1 glava 1 kor iz 2010-11.pdf
DESCRIPTION
glava 1TRANSCRIPT
V. Strezoski, Fakultet tehničkih nauka Novi Sad
ANALIZA ELEKTROENERGETSKIH SISTEMA
GLAVA 1MATEMATIČKI ELEMENTI
1
Novi Sad, 2011/2012
SADRŽAJ GLAVE 1 str.
GLAVA 1 – MATEMATIČKI ELEMENTI 41.1 PROSTOPERIODIČNE VELIČINE 41.2 KOMPLEKSNI BROJEVI I FUNKCIJE 111.2.1 KOMPLEKSNI BROJEVI I OSNOVNE OPERACIJE 111.2.2 KOMPLEKSNE FUNKCIJE I JEDNAČINE 191.2.2.1 Kompleksne funkcije jedne nezavisno-promenljive veličine i jednačine s
jednom nepoznatom veličinom 20
1.2.2.2 Kompleksne funkcije s više nezavisno-promenljivih veličina i sistemi 22 kompleksnih jednačina s više nepoznatih veličina1.3 MATRICE I DETERMINANTE 26
1.3.1 SABIRANJE (ODUZIMANJE) MATRICA 291.3.2 MNOŽENJE MATRICA 291.3.3 INVERZIJA MATRICA 311.4 SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA 321.4.1 METOD DETERMINANTI 331.4.2 MATRIČNI METOD 361.4.3 GAUSS-OV METOD SUKCESIVNIH ELIMINACIJA – GAUSS-OVA 36 REDUKCIJA1.4.4 TEHNIKA RETKIH MATRICA 421.4.4.1 Memorisanje retkih matrica i operacije s njihovim elementima 431.4.4.2 Numeracija jednačina i nepoznatih veličina 481.4.4.3 Efikasnost primene tehnike retkih matrica 541.5 TAYLOR-OV RED 551.5.1 TAYLOR-OV RAZVOJ JEDNE FUNKCIJE S JEDNOM PROMENLJIVOM 551.5.2 TAYLOR-OV RAZVOJ FUNKCIJE S VIŠE PROMENLJIVIH 591.6 SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 601.6.1 GAUSS-OV METOD 601.6.1.1 Jedna jednačina 611.6.1.2 Sistem jednačina 631.6.2 GAUSS/SEIDEL-OV METOD 671.6.3 NEWTON/RAPHSON-OV METOD 691.6.3.1 Jedna jednačina 691.6.3.2 Sistem jednačina 761.6.3.3 Metod sečice konstantnog pravca 831.6.4 DISKUSIJA NELINEARNIH PROBLEMA 871.7 OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE 89
2
GLAVA 1MATEMATIČKI ELEMENTI
U ovoj glavi su izloženi elementi matematike koji su potrebni za analizu stacionarnih režima elektroenergetskih sistema (EES). To su: prostoperiodične veličine, kompleksni brojevi, matrice i determinante, linearne jednačine, Taylor-ov red, nelinearne jednačine i obične diferencijalne jednačine prvog reda.
1.1 PROSTOPERIODIČNE VELIČINE
Za funkciju cosinus (sinus), s vremenom t kao nezavisno-promenljivom veličinom, kaže se da je prostoperiodična funkcija vremena, ili samo prostoperiodična funkcija, odnosno prostoperiodična veličina. Jedna takva veličina prikazana je na Slici 1.1.1. Njena analitička forma glasi:
)π2cos()cos()( θθω +=+= ftXtXtx mm , (1.1.1)
pri čemu su korišćene sledeće oznake:
Xm – maksimalna vrednost (amplituda) prostoperiodične veličine; – kružna učestanost [rad/s]=2/T=2f, gde je T perioda [s], a f učestanost
prostoperiodične veličine [1/s]; fT /1= ; – fazni stav (početni ugao, ili samo ugao) prostoperiodične veličine [rad];tm – vreme kada je prostoperiodična veličina x(t) bila u svom maksimumu koji je najbliži
koordinatnom početku (tm<0 na Slici 1.1.1); zbog periodičnosti funkcije, to može da bude trenutak u kojem se uspostavio bilo koji maksimum.
T
0 t
)(tx
mX θcosmX
mt
( )θθω +=+= ftXtXtx mm π2cos)cos()(
Slika 1.1.1 – Prostoperiodična veličina
Za situaciju prikazanu na Slici 1.1.1, za t=tm, ima se x(t)=Xm, odnosno tm+=0. Odavde sledi da je mt= −θ ω , tj. θ >0. Pozitivna vrednost faznog stava θ tumači se tako da prostoperiodična veličina x(t) "prednjači" za ugao θ, ili vreme |tm|, ispred svih prostoperiodičnih veličina koje svoj maksimum dostižu u trenutku t=0 [npr: y(t)=Ymcost]. Pri tom važi i obrnuto, za θ<0 (tm>0),
3
prostoperiodična veličina x(t) kasni iza svih prostoperiodičnih veličina tipa y(t)=Ymcost, za ugao θ ili vreme tm. Ili na drugi način: prostoperiodična veličina s većim faznim stavom prednjači u odnosu na prostoperiodičnu veličinu s manjim faznim stavom.
Dve prostoperiodične veličine jednake su ako i samo ako su im jednake amplitude, učestanosti i fazni stavovi.
Stav 1.1.1 – Prostoperiodična veličina pomnožena s konstantom (realnim brojem različitim od nule) ostaje prostoperiodična veličina iste učestanosti.
Pošto je ovde u pitanju množenje konstante s funkcijom, dokaz ovog stava je trivijalan. Ali, ipak, ovaj stav treba da se komentariše sa aspekta znaka konstante koja učestvuje u množenju. Naime, s obzirom da je prostoperiodična veličina definisana s pozitivnom amplitudom, množenje prostoperiodične veličine )cos()( θω += tXtx m s konstantom c može da se iskaže na sledeći način:
( ) ( )cos cosm x m ycX t Y t+ = +ω θ ω θ , (1.1.2)
pri čemu su:
mm XcY = ,
<+>
=0,
0,c
c
x
xy πθ
θθ , (1.1.3)
Stav 1.1.2 – Zbir (razlika) dve prostoperiodične veličine istih učestanosti jeste prostoperiodična veličina te učestanosti.
Sledi dokaz ovog stava. Neka se razmatraju dve prostoperiodične veličine )(1 tx i )(2 tx , jednakih učestanosti:
)cos()(),cos()( 222111 θωθω +=+= tXtxtXtx . (1.1.4)
U izlaganjima koja slede subskript "m" nije ekspliciran uz amplitude razmatranih prostoperiodičnih veličina radi pojednostavljenja njihovog zapisa.
Zbir (1.1.4) može da se iskaže sukcesivno sledećim izrazima:
tbtatXXtXX
tXtXtXtXtXtXtxtx
ωωωθθωθθ
θωθωθωθωθωθω
sincossin)sinsin(cos)coscos(
sinsincoscossinsincoscos)cos()cos()()(
22112211
22221111
221121
−=+−+=
−+−=+++=+
, (1.1.5)
pri čemu su sa a i b označene konstante:
1 1 2 2 1 1 2 2cos cos , sin sina X X b X Xθ θ θ θ= + = + . (1.1.6)
4
Ako se konstante a i b shvate respektivno kao apscisa i ordinata tačke A u pravouglom Descartes-ovom1 koordinatnom sistemu – Slika 1.1.2, onda one mogu da se prikažu preko rastojanja tačke A od koordinatnog početka X i ugla θ koji duž OA zaklapa sa apscisom:
cos , sina X b X= =θ θ , (1.1.7)
pri čemu su:
22 baX += , abarctg=θ . (1.1.8)
A
x
y
θ
X
Slika 1.1.2 – Dva skalara prikazana kao koordonate u Descartes-ovom pravouglom koordinatnom sistemu
b
a
0
Tačka A može da bude u bilo kom od četiri kvadranta, odnosno ugao θ može da ima bilo koju vrednost između 0 i 2π radijana. On se određuje saglasno sa sledećim relacijama, u kojima se
koristi da je 2πarctg0 <<
ab
, za 0≠ab , nezavisno od znakova brojeva a i b :
0,0 >> ba (θ je u prvom kvadrantu) ⇒ ;arctgab=θ (1.1.9a)
0,0 >< ba (θ je u drugom kvadrantu) ⇒ ;πarctg +−=abθ (1.1.9b)
0,0 << ba (θ je u trećem kvadrantu) ⇒ ;πarctg +=abθ (1.1.9c)
0,0 <> ba (θ je u četvrtom kvadrantu) ⇒ ;arctgab−=θ (1.1.9d)
0,0 => ba ⇒ ;0=θ (1.1.9e)
0,0 =< ba ⇒ ;π=θ (1.1.9f)
0,0 >= ba ⇒ ;2π=θ (1.1.9g)
0,0 <= ba ⇒ .2π−=θ (1.1.9h)
1 René Descartes (Renatus Cartesius), francuski matematičar, filozof i naučnik, 1596 – 1650.
5
S tako shvaćenim konstantama a i b, poslednjem obliku izraza (1.1.5) mogu da se daju sledeće dve forme:
)cos(sinsincoscos)()( 21 θωωθωθ +=−=+ tXtXtXtxtx , (1.1.10)
čime je dokaz Stava 1.1.2 završen. Dakle, zbir dve prostoperiodične veličine istih učestanosti jeste prostoperiodična veličina te učestanosti, sa amplitudom i faznim stavom datim relacijama (1.1.10).
Na osnovu ovog stava nije teško da se zaključi da sabiranje prostoperiodičnih veličina može da se formalizuje saglasno sa sabiranjem vektora koristeći se pravilom nadovezivanja. To je pravilo demonstrirano na Slici 1.1.3. (Ovo pravilo je ekvivalentno pravilu paralelograma za sabiranje vektora.)
Da i razlika dve prostoperiodične veličine jednakih učestanosti jeste prostoperiodična veličina te učestanosti direktno sledi iz prethodna dva stava. Naime, razlika dve prostoperiodične veličine može da se tretira kao zbir prve i druge prostoperiodične veličine – Stav 1.1.2, pri čemu je druga prethodno pomnožena s minus jedinicom (pomnožena s konstantom – Stav 1.1.1).
Slika 1.1.3 – Demonstracija pravila nadovezivanja za sabiranje prostoperiodičnih veličina
θ1
θ2
θ1 X1
X2
X
θ
Na osnovu ova dva stava, očigledno je da je rezultat sume prostoperiodičnih veličina iste učestanosti (neki od sabiraka u sumi mogu da budu sa znacima minus) takođe prostoperiodična veličina te učestanosti.
U vezi s prostoperiodičnim veličinama, isključivo za potrebe materije koja se izlaže u ovoj knjizi, uvodi se sledeća definicija:
Definicija 1.1.1 – Skup prostoperiodičnih veličina, zajedno sa stavovima 1.1.1 i 1.1.2 , čini sistem prostoperiodičnih veličina.
Stav 1.1.3 – Izvod prostoperiodične veličine jeste prostoperiodična veličina iste učestanosti; Ako se sa X označi amplituda prostoperiodične veličine x(t), a sa ω njena kružna učestanost, onda amplituda njenog izvoda iznosi ωX, a njen fazni stav se povećava za π/2 radijana.
Dokaz: Ako se razmatra prostoperiodična veličina:
( ) cos( )x t X tω θ= + , (1.1.11)
onda njen izvod glasi:
6
)2πcos()sin()cos(
dd
d)(d ++=+−=+= θωωθωωθω tXtXt
tX
ttx
. (1.1.12)
Dakle, "izvod prednjači ispred prostoperiodične veličine za π/2".
Stav 1.1.4 – Integral prostoperiodične veličine jeste prostoperiodična veličina iste učestanosti, uvećana za konstantu A; Ako se sa X označi amplituda prostoperiodične veličine x(t), a sa ω njena kružna učestanost, onda amplituda prostoperiodične veličine u njenom integralu iznosi X/ω, a fazni stav se umanjuje za π/2 radijana.
Dokaz: Ako se razmatra prostoperiodična veličina:
( ) cos( )x t X tω θ= + , (1.1.13)
onda njen integral iznosi:
AtXAtXdttXttx +−+=++=+= ∫∫ )2
cos()sin(1)cos(d)( πθωω
θωω
θω . (1.1.14)
Dakle, za nultu konstantu integracije ( 0=A ), "integral kasni za prostoperiodičnom veličinom za π/2".
***********************Primer P1.1.1
Data je prostoperiodična veličina )6πcos(2220)( += ωttx , ƒ=50 [Hz]. Potrebno je:
a) Grafički predstaviti prostoperiodičnu veličinu )(tx ;b) Odrediti i grafički predstaviti sledeće prostoperiodične veličine:
)(3)( txty = i )(3)( txtz −= (ilustracija Stava 1.1.1); c) Odrediti prostoperiodične veličine )()()( tztxtc += i )()()( txtytd −= (ilustracija stava
1.1.2);
d) Naći izvod prostoperiodične veličine ttx
d)(d
(ilustracija stava 1.1.3);
e) Naći neodređeni integral prostoperiodične veličine tty d)(∫ (ilustracija Stava 1.1.4).
Rešenje
Perioda prostoperiodične veličine sa učestanošću Hz50=f iznosi ms20=T .
a)Prostoperiodična veličina )(tx dostiže svoj maksimum koji je najbliži trenutku t=0 kada je izraz
+
6πωt jednak je nuli, odakle sledi da je
6π−=ωt . To znači da razmatrana prostoperiodična
veličina prednjači za 6π
, odnosno za jednu dvanaestinu od 20ms=1.67ms, ispred svih
prostoperiodična veličina koje dostižu svoj maksimum u trenutku 0=t . Ona je grafički predstavljena na Slici P1.1.1.1.
7
Slika P1.1.1.1 – Grafička predstava prostoperiodične veličine x(t)Napraviti mrežu, staviti apscisu i ordinatu kroz nulu i standardno ih označiti.
b)
)6πcos(2380)
6πcos(22023)( +=+= ωtωtty ,
)6
7πcos(2380π)6πcos(2380)
6πcos(22023)( +=++=+−= ωtωtωttz .
Funkcije )(ty i )(tz prikazane su na Slici P1.1.1.2.
