1 geometri r2 oppgaver - ndla...r2, geometri (oppgaver) 11 skalarproduktet 1.1.16 tegn en trekant...

R2, Geometri (OPPGAVER)

1

1 Geometri R2 Oppgaver

Innhold 1.1 Vektorer ............................................................................................................................................. 2

1.2 Regning med vektorer ..................................................................................................................... 15

1.3 Vektorer på koordinatform ............................................................................................................. 19

1.4 Vektorprodukt ................................................................................................................................. 22

1.5 Linjer i rommet ................................................................................................................................ 27

1.6 Plan i rommet .................................................................................................................................. 30

1.7 Kuleflater ......................................................................................................................................... 34

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA ................................................................................... 39

Øvingsoppgaver

Stein Aanensen og Olav Kristensen


2

1.1 Vektorer

Regning med vektorer

1.1.1

Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser.

1.1.2

Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter.

En rute svarer til en kraft på 100 N. Hvor store er kreftene?

1.1.3

a) Hvilke vektorer har samme retning?

b) Hvilke vektorer har samme lengde?

c) Hvilke vektorer er like?


3

1.1.4 Figuren viser en rombe ABCD. Tegn vektorer mellom hjørnene.

a) Hvilke vektorer er like?

b) Hvilke vektorer er motsatt rettet?

c) Hvilke vektorer er like lange? 1.1.5 a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidekantene er like lange) i for eksempel GeoGebra.

b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten.

c) Hvor mange ulike vektorer finnes det?


4

1.1.6

Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene.

Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem.

a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du?

b) La u og v være like. Hva observerer du?

c) La u og v være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du?

d) La u og v stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til w ?


5

Addisjon av vektorer

1.1.7

En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den 90mot nord og kjører i denne retningen i 4 km.

Bilen dreier så 90mot vest og kjører 8 km.

a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer.

b) Hva er «resultantforflytningen», lengde og retning?

c) Vi kan også kalle «resultantforflytningen» for «summen av forflytningene». Kan du på dette grunnlag foreslå en måte å summere vektorer på?

1.1.8

Vektorene AB , BC , CD , DE og EA danner en

femkant slik figuren viser.

Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis

mulig.

a) AB BC

b) DC CB BA

c) EA AB

d) EA AB BC

e) BE ED

f) AB CB

g) BA AE


6

1.1.9

Gitt vektorene a og b

Finn vektorene a b og b a . Hva oppdager du?

1.1.10

Vi har gitt tre vektorer som vist figuren.

Tegn vektorene

a) a b

b) c a

c) b c


7

1.1.11

Gitt et rektangel ABCD.

Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis mulig.

a) AB BC

b) AD DC

c) BC AC

d) DC AC

e) AB DC


8

1.1.12

Vi har gitt tre vektorer

Tegn vektorene

a) 1

22

a b

b) 1 2

2 3b c

c) 3

2a b c

1.1.13

Gitt vektorene

Bruk for eksempel GeoGebra og finn:

a) a b c d

b) 1

2a b c

c) 1

22

a b c

d) 1

22

a b c d


9

1.1.14

Gitt vektorene nedenfor.

a) Uttrykk vektorene , ,c d e og f ved hjelp av vektorene a og b .

b) Uttrykk vektorene a og b ved hjelp av vektorene og c d .


10

1.1.15

Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra.

a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD.

b) Finn midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H.

c) Tegn firkanten EFGH.

d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH.

e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD. Hva observerer du?

Vi setter nå , og AB a BC b CD c

f) Vis at EF kan skrives som: 1

2EF a b

g) Vis at HD kan skrives som: 1

2HD a b c

h) Uttrykk HG ved hjelp av , og a b c

i) Hva kan du si om vektorene EF og HG ?

j) Vis at EH FG


11

Skalarproduktet

1.1.16

Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik 1.

a) Finn de andre sidene i trekanten.

b) Bestem verdien til cos30 og cos60 .

1.1.17

Vi har gitt vektorene a og b . 5a , 4b og , 60a b .

Finn skalarproduktet mellom a og b

1.1.18

Vi har gitt vektorene p og q .

Lengden av p er 7, lengden av q er 3 og vinkelen mellom vektorene er 30

a) Regn ut p q

b) Regn ut q p

c) Hva er skalarproduktet mellom p og q ?

d) Hva er prikkproduktet mellom p og q ?

e) Finn 2p

f) Finn 2q


12

1.1.19

Gitt vektorene a og b der 12a og , 60a b . Skalarproduktet mellom a og b er 24.

Finn lengden av b .

1.1.20

Vi har gitt at 2 16u . Finn u .

