia. Zuzenaren ekuazio bektoriala.


§1.5.3. Zuzenaren ekuazioa. 17

Goiko irudian ikus daitekeenez, t aldatuz doan neurrian (−∞,∞) tarteanl zuzeneko puntu guztiak lortzen dira. Hortaz, l zuzenaren ekuazio bek-toriala honela adieraz dezakegu:

~l(t) = ~a + t~v.

Orduan, l zuzena t parametroaren bidez adierazita dagoela esaten da.Zeren, t = 0 bada, ~l(0) = ~a. Eta t > 0 handitzen denean, ~l(t) ~a-tikurruntzen da, ~v-ren noranzkoan. Aldiz, t < 0 balio absolutuan handitzendenean, ~l(t) ~a-tik urruntzen da −~v-ren noranzkoan.

1.14. adibidea. Zehaztu ~ bektorearen norabideko zuzenaren ekuazioa,(1, 0, 0)-tik igarotzen bada.

~l(t) = (1, 0, 0) + t(0, 1, 0) = (1, t, 0).

1.17. irudia. ~ norabidean eta~ı-ren muturretik pasatzen denl zuzena.

~a-ren eta ~b-ren muturretatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa honakohau da:

~l(t) = ~a + t(~b− ~a) ⇐⇒ ~l(t) = (1− t)~a + t~b ⇐⇒ ~l(t) = s~a + t~b,

non s + t = 1.



1.18. irudia. ~a-ren eta ~b-ren muturretatik pasatzen den l

zuzenaren ekuazio parametrikoa.

1.19. irudia. Aurreko irudiaren kasu partikular bat.

1.15. adibidea. Aurkitu (−1, 1, 0) eta (0, 0, 1) puntuetatik igarotzenden zuzenaren ekuazioa.

Kasu horretan ~a = −~ı + ~ eta ~b = ~k. Beraz:

~l(t) = (1− t)(−~ı + ~) + t~k = −(1− t)~ı + (1− t)~ + t~k.

Baliokidetasunez, ~l(t) = x~ı + y~ + z~k denez,

x = t− 1 y = 1− t z = t.


§1.5.4. Planoaren ekuazioa. 19

Osagaien bidez, (x1, y1, z1) eta (x2, y2, z2) puntuetatik igarotzen denzuzenak ekuazio parametriko hauek dauzka:

x = x1 + t(x2 − x1)

y = y1 + t(y2 − y1)

z = z1 + t(z2 − z1).

t ezabatuz gero, zuzenaren ekuazio jarraitua honela idazten da:

x− x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1.

1.5.4. Planoaren ekuazioa.Izan bitez P plano bat, plano horretan muturra duen ~a bektore bat etaplanoarekiko ~n bektore normal bat.

1.20. irudia. Planoko puntuek (~r − ~a) · ~n = 0 ekuazioa be-tetzen dute.

Izan bedi ~r ∈ IR3. ~r-ren muturra P planoan dago baldin eta soilikbaldin ~r − ~a bektorea P -rekiko paraleloa bada, eta beraz baldin etasoilik baldin (~r − ~a) · ~n = 0 bada.

Ondorioz, P planoarekiko ~n bektore normala P -rekiko paraleloa denedozein bektorerekiko perpendikularra da.



Bestalde, biderkadura eskalarraren banatze-propietatea erabiliz goikoberdintzatik ~r · ~n = ~a · ~n ondorioztatzen da. Izan bitez

~n = A~ı + B~ + C~k

~a = a1~ı + a2~ + a3~k

~r = x~ı + y~ + z~k.

Hortaz, ~r · ~n = ~a · ~n garatuz honako hau dugu:

Ax + By + Cz = Aa1 + Ba2 + Ca3,

baina, eskuineko aldea konstantea denez, P planoaren ekuazioa honelaidatz dezakegu:

Ax + By + Cz + D = 0,

non D = −(Aa1 + Ba2 + Ca3) baita.

1.16. adibidea. Aurkitu~ı+~+~k bektorearekiko (1, 0, 0) puntua daukanplano ortogonal baten ekuazioa.

Ebazpena: Aurreko adierazpenetik:

1(x− 1) + 1(y − 0) + 1(z − 0) = 0,

alegia, x + y + z = 1 ekuazioa dugu.

1.17. adibidea. Aurkitu (1, 1, 1), (2, 0, 0) eta (1, 1, 0) puntuak dituenplanoaren ekuazioa.

Ebazpena: Bi metodo ditugu.

1. Metodoa.- Edozein planotako ekuazioa Ax+By +Cz +D = 0 erakoada. (1, 1, 1), (2, 0, 0) eta (1, 1, 0) puntuak planoan daudenez honako haudugu:

A + B + C + D = 0

2A + D = 0

A + B + D = 0.


§1.5.5. Puntu batetik plano baterako distantzia. 21

Koefiziente horien balioak mugatuta daudenez multiplo bat izan ezik,horietariko baten balioa finkatzen ahal dugu eta besteak era bakar bateanfinkatuta geratuko dira. Horrela, D = −2 egiten badugu, orduan A = 1,B = 1 eta C = 0 dira. Beraz, puntu horiek dituen planoaren ekuazioax + y − 2 = 0 da.

2. Metodoa.- Izan bitez ~a =~ı+~+~k eta ~b = 2~ı eta ~c =~ı+~ puntu horie-tan bere muturra daukaten bektoreak. Planoarekiko edozein bektorenormalek ~a−~b eta ~c−~b bektoreekiko normala izan behar du. Beraz, ~n =(~a−~b)× (~c−~b) planoarekiko normala da. Kalkula dezagun biderkadurabektorial hau:

~n =

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~k

−1 1 1−1 1 0

∣∣∣∣∣∣= −~ı− ~.

Hortaz, planoaren edozein ekuazio −x− y + D = 0 erakoa da (multiploeskalar bat izan ezik). Bestalde, (2, 0, 0) planoan dagoenez, D = +2;ordezkatuz gero, x + y − 2 = 0 dugu.

1.5.5. Puntu batetik plano baterako distantzia.

Demagun E(x1, y1, z1) puntutik Ax+By+Cz+D = 0 ekuazioko planoradagoen distantzia aurkitu behar dugula.

1.21. irudia. E puntutik P planorako distantzia.

Izan bedi R(x0, y0, z0) puntua Ax + By + Cz + D = 0 planoko puntubat. Kontsidera dezagun bektore hau:

~n =A~ı + B~ + C~k√A2 + B2 + C2

,



zeina bektore unitarioa eta planoarekiko normala baita. Beraz, ~n-rengaineko ~v = −−→

RE bektorearen proiekzioaren luzera d = |EQ| distantziada, hain zuzen ere, eta, ondorioz, honako hau dugu:

d = |~v · ~n| = |[(x1 − x0)~ı + (y1 − y0)~ + (z1 − z0)~k] · ~n|

=|A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0)|√

A2 + B2 + C2.

R(x0, y0, z0) puntua P planokoa denez, D = −(Ax0 +By0 +Cz0) dugu.Berdintza hori aurreko formulan ordezkatuz formula hau lortzen dugu:

d =|Ax1 + By1 + Cz1 + D|√

A2 + B2 + C2.

1.6. Espazio euklidear n-dimentsionala.

Definizioak: Izan bedi n zenbaki arrunt bat. IRn (x1, x2, . . . , xn) n-koteen multzoa da, non xi guztiak (i = 1, . . . , n) zenbaki errealak baitira.Multzo horri n-espazio euklidear ere deitzen diogu. Haren gaiei, ~x =(x1, x2, . . . , xn), n-bektore (edo bakarrik bektore) deitzen zaie. Beraz,IRn n dimentsiotako espazio bektorial bat da. Zehazki, n 1, 2 edo3 denean, zuzena, planoa edo espazio 3-dimentsionala dugu, hurrenezhurren.

1.6.1. IRn-rako eragiketak.

IR2 eta IR3-rako definitutako eragiketak hedatzen ahal ditugu IRn-ra.Horrela gertatzen da lehenengo bietarako:

Batuketa:

(x1, . . . , xn) + (y1 + . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn);

Eskalar batezko biderketa: Edozein α zenbaki errealetarako

α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn),

non eragiketa horien propietateak eta esangura geometrikoa IR3 eta IR2-rakoen berdinak baitira.