- 0 . 0 1 5 - 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5 0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2- 6 0 0
- 4 0 0
- 2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
t [ s ]
z ( t )
Slika P1.1.1.2 – Grafička predstava prostoperiodične veličine z(t); njena negativna vrednost (simetrična funkcija u odnosu na vremensku osu) predstavlja prostoperiodičnu veličinu y(t)
Staviti apscisu i ordinatu kroz nulu i standardno ih označiti.
c)
.268.7)sin(155.563465.4)cos269.443(
sin)6
7πsin23806πsin2220()cos
67πcos2380
6πcos2(220
67πsinsin2380
67πcoscos2380
6πsinsin2220
6πcoscos2022
)6
7πcos(2380)6πcos(2220)()()(
ωtωt
ωtωt
ωtωtωtωt
ωtωttztxtc
−−−=
+−+=
−+−=
=+++=+=
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
t[s]
x(t)
8
Saglasno sa (1.1.5), ovom zbiru može da se da sledeća forma:
tbtatztx ωω sincos)()( −=+ ,
pri čemu konstante a i b iznose:
975.1954.465443.269 −=−=a ,13.1137.268563.155 −=−=b .
Sada, prostoperiodična veličina )(tc može da se iskaže na sledeći način:
)cos()( θ+= ωtCtc .
Saglasno sa (1.1.8) i (1.1.9c) dobija se:
28.226)13.113()975.195( 2222 =−+−=+= baC ,
67ππ
6π
195.975113.13arctgarctg =+=
−−==
abθ ,
pa traženi zbir prostoperiodičnih veličina glasi:
)6
5πcos(2160)()6
7πcos(2160)6
7π6.28cos(22)( −==+=+= ωttcωtωttc ,
pri čemu je negativni fazni stav od 6
5π− bliži početnom trenutku nego pozitivni fazni stav od 6
7π+
.
Na sličan način se za razliku prostoperiodičnih veličina dobija:
).6πcos(ω2160
π)6πcos(2220)
6πcos(2380
)6π(cos2220)
6πcos(2380
)6πcos(2220)
6πcos(2380)()()(
+=
++++=
+−++=
+−+=−=
t
ωtωt
ωtωt
ωtωttxtytd
d)
Ako se primene sledeći trigonometrijski identiteti: )2πcos(sin −= αα i )πcos(cos +=− αα ,
traženi izvod glasi:
9
).6
4πcos(ω2220
)3
2πcos(2220)2π
6πωcos(2202
)6πsin(2220)
6πcos(
dd2220)
6πcos(2220
dd
d)(d
+=
+=++=
+−=
+=
+=
tω
ωtωωt
ωtωωtt
ωttt
tx
).6
4πcos(ω2220
)3
2πcos(2220)2π
6πcos(2202)
2π
6πcos(2202
)6πsin(2220)
6πcos(
dd2220)
6πcos(2220
dd
d)(d
+=
+=++=−+−=
+−=
+=
+=
tω
ωtωωtωωtω
ωtωωtt
ωttt
tx
e)
Za izračunavanje ovog integrala koristiće se sledeća smena:
vωt =+6π
⇒ vt dd =ω ⇒ ωdd vt = .
Ako se primeni ta smena, zadati integral glasi:
,)6
2πcos(23801A)2π
6πcos(23801
)6πin(2380
ω1dcos2380
ω1d)
6πcos(2380
Aωtω
ωtω
Aωtsvvtt
+−=+−+=
++==+ ∫∫ ω
pri čemu je sa A označena konstanta integracije. ***********************
1.2 KOMPLEKSNI BROJEVI I FUNKCIJE
U ovom delu se obrađuju osnovne operacije s kompleksnim brojevima i kompleksne funkcije.
1.2.1 KOMPLEKSNI BROJEVI I OSNOVNE OPERACIJE
Uređen par realnih brojeva a i b predstavlja kompleksan broj A u notaciji:
baA jˆ += , (1.2.1.1)
pri čemu je sa j označena imaginarna jedinica definisana na sledeći način:
2j 1= − . (1.2.1.2)
Realni brojevi a i b predstavljaju respektivno realni i imaginarni deo kompleksnog broja A :
10
a = Re{ A } i b = Im{ A }. (1.2.1.3)
Kompleksni brojevi mogu da se predstave grafički u kompleksnoj ravni kao na Slici 1.2.1.1a. Na njoj je sa Re označena realna osa, na koju se nanose realni delovi, a sa Im imaginarna osa, na koju se nanose imaginarni delovi kompleksnih brojeva. Kompleksni broj A predstavljen je tačkom u toj ravni. Kao što se vektori predstavljaju u ravni, tako se i kompleksni brojevi u kompleksnoj ravni, pored tačkama, predstavljaju i strelicama – Slika 1.2.1.1b.
Modul A kompleksnog broja A (Slika 1.2.1.1), realan je i pozitivan broj koji je određen izrazom:
22 baA += . (1.2.1.4)
Dakle, modul kompleksnog broja jednak je rastojanju od koordinatnog početka kompleksne ravni do predstavnika kompleksnog broja u toj ravni (tačke ili vrha strelice).
Re
Im
a
b
θ a θ Re
Im b
(a) (b)
Slika 1.2.1.1 – Grafički prikaz kompleksnog broja A s tačkom (a), odnosno strelicom (b)
Am
Am
Am
Am
Argument θ kompleksnog broja A (Slika 1.2.1.1), realan je broj koji je određen na sledeći
način: ako se u izrazima koji slede koristi da je 2πarctg0 <<
ab
, za 0≠ab , nezavisno od znakova
brojeva a i b , onda:
0,0 >> ba ( A je u prvom kvadrantu) ⇒ ;arctgab=θ (1.2.1.5a)
0,0 >< ba ( A je u drugom kvadrantu) ⇒ ;πarctg +−=abθ (1.2.1.5b)
0,0 << ba ( A je u trećem kvadrantu) ⇒ ;πarctg +=abθ (1.2.1.5c)
0,0 <> ba ( A je u četvrtom kvadrantu) ⇒ ;arctgab−=θ (1.2.1.5d)
0,0 => ba ( A je na pozitivnom delu realne ose) ⇒ ;0=θ (1.2.1.5e)
0,0 =< ba ( A je na negativnom delu realne ose) ⇒ ;π=θ (1.2.1.5f)
0,0 >= ba ( A je na pozitivnom delu imaginarne ose) ⇒ ;2π=θ (1.2.1.5g)
0,0 <= ba ( A je na negativnom delu imaginarne ose) ⇒ .2π−=θ (1.2.1.5h)
11
[Primetiti analogiju ovih relacija s relacijama (1.1.9) koje se odnose na prostoperiodične veličine.]
Dakle, argument kompleksnog broja jednak je uglu između poluprave koja predstavlja pozitivni deo realne ose i poluprave koja polazi iz koordinatnog početka, kojoj pripada predstavnik kompleksnog broja; ako se taj ugao meri od realne ose prema drugoj polupravoj, idući u smeru suprotnom od kretanja kazaljki na satu (pozitivan matematički smer), onda je taj ugao pozitivan; ako se ugao meri u smeru kretanja kazaljki na satu, onda je taj ugao negativan. (Npr, ako je ugao θ sa Slike 1.2.1.1, jednak +π/6, onda argument kompleksnog broja A može podjednako da bude i π/6 i –11π/6.) Da je potpuno svejedno kojim će od tih uglova biti određen argument kompleksnog broja, sledi iz identiteta:
tg tg( 2π)θ θ= − . (1.2.1.6)
Koristeći se modulom i argumentom, kompleksnom broju može da se da sledeća trigonometrijska forma:
)sinj(cosˆ θθ += AA . (1.2.1.7)
odnosno, sledeća eksponencijalna – Euler-ova2 forma:
θjeˆ AA = . (1.2.1.8)
pri čemu se ponovo naglašava da su modul A i argument θ realni brojevi.
Da su forme (1.2.1.7) i (1.2.1.8) ekvivalentne, može da se dokaže koristeći se sledećim predstavama trigonometrijskih i eksponencijalnih funkcija redovima:
( )∑∞
==
0
j
!je
n
n
nθθ , ( ) ( )∑
∞
=
−=0
2
!21cos
n
nn
nθθ , ( )
( )
( )∑∞
=
+
+−=
0
12
!121sin
n
nn
nθθ . (1.2.1.8)
Dva kompleksna broja jednaka su ako i samo ako su im jednaki njihovi realni i imaginarni delovi, odnosno njihovi moduli i argumenti.
Proizvod realnog broja c i kompleksnog broja 21 jˆ aaA += jeste kompleksan broj
21 jˆ bbB += :
212121 jjc)j(ˆˆ bbacaaacAcB +=+=+== , (1.2.1.9)
pri čemu su:
1 1b ca= i 2 2b ca= . (1.2.1.10)
Za modul i argument proizvoda realnog broja ("konstante") i kompleksnog broja važi:
AcB = ,
<+>
=0,π0,
cc
A
AB θ
θθ . (1.2.1.11)
2 Leonard Euler, švajcarski matematičar i fizičar, 1707 – 1783.
12
Dakle, rezultat množenja kompleksnog broja s pozitivnim realnim brojem jeste kompleksan broj istog argumenta, s modulom jednakim proizvodu modula kompleksnog broja i realnog broja. Rezultat množenja kompleksnog broja s negativnim realnim brojem jeste kompleksan broj s modulom koji je jednak apsolutnoj vrednosti proizvoda modula kompleksnog broja i negativnog realnog broja i sa argumentom povećanim za π . [Primetiti analogiju s prostoperiodičnim veličinama – Stav 1.1.2 i relacija (1.1.3).]
Zbir (razlika) dva kompleksna broja 21 jˆ aaA += i 21 jˆ bbB += jeste kompleksan broj
21 jˆ ccC += :
)j()j()(Bjˆˆ212211 ccbabaAC ±=±+±=±= , (1.2.1.12)
pri čemu su:
1 1 1( )c a b= ± i 2 2 2( )c a b= ± , (1.2.1.13)
odakle sledi:
22
21
ˆ ccC += , 1
2arctgcc
c =θ , saglasno sa (1.2.1.5). (1.2.1.14)
Iz relacija (1.2.1.12) do (1.2.1.14) očigledno je da za sabiranje (oduzimanje) kompleksnih brojeva, kao u slučaju prostoperiodičnih veličina, važi pravilo nadovezivanja za sabiranje (oduzimanje) vektora. Ono je demonstrirano na Slici 1.2.2.2. [Primetiti analogiju sa sabiranjem prostoperiodičnih veličina – Slika 1.1.3]
Slika 1.2.1.2 – Demonstracija pravila nadovezivanja za sabiranje (oduzimanje) kompleksnih brojeva
θ1
θB
θA
A
A
B
CC
θC
U vezi s kompleksnim brojevima, isključivo za potrebe materije koja se izlaže u ovoj knjizi, uvodi se sledeća definicija:
Definicija 1.2.1.1 – Skup kompleksnih brojeva, zajedno sa operacijama proizvoda realnog i kompleksnog broja zbira (razlike) kompleksnih brojeva, čini sistem kompleksnih brojeva.
Na osnovu definicije Sistema prostoperiodičnih veličina (Definicija 1.1.1) i definicije Sistema kompleksnih brojeva (Definicija 1.2.1.1), sistemi prostoperiodičnih veličina i kompleksnih brojeva izomorfni su. Izomorfizam tih sistema posledica je sledećih činjenica:
13
1. Za množenje i prostoperiodične veličine i kompleksnog broja realnim brojem važe isti formalizmi (amplituda prostoperiodične veličine i modul kompleksnog broja se može sa apsolutnom vrednošću realnog broja, a fazni stav prostoperiodične veličine i argument kompleksnog broja ostaju isti ako je realni broj pozitivan, odnosno povećavaju se za π ako je realni broj negativan).
2. Za sabiranje (oduzimanje) prostoperiodičnih veličina i kompleksnih brojeva važi isto pravilo nadovezivanja (paralelograma).
Konjugovan broj kompleksnog broja θjejˆ AbaA =+= jeste kompleksan broj *A (Slika 1.2.1.3):
)j(ˆ* baA −+= , (1.2.1.15)
čiji imaginarni deo ima vrednost sa suprotnim znakom imaginarnog dela broja A . Dakle, kompleksni predstavnik konjugovanog broja simetričan je samom broju s obzirom na realnu osu kompleksne ravni – Slika 1.2.3.1. Odnosno, njegov modul jednak je modulu, a njegov argument jednak je argumentu samog broja s promenjenim znakom:
θj* eˆ −= AA , )sinj(cosˆ * θθ −= AA . (1.2.1.16)
Re
Im
a
b
θ
–b
-θ a θ
–b
–θ Re
Im b
(a) (b)
Slika 1.2.1.3 – Grafički prikaz kompleksnog broja A i njegovog konjugovanog broja *A (prikaz tačkama – a i strelicama – b)
Am
Am
*Am
*Am
Am
Am
Am
Am
Na osnovu definicije konjugovanog broja, očigledno je da se konjugacijom ne menja kompleksan broj s nultim imaginarnim delom:
)0(ˆ * == bAA , (1.2.1.17)
pa se relacija (1.2.1.17) često koristi za isticanje realne prirode broja *A (tj. da broj *A nije kompleksan, ili preciznije – ako jeste kompleksan broj, onda je njegov imaginarni deo jednak nuli).