1.1.21

Gitt vektorene a og b der 12a og 5b . Skalarproduktet mellom a og b er 30.

Finn vinkelen mellom vektorene a og b .

1.1.22

Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.

a) Finn lengden til hypotenusen.

b) Bestem cos45


13

1.1.23

Gitt vektorene a og b der 3a og 8b .

Finn skalarproduktet mellom a og b når

a) , 0a b

b) , 45a b

c) , 90a b

d) , 135a b

e) , 180a b

f) Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven?

1.1.24

Vi har gitt vektorene F og s . 150F , 120s .

a) Finn skalarproduktet mellom F og s når vinkelen mellom vektorene er 30 .

La F være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen på fjorden. Siden en kraft

måles i N(Newton), sier vi at 150 NF . Magnus drar kjelken sin 120 m. Vi sier at forflytningen er

120 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, s , er 120 m, 120 ms . Magnus drar med en kraft

som har retning 30 i forhold til forflytningen.

Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F og s .

b) Hvor stort arbeid utfører Magnus?

c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen

d) Hva blir måleenheten for arbeidet?


14

1.1.25

Gitt vektorene a og b der 5a , 4b og , 60a b .

Regn ut 2 2 3a a b a b

1.1.26

Gitt vektorene og a b der 3 og 4a b . Vinkelen mellom vektorene er 60 .

Vektorene og u v er gitt ved 2 og 3 4u a b v a b .

a) Finn 2 2, og .a b a b

b) Finn u v

c) Finn vinkelen mellom og u v

1.1.27

La 5a , 3b og ( , ) 60a b

Gitt u a b og v a b .

a) Finn lengden av u og lengden av v .

b) Finn vinkelen mellom u og v .


15

1.2 Regning med vektorer

1.2.1

a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform.

b) Hvilke vektorer er parallelle?

c) Hvilke vektorer er like?

1.2.2

Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem

2,5a

3,2b

5, 3c

4, 2d

3,0e

0, 6f


16

1.2.3

Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene

a) 2,5

b) 3,2

c) 4,0

1.2.4

Gitt vektorene 2,3a , 3, 5b og 1, 6c

Finn

a) a b

b) a b

c) a b c

d) c b a

1.2.5

a) Uttrykk a , b og c fra oppgave 1.2.4 ved hjelp av enhetsvektorene.

b) Gjør oppgave 1.2.4 a og c når vektorene skrives på denne formen.

Får du samme resultat som i oppgave 1.2.4?

1.2.6

Gjør oppgavene i 1.2.4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar.


17

Multiplikasjon av vektor med tall

1.2.7

Gitt vektorene 2,3a , 3,5b og 1, 6c . Regn ut

a) 3 2 4a b c

b) 5 3 4a c b

1.2.8

Gitt punktene 4,0A , 3,5B , 0,7C , 3,5D , 4,0E , 3, 5F og 3, 5G

a) Bestem vektorene , , , , ogAB CD EF GC FA EC

b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.

( For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.)

c) Finn lengdene til vektorene i a)

1.2.9

Gitt vektorene 3,2 og 1,4 .

a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.

b) Vis at 3 2 4x y x ye e e e kan skrives som 2 23 14 8x x y ye e e e .

c) Vis at skalarproduktet 2 21 og 1x x x y y ye e e e e e .

d) Vis at skalarproduktet 0x ye e .

e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b)

f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene 3,2 og 1,4 kan skrives som:

3,2 1,4 3 1 2 4 3 8 11


18

1.2.10

Vi har gitt vektorene 2,3a , 3, 5b

a) Finn skalarproduktet mellom vektorene

b) Finn lengden til vektorene

c) Finn vinkelen mellom vektorene

1.2.11

Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren til

høyre. Du ser for eksempel at vektoren c har

koordinatene 4,3 .

a) Skriv alle vektorene på koordinatform.

b) Finn og ca b d

c) Finn lengdene av og e g

d) Sjekk ved regning om c d .

e) Sjekk ved regning om c e .


19

1.3 Vektorer på koordinatform

1.3.1

Skriv vektorkoordinatene til følgende vektorer

1.3.2

Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene

a) 2,5,1

b) 3,2,3

c) 4,0, 2


20

1.3.3

Vi har gitt vektorene 2,3, 1a , 3,5,2b og 1, 6,4c .

Regn ut

a) a b

b) a b

c) a b c

d) c b a

e) 3 2 4a b c

f) 5 3 4a c b

1.3.4

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B , 0,7,2C , 3,5,2D og 4,0,9E

a) Bestem vektorene , ogAB CD EC .

b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.

c) Finn lengdene til vektorene i a).