§1.6.1. IRn-rako eragiketak. 23

IRn-ren oinarri kanonikoa: ~e1 = (1, 0, . . . , 0), . . ., ~en = (0, . . . , 0, 1)bektoreek osatua da. Beraz, ~x = (x1, . . . , xn) bektorea honela idatzdezakegu:

~x = x1~e1 + x2~e2 + . . . + xn~en.

Biderkadura eskalarra: Eragiketa hori honela zabaltzen da IRn-ra:

~x · ~y = x1y1 + . . . + xnyn.

IRn-n biderkadura eskalarra adierazteko < ~x, ~y > notazioa ere erabiltzenda.

Norma: ~x bektore baten norma (euklidearra) edo luzera honela za-baltzen da IRn-ra:

‖~x‖ =√

~x · ~x =√

x21 + . . . + x2

n.

Bi bektoreren angelua: ~x-ren eta ~y-ren arteko angelua, IR3-n bezala,formula honen bidez aurkitzen dugu:

θ = arccos~x · ~y‖~x‖‖~y‖ .

IR3-n biderkadura eskalarrak dauzkan propietateak zabaltzen dira IRn-ra teorema honen bidez.

1.2. teorema. ∀ ~x, ~y, ~z ∈ IRn eta ∀ α, β ∈ IR honako hau dugu:

(i) (α~x + β~y) · ~z = α(~x · ~z) + β(~y · ~z).

(ii) ~x · ~y = ~y · ~x.

(iii) ~x · ~x ≥ 0.

(iv) ~x · ~x = 0, baldin eta soilik baldin ~x = ~0.

• Cauchy-Schwarz-en desberdintza ere zabaldu dezakegu IRn-ra teo-rema honen bidez:1.3. teorema. Izan bitez ~x eta ~y IRn-ko bektoreak. Orduan

|~x · ~y| ≤ ‖~x‖ · ‖~y‖.



Oharra: Triangelu baten bi aldetako luzeren batura beti da bestealdearen luzera baino handiagoa edo berdina. Hori frogatuko da ko-rolario honetan.

1.2. korolarioa. Izan bitez ~x eta ~y IRn-ko bektoreak. Orduan,

‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ (desberdintza triangeluarra).

1.22. irudia. Desberdintza triangeluarra.

Frogantza:

1.3. teoremaz ~x · ~y ≤ |~x · ~y| ≤ ‖~x‖‖~y‖ betetzen da. Orduan,

‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + 2~x · ~y + ‖~y‖2 ≤ ‖~x‖2 + 2‖~x‖‖~y‖+ ‖~y‖2.

Beraz,‖~x + ~y‖2 ≤ (‖~x‖+ ‖~y‖)2,

eta erro karratua eginez emaitza lortzen da.

• 1.3. teorema eta haren korolarioa aljebraikoki garatzen badira, bi for-mula erabilgarri hauek lortzen dira:

∣∣∣∣∣n∑

i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ ≤(

n∑

i=1

x2i

)1/2 (n∑

i=1

y2i

)1/2

(n∑

i=1

(xi + yi)2)1/2

≤(

n∑

i=1

x2i

)1/2

+

(n∑

i=1

y2i

)1/2

Ariketa: Izan bitez ~x = (1, 2, 0,−1) eta ~y = (−1, 1, 1, 0). Egiaztatu 3.teorema eta haren korolarioa kasu horretarako.

Oharrak:


§1. 7. Aljebra matrizialaren oinarrizko kontzeptuak. 25

1. IR3-rekiko antzekotasunez, IRn-ko distantziaren kontzeptua definidezakegu; hau da, ~x-k eta ~y-k IRn-ko bi puntu adierazten badituzte,~x-ren eta ~y-ren arteko distantzia ‖~x − ~y‖ eskalarra da (hots, ~x − ~y

bektorearen luzera).

2. IRn-n biderkadura bektoriala ez dago definiturik, n = 3-rako izanezik.

1.7. Aljebra matrizialaren oinarrizko kon-tzeptuak.

m× n matrize bat zenbaki errealen bi dimentsioko ordenazio bat da, m

lerrotan eta n zutabetan banatua, hau da:

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

.

Oharra: Matrizearen gaiak zenbaki konplexuak ere izan daitezke; testuhonetan, zenbaki errealak direla joko dugu.

• A matrizea [aij ] eran ere idatz dezakegu. IRn-ko bektoreen kontzeptualjebraikoa zabalduz, m× n matrizeen multzoa IRm×n eran adieraz-ten da.

• m = n denean, A matrizea matrize karratu bat dela esaten da.

• Matrize karratu batean, a11-etik ann-rako lerro zuzen berean daudengaien multzoak diagonal nagusi izena du. Beste diagonalari bigarrendiagonal deritzogu, hau da, a1n-tik am1-era doanari.

• Jarraian matrizeen batuketa eta eskalar batezko biderketa aztertukoditugu.

Batuketa: Izan bitez A eta B m×n matrizeak. Batuketa (edo kenketa)egin dezakegu, lortzeko beste m× n matrize bat:

C = A + B (edo C = A−B),

non cij = aij + bij (edo cij = aij − bij) baita. Argi denez:

A + B = B + A.



1.18. adibidea.[

2 1 03 4 1

]+

[−1 1 30 0 7

]=

[1 2 33 4 8

].

Eskalar batezko biderketa: λ eskalar bat eta A ∈ IRm×n badira,C = λA ∈ IRm×n, non cij = λaij baita.

1.19. adibidea. 3

1 −1 20 1 51 0 3

=

3 −3 60 3 153 0 9

.

Batuketa eta eskalar batezko biderketaren propietateak:

Izan bitez edozein A, B,C ∈ IRm×n eta λ, µ ∈ IR.1. Elkartze-propietatea: (A + B) + C = A + (B + C).

2. Gai neutroa: existitzen da 00 ∈ IRm×n matrize bat non ∀A ∈IRm×n, A + 00 = 00 + A = A.00 matrizearen gai guztiak zero dira (matrize nulua). Hau da:aij = 0 ∀i, j.

3. Gai simetrikoa: ∀A ∈ IRm×n existitzen da −A ∈ IRm×n matrizea,non A + (−A) = (−A) + A = 00.−A-ren gaiak −aij dira (aurkako matrizea). Hau da, A-renakbaina zeinua aldatuta.

4. Trukatze-propietatea: A + B = B + A.

5. Matrize-batuketarekiko banatze-propietatea: λ(A+B) = λA+λB.

6. Eskalar-batuketarekiko banatze-propietatea: (λ+µ)A = λA+µA.

7. Eskalar batezko biderketarekiko elkartze-propietatea: λ(µA) =(λµ)A.

8. Eskalar batezko biderketarekiko gai neutroa: 1A = A1 = A.

1.7.1. Matrizeen biderketa.B = [bij ] ∈ IRn×m eta C = [cij ] ∈ IRm×p badira, orduan A =BC matrizeak sarrera hauek ditu:

aij =m∑

k=1

bikckj ,


§1.7.1. Matrizeen biderketa. 27

zeina B-ren i. lerroa baita eta C-ren j. zutabearen biderkadura es-kalarra baita (biak bektore gisa kontsideratuz). Hau da:

b11 · · · b1m...

...bi1 · · · bim...

...bn1 · · · bnm

c11 · · · c1j · · · c1p

......

...cm1 · · · cmj · · · cmp

.

Ohartu BC biderkadura matriziala definituta egoteko B-ren zutabe-kopuruak eta C-ren lerro-kopuruak berdinak izan behar dutela; kasuhonetan kopurua m da. Ondorioz, A biderkadura IRn×p-koa da.

1.20. adibidea. Izan bitez

B =[

2 0 11 1 2

]eta C =

1 0 20 2 11 1 1

.

Orduan,

BC =[

3 1 53 4 5

],

eta CB ez dago definiturik.

Biderketaren propietateak:

1. Elkartze-propietatea: A ∈ IRm×n, B ∈ IRn×p, C ∈ IRp×q guzti-etarako honako hau betetzen da:

A(BC) = (AB)C.

2. Matrize-batuketarekiko banatze-propietatea:

(i) ∀A ∈ IRm×n, B,C ∈ IRn×p A(B + C) = AB + AC.

(ii) ∀A,B ∈ IRm×n, C ∈ IRn×p (A + B)C = AC + BC.

2. Matrize-biderketarekiko eskalar batezko biderketaren banatze-pro-pietatea:

∀λ ∈ IR, A, B ∈ IRm×n, λ(AB) = (λA)B = A(λB).