Proizvod dva kompleksna broja 21 jˆ aaA += i 21 jˆ bbB += jeste kompleksan broj
21 jˆ ccC += :
2112212211 j)(j)(ˆˆˆ ccbabababaBAC +=++−== , (1.2.1.18)
pri čemu su:
14
22111 babac −= i 12212 babac += , (1.2.1.19)
ili u eksponencijalnoj formi, za AAA θjeˆ = i BBB θjeˆ = :
CBA CABBAC θθθ j)j( eeˆˆˆ === + , (1.2.1.20)
pri čemu su:
ABC = i C A Bθ θ θ= + . (1.2.1.21)
Na osnovu definicije proizvoda kompleksnih brojeva (1.2.1.18), sledi da operacija množenja kompleksnog broja A kompleksnim brojem B jediničnog modula, „zakreće“ kompleksni broj A za ugao jednak argumentu kompleksnog broja jediničnog modula B (dakle, modul broja A ostaje u rezultatu množenja):
CBA AABBAC θθθ j)j( eeˆˆˆ === + (za 1=B ). (1.2.1.22)
Na osnovu definicija konjugacije (1.2.1.15) i (1.2.1.16), kao i proizvoda kompleksnih brojeva (1.2.1.18), očigledno je da je proizvod kompleksnog broja i njegovog konjugovanog broja realan broj, ili preciznije – kompleksan broj s nultim imaginarnim delom, čiji je modul jednak kvadratu modula kompleksnog broja (odnosno modula njegovog konjugovanog broja):
222* )j)(j(ˆˆ AbababaAA =+=−+= . (1.2.1.23)
Količnik dva kompleksna broja 21 jˆ aaA += i 21 jˆ bbB += , za 0j0ˆ +≠B , jeste kompleksan broj 21 jˆ ccC += :
2122112
22211
22
21
2121*
*
jj)(
)j)(j(ˆˆˆˆ
ˆˆˆ cc
Bbaba
Bbaba
bbbbaa
BBBA
BAC +=−++=
+−+=== , (1.2.1.24)
dakle:
22211
1 Bbabac += i 2
21122 B
babac −= , (1.2.1.25)
ili u eksponencijalnoj formi, za AAA θjeˆ = i BBB θjeˆ = :
CBA CBA
BAC θθθ j)j( eeˆˆˆ === − , (1.2.1.26)
dakle:
BAC = i BAC θθθ −= . (1.2.1.27)
*********************** Primer P1.2.1.1
15
Dat je kompleksan broj j11ˆ +=A . Izračunati modul i argument kompleksnog broja, predstaviti ga u eksponencijalnoj formi i nacrtati ga u kompleksnoj ravni.
Rešenje
Realni i imaginarni deo kompleksnog broja A iznose:
1}ˆRe{ =A , 1}ˆIm{ =A .
Modul i argument kompleksnog broja A iznose:
211 22 =+=A , 4π
11arctg
}ˆRe{}ˆIm{arctg}ˆarg{ ===
AAA [relacija (1.2.5a)].
Eksponencijalna (Euler-ova) forma kompleksnog broja A glasi: 4πj}ˆjarg{ e2eˆ == AAA .
Razmatrani kompleksni broj se nalazi u prvom kvadrantu. On je prikazan i tačkom i strelicom na Slici P1.2.1.1.
Re{ A }
Im{ A }
0.8
1.0
1.2
0.2
0.4
0.6
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
A
θ=π/4
0
Slika P1.2.1.1 – Predstava kompleksnog broja A u kompleksnoj ravniSlika ne valja pošto podeoci na apscisi i ordinati nisu jednaki, pa ugao nije 45o. Usaglasiti apscisu
sa ordinatom.
Primer P1.2.1.2
Dati su kompleksni brojevi j11ˆ +=A i j32ˆ +=B . Izračunati i predstaviti u eksponencijalnoj formi sledeće kompleksne brojeve: AC ˆ10ˆ = i AD ˆ20ˆ −= .
Rešenje
j1010j1)10(1ˆ +=+=C ,
2101010 22 =+=C ,
4π
1010arctg}ˆarg{ ==C , saglasno sa (1.2.5a),
4πj}Cjarg{ e210eˆ == CC .
16
j2020)j11(20ˆ −−=+−=D ,
( ) ( ) 2202020 22 =−+−=D ,
45ππ
4π
2020arctg}ˆarg{ =+=
−−=D , saglasno sa (1.2.5c),
45πj}Djarg{ e220eˆ == DD .
Primer P1.2.1.3
Dati su kompleksni brojevi j11ˆ +=A i j32ˆ +=B . Izračunati njihov zbir BA ˆˆ + i razliku BA ˆˆ − . Predstaviti kompleksni broj B u kompleksnoj ravni.
Rešenje
j433)j(1)21(j32j11ˆˆ +=+++=+++=+ BA .j21)3j(121)3j2(j11ˆˆ −−=−+−=+−+=− BA .
1332 22 =+=B , 56.323arctg}ˆarg{ ==B ,
j56.3jarg{B} e13eˆ == BB , saglasno sa (1.2.5a).
Re{B}
{ }BIm
2.0
2.5
3.0
0.5
1.0
1.5
0.5 1.0 1.5 2.0
3j2ˆ +=B
θ=56.3˚ { }BRe
Slika P1.2.1.2.1 – Grafička predstava kompleksnog broja B tačkom u kompleksnoj ravniSlika ne valja pošto podeoci na apscisi i ordinati nisu jednaki, pa ugao od 56.3 izgleda kao 45o.
Usaglasiti apscisu sa ordinatom.
Primer P1.2.1.4
Dat je kompleksan broj j32ˆ +=A . Izračunati njegov konjugovani broj *A , dati brojevima Euler-ove forme i izračunati proizvod kompleksnog broja i njemu konjugovanog broja.
Rešenje Euler-ova forma kompleksnog broja A glasi: 2
3arctgje13ˆ =A .
17
Konjugovani broj *A u obe forme glasi: j32ˆ * −=A , o3.56j23arctgj* e13e13ˆ −
−
==A .
Proizvod kompleksnog broja A i njemu konjugovanog broja *A iznosi:
( ) 1313e13e13ˆˆ 2223arctgj
23arctgj* ====
−AAA .
Primer P1.2.1.5
Dati su kompleksni brojevi j11ˆ +=A i j32ˆ +=B . Izračunati proizvod BA ˆˆ .
Rešenje
5j13jj3j22)3j2)(1j1(ˆˆ 2 +−=+++=++=BA ,
odnosno, u eksponencijalnoj formi:
( ) j101.356.345jj56.3j45 e26e26e13e2ˆˆ === +BA .
Primer P1.2.1.6
Dati su kompleksni brojevi j11ˆ +=A i j32ˆ +=B . Izračunati količnik BAˆˆ
.
Rešenje
131j
135
13j15
j3)j3)(2(2j3)j1)(2(1
j32j11
ˆˆ
−=−=−+−+=
++=
BA
,
odnosno, u eksponencijalnoj formi:
j348.7j11.3j56.3
j45
e132e
132
e13e2
ˆˆ
=== −
BA
.
***********************
1.2.2 KOMPLEKSNE FUNKCIJE I JEDNAČINE
Kompleksna funkcija predstavlja preslikavanje (pod)skupa kompleksnih brojeva (nezavisno-promenljive veličine) u (pod)skup kompleksnih brojeva (zavisno-promenljive veličine). Pored funkcija jedne i više nezavisno-promenljivih veličina, razmotriće se i odgovarajuće kompleksne jednačine.
1.2.2.1 Kompleksne funkcije jedne nezavisno-promenljive veličine i jednačine s jednom nepoznatom veličinom
Razmatra kompleksna funkcija )ˆ(G U , pri čemu je sa U označena kompleksna nezavisno-promenljiva veličina:
18
feU jˆ += , ili θjeˆ UU = . (1.2.2.1.1)
Kompleksna funkcija )ˆ(G U jeste funkcija sa jednom kompleksnom nezavisno-promenljivom veličinom, odnosno sa dve realne nezavisno-promenljive veličine e i f:
),(ˆ)ˆ(G feU Γ= , (1.2.2.1.2)
odnosno θ i U:
),(g)ˆ(G UU θ= . (1.2.2.1.3)
S obzirom da je:
)}ˆ(G{jIm)}ˆ(GRe{)ˆ(G UUU += , (1.2.2.1.4)
onda je:
),(j),()},(ˆ{jIm)},(ˆRe{),(ˆ fefefefefe Γ ′′+Γ ′=Γ+Γ=Γ , (1.2.2.1.5)
odnosno:
),(gj),(g)},(g{jIm)},(gRe{),(g UUUUU θθθθθ ′′+′=+= , (1.2.2.1.6)
pri čemu su funkcije Γ ′ i Γ ′′ , odnosno g′ i g ′′ realne funkcije sa po dve realne nezavisno- promenljive veličine e i f , odnosno θ i U , respektivno. Dakle, kao što kompleksnom broju mogu da se pridruže dva realna broja, tako kompleksnoj funkciji jedne kompleksne nezavisno-promenljive veličine mogu da se pridruže dve realne funkcije, svaka sa dve realne nezavisno-promenljive veličine.
***********************Primer P1.2.2.1.1
Data je funkcija )0j3(ˆ)0j2()ˆG( 2 +−+= UU . Odrediti funkcionalne zavisnosti ),(ˆ feΓ , ),( feΓ ′ i ),( feΓ ′′ , kao i ),(ˆ Ug θ , ),(g Uθ′ i ),(g Uθ′′ .
Rešenje
effefefeUU 4j3223)2j(2)0j3(ˆ)0j2()ˆ(G 22222 +−−=−−+=+−+= ,
dakle:
effefeU 4j322),(ˆ)ˆ(G 22 +−−=Γ= ,
odakle sledi:
322),( 22 −−=Γ ′ fefe i effe 4),( =Γ ′′ .
19
S druge strane:
3e2),(g 2j2 −= θθ UU ,
odakle sledi:
θθθθθ θ 2sin2j32cos23)2sinj2(cos23e2),(g 2222j2 UUUUU +−=−+=−= ,
odnosno:
32cos2),(g 2 −=′ θθ UU i θθ 2sin2),(g 2UU =′′ . ***********************
Jednoj kompleksnoj funkciji sa jednom kompleksnom nezavisno-promenljivom veličinom )ˆG(U može se da pridruži jedna kompleksna jednačina sa jednom kompleksnom nepoznatom
veličinom, kojom se rešava sledeći problem: naći vrednost nezavisno-promenljive veličine U za koji funkcija )ˆG(U ima vrednost S , pri čemu je sa S označen specificiran (poznat) kompleksan broj QPS jˆ += :
)ˆG(ˆ US = . (1.2.2.1.7)
Zavisno od prirode funkcije G , kompleksna jednačina (1.2.2.1.7) može da bude linearna ili nelinearna. Ona može da se rešava direktno po nepoznatoj kompleksnoj veličini U , ili, ako se ona predstavi sa dve realne jednačine sa dve realne nepoznate veličine e i f, po ove dve realne nepoznate veličine:
),,(),,(
feQfeP
Γ ′′=Γ ′=
(1.2.2.1.8)
Odnosno po θ i U :
).,(g),,(g
UQUP
θθ
′′=′=
(1.2.2.1.9)
Dakle, jedna kompleksna jednačina s jednom nepoznatom kompleksnom veličinom može da se tretira kao sistem od dve realne jednačine sa dve realne nepoznate veličine.
***********************Primer P1.2.2.1.2
Svesti sledeću kompleksnu jednačinu sa jednom kompleksnom nepoznatom (Primer P1.2.2.1.1) na dve realne jednačine sa dve realne nepoznate veličine (te jednačine nije potrebno da se reše):
)0j3(ˆ)0j2(4j6 2 +−+=+ U .
Rešenje
20
Koristeći se rešenjem Primera P1.2.2.1.1, tražene dve realne jednačine sa dve realne nepoznate veličine, u dva oblika (1.2.2.1.8) i (1.2.2.1.9), respektivno glase:
3226 22 −−= fe , ef44 = , (e i f jesu dve realne nepoznate veličine),
odnosno:
32cos26 2 −= θU , θ2sin24 2U= , (θ i U jesu dve realne nepoznate veličine).
Napomena: Na osnovu toga da je θcosUe = i θsinUf = , očigledna je ekvivalencija prethodna dva sistema jednačina.
Primer 1.2.2.1.2
Kompleksnu jednačinu )j()32(4j6 fefe −++=+ rešiti po nepoznatoj kompleksnoj veličini feU jˆ += .
Rešenje
Rešenje date kompleksne jednačine se svodi na rešenje dve realne jednačine sa dve realne nepoznate veličine:
fe 326 += ,fe −=4 .
Njihovo rešenje glasi:
4.0−=f , 6.3=e .
Sada, rešenje kompleksne jednačine, tj. kompleksna promenljiva U iznosi:
4.0j6.3ˆ −=U .***********************
1.2.2.2 Kompleksne funkcije s više nezavisno-promenljivih veličina i sistemi kompleksnih jednačina s više nepoznatih veličina
Razmatra se kompleksna funkcija )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 1 mk UUU sa m kompleksnih nezavisno-
promenljivih veličina kU , mk ,...,2,1= :
kkk feU jˆ += , ili kjeˆ θkk UU = , mk ,...,2,1= . (1.2.2.2.1)
Saglasno s tim, kompleksna funkcija )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 1 mk UUU jeste funkcija od parova realnih nezavisno-promenljivih veličina ek i fk, k = 1, 2, ... , m:
21
),,...,,,...,,(ˆ)ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 111 mmkkmk fefefeUUU Γ= , (1.2.2.2.2)
odnosno od sledećih m parova realnih nezavisno-promenljivih veličina θk i Uk, k = 1, 2, ... , m:
),,...,,,...,,(g)ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 111 mmkkmk UUUUUU θθθ= . (1.2.2.2.3)
S obzirom da je
)}ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GIm{j)}ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GRe{)ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 111 mkmkmk UUUUUUUUU += , (1.2.2.2.4)
onda je:
),,...,,,...,,(ˆ11 mmkk fefefeΓ
)},,...,,,...,,(ˆRe{ 11 mmkk fefefeΓ= + )},,...,,,...,,(ˆIm{j 11 mmkk fefefeΓ),,...,,,...,,(j),,...,,,...,,( 1111 mmkkmmkk fefefefefefe Γ ′′+Γ ′= ,
(1.2.2.2.5)
odnosno:
),,...,,,...,,(g 11 mmkk UUU θθθ)},,...,,,...,,(gRe{ 11 mmkk UUU θθθ= + )},,...,,,...,,(gIm{j 11 mmkk UUU θθθ
),,...,,,...,,(gj),,...,,,...,,(g 1111 mmkkmmkk UUUUUU θθθθθθ ′′+′= ,(1.2.2.2.6)
pri čemu su Γ ′ i Γ ′′ , odnosno g′ i g ′′ realne funkcije od m parova realnih nezavisno-promenljivih veličina. Dakle, kao što svakom kompleksnom broju mogu da se pridruže dva realna broja, tako kompleksnoj funkciji sa m kompleksnih nezavisno-promenljivih veličina mogu da se pridruže dve realne funkcije sa m parova realnih nezavisno-promenljivih veličina.