1.3.5

Vi har gitt vektorene 2,3,4a , 3,5,2b

a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.

b) Finn lengden til vektorene.

c) Finn vinkelen mellom vektorene.


21

1.3.6

I er 1, 0, 1 , 1, 1, 0 og 0, 1, 1 .ABC A B C

a) Regn ut omkretsen av trekanten. Hva slags trekant er dette?

b) Vis at arealet av trekanten er 3 3

2.

1.3.7

Gitt punktene 1, 1, 1 , 3, 3, 2 , 2, 1, 2 .A B C Finn BAC .

1.3.8

Gitt punktene 2, 3, 7 , 3, 5, 2 , 1, 1, 5A B C og 3, 5,D t .

a) Bestem en verdi for t slik at AB AD .

b) Undersøk om det finnes en verdi for t slik at AB CD .


22

1.4 Vektorprodukt

1.4.1

Regn ut vektorproduktene.

a) 2,5,1 1,2,3

b) 1,2,3 2,5,1

c) 3,2,3 4,2,6

d) 4,0, 2 3, 1,2

e) 3, 2,0 4,5,0

f) 0,2,1 0, 3,4

g) 2,0,3 4,0,1

h) x ye e

i) x ze e

j) y ze e

k) y xe e

l) Bruk et digitalt verktøy til å kontrollere svarene i a) – e).

1.4.2

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B og 0,7,2C i et koordinatsystem.

Finn arealet av ABC .


23

1.4.3

Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave 1.4.2.

1.4.4

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B , 0,7,2C og 3,5,4D i et koordinatsystem.

a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av AB , AC og AD .

b) Finn volumet av pyramiden med firkantet grunnflate utspent av AB , AC og AD .

c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av AB , AC og AD .

1.4.5

Bruk et digitalt verktøy til å løse oppgave 1.4.4.


24

1.4.6

Gitt punktene 0,0,0A , 3,0,0B , 0,4,0C og 0,0,5D i et koordinatsystem.


b) Finn volumet av pyramiden med en firkantet grunnflate utspent av AB , AC og AD .

c) Finn volumet av pyramiden med trekantet grunnflate (tetraederet) utspent av AB , AC og AD .

d) Svar på oppgave a), b) og c) uten å bruke vektorregning.

1.4.7

Gitt punktene 2,0,1A , 4, 1,0B , 4,2,3C og 6, 5, 4D i et koordinatsystem.


b) Hva kan du si om punktene A, B, C og D ut fra svaret i a)?

1.4.8

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B , 0,7,2C og 3,5,4D i et koordinatsystem

som i oppgave 1.4.4.

a) Finn volumet av parallellepipedet utspent av BA , BC og BD .

b) Finn volumet av parallellepipedet utspent av CA , CB og CD .

c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av DA , DB og DC .


25

1.4.9

AG , BH , CE og DF er diagonaler i parallellepipedet utspent av AB a , AD b og AE c .

Vis at midtpunktene til diagonalene skjærer hverandre i ett punkt.

1.4.10

a) Tegn et rett prisme med sidekanter a , b og c .

b) Vis at volumet av prismet er gitt ved V a b c .

c) Vis på tegningen at vi kan dele opp prismet i 6 pyramider med firkantete grunnflater.

d) Lag en formel for volumet til hver av disse pyramidene.

e) Legg sammen formlene for pyramidevolumene og vis at du får samme formel for volumet til det

rette prismet.

1.4.11

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B og 0,7,2C i et koordinatsystem.

Finn avstanden fra C til linjen gjennom A og B .


26

1.4.12

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B , 0,7,2C og 3,5,4D

Finn avstanden fra D til planet gjennom A og B og C.

(Tips: Tenk to metoder for å finne volumet til et tetraeder.)

1.4.13

Gitt punktene 4,0,2A , 3,5,1B , 0,7,2D og 3,5,4 .E Punktene ABCD danner grunnflaten i et

parallellepiped, der AE er en sidekant.

a) Finn koordinatene til punktet C.

b) Finn vinklene i trekanten ABE.

c) Finn avstanden fra punktet E til grunnflaten ABCD.

Punktene EFGH danner toppflaten i parallellepipedet.

d) Finn avstanden mellom grunnflaten og toppflaten


27

1.5 Linjer i rommet

1.5.1

a) En linje l går gjennom punktet 2 , 4 , 4S og har retningsvektoren 1 ,2 ,2 . Sett opp en

parameterframstilling for l .

b) Vis at linja l går gjennom origo.