4. Gai neutroa: Izan bedi matrize diagonal hau:

1l =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

...0 0 0 · · · 1

.

Matrize horri unitate-matrize deitzen zaio.

(i) Badago 1lm ∈ IRm×m matrize bat, non ∀A ∈ IRm×n, 1lmA =A.

(ii) Badago 1ln ∈ IRn×n matrize bat, non ∀A ∈ IRm×n, A1ln =A.

Matrize-biderketa ez da trukakorra; hau da, oro har, AB 6= BA (ikusi1.20. adibidea).

1.7.2. Aplikazio linealak.

Izan bedi ~x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn. Aurreko bektorea matrize-idazkerarenbidez adierazteko zutabe-bektore hau erabiltzen da:

x1...

xn

.

Beraz, ~x ∈ IRn×1.

• Izan bedi A ∈ IRm×n. Orduan, A~x ∈ IRm×1. Beraz, ~y = A~x, bektoreidazkera erabiliz, (y1, . . . , ym) eran adieraz dezakegu.

• Ondorioz, A matrizeak definitzen du IRn → IRm-rako ~y = f(~x)funtzio bat, non f(~x) = A~x baita.

• Funtzio horrek propietate hauek betetzen ditu:

A(~x + ~y) = A~x + A~y

A(α~x) = α(A~x),

non α ∈ IR. Propietateak frogatzea ariketa gisa geratzen da. Au-rreko propietateak betetzeagatik f funtzioari aplikazio lineal deitzendiogu. Hau da, f aplikazio linealari elkarturiko matrizea A da.


§1.7.3. 2× 2 eta 3× 3 matrizeak eta haien determinanteak. 29

1.7.3. 2 × 2 eta 3 × 3 matrizeak eta haien determi-nanteak.

Bektore kontzeptua zenbakizko multzo finitu baten norabide bakarrekoordenazio gisa uler daiteke.Adibidez: (a1, a2, a3). Beraz, (−1, 0, 3) eta (3,−1, 0) bektore desberdi-nak dira.Matrize kontzeptua zenbakizko multzo finitu baten norabide biko orde-nazio gisa uler daiteke.

2× 2 matrize bat honela idatz daiteke:[

a11 a12

a21 a22

],

non a11, a12, a21, a22 ∈ IR baitira. Adibidez:[

2 10 4

],

[−1 01 1

]eta

[13 76 11

].

2× 2 matrize baten determinantea honela definitzen da:∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

1.21. adibidea.

∣∣∣∣2 10 4

∣∣∣∣ = 8,

∣∣∣∣−1 01 1

∣∣∣∣ = −1 eta∣∣∣∣13 76 11

∣∣∣∣ = 101.

3× 3 matrize bat honela idatz daiteke:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

non aij bakoitza eskalar bat baita. Ordenazio horretan aij-k eskala-rraren posizioa adierazten du, hau da, i-garren lerroan eta j-garren zuta-bean dagoela.



3× 3 matrize baten determinantea honela definitzen da:∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣=a11

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ +

a13

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣ .

Batugai horiek lortzeko badago arau sinple bat, j bakoitzerako lehenengolerroko a1j hartu eta jarri (−1)(1+j)-ren zeinua aurrean; gero, kalkulaezazu 2 × 2 matrizearen determinantea, lehenengo lerroa eta j-garrenzutabea kenduz.

• Aurreko adierazpena zeharo garatuz, eta gero ordenatuz, formula haulortzen da:

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣=a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a21 · a32 · a13

− (a13 · a22 · a31 + a12 · a21 · a33 + a23 · a32 · a11),

zeinari Sarrus-en erregela baiteritzo.

1.22. adibidea.

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣= 1

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣− 0∣∣∣∣0 00 1

∣∣∣∣ + 0∣∣∣∣0 10 0

∣∣∣∣ = 1

∣∣∣∣∣∣

1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣= 1

∣∣∣∣5 68 9

∣∣∣∣− 2∣∣∣∣4 67 9

∣∣∣∣ + 3∣∣∣∣4 57 8

∣∣∣∣ = −3 + 12− 9 = 0.

1.7.4. n× n matrize baten determinantea.

1.7.3 atalean definitzen ziren 2× 2 eta 3× 3 matrizeen determinanteak.


§1.7.4. n× n matrize baten determinantea. 31

Definizio hura orokortu ahal da n× n matrizeetarako:

detA = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Lehendabizi ikus ditzagun beste definizio batzuk.

• A-ren azpimatrizea A-tik ateratako matrize bat da, A-ren lerro eta/edozutabe batzuk ezabatuz lortzen dena.

• A = [a], 1× 1 matrize bat bada, orduan detA = |A| = a.

• Mij minore osagarria edo soilik minorea, A ∈ IRn×n matrizetik i.

lerroa eta j. zutabea kenduz lortzen den (n − 1) × (n − 1) azpima-trizearen determinantea da.

• aij gaiaren adjuntua edo kofaktorea Aij = (−1)i+jMij da.

• A ∈ IRn×n (n > 1) matrize baten determinantea honela kalkuladaiteke:

det A =n∑

j=1

aijAij edozein i = 1, 2, . . . , n-tarako,

edo

det A =n∑

i=1

aijAij edozein j = 1, 2, . . . , n-tarako.

1.23. adibidea.

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 40 5 −3 16 0 4 0−1 3 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=1 · (−1)1+1

∣∣∣∣∣∣

5 −3 10 4 03 2 0

∣∣∣∣∣∣+ 2 · (−1)1+2

∣∣∣∣∣∣

0 −3 16 4 0−1 2 0

∣∣∣∣∣∣

+ 3 · (−1)1+3

∣∣∣∣∣∣

0 5 16 0 0−1 3 0

∣∣∣∣∣∣+ 4 · (−1)1+4

∣∣∣∣∣∣

0 5 −36 0 4−1 3 2

∣∣∣∣∣∣

=1 · (−12)− 2 · (12 + 4) + 3 · (18)− 4 · (−20− 54− 60)

=− 12− 32 + 54 + 536 = 546.



Laugarren zutabetik garatuz honako hau lortzen dugu:∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 40 5 −3 16 0 4 0−1 3 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=4 · (−1)1+4

∣∣∣∣∣∣

0 5 −36 0 4−1 3 2

∣∣∣∣∣∣+ 1 · (−1)2+4

∣∣∣∣∣∣

1 2 36 0 4−1 3 2

∣∣∣∣∣∣+

+0 + 0 =− 4 · (−20− 54− 60) + (−8 + 54− 12− 24) = 546.

1.7.5. Determinanteen propietate nagusiak.

1. Matrize bateko lerro edo zutabe bat zeroz osatuta badago, harendeterminantea zero da.

2. Bi lerro (edo bi zutabe) trukatzen badira, determinantearen zeinuaaldatzen da.

3. Matrize batek bi lerro (edo bi zutabe) berdinak baditu, haren de-terminantea zero da.

4. Lerro (edo zutabe) bateko gaiak zenbaki batez biderkatzen (edozatitzen) badira, determinantea zenbaki horretaz biderkaturik (za-titurik) geratzen da.

5. Matrize batek bi lerro (edo bi zutabe) proportzional baditu, harendeterminantea zero da.

6. Matrize bateko lerro (edo zutabe) bati beste lerro (zutabe) batzuenkonbinazio lineal bat batzen bazaio, determinantearen balioa ez daaldatzen.

7. Matrize bateko lerro (edo zutabe) bateko gai bakoitza l batugaiekosatuta badago, determinantea deskonposa daiteke l determinan-teen batura batean, non batugai-determinante bakoitzaren gaine-rako lerroak lehengoaren berdinak diren, eta lerro (edo zutabe) har-tako gai bakoitza h batugaietariko bat den, batugaien ordenari ja-rraituz. Adibidez,

∣∣∣∣∣∣

a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12 a13 + b13 + c13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

b11 b12 b13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

c11 c12 c13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣


§1.7.6.1. Chio-ren erregela. 33

8. Matrize bateko lerro (edo zutabe) bat beste lerro (zutabe) batzuenkonbinazio lineala bada, haren determinantea zero da.

9. A eta B n×n matrizeak badira, orduan det(A ·B) = det A · detB.

1.7.6. Determinantea kalkulatzeko beste metodobatzuk.

1.7.6.1. Chio-ren erregela.

Bilatzen da zero gehien daukan lerroa edo zutabea. Lerro (edo zutabe)horretan zero ez den zenbaki bat aukeratzen da (hots, pibotea), eta bestezenbaki batzuez biderkatuz, zero bihurtzen dira lerro (edo zutabe) ho-rretako gai ez-nuluak. Era horretan determinantearen formularen apli-kazioa asko laburtzen da. Ikusi adibidea.