Skupu od m kompleksnih funkcija sa m kompleksnih nezavisno-promenljivih veličina )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 11 mk UUU , ... , )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 1k mk UUU , ... , )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 1 mkm UUU , može da se pridruži
sistem od m kompleksnih jednačina sa m kompleksnih nepoznatih veličina kojim se rešava sledeći problem: naći vrednosti nezavisno-promenljivih veličina mk UUU ˆ,...,ˆ,...,ˆ
1 za koje funkcije
)ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 11 mk UUU , ... , )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 1k mk UUU , ... , )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(G 1 mkm UUU imaju specificirane
kompleksne vrednosti 111 jˆ QPS += , , ... , kkk QPS jˆ += , ... , mmm QPS jˆ += , respektivno:
).ˆ,...,ˆ,...,ˆ(Gˆ
),ˆ,...,ˆ,...,ˆ(Gˆ
),ˆ,...,ˆ,...,ˆ(Gˆ
1
1
111
mkmm
mkkk
mk
UUUS
UUUS
UUUS
=
=
=
(1.2.2.2.7)
Zavisno od prirode funkcija G , sistem kompleksnih jednačina (1.2.2.2.7) može da bude linearan ili nelinearan. On može da se rešava direktno po nepoznatim kompleksnim veličinama
mk UUU ˆ,...,ˆ,...,ˆ1 , ili njegovom transformacijom u m parova jednačina sa m parova nepoznatih
22
veličina mmkk fefefe ,,...,,...,,, 11 , odnosno mmkk UUU ,,...,,...,,, 11 θθθ . Sistem jednačina (1.2.2.2.7) može da se napiše u formi:
)},ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GIm{
)},ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GRe{
)},ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GIm{
)},ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GRe{
)},ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GIm{
)},ˆ,...,ˆ,...,ˆ(GRe{
1
1
1
1
111
111
mkmm
mkmm
mkkk
mkkk
mk
mk
UUUQ
UUUP
UUUQ
UUUP
UUUQ
UUUP
=
=
=
=
=
=
(1.2.2.2.8)
iz koje proizlaze sledeća dva oblika sistema od 2m realnih jednačina sa 2m realnih nepoznatih veličina:
).,,...,,,...,,(
),,,...,,,...,,(
),,,...,,,...,,(
),,,...,,,...,,(
),,,...,,,...,,(
),,,...,,,...,,(
11''
m
11'm
11''
k
11'k
11''
11
11'
11
mmkkm
mmkkm
mmkkk
mmkkk
mmkk
mmkk
fefefeQfefefeP
fefefeQfefefeP
fefefeQfefefeP
Γ=
Γ=
Γ=
Γ=
Γ=
Γ=
(1.2.2.2.9)
odnosno:
).,,...,,,...,,(g),,,...,,,...,,(g
),,,...,,,...,,(g),,,...,,,...,,(g
),,,...,,,...,,(g),,,...,,,...,,(g
11
11
11
11
1111
1111
mmkkmm
mmkkmm
mmkkkk
mmkkkk
mmkk
mmkk
UUUQUUUP
UUUQUUUP
UUUQUUUP
θθθθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
′′=′=
′′=′=
′′=′=
(1.2.2.2.10)
Dakle, sistem od m kompleksnih jednačina sa m kompleksnih nepoznatih veličina može da se tretira kao sistem od m parova realnih jednačina sa m parova realnih nepoznatih veličina.
***********************Primer P1.2.2.2
Sistem od dve kompleksne jednačine:
23
21ˆ2ˆ3j11 UU +=+ ,
21ˆjˆ2j2 UU −=+ .
po kompleksnim nepoznatim veličinama 1U i 2U , svesti na sistem realnih jednačina s realnim nepoznatim veličinama (taj sistem nije potrebno da se reši).
Rešenje
Neka je 111 jˆ feU += i 222 jˆ feU += . Saglasno sa (1.2.2.2.9), dati sistem od dve kompleksne jednačine sa dve kompleksne nepoznate veličine može da se svede na sistem od četiri realne jednačine sa četiri realne nepoznate veličine:
)j(2)j(13j1 2211 fefe +++=+ ,)jj()j(2j2 2211 fefe +−+=+ ,
odnosno:
)2j(23j11 2121 ffee +++=+ ,)j(j22 2121 effe −++=+ .
Izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova levih i desnih strana jednačina, dobija se traženi sistem od četiri realne jednačine sa četiri realne nepoznate 1e , 1f , 2e i 2f :
21 21 ee += ,21 231 ff += ,
212 fe += .212 ef −= .
Ovaj sistem jednačina linearan je, pa treba da se rešava primenom postupaka za rešavanje linearnih jednačina (deo 1.4).
Ako se nepoznate veličine iskažu u sledećoj formi: 1j11 eˆ θUU = i 2j
22 eˆ θUU = , saglasno sa (1.2.2.2.10), dati sistem može da se u drugačijoj formi svede na sistem od četiri realne jednačine sa četiri realne nepoznate veličine:
21 j2
j1 e2e13j1 θθ UU +=+ ,
21 j2
j1 eje2j2 θθ UU −=+ ,
odnosno:
)jsin(cos2)jsin(cos13j1 222111 θθθθ +++=+ UU ,)jsin(cosj)jsin(cos2j2 222111 θθθθ +−+=+ UU .
Izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova levih i desnih strana jednačina, dobija se traženi sistem od četiri realne jednačine, ali sada sa sledeće četiri realne nepoznate 1U , 1θ , 2U i 2θ :
2211 cos2cos1 θθ UU += ,
24
2211 sin2sin13 θθ UU += ,2211 sincos2 θθ UU += .2211 cossin2 θθ UU −= .
Ovaj sistem jednačina nije linearan, pa treba da se rešava primenom postupaka za rešavanje nelinearnih jednačina (deo 1.6).
Napomena: Na osnovu toga da je θcosUe = i θsinUf = , očigledna je ekvivalencija prethodna dva sistema jednačina.
***********************
1.3 MATRICE I DETERMINANTE
Pod matricom lm,A (ili lm×A ili mlA ) podrazumeva se šema elemenata ija , poređanih u m vrsta (horizontalnih redova) i l kolona (vertikalnih redova). Sa mi ,...,2,1= i lj ,...,2,1= označeni su brojač vrsta i brojač kolona, respektivno, a m i l se nazivaju dimenzijama matrice. Matrica se obično zapisuje u sledeće dve forme, koje se ravnopravno koriste u ovoj knjizi:
=
mlmkm
klkkk
lk
lm
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
,A i
mlmkm
klkkk
lk
lm
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
, =A . (1.3.1)
Ako su elementi matrice realni brojevi, matrica je realna, sa oznakom kao u (1.3.1). Ako su kompleksni, onda je matrica kompleksna, sa oznakom lm,A . Kada se na dimenzijama matrice ne insistira, tada se one u oznaci matrice ne ekspliciraju.
Iako će se koristiti oznake za realne matrice i njihove realne elemente, izlaganja koja slede generalna su u smislu da se odnose i na realne i na kompleksne matrice.
Ako su dimenzije matrice jednake (m = l), onda je matrica kvadratna, s dimenzijom m (odnosno l). Elementi mmaaa ,...,, 1211 predstavljaju elemente glavne dijagonale matrice. Ostali elementi matrice jesu vandijagonalni elementi.
Ako je 1=m i 1>l , onda se za matricu kaže da je to vektor-vrsta, a ako je 1=l i 1>m , onda se radi o vektor-koloni.
Transponovanje matrice znači zamenu vrsta s korespondentnim kolonama (ili obrnuto). Dakle, transponovana matrica matrice A (1.3.1) glasi:
25
=
mlkll
mkkkk
mk
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
TA . (1.3.2)
Očigledno je da ako su m×l dimenzije matrice A , onda dimenzije matrice TA jesu l×m.
Za matricu A se kaže da je nula-matrica ako su joj svi elementi jednaki nuli.
Dve su matrice jednake ako i samo ako su im korespondentni elementi međusobno jednaki, što nužno podrazumeva jednakost dimenzija matrica.
Dijagonalna matrica jeste kvadratna matrica s nultim vandijagonalnim elementima.
Jedinična matrica jeste dijagonalna matrica s jediničnim dijagonalnim elementima.
Cirkularna matrica jeste kvadratna matrica za koju važi: 1) prva vrsta matrice je specificirana; 2) svaka naredna vrsta se dobija potiskivanjem elemenata prethodne vrste za jedno mesto u desno, pri čemu element iz poslednje kolone matrice zauzima upražnjeno mesto u prvoj koloni naredne vrste. Jedan primer cirkularne matrice C , dimenzija 4×4, glasi:
=
adcbbadccbaddcba
C . (1.3.3)
Transponovana matrica cirkularne matrice jeste cirkularna matrica. Ovo nije teško proveriti na primeru matrice (1.3.3).
Kvadratnoj matrici mm×A pridružuje se sledeća brojna vrednost – determinanta matrice:
mmmkm
kmkkk
mk
mm
aaa
aaa
aaa
1
1
111,1
,det =A , (1.3.4)
sa identičnim rasporedom elemenata po vrstama i kolonama matrice. [Primetiti da su u predstavi determinante korišćene vertikalne linije umesto srednjih zagrada ili mreže koje se koriste za predstavu matrica (1.3.1)]. Determinanta se izračunava na sledeći način:
∑=
+−=m
jijij
jimm Ma
1, )1(det A , za po želji izabrano i iz skupa },...,2,1{ m , (1.3.5a)
odnosno:
26
∑=
+−=m
iijij
jimm Ma
1, )1(det A , za po želji izabrano j iz skupa },...,2,1{ m . (1.3.5b)
Sa Mij označen je minor matrice A. Minor Mij jeste determinanta kvadratne matrice s dimenzijom za jedan manjom od dimenzije matrice o čijem je minoru reč; minor Mij se dobija kao determinanta matrice izostavljanjem njene i-te vrste i j-te kolone (koje na preseku imaju element aij). Dakle, determinanta se izračunava kao suma proizvoda elemenata po želji izabrane vrste ili kolone i odgovarajućih minora, sa promenom znaka svakog od proizvoda u kojem je zbir indeksa i i j neparan. Time je izračunavanje determinante dimenzija m svedeno na izračunavanje determinanti m matrica dimenzija m–1. Ako se još utvrdi da je brojna vrednost determinante dimenzija 1 jednaka samom elementu determinante, onda je formulama (1.3.5) u potpunosti određen postupak za izračunavanje determinanti bilo kojih dimenzija.
Saglasno s tim, determinanta dijagonalne matrice jednaka je proizvodu (dijagonalnih) elemenata matrice, a determinanta jedinične matrice jednaka je jedinici.
Kvadratna matrica čija je determinanta različita od nule naziva se regularnom matricom. Kvadratna matrica čija je determinanta jednaka nuli naziva se singularnom matricom.
***********************Primer P1.3.1
Izračunati determinantu sledeće kvadratne matrice:
−−−
=046324112
A .
Rešenje
( )4624
10634
10432
21046324112
det 11
3
1
1
−−
⋅+⋅+−−
⋅=−=−−−
= ∑=
+jj
j
j MaA
241824)]2(6)4(4[)3604(]3)4(0)2[(2 =−−=−⋅−−⋅+⋅−⋅+⋅−−⋅−⋅= .
Dakle, matrica A je regularna. ***********************
1.3.1 SABIRANJE (ODUZIMANJE) MATRICA
Zbir (razlika) dve matrice jednakih dimenzija lm×A i lm×B , jeste matrica lm×C s dimenzijama matrica sabiraka:
lmlmlm ××× ±= BAC ; ijijij bac ±= , i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , l. (1.3.1.1)
Očigledno je da je sabiranje matrica komutativno: ABBA +=+ .
***********************Primer P1.3.1.1
27
Sabrati i oduzeti sledeće dve matrice:
−=3014
21A ,
−−=
022310
B .
Rešenje
( )( )
−=
+−++−−+
++=
−−+
−=+
321131
03202134
1201
022310
3014
21BA .
( )( )
−=
−−−−−−−
−−=
−−−
−=−
3237
11
03202134
1201
022310
3014
21BA .
***********************
1.3.2 MNOŽENJE MATRICA
Proizvod dve matrice lm×A i nl×B , pri čemu je druga dimenzija prve jednaka prvoj dimenziji druge matrice, jeste matrica nm×A , čija je prva dimenzija jednaka prvoj dimenziji prve, a druga dimenzija drugoj dimenziji druge matrice:
nllmnm ,,, BAC = ; ∑=
=l
kkjikij bac
1, i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, (1.3.2.1)
ili drugim rečima: element cij, koji se nalazi na preseku i-te vrste i j-te kolone matrice-proizvoda nm,C , jednak je sumi proizvoda elemenata i-te vrste prve matrice lm,A i korespondentnih elemenata
j-te kolone druge matrice nl ,B .
Očigledno je da množenje matrica generalno nije komutativno, lmnlnllm ,,,, ABBA ≠ , što je očigledno iz prvog stava ove tačke, s obzirom na dimenzije matrica lm,A i nl ,B . Zamena mesta matrica-činilaca jeste moguća samo ako su matrice kvadratne, ali rezultati tih množenja, načelno, nisu isti.
Proizvod realnog broja g i matrice lm,A jeste matrica lm,C , istih dimenzija kao matrica lm,A
, čiji se elementi dobijaju kao proizvod korespondentnih elemenata matrice lm,A i broja g:
gg lmlmlm ,,, AAC == ; ijij gac = , i = mi ,...,2,1= , lj ,...,2,1= . (1.3.2.2)
Proizvod matrice lm,A ( lm,A ) i jedinične matrice ll×I s desna ( mm,I s leva) jednak je matrici
lm,A :
lmlllm ,,, AIA = ( lmmm ,, AAI = ). (1.3.2.3)
28
Proizvod kvadratne matrice A i jedinične matrice (istih dimenzija) I , bilo kojim redom, jednak matrici A :
AIAAI == . (1.3.2.4)
Množenje matrica (i s leva i s desna) distributivno je u odnosu na sabiranje:
ACABC)A(B +=+ , (1.3.2.5a)CABAC)A(B +=+ . (1.3.2.6b)
***********************Primer P1.3.2.1
Izračunati proizvod matrica A i B :
−=
101312
A ,
−−=0231
21B .