1.5.2

En linje m er gitt ved parameterframstillingen

4 2

: 1

2 2

x t

m y t

z t

a) Finn skjæringspunktet mellom linjen m og xy - planet.

b) Finn avstanden fra origo til linja m .


28

1.5.3

Gitt punktene (2 , 0 , 0)A , (0 , 4 , 0)B , (0 , 0 , 6)C og (1 , 2 ,6)D i et koordinatsystem.

a) Bestem lengdene AB , AC og BAC , når du får oppgitt at 1 1cos 81,9

50

.

b) Vis at ABCD er et trapes.

c) Finn avstanden fra A til linja gjennom B og C .

1.5.4

a) Finn en parameterframstilling for linja l som går gjennom punktet 1,2,3A og har

retningsvektoren 2,1, 1v .

b) Finn hvor linja l skjærer xy -planet.

c) Punktet S er gitt ved (4, 1,2)S . La , ,P x y z være et vilkårlig punkt på linja l .

Vis at 3 2 , 3 , 1SP t t t .

d) Bestem t slik at SP står vinkelrett på linja l .

e) Hva blir avstanden fra S til linja l ?


29

1.5.5

En linje er gitt ved vektorfunksjonen 1 2 , 4 5 , 3r t t t t .

Finn avstanden fra punktet 3, 1, 2A til linja.

1.5.6

Linjene m og n er gitt ved

1 2

:

1

x t

m y t

z t

: 2

1 2

x s

n y s

z s

a) Finn vinkelen mellom linjene og m n .

b) Finn vinkelen mellom linja m og x aksen.

c) Finn vinkelen mellom linja n og y aksen

1.5.7

Linjene m og n er gitt ved

1 2

:

1

x t

m y t

z t

: 2

1 2

x s

n y s

z s

Finn avstanden mellom linjene og m n . (NB! Uten hjelpemidler)


30

1.6 Plan i rommet

1.6.1

Et plan har normalvektoren 2, 1, 3 og går gjennom punktet 1, 3, 1 .

Finn likningen for planet.

1.6.2

Gitt punktene (3, 0, 0), (0, 4, 0) og (0, 0, 4)A B C i et koordinatsystem.

a) Finn koordinatene til AB og AC .

b) Vis at en likning for planet gjennom A , B og C er gitt ved 4 3 3 12x y z .

c) Sjekk om punktet 3, 2, 2 ligger i planet .

1.6.3

Finn skjæringspunktet mellom linjen l og planet gitt ved

5

: 6 2

1 5

x t

l y t

z t

: 2 3 1x y z

1.6.4

Planet er gitt ved 2 3 4 0x y z .

Finn hvor planet skjærer koordinataksene.


31

1.6.5

Gitt planene : 2 3 3 0 og : 3 2 1 0x y z x y z

Finn vinkelen mellom planene og når du får oppgitt at 1 1cos 85,9

14

1.6.6

Et plan går gjennom punktene

1,0,1 , 0,1,1 og 0,0,2A B C

Et annet plan går gjennom punktene

1,1,0 , 2,0,1 og 0,1,1D E F

Finn vinkelen mellom planene og

1.6.7

Linjen l er gitt ved parameterframstillingen

4 2

: 1

2 2

x t

l y t

z t

Finn vinkelen mellom linjen og planet gitt ved 2 3 4 4 0x y z når du får oppgitt at

1 1cos 93,5

29 3

.

1.6.8

Et plan er gitt ved 4 3 3 12x y z . Finn avstanden fra planet til origo.

1.6.9

Gitt punktene 3 , 3 , 0A , 0 ,2 , 4B og 0 , 0 , 6C i et koordinatsystem.

Finn en parameterfremstilling for planet bestemt av punktene A , B og C .


32

1.6.10

Gitt tre punkt 3 , 3 , 0A , 0 ,2 , 4B og 0 , 0 , 6C i et koordinatsystem.

a) Vis at vektoren 1 ,1 ,1 står normalt på planet gjennom A , B og C .

b) Vis at planet gjennom punktene A , B og C er gitt ved likningen

6 0x y z

c) Finn avstanden fra origo til planet .

En rett linje l er gitt ved en vektorfunksjon r der

3 , 1 2 , 1 3r t t t t

d) Finn skjæringspunktet mellom linjen l og planet .

e) Finn vinkelen mellom linjen l og z – aksen når du får oppgitt at 1 3cos 36,7

14

.

1.6.11

Planet er gitt ved 2 3 4 12 0x y z .

a) Finn en parameterframstilling for linjen l som går gjennom (3, 2, 4) og står vinkelrett på α.

b) Finn hvor linjen l skjærer xy -planet.

c) P er et punkt på linjen l . Gitt punktet ( 3, 5,3)D .