1.24. adibidea. Kalkulatu det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 5 13 1 1 01 2 1 11 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Ebazpena:

Azken zutabea aukeratuz, eta pibotetzat a44 = 1 hartzen bada, zeroegingo ditugu a14 = 1 eta a34 = 1 gaiak, gai horiei dagozkien lerroeilaugarren lerroa kenduz, hau da:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1− 1 4− 0 5− 1 1− 13 1 1 0

1− 1 2− 0 1− 1 1− 11 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 4 4 03 1 1 00 2 0 01 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

= 1 · (−1)4+4

∣∣∣∣∣∣

0 2 43 1 10 2 0

∣∣∣∣∣∣=

3× 3 matrizearen determinatea 3. lerroan zehar garaturik,

= 2 · (−1)3+2

∣∣∣∣0 43 1

∣∣∣∣ = −2(−12) = 24.

Ariketa gisa, aukeratu kalkuluaren hasieran bigarren zutabea zeroakegiteko eta horko pibote egokiena, eta kalkulatu determinantea.



1.7.6.2. Matrize bat triangeluar bihurtzea.

Metodo hori erabili ohi da programatzeko ordenagailu bidez. Diago-nal nagusiaren azpian zeroak bakarrik dauzkan matrizeari matrize goi-triangeluar deitzen zaio. Aldiz, diagonal nagusiaren gainean zeroakbakarrik dauzkan matrizeari matrize behe-triangeluar deitzen zaio.Beraz, matrize bat triangeluar bihurtzea matrize hori goi- edo behe-triangeluar bihurtzea da.

• Demagun behe-triangeluar bihurtu nahi dugula. Dakigunez, lerrobati batzen badiogu beste lerro bat zenbaki batez biderkaturik, de-terminantearen balioa ez da aldatzen (ikusi determinanteen propie-tateak).

• Beraz, zero egiteko diagonalaren azpian, lehenengo zutabearekin hasi-ko gara eta, a11 pibote gisa aukeraturik, zero egingo ditugu a21, . . .,an1 gai guztiak. Gero gauza bera egingo dugu bigarren zutabearekina22 pibote gisa aukeratuz, zero bihurtuz a32, . . . , an2 gai guztiak,gure helburua lortu arte.

1.25. adibidea. Li = i. lerroa bada, eta

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 5 13 1 1 01 2 1 11 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣,

lehenengo zutabean zeroak egiten dira, eragiketa hauek eginez: L2 =(L2 − 3L1), L3 = L3 − L1, eta L4 = L4 − L1. Orduan honako haulortzen da:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 5 10 −11 −14 −30 −2 −4 00 −4 −4 0

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Jarraian bigarren zutabean zeroak egiten dira eragiketa hauek eginez:

L3 = L3 − 211

L2 eta L4 = L4 − 411

L2. Orduan honako hau lortzen da:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 5 10 −11 −14 −30 0 −16/11 6/110 0 12/11 12/11

∣∣∣∣∣∣∣∣.


§1.7.7. Matrize motak. 35

Gero hirugarren zutabean zero bat egiten da gai diagonalaren azpian

eragiketa hauek eginez: L4 = L4 +1216

L3. Orduan honako hau lortzenda:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 5 10 −11 −14 −30 0 −16/11 6/110 0 0 3/2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 1(−11)(−16

11)32

= 24.

1.7.7. Matrize motak.A matrize bat At matrize iraulia bihurtzen da A-ko lerroak At matrizeanzutabeak badira (eta, beraz, A-ko zutabeak At-ko lerroak badira). Adibi-dez,

A =

2 3 7 5−3 −2 −2 −50 1 1 1

bada, orduan

At =

2 −3 03 −2 17 −2 15 −5 1

.

Matrize bat iraultzeko eragiketak propietate hauek ditu:

1. (At)t = A.

2. (A + B)t = At + Bt.

3. (AB)t = BtAt.

4. Izan bedi λ eskalar bat, orduan (λA)t = λAt.

5. det At = det A.

• At = A bada, A matrizea simetrikoa dela esaten da. Horrelako ma-

trizeetan aij = aji betetzen da ∀i, j. Adibidez,

1 −1 3 6−1 2 5 −23 5 3 16 −2 1 4

matrize simetrikoa da.



• At = −A bada, A matrizea antisimetrikoa dela esaten da. Horrelakomatrizeetan aij = −aji betetzen da ∀i 6= j eta aii = 0 ∀i. Adibidez,

0 −1 3 61 0 −5 −2−3 5 0 −1−6 2 1 0

matrize antisimetrikoa da.

• Argi denez, matrize simetrikoek eta matrize antisimetrikoek karra-tuak izan behar dute.

1.4. teorema. A matrize karratu oro deskonposa daiteke matrizesimetriko baten eta matrize antisimetriko baten arteko batura gisa.

1.7.8. Alderantzizko matrizea.A ∈ IRn×n matrize bat alderanzkarria da, B ∈ IRn×n matrize bat exis-titzen bada, non AB = BA = 1ln baita, 1ln, IRn×n-ko unitate-matrizeaizanik. B delako hori, existitzen bada, A−1-en bidez adierazten dugu etaA-ren alderantzizko deritzogu. Alderantzizkoa existitzen bada, bakarrada.

Ariketa: Izan bedi

A =

2 4 00 2 13 0 2

, orduan A−1 =

120

4 −8 43 4 −2−6 12 4

,

zeren AA−1 = 1l = A−1A baita. Egiaztatu.

• A alderanzkarria bada, A~x = ~b ekuazioa ebazteko nahikoa da aurre-biderkatzea A−1-ez, ~x = A−1~b lortzeko.

• j bakoitzerako A~x = ~ej ekuazioaren ~x emaitza A−1 matrizearen j.zutabea da. Egiaztatu kalkulatuz horrela aurreko ariketako A−1-en2. zutabea.

• A ∈ IRn×n matrize baten adjuntua honela definitzen da:

A+ =

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...

......

...A1n A2n . . . Ann

.


§1.7.8. Alderantzizko matrizea. 37

Hor Aij , aij gaien kofaktoreak dira (hau da, zeinudun minoreak),baina irauliak.

• Aurkitzeko matrize karratu baten alderantzizko matrizea, formulahau dugu:

A−1 =1

detAA+.

1.26. adibidea. Izan bedi A =

1 2 31 3 41 4 3

. Aurkitu A−1.

Ebazpena:

Hasiko gara matrize adjuntua kalkulatzen. Horretarako behar ditugukofaktoreak:

A11 =∣∣∣∣3 44 3

∣∣∣∣ = −7, A12 = −∣∣∣∣1 41 3

∣∣∣∣ = 1, A13 =∣∣∣∣1 31 4

∣∣∣∣ = 1

A21 = −∣∣∣∣2 34 3

∣∣∣∣ = 6, A22 =∣∣∣∣1 31 3

∣∣∣∣ = 0, A23 = −∣∣∣∣1 21 4

∣∣∣∣ = −2

A31 =∣∣∣∣2 33 4

∣∣∣∣ = −1, A32 = −∣∣∣∣1 31 4

∣∣∣∣ = −1, A33 =∣∣∣∣1 21 3

∣∣∣∣ = 1

Orduan honako hau izango dugu:

A+ =

−7 6 −11 0 −11 −2 1

.

Bestalde,

detA =

∣∣∣∣∣∣

1 2 31 3 41 4 3

∣∣∣∣∣∣= 1·

∣∣∣∣3 44 3

∣∣∣∣−1·∣∣∣∣2 34 3

∣∣∣∣+1·∣∣∣∣2 33 4

∣∣∣∣ = −7+6−1 = −2.

Ondorioz, A alderanzkarria da, eta haren alderantzizkoa hauxe da:

A−1 =1

detAA+ =

1−2

−7 6 −11 0 −11 −2 1

=

7/2 −3 1/2−1/2 0 1/2−1/2 1 −1/2

.

• detA = 0 denean A matrizea singular dela esaten da. det A 6= 0denean A ez-singular edo erregularra dela esaten da.



1.5. teorema. A n × n matrizea alderanzkarria da, baldin eta soilikbaldin A ez bada singularra.