Rešenje
−=
⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅
⋅+⋅−⋅−⋅+−⋅+⋅−=
−−
−=
2373
01302121)1(01103312223)1(112
0231
21
101312
AB .
Primer P1.3.2.2
Pomnožiti skalarom 2=c sledeću matricu A :
−=
101312
A .
Rešenje
−=
−⋅==
202624
101312
2cc AA .
***********************
1.3.3 INVERZIJA MATRICA
Invertovanje – inverzija matrica predstavlja matrični analogon izračunavanju recipročnih vrednosti brojeva. Inverzija se definiše za regularne kvadratne matrice: ako postoji, matrica B inverzna je matrici A ako je:
IBAAB == , u notaciji: 1−= AB . (1.3.3.1)
Očigledno je da su dimenzije matrice i njene inverzne matrice jednake.
Inverzna matrica 1−A matrice A dimenzija m, izračunava se na sledeći način:
29
=
mlmkm
klkkk
lk
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
A ,
=−
mlmkm
klkkk
lk
bbb
bbb
bbb
1
1
1111
1
det1
AA , (1.3.3.2)
pri čemu su sa bij označene vrednosti: bij = (–1)i+j Mji, a sa Mij minori matrice A. Odavde je očigledno da je det A ≠0 (da je matrica A regularna) osnovni uslov za postojanje inverzne matrice.
Algoritam za izračunavanje inverzne matrice matrici A glasi:
1. Izračuna se determinanta matrice A ;2. Svi elementi matrice A se zamene korespondentnim minorima;3. Minorima se promeni znak kad god je zbir indeksa minora i i j neparan;4. Dobijena matrica se transponuje.
U vezi sa inverzijom matrica, potrebno je još da se naglasi:
1. Inverzna matrica jedinične matrice jedinična je matrica. 2. Ako postoji, inverzna matrica dijagonalne matrice dijagonalna je matrica. Njeni elementi
jednaki su recipročnim vrednostima elementima matrice. (Determinanta dijagonalne matrice različita je od nule ako su svi njeni elementi različiti od nule.)
3. Inverzna matrica regularne cirkularne matrice cirkularna je matrica. 4. Relacija 1ABAC −= naziva se transformacijom sličnosti. Matrice B i C se nazivaju sličnim
matricama (očigledno je da matrica A mora da bude regularna). Njihove determinante međusobno su jednake.
***********************Primer P1.3.3.1
Pokazati da je matrica
−−−
=046324112
A
regularna i naći njenu inverznu matricu.
Rešenje
U Primeru P1.3.1 je za matricu iz ovog primera nađena determinanta 02det ≠=A , pa je matrica regularna i ima inverznu matricu:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
T
3333
3223
3113
2332
2222
2112
1331
1221
1111
333231
232221
1312111
111111111
det1
det1
−−−−−−−−−
=
=
+++
+++
+++
−
MMMMMMMMM
bbbbbbbbb
AAA ,
pri čemu su:
30
120432
11 =−−
=M , 180634
12 −==M , 44624
13 −=−−
=M ,
40411
21 =−−
=M , 60612
22 −==M , 24612
23 −=−−
=M ,
13211
31 −=−−
=M , 23412
32 ==M , 02412
33 =−−
=M ,
pa inverzna matrica glasi:
−−−
−=
−−−−−
⋅=
−−−−
−⋅=
−
−
012139
26
02426181412
21
02126441812
21 2
1T
1A .
Provera rezultata:
IAA =
=
−−−
−
−−−
=
−
−
100010001
012139
26
046324112 2
1
1 .
***********************
1.4 SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
U ovom delu se razmatraju tri metoda za rešavanje sistema linearnih jednačina. To su 1) metod determinanti, 2) matrični metod i 3) Gauss-ov3 metod (sukcesivnih) eliminacija (Gauss-ova redukcija). Prva dva metoda imaju prevashodno teorijski značaj, ali se i koriste za rešavanje sistema manjeg broja jednačina, a treći metod – Gauss-ova redukcija, od izuzetno je praktičnog značaja u elektroenergetici. Svi ovi metodi mogu da se u istoj formi koriste kako za rešavanje sistema realnih, tako i za rešavanje sistema kompleksnih jednačina.
Neka je zadat određen sistem od m linearnih jednačina (postoji jedinstveno rešenje)4, sa m nepoznatih veličina, u svojoj kanoničnoj formi:
.
,,
,
332211
33332321313
23232221212
13132121111
mmmmmmm
mm
mm
mm
xaxaxaxab
xaxaxaxabxaxaxaxab
xaxaxaxab
++++=
++++=++++=
++++=
(1.4.1)
3 Carl Friedrich Gauss, nemački matematičar, 1777 – 1855. 4 Sistem je određen kada je deteminata njegove matrice različita od nule. Odnosno, kada je ta matrica regularna. Protivurečni (nemogući) sistemi jednačina (koji nemaju rešenja), niti neodređeni sistemi (koji imaju višestruka rešenja), nisu od osnovnog interesa za ova razmatranja. Takvi sistemi će biti razmotreni samo kroz primere.
31
Sa ix ( mi ,...,2,1= ), označene su nepoznate veličine. Sa ib ( mi ,...,2,1= ) i ija ( mi ,...,2,1= ;mj ,...,2,1= ) označeni su slobodni članovi i koeficijenti sistema linearnih jednačina, respektivno.
Oni su poznate veličine.
Sistem jednačina (1.4.1) treba da se reši po nepoznatim veličinama ix , mi ,...,2,1= . Njemu može da se da sledeća matrična forma:
=
mmmmmm
m
m
m
m x
xxx
aaaa
aaaaaaaaaaaa
b
bbb
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
3
2
1
. (1.4.2)
odnosno:
AXb = , (1.4.3)
Iz korespondencije veličina korišćenih u predstavama sistemima jednačina (1.4.2) i (1.4.3), jasno je značenje vektor-kolona b i X , s dimenzijama m×1, odnosno kvadratne matrice A , s dimenzijama m×m.
1.4.1 METOD DETERMINANTI
S obzirom na pretpostavku da je razmatrani sistem linearnih jednačina određen, determinanta matrice A različita je od nule. Tada se rešenja (koreni) tog sistema jednačina izračunavaju pomoću na sledeći način (Cramer-ovo pravilo5):
DDx i
i = , i = 1, 2, … , m, (1.4.1.1)
pri čemu su korišćene sledeće oznake:
D – determinanta matrice A (det A ),Di – determinanta proizvedena iz determinante D, zamenom elemenata njene i-te kolone sa
slobodnim članovima sistema linearnih jednačina ib , mi ,...,2,1= .
***********************Primer P1.4.1.1
Koristeći se metodom determinanti, rešiti sistem linearnih jednačina:
32123 xxx +−= ,
321 3249 xxx +−= ,
21 462 xx −=− .
Rešenje
5 Gabriel Cramer, švajcarski matematičar, 1704 – 1752.
32
Saglasno sa (1.4.2), matrica zadatog sistema linearnih jednačina glasi:
−−−
=046324112
A .
Determinanta matrica A izračunata je u Primeru P1.3.1: 2det == AD . Determinante 1D , 2D i 3D , a iz njih i rešenja razmatranog sistema jednačina iznose:
2042329113
1 =−−−−
=D ⇒ 111 ==
DDx ,
4026394132
2 =−
=D ⇒ 222 ==
DDx ,
6246
924312
3 =−−
−−
=D ⇒ 333 ==
DDx .
Primer P1.4.1.2
Koristeći se metodom determinanti, rešiti sistem linearnih jednačina:
321 322 xxx +−= ,
321 5533 xxx +−= ,
321 6855 xxx +−= .
Rešenje
0det685553132
=⇒
−−−
= AA .
""1
11 000
685553132
==⇒=
−−−
=DDxD ,
""2
22 000
655533122
==⇒==
DDxD ,
33
.000
685553132 ""
333
==⇒=
−−−
=DDxD
Kako su sve 3 nepoznate veličine neodređene, sistem jednačina nije određen.
Ako se saberu prve dve jednačine, dobija se treća jednačina razmatranog sistema. To znači da treća jednačina ništa dodatno ne govori o nepoznatim veličinama nego što to rade prve dve jednačine. Odnosno, tri nepoznate veličine 1x , 2x i 3x , nisu dovoljno opisane.
Primer P1.4.1.3
Koristeći metod determinanti rešiti sistem jednačina:
321 334 xxx +−= ,
321 6261 xxx +−= ,
21 452 xx += .
Rešenje
0det045626313
=⇒
−−
= AA .
""1
11 08484
682551134
==⇒−=
−−−
=DDxD .
Zadatak dovršiti sa izračunavanjem D2 i D3, kao i x2 i x3.
S obzirom da je 00 1 ≡Λ= DD , sistem jednačina nije moguć (nije određen bar po nepoznatoj veličini 1x ). Drugim rečima, sistem je protivurečan s obzirom da ako se prva jednačina pomnoži sa 2, dobija se:
321 6268 xxx +−= ,
što protivreči drugoj jednačini (desne strane te dve jednačine jednake su, ali su im leve različite).
Zadatak dovršiti s komentarom koji sledi iz vrednosti D2 i D3, kao i x2 i x3. ***********************
1.4.2 MATRIČNI METOD
S obzirom na pretpostavku da je već razmatrani sistem linearnih jednačina (1.4.1) određen (0det ≠A ), matrica A jeste regularna. To znači da postoji njena inverzna matrica 1−A . Tada se
rešenja razmatranog sistema linearnih jednačina (1.4.1), odnosno (1.4.3) – X, izračunavaju na sledeći način:
34
bAX 1−= . (1.4.2.1)
***********************Primer P1.4.2.1
Koristeći matrični metod rešiti sistem jednačina:
32123 xxx +−= ,
321 3249 xxx +−= ,
21 462 xx −=− .
Rešenje
−−−
=046324112
A ,
−=
293
b ,
−−−
−−=−
0121392
1261A ,
=
−
−−−
−−== −
321
293
0121392
1261bAX ⇒ 3,2,1 321 === xxx .
***********************
1.4.3 GAUSS-OV METOD SUKCESIVNIH ELIMINACIJA – GAUSS-OVA REDUKCIJA
Ponovo se razmatra određen sistem linearnih jednačina (1.4.1). Gauss-ov metod sukcesivnih eliminacija (Gauss-ova redukcija) sastoji se od sukcesivne eliminacije nepoznatih veličina iz jednačina u osnovnoj formi sistema (1.4.1). Radi toga se nad tim sistemom vrši (m-1) transformacija, sve dok se on ne dovede u gornju trougaonu formu. Iz te forme se računaju vrednosti nepoznatih veličina.
Neka je a11¹0. Neka se druga od jednačina sistema (1.4.1) sabere s prvom jednačinom prethodno pomnoženom s faktorom (–a21/a11); neka se tako dobijenom jednačinom zameni druga jednačina sistema (1.4.1). U ovako dobijenoj drugoj jednačini koeficijent uz nepoznatu veličinu x1 jednak je nuli. Ako je a21=0, tada druga jednačina ne treba da se transformiše na opisani način, već da se ostavi u njenoj osnovnoj formi. Neka se isti postupak sprovede i sa trećom, četvrtom itd., sve do m-te jednačine, koja se dobija sabiranjem originalne m-te sa prvom, prethodno pomnoženom s faktorom (–am1/a11). Ponovo, ako je am1=0, tada m-ta jednačina ne treba da se transformiše na opisani način, već da se ostavi u njenoj osnovnoj formi. Uz pomenuti uslov da je a11¹0, uvažavajući umesto osnovnih, novoformirane ekvivalentne jednačine od druge do m-te, sistemu jednačina (1.4.1) može da se da sledeći ekvivalentan oblik:
35
,
,
,
,
111
1313
11
13212
11
121
11
1
111
313313
11
3133212
11
31321
11
313
111
212313
11
2123212
11
21221
11
212
13132121111
mmm
mmm
mm
mm
m
mmm
mmm
mm
xaaaaxa
aaaxa
aaab
aab
xaaaaxa
aaaxa
aaab
aab
xaaaaxa
aaaxa
aaab
aab
xaxaxaxab
−++
−+
−=−
−++
−+
−=−
−++
−+
−=−
++++=
, (1.4.3.1)
odnosno:
,
,
,
,
13
132
12
1
133
1332
132
13
123
1232
122
12
13132121111
mmmmmm
mm
mm
mm
xaxaxab
xaxaxabxaxaxabxaxaxaxab
+++=
+++=
+++=
++++=
, (1.4.3.2)
ili u matričnoj formi:
XAb 11 = . (1.4.3.3)
Značenja vektora b1 i kvadratne matrice A1 očigledna su iz korespondencije ovog zapisa sa zapisom sistema jednačina (1.4.3.2). (Vektor nepoznatih veličina X se ne menja.) Vrednosti slobodnih članova i koeficijenata sistema (1.4.3.2) mogu da se dobiju poređenjem tog sistema sa sistemom jednačina (1.4.3.1). Superskriptom 1 označeni su slobodni članovi koeficijenti koji su pretrpeli prvu transformaciju.
Napomena: Na ovom je mestu prilika da se utvrdi jedna važna činjenica koja je od interesa za izlaganja koja slede u ovom paragrafu, a vezana su za rešavanje sistema linearnih jednačina. Npr, prilikom transformacije sistema jednačina (1.4.1) u oblik (1.4.3.2), očigledno je da i kada bi element ija , mi ,...,2,1= , mj ,...,2,1= [element na poziciji (i,j) u osnovnom sistemu jednačina (1.4.2)] bio jednak nuli, to ne implicira da i transformisani element 1
ija [element na istoj poziciji (i,j) u transformisanom sistemu
jednačina (1.4.3.2)] bude jednak nuli. U takvoj situaciji ( 0i0 1 ≠= ijij aa ), kaže se da se u toku Gauss-ove redukcije, na poziciji (i,j); na kojoj je bio nulti element, pojavio novogenerisani (nenulti) element.
Sistem jednačina (1.4.3.2), koji je ekvivalentan osnovnom sistemu (1.4.1), sada sadrži dva dela: prvi deo se sastoji od prve jednačine u osnovnoj formi sa, generalno, svih m nepoznatih veličina ( ix , mi ,...,2,1= ); drugi – redukovani deo sistema se sastoji od transformisanih jednačina počevši od druge pa do m-te. Ovaj deo čini nezavisnu celinu od (m-1) jednačine sa (m-1) nepoznatom veličinom. Zato on može da se raspregne od prve jednačine, pa da se nezavisno od nje reši po nepoznatim veličinama xi, mi ,...,3,2= . Dakle, u njemu ne figuriše nepoznata veličina x1.