Vis at 6 2 ,7 3 ,1 4DP t t t

d) Bestem t slik at DP står vinkelrett på linjen l .

e) Finn avstanden fra punktet D til linjen l .


33

1.6.12

En likningsfremstilling for en rett linje i rommet er gitt ved likningssettet

2 3 4 4 0

6 7 8 4 0

x y z

x y z

Finn en parameterfremstilling for linjen gitt ovenfor

1.6.13

a) Finn en likningsfremstilling for planet gitt ved parameterfremstillingen

1 2 2 4 3 2 3 4 4x t s y t s z t s

b) Finn en parameterfremstilling for planet gitt ved 2 3 4 12 0x y z


34

1.7 Kuleflater

1.7.1

Undersøk om likningene representerer kuleflater, og finn i så tilfelle sentrum og radius.

a) 2 2 2

1 2 6 36x y z

b) 2 2 24 2 8 17 0x x y y z z

c) 2 2 24 10 7x x y z z

d) 2 2 28 2 6 31x x y y z z

e) 2 2 22 2 3 2 6 4x x y y z z

1.7.2

Undersøk ved regning om kuleflaten gitt ved likningen 2 2 2 21 3 3x y z og planet gitt ved

likningen 2 3 4 20 0x y z skjærer hverandre.


35

1.7.3

Gitt kuleflaten 2 2 2 21 3 3x y z

a) Undersøk ved regning om kuleflaten skjærer noen av koordinataksene.

Finn eventuelle skjæringspunkter.

b) Finn et punkt som ligger på kuleflaten.

c) Forklar hvordan du vil gå fram for å undersøke om et gitt punkt ligger inne i kula, på kuleflaten

eller utenfor kula.

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved 2 2 2 21 3 3x y z .

Vi har også tegnet tangentplanet til kuleflaten i punktet 1,1,1 .

d) Finn likningen for dette tangentplanet.

e) Hva kan du si om alle linjer som ligger i tangentplanet du fant i d)?

Hva er et

tangentplan?


36

1.7.4

Gitt kuleflaten 2 2 2 21 3 3x y z

En linje l er gitt ved parameterframstillingen

4 2

: 1

2 2

x t

l y t

z t

a) Undersøk om linjen skjærer kuleflaten og finn eventuelle skjæringspunkter.

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet kuleflaten gitt ved 2 2 2 21 3 3x y z .

Vi har også tegnet et plan parallelt med xy -planet i høyden 2 over xy -planet.

b) Finn likningen for skjæringskurven mellom kuleflaten og planet.

Hva slags kurve får vi?

Tips!

Hva er likningen for et plan

parallelt med xy-planet i

høyden 2 over xy-planet?


37

1.7.5

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet fem kuleflater plassert med sentrum på x -aksen og med

radius 1. Kulene tangerer hverandre og den midterste kulen har sentrum i origo.

a) Finn en parameterframstilling for hver av kuleflatene.

b) Gjør det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på

y - aksen.


38

c) Gjør også det samme for fem kuleflater som er plassert på tilsvarende måte med sentrum på

z - aksen.

d) Lag likningsfremstillinger for kuleflatene i a).

e) Lag parameterfremstillinger for kuleflatene i 1.7.1 a) og b).


39

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet!

Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter!

Geometri Algebra Funksjoner Differensiallik

ninger

Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2

H15 5, 7 4 9 3 1, 2, 3, 4, 6 1, 5 8 2

V15 5 2 4, 6 1, 2, 3a, 7,

8, 9

3, 4 3b 1

H 14 4 3, 5 7 1 1, 2, 5, 6 4 3 2

V 14 5 1, 2 4 4 1, 2, 3, 6 5, 6 7 3

H 13 3 6 4, 7 4 1, 2, 6 1, 2, 5 5 3

V 13 3 3 5, 7 6 1, 2, 6 2, 4, 5 4 1

H 12 3 3 5, 8 4 1, 2, 6, 7 1, 5, 6 4 2

V 12 2 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c,

3

4, 5 1d 6

H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e 2, 4 1f 6

V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 2

H 10 1d 3 1a, 1b, 2 4 1c 5

V 10 2 5, 6 alt2 1a, 1b, 1d,

1e

4 1c 3, 6

alt1

H 09 2 3 1e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5

V 09 1d, 2 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3

E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c,

1e, 1f

2 1h 4

1 geometri r2 oppgaver - ndla...r2, geometri (oppgaver) 11 skalarproduktet 1.1.16 tegn en trekant...

Documents