Frogantza:

⇒ A alderanzkarria bada, A−1 existitzen da, non AA−1 = A−1A = 1l.Beraz, det(AA−1) = det 1l, hau da,

detA · det A−1 = det 1l = 1.

Horrek det A 6= 0 inplikatzen du. Beraz, A-k ez du singularra izan behar.

⇐ A ez bada singularra, det A 6= 0, eta beraz A−1 kalkula dezakegu

A−1 =1

detAA+ formularen bidez, eta ondorioz A alderanzkarria da.

1.7.8.1. Alderantzizko matrizearen propietate batzuk.

Alderantzizko matrizearen definiziotik propietate batzuk ondorioztatzendira.

1. Matrize alderanzkarri baten alderantzizko matrizea bakarra da.

2. (A−1)−1 = A.

3. (AB)−1 = B−1A−1.

4. (At)−1 = (A−1)t.

5. det(A−1) = 1/ detA.

• A−1 = At bada, A ortogonala dela esaten da.

Matrize ortogonalei buruzko propietate batzuk:

1. A ortogonala bada, At ere bai; izan ere, (At)t = (A−1)t = (At)−1.

2. A ortogonala bada, (det A)2 = det A·detAt = det(AAt) = det 1l = 1dugu. Beraz, detA = 1.

3. Matrize bat ortogonala bada, bi lerroren biderkadura eskalarra (lerrobakoitza bektoretzat harturik) zero da, eta lerro baten eta lerro berbe-raren arteko biderkadura eskalarra bat da.

1.27. adibidea. A =[

cos x sin x

− sin x cos x

]ortogonala da. Izan

ere,


§1.7.9. Bektoreen eta matrizeen normak. 39

AAt =[

cos x sin x

− sin x cosx

] [cosx − sin x

sin x cosx

]

=[

cos2 x + sin2 x − cosx sin x + sin x cosx

− sin x cos x + cos x sin x sin2 x + cos2 x

]=

[1 00 1

].

1.7.9. Bektoreen eta matrizeen normak.Izan bedi IRn zutabe-bektore guztien multzoa, osagai errealekoa;

hau da, ~x = (x1, x2, . . . , xn)t bektoreen multzoa (ohartu irauliak direla).Definitzeko distantzia IRn multzoan bektore baten norma ideia erabilikodugu (1.6. atalean norma definitzen da biderkadura eskalarraren bidez;kasu horretan norma euklidearra dugu).

Definizioa: IRn-ko bektore-norma ‖ · ‖ : IRn 7→ IR funtzio bat da,eta propietate hauek betetzen ditu:

(i) ‖~x‖ ≥ 0, ~x ∈ IRn guztietarako,

(ii) ‖~x‖ = 0, baldin eta soilik baldin ~x = ~0 bada,

(iii) ‖α~x‖ = |α|‖~x‖, α ∈ IR eta ~x ∈ IRn guztietarako,

(iv) ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖, ~x, ~y ∈ IRn guztietarako.

Hiru norma definituko ditugu, nahiz eta gero l2 norma (hau da,euklidearra) bakarrik erabili.

Definizioa: l1, l2 eta l∞ normak ~x-rako honela definitzen dira:

‖~x‖1 =n∑

i=1

|xi|, ‖~x‖2 =

√√√√n∑

i=1

x2i , ‖~x‖∞ = max

1≤i≤n|xi|.

Beraz ~x eta ~y bektoreen arteko distantzia hiru adierazpen hauenbidez definitzen da:

‖~x− ~y‖1, ‖~x− ~y‖2 eta ‖~x− ~y‖∞.

Teoremaren frogantza ariketa gisa geratzen da.



1.6. teorema. ~x ∈ IRn bakoitzerako hau betetzen da:

‖~x‖∞ ≤ ‖~x‖2 ≤ ‖~x‖1.

Bestalde, n × n matrizeen arteko distantzia ere batzuetan behar-rezkoa da. Horretarako matrize baten norma definituko dugu.

Definizioa: IRn×n matrizeen multzoko matrize-norma ‖·‖ : IRn×n 7→IR funtzio bat da, propietate hauek betetzen dituena:

(i) ‖A‖ ≥ 0, A ∈ IRn×n guztietarako,

(ii) ‖A‖ = 0, baldin eta soilik baldin A zero matrizea bada,

(iii) ‖αA‖ = |α|‖A‖, α ∈ IR eta A ∈ IRn×n guztietarako,

(iv) ‖A + B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖, A,B ∈ IRn×n guztietarako.

A-ren eta B-ren arteko distantzia ‖A−B‖ matrize-normaren bidezadieraz daiteke. Baldin ‖ · ‖ edozein bektore-norma bada, orduan

‖A‖ = max‖~x‖=1

‖A~x‖

matrize-norma bat definitzen du IRn×n multzoan, zeina norma arruntdeitzen baitzaio.

Ondorioz, bektore-normek l1, l2 eta l∞ matrize-norma haueksortzen dituzte:

‖A‖1 = max‖~x‖1=1

‖A~x‖1, ‖A‖2 = max‖~x‖2=1

‖A~x‖2

eta‖A‖∞ = max

‖~x‖∞=1‖A~x‖∞.

1.7. teorema. A = (aij) ∈ IRn×n guztietarako honako haubetetzen da:

(i) ‖A‖∞ = max1≤i≤n

n∑

j=1

|aij |

(ii) ‖A‖1 = max1≤j≤n

n∑

i=1

|aij |.


§1.7.10. Autobalioak eta autobektoreak. 41

1.7.10. Autobalioak eta autobektoreak.Izan bedi A ∈ IRn×n matrizea. λ zenbaki erreala A-ren autobalio

bat dela esaten da, ~x 6= ~0 bektore bat existitzen bada, non A~x = λ~x bete-tzen baita (~x zutabe-bektore gisa idatziz). ~x bektoreari λ-ri elkarturikoautobektorea deitzen diogu.

• A~x = λ~x betetzen bada, honako hau dugu:

A~x− λ~x = A~x− λ1l~x = (A− λ1l)~x = ~0,

eta azken berdintza garatuz hau lortzen da:

a11 − λ a12 . . . a1n

a21 a22 − λ . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann − λ

x1

x2...

xn

=

00...0

,

hau da, ekuazio-sistema homogeneo bat. Beraz, ~x 6= ~0 denez, hau da,sistema horrek soluzio ez-nuluak dituenez, koefiziente-matrizearendeterminanteak zero izan behar du. Beraz, det(A− λ1l) = 0.

• det(A − λ1ln) kalkulatuz lortzen den p(λ) polinomioari A-ren poli-nomio karakteristiko deitzen diogu.

• Ondorioz, A ∈ IRn×n matrize baten autobalioak p(λ) polinomio karak-teristikoaren n erroak dira.

• n erroak desberdinak badira, autobalio bakun deitzen zaie. Errobatzuk berdinak badira, erro anizkoitz deitzen zaie.

1.28. adibidea. Demagun A =

2 1 12 3 11 1 2

dela eta auto-

balio bat λ = 5 dela. Kalkulatu autobalio horri elkarturikoautobektorea.

Ebazpena:

Dakigunez, λ = 5-erako (A− λ1l)~x = ~0 bete behar da, alegia:

2− λ 1 12 3− λ 11 1 2− λ

x1

x2

x3

=

2− 5 1 12 3− 5 11 1 2− 5

x1

x2

x3

=

000



−3 1 12 −2 11 1 −3

x1

x2

x3

=

000

⇐⇒

−3x1 + x2 + x3 = 02x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − 3x3 = 0.

Sistema hori askatuz, x1 = x3 eta x2 = 2x3 lortzen da; hau da, λ = 5-erako autobektoreen multzoa {(x3, 2x3, x3)} da. Adibidez, autobektoreunitarioa (1/

√6, 2/

√6, 1/

√6) da. Egiaztatu.

1.29. adibidea. Izan bedi

A =

1 0 12 2 1−1 0 0

.

Aurkitu autobalioak eta autobektoreak.

Ebazpena:

Kalkula ditzagun A-ren autobalioak:

p(λ) = det(A− λ1l) =

∣∣∣∣∣∣

1− λ 0 12 2− λ 1−1 0 −λ

∣∣∣∣∣∣

= (1− λ)∣∣∣∣2− λ 1

0 −λ

∣∣∣∣ + 1∣∣∣∣

2 2− λ

−1 0

∣∣∣∣= (1− λ)(2− λ)(−λ) + (2− λ) = (2− λ)(λ2 − λ + 1).