36
Na osnovu rešenja redukovanog dela sistema jednačina (izračunate veličine ix , mi ,...,3,2= ), prva jednačina može da se reši po nepoznatoj veličini 1x .
Drugom (raspregnutom) delu sistema od (m–1) jednačine sa isto toliko nepoznatih veličina:
,
,
,
13
132
12
1
133
1332
132
13
123
1232
122
12
mmmmmm
mm
mm
xaxaxab
xaxaxabxaxaxab
+++=
+++=
+++=
(1.4.3.4)
istim postupkom kao u prethodnom slučaju, sada uz uslov da je a221 0 , može da se da oblik:
.
,
,
23
23
2
233
233
23
123
1232
122
12
mmmmm
mm
mm
xaxab
xaxabxaxaxab
+++=
+++=
+++=
(1.4.3.5)
Elementi koji su pretrpeli i drugu transformaciju, označeni su superskriptom 2. I ovaj sistem može da se raspregne na dva dela. Prvi deo čini prva od jednačina (1.4.3.5), a drugi deo – sistem transformisanih jednačina od treće do m-te (superskript 2). Ovaj deo može ponovo da se reši na isti način, nezavisno od prethodne dve jednačine, po nepoznatim veličinama xi, i=3, 4, ... , m. Na osnovu njegovog rešenja može da se reši prva od jednačina (1.4.3.5) po nepoznatoj veličini x2. Posle toga, može da se reši i prva od jednačina (1.4.3.2) po nepoznatoj veličini x1.
Sada osnovnom sistemu linearnih jednačina (1.4.1) može da se da sledeći ekvivalentan oblik:
,
,
,
,
23
23
2
233
233
23
123
1232
122
12
13132121111
mmmmm
mm
mm
mm
xaxab
xaxabxaxaxabxaxaxaxab
++=
++=
+++=
++++=
(1.4.3.6)
odnosno:
XAb 22 = . (1.4.3.7)
Značenja vektora 2b i kvadratne matrice 2A očigledna su iz korespondencije ovog zapisa sa zapisom sistema jednačina (1.4.3.6). (Superskript 2 ukazuje na drugi korak postupka, a ne na operaciju kvadriranja.)
Ako se nastavi prikazani postupak, uz uslov da su svi elementi 1−iiia , i=3, 4, ... , m, različiti
od nule, originalnom sistemu linearnih jednačina (1.4.1), posle ( )1−m koraka, može da se da sledeći definitivan (ekvivalentan) oblik u vidu gornje trougaone forme:
37
1 11 1 12 2 13 3 1, 1 1 1
1 1 1 1 12 22 2 23 3 2, 1 1 2
2 2 2 23 33 3 3, 1 1 3
2 2 21 1, 1 1 1,
1 1
,
,
,
,
,
m m m m
m m m m
m m m m
m m mm m m m m m m
m mm mm m
b a x a x a x a x a x
b a x a x a x a x
b a x a x a x
b a x a x
b a x
− −
− −
− −
− − −− − − − −
− −
= + + + + +
= + + + +
= + + +
= +
=
K
K
K
M(1.4.3.8)
odnosno:
,
,,
,
33333
23232222
13132121111
mmmm
mm
mm
mm
xug
xuxugxuxuxug
xuxuxuxug
=
++=+++=
++++=
(1.4.3.9)
ili u matričnom obliku:
,3
2
1
333
22322
1131211
3
2
1
=
mmm
m
m
m
m x
xxx
u
uuuuuuuuu
g
ggg
(1.4.3.10)
odnosno:
UXg = , (1.4.3.11)
Vrednosti parametara iz sistema jednačina (1.4.3.9) odnosno (1.4.3.10), mogu da se utvrde iz korespondencije tih zapisa sa zapisom sistema jednačina (1.4.3.8).
Sistem (1.4.3.10) ekvivalentan je osnovnom sistemu linearnih jednačina (1.4.1). Postupak transformacije sistema (1.4.1) u oblik (1.4.3.10) naziva se korakom na dole Gauss-ove redukcije. Oblik (1.4.3.10) ima gornju trougaonu formu. Rešenje sistema (1.4.3.10), odnosno rešenje osnovnog sistema linearnih jednačina (1.4.1), odvija se u sledećim koracima – korak na gore Gauss-ove redukcije:
Korak 1 ,mm
mm u
gx = (1.4.3.12)
Korak 2 ,1,1
,1
1,1
11 m
mm
mm
mm
mm x
uu
ugx
−−
−
−−
−− −=
.
.
.
.
.
.
38
Korak m–2 ,33
34
33
34
33
33 m
m xuux
uu
ugx −−−=
Korak m–1 ,22
24
22
243
22
23
22
22 m
m xuux
uux
uu
ugx −−−−=
Korak m .11
14
11
143
11
132
11
12
11
11 m
m xuux
uux
uux
uu
ugx −−−−−=
Iz opisanog Gauss-ove redukcije sistema linearnih jednačina, očigledno je da za njegovo sprovođenje mora da se poštuje sledeći uslov: element 1−i
iia treba da bude različit od nule u svakom koraku redukcije – i=1, 2 ... , m (problem nultog dijagonalnog elementa). Odnosno, tek prilikom započinjanja (i-1)-ve transformacije, dijagonalni (ujedno i prvi – vodeći) element j
iia treba da bude različit od nule. Ako je neki od tih elemenata jednak nuli, jednačina koja korespondira tom dijagonalnom elementu treba da se potisne na dole, tj. da se promeni redosled jednačina sistema koji se rešava. Promena redosleda jednačina kojom se dolazi do rešenja, uvek je moguća kada je sistem jednačina određen.
Potrebno je još da se naglasi da, pošto je sistem linearnih jednačina koji se razmatra (1.4.1) određen, svi dijagonalni koeficijenti matrice sistema (1.4.3.10) različiti su od nule.
01
≠∏=
m
iiiu . (1.4.3.13)
***********************
Primer P1.4.3.1
Rešiti sistem linearnih jednačina koristeći Gauss-ovu redukciju:
32123 xxx +−= ,
321 3249 xxx +−= ,
21 462 xx −=− .
Rešenje
Neka se druga od jednačina sistema sabere s prvom jednačinom prethodno pomnoženom s faktorom –4/2; neka se tako dobijenom jednačinom zameni druga osnovna jednačina; neka se treća jednačina sabere sa prvom prethodno pomnoženom faktorom –6/2; neka se tako dobijenom jednačinom zameni treća osnovna jednačina; tada se dobija sledeći ekvivalentan sistem linearnih jednačina:
32123 xxx +−= ,
33 x= ,
32 311 xx −−=− .
Da bi prethodni postupak mogao da se produži, potrebno je da je element uz nepoznatu veličinu 2x u drugoj jednačini (dijagonalni element) različit od nule. Pošto to nije slučaj, drugoj i trećoj jednačini se manja redosled, pa se dobija sistem:
32123 xxx +−= ,
39
32 311 xx −−=− ,
33 x= .
Kao sto se vidi već je dobijena gornja trougaona forma razmatranog sistema linearnih jednačina (1.4.3.10), čime je korak na dole završen. Matrični oblik dobijenog ekvivalentnog sistema glasi:
−−
−=
−
3
2
1
100310
112
3113
xxx
.
Korak na gore (1.4.3.12), kojim se izračunavaju nepoznate veličine, glasi:
33 =x ,
233111
3111 3
2 =⋅−=−
+−
−=xx ,
1231
23
2223 32
1 =−+=−+=xxx .
Primer P1.4.3.2
Rešiti sistem linearnih jednačina dat u opštim brojevima:
,,
2221212
2121111
xaxabxaxab
+=+=
koristeći se metodom determinanti i Gauss-ovom redukcijom. Pokazati ekvivalenciju rešenja dobijenih ovim metodima (verifikacija Cramer-ovog pravila).
Rešenje
Metod determinanti
Matrica razmatranog sistema glasi:
=
2221
1211
aaaa
A ;
njene determinante i rešenja iznose:
)(det 21122211 aaaaD −==A ,
==222
1211 ab
abD ( 122221 abab − )
21122211
1222211
aaaaabab
DDx
−−==⇒ ,
)( 211112221
1112 abab
baba
D −== 21122211
21111222 aaaa
ababDDx
−−==⇒ .
40
Potreban uslov za određenost sistema jeste 021122211 ≠− aaaa .
Gauss-ov a redukcija
Primenom prvog koraka Gauss-ove redukcije razmatranom sistemu može da se da sledeći oblik (gornja trougaona forma):
.)( 21211
21221
11
212
2121111
xaaaab
aab
xaxab
−=−
+=
Iz ovoga sistema, primenom koraka na gore, iz druge jednačine može da se izračuna nepoznata veličina 2x :
=2x21122211
211112
aaaaabab
−− .
Uvrštavanjem dobijene vrednosti 2x u prvu jednačinu, može da se izračuna i nepoznata veličina 1x :
21122211
1222211 aaaa
ababx−−
= .
Očigledno je da je potreban uslov za određenost sistema opet isti: 021122211 ≠− aaaa .
Rešenja 1x i 2x dobijena s dva metoda jednaka su. Time je verifikovano Cramer-ovo pravilo na razmatranom primeru sistema linearnih jednačina. ***********************
1.4.4 TEHNIKA RETKIH MATRICA
U ovom paragrafu prepisati sve formule α editorom (najbitnije su matrice i vektori).
Tipična karakteristika matematičkih modela svih mrežnih sistema velikih dimenzija (elektroenergetika, vodovod, toplovod, saobraćaj, gas, nafta itd.) jeste njihova "retkost". Matematički to znači da se u svakoj od jednačina tih modela nalazi svega nekoliko od vrlo velikog broja nepoznatih veličina. Npr, u elektroenergetskoj mreži s vrlo velikim brojem čvorova (npr. više desetina hiljada), svaki je čvor granama direktno povezan sa svega nekoliko susednih čvorova; kada je u pitanju mreža puteva (ili železnička mreža), svaki je grad putem (železničkom prugom) direktno povezan sa svega nekoliko susednih gradova itd. Samo pomenute direktne veze se u uobičajenim matematičkim modelima mrežnih sistema interpretiraju nenultim elementima u matričnim reprezentima tih modela. Retke matrice predstavljaju matematičku (numeričku) interpretaciju modela mrežnih sistema. Bez uvođenja i korišćenja institucije retkih matrica, obrada modela mrežnih sistema vrlo velikih dimenzija nije moguća, čak i primenom najsavremenijih računara.
Pod retkom matricom podrazumeva se matrica s "velikim brojem" elemenata čije su vrednosti jednake nuli (nulti elementi). Termin "veliki broj" nultih elemenata teško je da se kvantifikuje, pa će da bude urađeno kasnije. Sada se izlažu memorisanje retkih matrica i operacije s njihovim elementima:
41
1. nije nužno da se memorišu svi elementi retke matrice; dovoljno je da se memorišu samo njeni nenulti elementi;
2. sabiranje s nulom nije nužno da se vrši na standardan način; dovoljno je da se prepiše nenulti sabirak;
3. množenje s nulom nije nužno da se vrši na standardan način; dovoljno je da se zapiše nula kao rezultat tog množenja itd.
Ovih nekoliko činjenica dovoljno ukazuju na mogućnost utvrđivanja specijalnih tehnika za memorisanje retkih matrica i operacije s njihovim elementima. One se nazivaju tehnikom retkih matrica. Dakle tehnika retkih matrica se sastoji od dve jednostavne ali suštinske ideje:
1. memorišu se samo nenulti elementi i2. operacije s nulom se ne izvršavaju na standardan način.
S obzirom na način memorisanja, ima više varijanti tehnike retkih matrica. Dve od njih su prikazane u tački 1.4.4.1. U tački 1.4.4.2 razmotren je uticaj redosleda jednačina i numeracije nepoznatih veličina na rešavanje sistema linearnih jednačina primenom tehnike retkih matrica. U tački 1.4.4.3 dati su kvantitativni pokazatelji efikasnosti primene tehnike retkih matrica za rešavanje sistema linearnih jednačina tipičnih za modele elektroenergetskih sistema. Na osnovu svega toga, u tački 1.4.4.4, razmotrena je jedna racionalna numeracija jednačina i nepoznatih veličina sistema linearnih jednačina. Tehnika retkih matrica se generalno primenjuje na matrice bilo kakvih dimenzija. Ovde će ona biti obrađena na primerima kvadratnih matrica.
1.4.4.1 Memorisanje retkih matrica i operacije s njihovim elementima
Prva suštinska ideja tehnike retkih matrica jeste njihovo memorisanje. Ovde će biti razmotrena dva načina tog memorisanja.
Prvi način memorisanja – redosledna šema
Radi pojednostavljenja prikaza, ova varijanta memorisanja retkih matrica izložena je na konkretnom primeru. Neka je zadata kvadratna matrica četvrtog reda (sa naznačenim redosledom vrsta i kolona brojevima od 1 do 4):
1 2 3 4
A =
1 1 0 0 52 0 8 0 03 0 0 0 34 4 0 2 0
. (1.4.4.1.1)
Ona može da se memoriše pomoću sledeća dva skalara i tri vektora:
M = 4 – dimenzija (kvadratne) matrice;
N = 6 – broj nenultih elemenata u njoj;
42
vektor s vrednostima nenultih elemenata matrice, zapisanih redom po vrstama; dimenzija ovog vektora je N;
vektor sa indeksima kolona (pozicija u matrici) korespondentnih elementima sadržanih u vektoru VRED; dimenzija ovog vektora je N;
vektor s brojem elemenata po vrstama; dimenzija ovog vektora je M.
Rekonstrukcija razmatrane matrice na osnovu zadatih skalara M i N, kao i vektora VRED, POZ i BREL, glasi:
1. Prva vrsta: BREL(1)=2 znači da se u vrsti 1 nalaze dva elementa; to su prva dva elementa vektora VRED – VRED(1)=1 i VRED(2)=5; POZ(1)=1 i POZ (2)=4 znači da su ti elementi u kolonama 1 i 4, respektivno.