A-ren autobalioak p(λ) = 0-ren soluzioak dira, hau da:

λ1 = 2, λ2 =12

+√

32

i, λ3 =12−√

32

i.

λ1 = 2 autobalioari elkarturiko autobektore bat (A − λ1l)~x = ~0 sis-temaren soluzioa da:

−1 0 12 0 1−1 0 −2

x1

x2

x3

=

000

.

Beraz, sistema hau dugu:

−x1 + x3 = 0

2x1 + x3 = 0

−x1 − 2x3 = 0,


§1.7.10. Autobalioak eta autobektoreak. 43

zeinaren soluzioa x1 = 0, x2 = edozein balio eta x3 = 0 baita; hau da,soluzio-multzoa {(0, x2, 0)} da. Adibidez, λ1 = 2-ri dagokion autobek-tore unitarioa (0, 1, 0) da.

Definizioak: A matrize simetriko batek ~xtA~x > 0 betetzen badu, ~x 6=~0 guztietarako, A definitu positiboa dela esaten da. Halaber, baldin~xtA~x ≥ 0, < 0 eta ≤ 0 bada, A erdidefinitu positiboa, definitu negatiboaeta erdidefinitu negatiboa dela esaten dugu, hurrenez hurren.

A matrizea ~x batzuetarako definitu positiboa bada eta beste batzue-tarako definitu negatiboa bada, orduan A indefinitua dela esaten da.

1.8. teorema. Izan bitez

A =[

a b

b c

]eta f(x, y) = [x y]A

[x

y

].

Orduan A definitu positiboa da, baldin eta soilik baldin a > 0eta det A = ac− b2 > 0 badira.

Bestalde, A definitu negatiboa da, baldin eta soilik baldina < 0 eta ac − b2 > 0 badira. Gainera, detA < 0 bada, A

indefinitua da.

(Oharra: f(x, y) funtzioari koadratikoa deritzogu.)

Badaude antzeko irizpideak A n × n matrize simetrikoa denean.Kontsidera ditzagun A-ren diagonalean zeharreko n azpimatrize karrat-uak.

∆k determinanteari A-ren k-garren minore nagusi deitzen zaio.Teorema orokorra honela formula daiteke.



1.9. teorema. A n×n matrize simetrikoa bada eta ∆k harenk-garren minore nagusia bada, 1 ≤ k ≤ n bakoitzerako, orduan:

(a) A definitu positiboa da, baldin eta soilik baldin ∆k > 0 badak = 1, 2, . . . , n guztietarako. (A erdidefinitu positiboa da baldintzahorietan, baina ∆n = 0 bada.)

(b) A definitu negatiboa da, baldin eta soilik baldin (−1)k∆k > 0 badak = 1, 2, . . . , n guztietarako (hots, k bakoitia bada, ∆k negatiboadenean; eta k bikoitia bada, ∆k positiboa). (A erdidefinitu nega-tiboa da baldintza horietan, baina ∆n = 0 bada.)

Matrize baten definitutasuna aztertzeko beste teorema erabilgarribat honako hau da.

1.10. teorema.

(i) Matrize karratu baten autobalio guztiak positiboak badira, matrizehori definitu positiboa da.

(ii) Matrize karratu baten autobalio guztiak negatiboak badira, matrizehori definitu negatiboa da.

(iii) Matrize karratu batek autobalio positiboak eta negatiboak baditu,matrize hori indefinitua da.

1.30. adibidea. Izan bedi matrize hau:

A =

2 −1 −1−1 2 1−1 1 2

.

Kasu horretan ∆1 = 2, ∆2 = 3 eta ∆3 = 4 dira. Beraz, A

definitu positiboa da.

Egiaztatu hori kalkulatuz aurreko adibideko matrizearen autobalioaketa aztertu 1.10. teorema betetzen den.

1.8. Ekuazio linealezko sistemak.

Izan bedi m ekuazio linealeko eta n ezezaguneko ekuazio-sistema:


§1.8.1. Sistema linealen sailkapena. 45

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,

non aij sistemaren koefizienteak, bi koefiziente askeak, eta xj ezezagu-nak baitira, i = 1, 2, . . . ,m eta j = 1, 2, . . . , n. Gure helburua da sistemabatek soluziorik izateko bete behar dituen baldintzak aztertzea eta, ahaldenean, emaitza kalkulatzea —hots, sistema horretako ekuazio guztiakbetetzen dituzten (x1, x2, . . . , xn) n-kote guztiak aurkitzea—.

Goiko ekuazio-sistema era matrizialean idatzita, A~x = ~b adier-azpenaren bidez eman dezakegu:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

; ~x =

x1

x2...

xn

; ~b =

b1

b2...

bm

.

Ekuazio lineal deitzen zaie, zeren f(~x) = A~x funtzioa lineala baita(ikus 1.7.2 atala). Beraz, ekuazio linealezko sistema ebazten dugunean,f(~x) = ~b ekuazioko ~x kalkulatzen ari gara.

1.8.1. Sistema linealen sailkapena.

Sistemaren soluzio-kopuruaren arabera sailkapen hau eraiki deza-kegu:

1. Sistema bateragarriak: gutxienez soluzio bat dutenak. Horiek bimotatakoak izan daitezke:

(a) Sistema bateragarri determinatuak: soluzio bakar bat dute-nak.

(b) Sistema bateragarri indeterminatuak: infinitu soluzio di-tuztenak.

2. Sistema bateraezinak: soluziorik ez dutenak.

Definizioa: Bi sistemei sistema baliokide deritzegu, baldin bi sis-temen soluzioak berdinak badira.



Matrize honi sistemaren matrize zabaldua deitzen diogu:

A =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

......

......

am1 am2 . . . amn bm

.

Sistema lineal bateko matrize zabalduari transformazio hauek egitenbadizkiogu, beste sistema baliokide baten matrize zabaldua lortzen da:

• lerroen edo ezezagunen zutabeen ordena aldatzea;

• lerro bateko koefiziente guztiak konstante batez biderkatzea;

• lerro bat lerro beraren eta beste lerro batzuen konbinazio linealarekinordezkatzea;

• lerro bat beste lerro batzuen konbinazio lineala denean kentzea (hots,lerro horri dagokion ekuazioa ezabatzea).

1.8.1.1. Rouche-Frobenius-en teorema.

Gogoratu 1.7.4 ataleko azpimatrizearen definizioa. Adibidez, A ma-trizea A-ren azpimatrizea da.

Definizioa: Izan bedi p zenbaki arrunta, non p ≤ m eta p ≤ n

baita. Orduan A-ren p× p azpimatrize karratu baten determinanteari p

ordenako minore deitzen diogu.

Definizioa: A matrizearen heina p dela esango dugu, baldin A-tikateratako p ordenako minoreren bat 0 ez bada, p baino ordena han-diagoko minore guztiak (existitzen badira) zero izanik. A matrizearenheina h(A)-ren bidez adierazten da, eta, beraz, h(A) = p izango genukedefinizioan.

1.11. teorema. Izan bitez n ezezagun dituen A~x = ~b sistemalineala eta haren matrize zabaldua, A. Orduan:

(i) baldin h(A) = h(A) = n bada, sistema bateragarri determinatua da;

(ii) baldin h(A) = h(A) < n bada, sistema bateragarri indeterminatuada;

(iii) baldin h(A) 6= h(A) bada, sistema bateraezina da.


§1.8.1.2. Gauss-en metodoa. 47

1.31. adibidea. Demagun 3 ezezaguneko A~x = ~b sistemalineala, non haren matrize zabaldua honako hau baita:

A =

−1 −3 −1 65 1 −2 −22 −2 4 −8−4 −1 −2 1

.

Sistema hori bateraezina da, zeren h(A) = 4 6= h(A) = 3 baita.

Aldiz, matrize zabaldua honako hau bada,

A =

−1 −3 −1 65 1 −2 −22 −2 4 −81 −5 3 −2

,

sistema bateragarri determinatua da, zeren h(A) = h(A) = 3 baita.

1.8.1.2. Gauss-en metodoa.

A~x = ~b sistema linealean A matrizea triangeluarra izango balitz,oso erraz ebatziko genuke. Adibidez, hona hemen 3 ezezagun eta 3ekuazioko sistema lineal bat:

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

x1

x2

x3

=

b1

b2

b3

.