2. Druga vrsta: BREL(2)=1 znači da se u vrsti 2 nalazi jedan element; to je element iza prva dva elementa obrađena u okviru rekonstrukcije prve vrste matrice; dakle, to je treći element vektora VRED – VRED(3)=8; POZ (3)=2 znači da je taj element u koloni 2.
3. Treća vrsta: BREL(3)=1 znači da se u vrsti 3 nalazi jedan element; to je element iza prva tri elementa obrađena u okviru rekonstrukcije prve i druge vrste matrice; dakle, to je četvrti element vektora VRED – VRED(4)=3; POZ (4)=4 znači da je taj element u koloni 4.
4. Četvrta vrsta: BREL(4)=2 znači da se u vrsti 4 nalaze dva elementa; to su peti i šesti element vektora VRED – VRED(5)=4. i VRED(6)=2; POZ(5)=1 i POZ (6)=3 znači da su ti elementi u kolonama 1 i 3, respektivno.
Time je završena rekonstrukcija razmatrane matrice.
Prostor potreban za memorisanje matrica na ovaj način iznosi: dva skalara (M i N), dva vektora dimenzija N i jedan vektor dimenzije M, tj. (2+2N+M) pozicija. Relativan odnos potrebnog prostora za memorisanje matrice na ovaj način (popuna – p[%]), u odnosu na njeno standardno memorisanje (tretirajući je punom matricom , tj. memorišući i nulte elemente), iznosi:
[ ] 10022% 2 ⋅++=M
MNp . (1.4.4.1.21)
Ako se razmatraju sistemi jednačina velikih dimenzija, čije su matrice retke, važi:
( ) 22 > >+ MN . (1.4.4.1.3)
Ako se pretpostavi situacija da u sistemu svaka od jednačina sadrži prosečno 4 nepoznate veličine6, tada u svakoj vrsti matrice sistema ima prosečno po četiri nenulta elementa. Tada važi:
MN 4= . (1.4.4.1.4)
U ovakvoj situaciji, popuna razmatrane retke matrice iznosi:
6 U modelima elektroenergetskih mreža taj je prosek i manji.
43
VRED1 2 3 4 5 6
= 1. 5. 8. 3. 4. 2.
POZ1 2 3 4 5 6
= 1 4 2 4 1 3
BREL1 2 3 4
= 2 1 1 2
[ ]MM
MM
MMM
MNp 9001009100421002% 222 =⋅=⋅+⋅=⋅+= , (1.4.4.1.5)
što za matricu dimenzije 1000 (M=1000, sa po četiri elementa po vrsti) iznosi:
[ ] 9,0% ≈p . (1.4.4.1.6)
Tumačenje izvedenog kvantitativnog zaključka (1.4.4.1.5) glasi: s porastom dimenzija sistema jednačina, uz zapažen broj nepoznatih veličina po jednačini, relativna popuna nenultim elementima odgovarajuće matrice sistema opada – retkost raste.
Ovaj način memorisanja retkih matrica naziva se memorisanje prema redoslednoj šemi. On je karakterističan po zapažanju redosleda nenultih elemenata po vrstama, a unutar svake vrste – i po kolonama. Eventualna promena strukture već memorisane matrice (npr. insertovanje nenultog elementa na poziciju na kojoj je bio nulti element) izaziva pomeranje svih elemenata u vektorima VRED i POZ koji se nalaze posle insertovanog elementa. Takva promena strukture zahteva radikalno restrukturiranje ta dva vektora. To restrukturiranje zahteva utrošak odgovarajućeg računarskog vremena, što predstavlja značajan nedostatak ovog načina memorisanja retkih matrica.
Drugi način memorisanja – ulančana šema
Ova varijanta memorisanja retkih matrica takođe se izlaže na istom primeru matrice četvrtog reda (1.4.4.1.1). Ona se sada memoriše na sledeći, nešto složeniji način: pored skalara M i N, i vektora VRED, POZ i BREL, koristi se još jedan vektor RED i jedan skalar IND:
M = 4;
N = 6;
Vektor s kojim se definiše redosled memorisanja nenultih elemenata matrice; njegova dimenzija je N;
IND = 2 Indeks s kojim se ukazuje na poziciju prvog nenultog elementa u prvoj vrsti matrice čiji su elementi memorisani u vektoru VRED (tj.
44
VRED1 2 3 4 5 6
= 8. 1. 5. 4. 2. 3.
POZ1 2 3 4 5 6
= 2 1 4 1 3 4
BREL1 2 3 4
= 2 1 1 2
RED1 2 3 4 5 6
= 6 3 1 5 0 4
ukazuje se na mesto gde "matrica počinje").
Skalari M i N imaju ista značenja kao u prvoj varijanti; vektor VRED sadrži vrednosti nenultih elemenata razmatrane matrice, ali, sada, bez zapaženog redosleda po vrstama (i kolonama), tj. sa elementima zapisanim potpuno slobodno; vektor POZ sadrži informacije o indeksima kolona korespondentnih elemenata u vektoru VRED; vektor BREL je isti sa onim u prvoj varijanti. Smisao vektora RED i skalara IND može da se sagleda na osnovu rekonstrukcije memorisane matrice:
1. IND=2 znači da se indeks kolone prvog nenultog elementa prve vrste matrice A nalazi na drugom mestu u vektoru POZ, tj, taj indeks iznosi: POZ(2)=1; vrednost tog elementa je određena veličinom VRED(2)=1, tj, to je element s vrednošću 1 u prvoj koloni (prve vrste); broj RED(2)=3 ukazuje na poziciju i vrednost narednog elementa matrice A idući po vrstama, tj. POZ(3) i VRED(3);
2. POZ(3)=4 i VRED(3)=5, ukazuju na to da se naredni (drugi) nenulti element matrice nalazi u četvrtoj koloni i ima vrednost 5; broj RED(3)=1 ukazuje poziciju i vrednost narednog elementa matrice A, tj. POZ(l) i VRED(1);
3. POZ(1)=2 i VRED(1)=8, ukazuju na to da se naredni (treći) nenulti element matrice ima vrednost 8; ovaj element jeste prvi element druge vrst matrice pošto su rekonstruisana oba elementa prve vrste matrice, na šta ukazuje vrednost prvog elementa vektora BREL – BREL(1)=2; broj RED(1)=6 ukazuje na poziciju i vrednost narednog elementa matrice A, tj. POZ(6) i VRED(6), itd;
4. POZ(6)=4, VRED(6)=3, RED(6)=4;5. POZ(4)=1, VRED(4)=4, RED(4)=5;6. POZ(5)=3, VRED(5)=2, RED(5)=0.
Vrednost 0 u vektoru RED ukazuje na kraj rekonstrukcije matrice. Na taj način rekonstruisani su svi elementi matrice A redom po vrstama (i kolonama). Njihova raspodela po vrstama sadrži se u vektoru BREL.
Prostor potreban za ovaj način memorisanja matrica iznosi (3N+M+3) pozicija. Relativna popuna matrice nenultim elementima, koja je memorisana na ovaj način, iznosi:
[ ] 233100%M
MNp ++= . (1.4.4.1.7)
Slično kao u prvoj varijanti, za (3N + M)>>3, i za situaciju da je N = 4M, popuna iznosi:
[ ]MM
MMp 130010043% 22 =⋅+⋅= , (1.4.4.1.8)
što za matricu dimenzija 1000 (M=1000), sa po četiri nenulta elementa po vrsti, iznosi:
[ ] 3,1%2 ≈p . (1.4.4.1.9)
Za memorisanje matrica na ovaj način zahteva se oko 50% više prostora u odnosu na prvi način. Ipak, potreban prostor za memorisanje retke matrice relativno je beznačajan u oba slučaja. Dalje, očigledno je da za operisanje s matricama memorisanim prema drugom načinu, treba nešto više vremena koje se troši na povećan obim pretraživanja njihovih elemenata. Ali, i za njega važi da s porastom dimenzija sistema jednačina, uz zapažen broj nepoznatih veličina po jednačini, relativna popuna nenultim elementima odgovarajuće matrice sistema opada – retkost raste.
45
Ovaj način memorisanja naziva se memorisanje prema ulančanoj šemi. Naime, za njega je karakteristično to što se pri eventualnoj promeni strukture već memorisane matrice, npr. pri insertovanju nenultog elementa na poziciju na kojoj je bio nulti element, ne vrši nikakvo "pomeranje" (prestruktuiranje) elemenata u vektorima s kojima se matrica memoriše. Umesto toga, za svaki insertovani element u matrici koja je razmatrana, vrše se sledeće trivijalne korekcije:
• broj nenultih elemenata se poveća za jedan, sa N=6 na N=7; • sam element – njegova vrednost i pozicija – dodaju se na krajeve vektora VRED i POZ,
respektivno; • broj elemenata u vrsti u kojoj je insertovan jedan element poveća se za jedan (element
vektora BREL koji odgovara toj vrsti se poveća za jedan); • vektor RED se poveća za jedan element (na njegovom kraju) i vrši korekcija tekuće
vrednosti jednog njegovog elementa (eventualno se vrši i korekcija skalara IND).
I ovaj postupak je prikazan na primeru. Neka se u obrađivanoj – osnovnoj matrici A, umesto tekućeg nultog elementa, insertuje nenulti element na poziciji (2,3) s vrednošću 6 (podvučeni broj 6.). Tako se dobije nova matrica A:
1 2 3 4
A =
1 1 0 0 52 0 8 6 03 0 0 0 34 4 0 2 0
. (1.4.4.1.10)
Memorisanje matrice A može da se izvede iz memorisanja osnovane matrice A na sledeći način (oznake promenjenih skalara i vektora su podvučene):
M = 4, ostaje isti (dimenzija matrice);
N = 7, promenjen, povećanjem za jedan;
promenjen, dodavanjem sedmog elementa;
promenjen, dodavanjem pozicije sedmog elementa (kolone u kojoj je smešten element);
promenjen, povećanjem drugog elementa za jedan (povećan broj elemenata druge vrste);
promenjen, promenom vrednosti prvog elementa i dodavanjem sedmog elementa;
46
1 2 3 4 5 6 7
VRED = 8. 1. 5. 4. 2. 3. 6.
1 2 3 4 5 6 7
POZ = 2 1 4 1 3 4 3
1 2 3 4
BREL = 2 2 1 2
1 2 3 4 5 6 7
RED = 7 3 1 5 0 4 6
IND = 2
ostaje isti; promena bi se desila da je element insertovan ispred prvog elementa u prvoj vrsti; u ovom primeru to nije moguće pošto je prvi element na poziciji (1,1).
Na osnovu ovog primera je očigledno da se insertovanje nenultog elementa, u ovoj varijanti tehnike retkih matrica, za razliku od prve varijante, svodi na trivijalne korekcije memorisane strukture osnovne matrice, bez pomeranja elemenata vektora, što bi bilo nužno kod korišćenja redosledne šeme. Da bi se stekao uvid u praktičan značaj ovog efekta, dovoljno je da se zamisle potrebna prestrukturiranja vektora VRED i POZ u redoslednoj šemi, kada bi oni sadržali više hiljada elemenata, i kada bi se to prestrukturiranje ponavljalo više puta. Na ovakva insertovanja se često nailazi u toku sprovođenja Gauss-ove redukcije prilikom rešavanja sistema linearnih jednačina primenom tehnike retkih matrica. Mogućnost za pojavu nenultih elemenata na mestima gde su u osnovnoj situaciji bili nulti elementi, očigledna je iz izlaganja u tački 1.4.4.2.
U praktičnim primenama tehnike retkih matrica nailazi se na alternativna rešenja nekih detalja u vezi s njihovim memorisanjem. Npr, dijagonalni elementi se memorišu posebno, mimo vektora VRED i POZ; umesto broja elemenata svake vrste, u vektoru BREL se zapisuju kumulativni brojevi elemenata, idući redom po vrstama, itd.
Konačno, na bazi sprovedenih razmatranja, jasno je da je primena tehnike retkih matrica za obradu punih matrica – besmislena. Njena primena počinje da ima smisla tek sa nekim – "kritičnim" stepenom retkosti obrađivanih matrica. Ovaj fakt ukazuje na ideju da se utvrdi sledeća kvalitativna definicija retke matrice: retka je ona matrica za čije je memorisanje i obradu efikasnije da se primeni tehnika retkih matrica nego da se matrica memoriše i obradi na standardan način.
Dok je smanjenje memorije očigledno iz dosadašnjih razmatranja, dotle je smanjenje računarskog vremena koje je potrebno za obradu sistema linearnih jednačina s retkim matricama, primenom tehnike retkih matrica, rezultat već navedene (druge), vrlo jednostavne, ali suštinske ideje. Naime, umesto operisanja (sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja) sa svim (i nultim) elementima matrica tretiranih kao pune matrice, u primeni tehnike retkih matrica operiše se samo sa p[%] nenultih elemenata: operacija sabiranja sa nulom se zamenjuje prepisivanjem nenultog sabirka; slično je sa operacijom oduzimanja; operacije množenja sa nulom kao i deljenje nule (sa nenultim brojem), nakon izvršenja odgovarajućih testova, uopšte se ne izvode, itd. Tako, druga suštinska ideja tehnike retkih matrica se sastoji od toga da se veliki broj operacija svodi samo na testove u odnosu na nulu i prepisivanje nenultih brojeva. Ovaj aspekt smisla tehnike retkih matrica prikazan je rezultatima numeričkih eksperimenata koji su prikazani u tački 1.4.4.3.