Azken ekuaziotik x3 erraz aska daiteke. Balio hori ordezka dezakegubigarren ekuazioan, eta hortik x2 aska daiteke. Azkenik, x3-ren etax2-ren balioak ordezkatzen dira lehenengo ekuazioan eta x1 bakantzenda. Beraz, sistemaren matrizea goi-triangeluarra bada, sistema errazebazten da behetik gora, hots, atzerantz.

Gauss-en metodoa A matrizea triangeluar bihurtzean datza (ikusi1.7.6.2 atala). Baina, hala egiten badiogu A matrizeari A barnean, ~b

zutabea ere aldatuko da, eta era horretan sistema triangeluar baliokidebat lortuko dugu (gogoratu matrize zabalduari egiten ahal dizkioguntransformazioak). Beraz, sistema horren emaitza gure jatorrizko sis-temaren emaitza izango da.



Oharra: Triangeluar bihurtzean, aii pibotea zero bada, bilatukodugu beheko ekuazio bat, non aki 6= 0 (k > i) betetzen baita, eta k-garren ekuazioa permutatuko (trukatuko) dugu i-garren ekuazioarekin.Gero, jarraituko dugu triangeluar bihurtzeko prozesuan aurrera, 1.7.6.2atalean deskribatzen den bezala.

Gauss-en metodoa erabil daiteke sistema bat aztertzeko. Honahemen gerta daitezkeen kasuak:

• Baldin k-garren ekuazio batean koefiziente guztiak 0 bihurtu badira(hots, ak1 = ak2 = . . . = akn = 0) eta eskuineko gaia (bk) ez bada 0bihurtu, orduan sistema bateraezina da.

• Aurreko kasua ez bada gertatzen, sistema bateragarria da. Izan bedih ekuazio ez-nuluen kopurua prozesu horren bukaeran. Orduan, bikasu hauek gerta daitezke:

. h = n izatea, orduan sistema bateragarri determinatua da.

. h < n izatea, orduan sistema bateragarri indeterminatua da.

1.32. adibidea. Askatu sistema, Gauss-en metodoa erabiliz:

x − 3y + 2z = 9

−2x − 3z = − 6

4x − 10y + 9z = 12

Ebazpena:

Sistema horri dagokion matrize zabaldua honako hau da:

1 −3 2 9−2 0 −3 −64 −10 9 12

.

Demagun Li = i. lerroa dela, non i = 1, 2, 3.

• a11 = 1 pibotea izango da. L1 lerroa berdin utziko dugu. Jarraianzeroak egingo ditugu a11-en azpian, L2 eta L3 lerroak aldatuz.

. L2 = L2 − a21

a11L1 = L2 + 2L1 izango da, eta

. L3 = L3 − a31

a11L1 = L3 − 4L1 izango da.


§1.8.1.3. Cramer-en erregela. 49

Horrela, matrize zabaldua beste hau bihurtuko da:

1 −3 2 90 −6 1 120 2 1 −24

.

• Orain a22 = −6 pibotea izango da. L1 eta L2 lerroak berdin utzikoditugu. Jarraian zeroak egingo ditugu a22-ren azpian, L3 lerroa al-datuz.

. L3 = L3 − a32

a22L2 = L3 +

26L2 izango da.

Horrela, matrize zabaldua beste hau bihurtuko da:

1 −3 2 90 −6 1 120 0 8/6 −20

.

Matrize zabaldu horri dagokion sistema sistema triangeluar hau da:

x − 3y + 2z = 9

− 6y + z = 1286z = − 20

• Orain, banan-banan eta behetik gora, ezezagunak askatuko ditugu:

. 3. ekuaziotik, z = − 208/6

= −15 dugu,

. 2. ekuaziotik, y =12− z

−6=

12− (−15)−6

= −92

dugu, eta

. 1. ekuaziotik, x = 9+3y−2z = 9+3(−92)−2(−15) =

512

dugu.

Beraz, sistema horrek eta jatorrizko sistemak, baliokideak direnez,

soluzio berbera dute: (x, y, z) =(

512

,−92,−15

).

Beste metodo bat askatzeko sistema bat Cramer-en erregela da.

1.8.1.3. Cramer-en erregela.

Definizioa: Ekuazio linealezko sistema bat Cramer-en motakoadela esaten da, baldin ekuazioen eta ezezagunen kopurua berdina badaeta koefizienteen matrizea erregularra (ez-singularra) bada. Hau da, n



ekuazio linealeko eta n ezezaguneko sistema hau Cramer-en motakoada:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn,

non

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann

erregularra baita (hots, det A 6= 0). Ondorioz, sistema bateragarri de-terminatua izango da (izan ere, h(A) = h(A) = n), eta haren soluzioahonela kalkulatzen da:

x1 =1

det A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b1 a12 . . . a1n

b2 a22 . . . a2n...

......

...bn an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣, x2 =

1detA

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 b1 . . . a1n

a21 b2 . . . a2n...

......

...an1 bn . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

. . . , xn =1

det A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . b1

a21 a22 . . . b2...

......

...an1 an2 . . . bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

1.33. adibidea. Askatu sistema lineal hau Cramer-en er-regela erabiliz:

x − 3y + 2z = 9

−2x − 3z = − 6

4x − 10y + 9z = 12

Ebazpena:


§1.8.2.1. IR3-ko bi zuzenen arteko posizioak. 51

Sistema hori era matrizialean idatzia:

1 −3 2−2 0 −34 −10 9

x

y

z

=

9−612

.

Kasu horretan, sistema Cramer motakoa da; izan ere, ezezagunen etaekuazioen kopurua berdina da, eta det A = −8 6= 0. Beraz, sistemarensoluzioa honako hau da:

x =1

detA

∣∣∣∣∣∣

9 −3 2−6 0 −312 −10 9

∣∣∣∣∣∣=

512

, y =1

detA

∣∣∣∣∣∣

1 9 2−2 −6 −34 −12 9

∣∣∣∣∣∣= −9

2,

z =1

detA

∣∣∣∣∣∣

1 −3 9−2 0 −64 −10 12

∣∣∣∣∣∣= −15.

1.8.2. Aplikazioak: planoen eta zuzenen arteko po-sizioak.

1.8.2.1. IR3-ko bi zuzenen arteko posizioak.

Izan bitez IR3-ko zuzen hauek era parametrikoan:

~l1(t) = ~a + t~u ⇐⇒ (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t(u1, u2, u3)~l2(t) = ~b + t~v ⇐⇒ (x, y, z) = (b1, b2, b3) + t(v1, v2, v3),

eta

A =[

u1 u2 u3

v1 v2 v3

], A =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

a1 − b1 a2 − b2 a3 − b3

.

A matrizeko heinaren bidez jakingo dugu bi zuzenen norabideen po-sizioak. Hots,

. h(A) = 1 bada, ~u = λ~v betetzen da eta, beraz, bektoreak kolinealakdira;

. h(A) = 2 bada, ~u eta ~v ez dira kolinealak.

A matrizeko heinaren bidez jakingo dugu ~u, ~v eta ~b − ~a bektoreenposizioa. Azken bektoreak dauka jatorria lehenengo zuzenean eta mu-turra bigarrenean; hau da, lotzen ditu bi zuzenak. Beraz, kasu hauekgerta daitezke:



. h(A) = 2 eta h(A) = 3 badira, hiru bektoreak ez daude plano berean;horrek esan nahi du bi zuzenak gurutzatzen direla.

. h(A) = 2 eta h(A) = 2 badira, ~b− ~a bektorea beste bien konbinaziolineala da. Beraz, hirurak daude plano berean, eta ~u eta ~v kolinealakez direnez, bi zuzenek elkar ebakitzen dute.

. h(A) = 1 eta h(A) = 2 badira, ~u eta ~v kolinealak dira, baina ez ~b−~a

bektorearekin. Orduan bi zuzenak paraleloak dira.

. h(A) = 1 eta h(A) = 1 badira, ~u, ~v eta ~b − ~a bektoreak kolinealakdira. Beraz, bi zuzenak zuzen berbera dira.

1.34. adibidea. Egiaztatu, aurreko metodoa erabiliz, bizuzen hauek paraleloak direla: ~l1(t) = (1,−3,−2) + t(2, 4, 1)eta ~l2(t) = (3, 2, 0) + t(4, 8, 2).

1.8.2.2. IR3-ko bi planoren arteko posizioak.

Izan bitez a1x + b1y + c1z + d1 = 0 eta a2x + b2y + c2z + d2 = 0ekuazioko planoak eta matrize hauek:

A =[

a1 b1 c1

a2 b2 c2

], A =

[a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

].

A matrizearen bidez jakin dezakegu planoetako bektore normalen artekoposizioa (hots, kolinealak diren ala ez). Horretarako h(A) kalkulatukodugu (goiko atalean bezala). Ondorioz,

. h(A) = 2 bada, orduan bi bektore normalak ez dira kolinealak, etanahitaez planoek elkar ebaki behar dute, eta haien ebakidura zuzenbat da.

. h(A) = 1 bada, orduan bi bektore normalak kolinealak dira etah(A)-ren arabera kasu hauek gerta daitezke:

h(A) = 1 bada, lehenengo ekuazioa lor dezakegu bigarrena zen-baki batez biderkatuz. Beraz, plano berbera adierazten dute.

h(A) = 2 bada, bi ekuazioak desberdinak dira, baina bektorenormalak kolinealak dira. Beraz, planoak paraleloak dira.

1.35. adibidea. Egiaztatu bi ekuazio hauetako planoek zuzenbatean elkar ebakitzen dutela: 2x + 3y − 5z = 0 eta x − 4y +6z + 3 = 0. Kalkulatu zuzen horren ekuazio parametrikoak.


§1. 9. Gainazal koadrikoak. 53

1.8.2.3. IR3-ko planoen eta zuzenaren arteko posizioak.

Demagun{

a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0

planoek l zuzena determinatzen

dutela. Izan bedi a3x+b3y+c3z+d3 = 0 ekuazioko p planoa. Ezagutzekol-ren eta p-ren arteko posizioa, matrize hauen heina aztertuko dugu:

A =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

, A =

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

.

A-ko lehenengo bi lerroak elkar ebakitzen duten bi planoetako bek-tore normalak direnez, h(A) gutxienez 2 da. Ondorioz, kasu hauek gertadaitezke:

. h(A) = 3 bada, hiru ekuazioko sistemak soluzio bakar bat dauka,eta 3 planoek puntu batean ebakitzen dute elkar. Beraz, l-k eta p-kpuntu bakar batean ebakitzen dute elkar.

. h(A) = 2 bada, bi kasu hauek ditugu:

h(A) = 2 bada, hirugarren ekuazioa (p planoarena) lor dezakeguaurreko biak konbinatuz. Horrenbestez, sistemak infinitu soluziodauzka, eta l zuzena p planoan dago.

h(A) = 3 bada, sistemak ez dauka soluziorik. Ondorioz, l eta p

paraleloak dira.

1.36. adibidea. Aztertu zuzen hau (egiaztatu hau):{

x + y − z − 3 = 02x + 3y + 4z + 1 = 0,

eta 3x+5y + z +5 = 0 planoaren arteko posizioa. (Em.: Elkar

ebakitzen dute (10,−7, 0) puntuan.)

1.9. Gainazal koadrikoak.

IR3-an ekuazio mota hau duten gainazalak koadrika deitzen dira:

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz

+ 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

non aij guztiak zenbaki errealak diren.



1.9.1. Elipsoidea.

Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

−2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−4−2

0 2

4

X

−4−2

0 2

4Y

−4−2 0 2 4

Z

1.23. irudia. x2/4 + y2/25 + z2/4 = 1 elipsea.

. O(0, 0, 0)-an zentratuta dago eta simetrikoa da plano koordenat-uekiko.

. Ardatz koordenatuek (±a, 0, 0), (0,±b, 0) eta (0, 0,±c) erpinetanebakitzen dute.

. Gainazala |x| ≤ a, |y| ≤ b, |z| ≤ c paralelepipedoak bornatzen du.

. Plano koordenatuekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. a, b eta c ardatzerdien luzerak dira.

. Bi ardatzerdik luzera berdina badute, biraketa-elipsoidea da. Hirurenluzera berdina bada, esfera bat dugu.

1.9.2. Hiperboloide azalbakarra.


x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1.


§1.9.3. Azalbiko hiperboloidea. 55

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−3−2

−1 0

1 2

3

X

−3−2

−1 0

1 2

3

Y

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

Z

1.24. irudia. x2/0.4 + y2/0.4− z2/8 = 1 hiperboloide azal-bakarra.


. Ardatz koordenatuek (±a, 0, 0) eta (0,±b, 0) erpinetan ebakitzendute.

. Ez da bornatua.

. xy planoarekiko sekzio paraleloak elipseak dira.

. xz eta yz planoekiko sekzio paraleloak hiperbolak dira.

. a = b bada, biraketa-hiperboloidea dugu.

1.9.3. Azalbiko hiperboloidea.

Koadrika honen ekuazio bat hau da:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= −1.

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−3−2

−1 0

1 2

3

X

−3−2

−1 0

1 2

3

Y

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

Z

1.25. irudia. x2/0.08+y2/0.08−z2/2 = −1 azalbiko hiper-boloidea.



. Gainazalak bi zati ditu: bata z ≥ c denean eta bestea z ≤ −c denean


. x ardatzak (0, 0,±c) erpinetan ebakitzen du.

. Ez da bornatua.


. xz eta yz planoekiko sekzio paraleloak hiperbolak dira.

. a = b bada, biraketa-hiperboloidea dugu.

1.9.4. Konoa.Koadrika honen ekuazio bat:

x2

a2+

y2

b2= z2.

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

Y

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

Z

1.26. irudia.x2

(1/8)2+

y2

(1/6)2= z2 konoa.

. Gainazalaren erpina O(0, 0, 0) da.

. Simetrikoa da plano koordenatuekiko.

. Ez dago bornatuta.


. xy planoarekiko ebakidura O(0, 0, 0) da.

. xz eta yz planoekiko ebakidurak z = ±x/a eta z = ±y/b dira,hurrenez hurren.

. a = b bada, biraketa-konoa dugu.


§1.9.6. Paraboloide hiperbolikoa. 57

1.9.5. Paraboloide eliptikoa.


x2

a2+

y2

b2= z.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2−2

−1.5−1

−0.5 0

0.5 1

1.5 2

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4

1.27. irudia. x2 + y2 = z paraboloide eliptikoa.

. Gainazalaren erpina O(0, 0, 0) da, eta xy planoaren gainetik dago.

. Simetrikoa da xz eta yz plano koordenatuekiko, beraz z ardatzarekikoere bai.



. xy planoarekiko ebakidura O(0, 0, 0) da.

. xz eta yz planoekiko ebakidurak parabolak dira.

. a = b bada, biraketa-paraboloidea da.

1.9.6. Paraboloide hiperbolikoa.


x2

a2− y2

b2= z.



−4−3−2−1 0 1 2 3 4

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2−2

−1.5−1

−0.5 0

0.5 1

1.5 2

−4−3−2−1 0 1 2 3 4

1.28. irudia. x2 − y2 = z paraboloide hiperbolikoa.

. Simetrikoa da xz eta yz plano koordenatuekiko, beraz, z ardatzarekikoere bai.


. xy planoarekiko sekzio paraleloak hiperbolak dira.

. xz eta yz planoekiko sekzio paraleloak parabolak dira.

. O koordenatu-jatorria minimo puntua da xz planoarekiko ebakidu-rarako. Hots, z = x2

a2 parabolarako.

. O koordenatu-jatorria maximo puntua da yz planoarekiko ebakidu-rarako. Hots, z = −y2

b2 parabolarako.

. Hori dela eta, O puntua minimax edo zeladura-puntu deitzen da.

1.9.7. Zilindro parabolikoa.


x2 = 4cz.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

X

0 1

2 3

4 5

6

Y

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4

Z


§1.9.9. Zilindro hiperbolikoa. 59

1.29. irudia. x2 = z zilindro parabolikoa.

1.9.8. Zilindro eliptikoa.

Koadriko honen ekuazio bat:

x2

a2+

z2

b2= 1.

−1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

X

0

0.5

1

1.5

2

Y

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

Z

1.30. irudia. x2 + z2 = 1 zilindro eliptikoa.

1.9.9. Zilindro hiperbolikoa.

Koadriko honen ekuazio bat:

x2

a2− z2

b2= 1.

−8−6−4−2 0 2 4 6 8

−8−6

−4−2

0 2

4 6

8

X

0

0.5

1

1.5

2

Y

−10

−5

0

5

10

Z

1.31. irudia. x2 − z2 = 1 zilindro hiperbolikoa.


1. gaia: aljebra lineala eta geometria4 1. gaia. aljebra lineala eta geometria. 1.2. irudia....

Documents