1.4.4.2 Numeracija jednačina i nepoznatih veličina
U vezi s tehnikom retkih matrica ovde se obrađuje jedan njen aspekt čije su implikacije prilikom rešavanja sistema linearnih jednačina primenom tehnike retkih matrica vrlo vredne. On se odnosi na numeraciju (redosled) jednačina i numeraciju (redosled) nepoznatih veličina tih sistema. Radi pojednostavljenja izlaganja, ovo pitanje se obrađuje na sledećem primeru sistema linearnih jednačina:
1b 11a 12a 13a 14a 15a 1x
2b 21a 22a 2x
3b = 31a 33a 3x
4b 41a 44a 4x
. (1.4.4.2.1)
47
5b 51a 55a 5x
Slobodni članovi ib i koeficijenti ija , 5 4, 3, 2, 1,=i , 5 4, 3, 2, 1,=j , poznati su. Svi koeficijenti koji nisu zapisani jednaki su nuli. Sistem je određen i treba da se reši po nepoznatim veličinama ix ;
5 4, 3, 2, 1,=i . Primenom Gauss-ove redukcije, razmatranom sistemu može da se da sledeća gornja trougaona forma:
1g 11u 12u 13u 14u 15u 1x
2g 22u +23u +
24u +25u 2x
3g = 33u +34u +
35u 3x
4g 44u +45u 4x
5g 55u 5x
. (1.4.4.2.2)
Iz ove forme, zamenom unazad, sledi rešenje razmatranog sistema jednačina. U vezi s tom formom mogu da se utvrde sledeća dva njena nedostatka:
• Retka matrica osnovnog sistema jednačina transformisana je u punu gornjutrougaonu matricu; pozicije novogenerisanih elemenata na bivšim nultim pozicijama, označene su krstićima u superskriptu;
• Kad bi se prosledio kompletan prelazak iz osnovne forme (1.4.4.2.1) u gornju trougaonu formu (1.4.4.2.2), sagledala bi se pojava i drugih novogenerisanih elemenata (u donjem trouglu matrice), za koje je korišćena memorija i za čije je eliminisanje, u toku izvođenja Gauss-ove redukcije, utrošeno vreme.
Na osnovu ta dva nedostatka, jasno je da se u konačnoj formi transformisanog sistema jednačina u potpunosti izgubila osobina retkosti, pa je primena tehnike retkih matrica u potpunosti izgubila smisao. Ovaj problem posebno dolazi do izražaja kada su u pitanju sistemi jednačina slični po formi sistemu (1.4.4.2.1), ali vrlo visokog reda. Za takve sisteme, pitanje je da li se ovim putem uopšte mogu rešiti, iako je njihova matrica izuzetno retka. Rešenje ovog problema leži u izboru nove numeracije – prenumeracije jednačina i nepoznatih veličina sistema (1.4.4.2.1).
Ako se u sistemu jednačina (1.4.4.2.1) zamene mesta prve i pete jednačine, dobija se sistem:
5b 51a 55a 1x
2b 21a 22a 2x
3b = 31a 33a 3x
4b 41a 44a 4x
1b 11a 12a 13a 14a 15a 5x
. (1.4.4.2.3)
Ova zamena redosleda jednačina formalno se svodi na odgovarajuću zamenu vrsta matrice sistema – prva s petom. Pri tom, vektor nepoznatih veličina se ne menja, ali se menja redosled veličinama u vektoru slobodnih članova. Primenom Gauss-ove redukcije, sistemu (1.4.4.2.3) može da se da sledeća gornja trougaona forma:
1g′ 11u′ 15u′ 1x
2g ′ 22u′ +′25u 2x
(1.4.4.2.4)
48
3g′ = 33u ′ +′35u 3x
4g′ 44u′ +′45u 4x
5g′ 55u′ 5x
.
Primovi slobodnih članova i koeficijenata ove forme sistema korišćeni su da bi se ukazalo da su oni različiti od odgovarajućih slobodnih članova i koeficijenata sistema (1.4.4.2.2).
Dakle, vrlo jednostavnom zamenom redosleda jednačina razmatranog sistema, obezbeđena je vrlo velika korist u smislu primene tehnike retkih matrica – broj novogenerisanih elemenata je radikalno smanjen. Oni se, u ovom slučaju, pojavljuju samo u petoj koloni.
Ako se sada u sistemu jednačina (1.4.4.2.3) međusobno zamene mesta prvoj i petoj nepoznatoj veličini, dobija se sistem:
5b 55a 51a 5x
2b 22a 21a 2x
3b = 33a 31a 3x
4b 44a 41a 4x
1b 15a 12a 13a 14a 11a 1x
. (1.4.4.2.5)
Ova zamena redosleda nepoznatih veličina razmatranog sistema formalno se svodi na odgovarajuću zamenu kolona matrice sistema – prva s petom. Pri tom, vektor slobodnih članova se ne menja, ali se menja redosled veličinama u vektoru nepoznatih. Primenom Gauss-ove redukcije, sistemu (1.4.4.2.5) može da se da sledeća gornja trougaona forma:
1g ′′ 11u ′′ 15u ′′ 5x
2g ′′ 22u ′′ 25u ′′ 2x
3g ′′ = 33u ′′ 35u ′′ 3x
4g ′′ 44u ′′ 45u ′′ 4x
5g ′′ 55u ′′ 1x
. (1.4.4.2.6)
Sekundumi slobodnih članova i koeficijenata ove forme sistema korišćeni su da bi se ukazalo da su oni različiti od odgovarajućih slobodnih članova i koeficijenata sistema (1.4.4.2.2) i (1.4.4.2.4). Dakle, vrlo jednostavnom zamenom redosleda nepoznatih veličina razmatranog sistema, obezbeđena je dodatna velika korist u smislu primene tehnike retkih matrica – broj novogenerisanih elemenata je dodatno smanjen – u ovom slučaju se ne pojavljuje ni jedan novogenerisani elemenat.
Iz ove forme je očigledno da je ona vrlo bliska formi (1.4.4.2.5), koja je, sa svoje strane, ekvivalentna zadatom sistemu (1.4.4.2.1). U formi (1.4.4.2.6), transformaciju su doživela samo dva elementa (slobodan član 1b u 5g ′′ i koeficijent 11a u 55u ′′ ). Koeficijenti a15, a12, a13 i a14 redukovani su, a vrednosti ostalih koeficijenata su ostale iste ( 11u ′′ = 55a , 22u ′′ = 22a , 33u ′′ = 33a , 44u ′′ = 44a ). Prelazak iz forme (1.4.4.2.5) u formu (1.4.4.2.6) nema ni jedan od dva navedena nedostatka vezana za prelazak iz forme (1.4.4.2.1) u formu (1.4.4.2.2). Za memorisanje forme (1.4.4.2.6) potreban je isti prostor kao onaj koji je već angažovan za gornji trougao polazne forme (1.4.4.2.5), a novogenerisani elementi, kako u konačnom obliku, tako i u toku izvođenja Gauss-ove redukcije, ne pojavljuju se (samo su slobodan član i koeficijent poslednje jednačine promenili vrednosti).
49
Na osnovu toga, može da se zaključi da u samoj postavci sistema jednačina (1.4.4.2.1) nije izvršen "pogodan" izbor numeracije jednačina i nepoznatih veličina. Time su unapred uništeni svi pozitivni efekti primene tehnike retkih matrica. Za razliku od toga, "pogodnom" numeracijom jednačina i nepoznatih veličina, generisan je ekvivalentan sistem jednačina (1.4.4.2.5). Primenjena nad tim sistemom, tehnika retkih matrica dolazi do punog izražaja. Dok je na ovom primeru izbor numeracije bio očigledan, na primerima velikih sistema, to nije tako jednostavno da se uradi. Šta više, teško je uopšte da se postavi kriterijum optimalnosti numeracije jednačina i nepoznatih veličina. Zbog tih teškoća, kada su u pitanju obrade sistema linearnih jednačina velikih dimenzija, koriste se kvazioptimalni (heuristički) postupci za izbor numeracije jednačina i nepoznatih veličina, s kojima se u primeni dobijaju "vrlo dobri" rezultati. Ima više praktično proverenih postupaka za taj izbor. Odgovarajući kriterijumi se, manje ili više, razlikuju od postupka do postupka, ali je svima zajedničko to da se, globalno, na početak sistema stavljaju nepoznate veličine i jednačine čijom se obradom u toku Gauss-ove redukcije unosi što manje novogenerisanih elemenata u preostali deo sistema čija obrada tek predstoji. Naime, k -ti korak Gauss-ove redukcije, koji se sprovodi na sistemu od m jednačina ( mk < ), sastoji se od rasprezanja sistema na dva dela: prvi deo čine prvih k jednačina koje su već obrađene, a drugi deo čine preostalih ( km − ) jednačina čija obrada predstoji. Jednačine drugog dela se transformišu radi redukcije nepoznate veličine xk. Ova redukcija se sprovodi u svim jednačinama drugog dela sistema, oslanjajući se stalno na k-tu jednačinu (vrstu) zadržanu u tekućem obliku. Ovaj momenat, tj. ova redukcija nepoznate veličine xk iz drugog dela sistema, situacija je kada u transformisanom drugom delu sistema može da se pojavi manji ili veći broj novogenerisanih elemenata. Pojava novogenerisanih elemenata posledica je sprovođenja same Gauss-ove redukcije. Naime, redukcija k-te nepoznate veličine iz svih jednačina od ( 1+k )-ve do m-te, u kojima se ta veličina nalazi, izvodi se sabiranjem tih (nešto modifikovanih) jednačina s k -tom jednačinom (zadržanom u tekućem obliku). Očigledno je da će se u toku tih operacija, u onim jednačinama od ( 1+k )-ve do m-te, u kojima figuriše nepoznata veličina kx , pojaviti novogenerisani elementi na onim njihovim nultim pozicijama koje odgovaraju nenultim koeficijentima u k -toj jednačini. Ova razmatranja su podržana primerom.
Neka se razmatra sistem od osam linearnih jednačina sa osam nepoznatih veličina. Neka se završio treći korak Gauss-ove redukcije. U tom koraku generisan je sistem (drugi deo osnovnog sistema) od pet 5=(8–3) jednačina sa pet nepoznatih veličina:
34b 3
44a 345a 3
46a 348a 4x
35b 3
55a 357a 5x
36b = 3
64a 366a 6x
37b 3
74a 377a 7x
38b 3
88a 8x
, (1.4.4.2.7)
čija matrica ima strukturu prikazanu na Slici 1.4.4.2.1a (sa znacima × označene su pozicije nenultih elemenata). Rezultat sprovođenja k -tog (četvrtog) koraka Gauss-ove redukcije sastoji se od sačuvane k -te (četvrte) jednačine u tekućem obliku:
83486
3465
3454
344
34 xaxaxaxab +++= ; (1.4.4.2.8)
i drugog, (raspregnutog) dela sistema, sa eliminisanom nepoznatom veličinom 4x :
45b 4
55a 457a 5x
46b = +4
65a 466a +4
68a 6x
. (1.4.4.2.9)
50
47b +4
75a +476a 4
77a +478a 7x
48b 4
88a 8x
Matrica ovog sistema ima strukturu prikazanu na Slici 1.4.4.2.1b. Sa ×+ označene su pozicije novogenerisanih elemenata prilikom sprovođenja aktuelnog koraka redukcije. Pri tom, očigledno je sledeće:
1. Jednačine koje ne sadrže nepoznatu veličinu 4x , nisu pretrpele transformaciju (to su samo peta i osma).
2. Jednačine koje sadrže tu nepoznatu veličinu (šesta i sedma), ne samo da su pretrpele transformaciju, već su se u njima pojavili novogenerisani elementi, i to na pozicijama korespondentnim nenultim elementima u četvrtoj jednačini; to su elementi s krstićima u superskriptu u sistemu (1.4.4.2.9), odnosno na Slici 1.4.4.2.1b; njih ima pet.
Na osnovu toga, nameće se sledeći intuitivan zaključak: broj novogenerisanih elemenata (u ovom primeru pet), utoliko je veći ukoliko k-ta (četvrta) jednačina sadrži više nenultih elemenata, i ukoliko se k-ta (četvrta) nepoznata veličina sadrži u više preostalih jednačina. Da bi se ovaj zaključak kvantitativno verifikovao, izvršena je sledeća prenumeracija: 1) četvrtoj i osmoj jednačini međusobno su zamenjena mesta i 2) četvrtoj i osmoj nepoznatoj veličini takođe su međusobno zamenjena mesta. Sada sistem jednačina (1.4.4.2.7) dobija sledeću formu:
38b 3
88a 8x35b 3
55a 357a 5x
36b = 3
66a 364a 6x
37b 3
77a 374a 7x
34b 3
48a 345a 3
46a 344a 4x
, (1.4.4.2.10)
čija je struktura prikazana na Slici 1.4.4.2.1c.
Posle izvršene prenumeracije jednačina i nepoznatih veličina, ako se sprovede k-ti (četvrti) korak Gauss-ove redukcije, dobija se ekvivalentan sistem koji se sastoji od sledeća dva dela:
prvi deo:
8388
38 xab = , (1.4.4.2.11)
drugi (raspregnuti) deo:
35b 3
55a 357a 5x
36b = 3
66a 364a 6x
37b 3
77a 374a 7x
34b 3
45a 346a 3
44a 4x
. (1.4.4.2.12)
Struktura matrice raspregnutog dela sistema prikazana na Slici 1.4.4.2.1d.
4 5 6 7 84 × × × ×
5 6 7 85 × ×
51
5 × ×6 × ×7 × ×8 ×
(a)
6 ×+ × ×+
7 ×+ ×+ × ×+
8 ×(b)
4 5 6 7 84 ×5 × ×6 × ×7 × ×8 × × × ×
(c)
5 6 7 85 × ×6 × ×7 × ×8 × × ×
(d)
Slika 1.4.4.2.1 – Strukture matrica sistema linearnih jednačina koje se pojavljuju u toku sprovođenja Gauss-ove redukcije na izabranom primeru (redni brojevi iznad i levo od matrice
ukazuju na redosled vrsta i kolona matrice a ne na redne brojeve jednačina i nepoznatih veličina)
Na osnovu oblika redukovanog sistema jednačina (1.4.4.2.12) i strukture njegove matrice prikazane na Slici 1.4.4.2.1d, očigledno je da je pre sprovođenja četvrtog koraka Gauss-ove redukcije, izvršen “vrlo dobar” izbor numeracije obrađivanih jednačina i nepoznatih veličina, koji je iskazan formom (1.4.4.2.10). U takvoj situaciji, prilikom sprovođenja razmatranog koraka Gauss-ove redukcije, nije se pojavio ni jedan novogenerisani elemenat. Taj izbor koincidira sa sledećom situacijom: za početnu jednačinu izabrana je osma jednačina, a za početnu nepoznatu veličina x8
razmatranog sistema (1.4.4.2.7); ta jednačina ima najmanje nenultih elemenata (samo jedan), a osma nepoznata veličina, koja je proglašena početnom, nalazi se među nepoznatim veličinama koje se najmanji broj puta pojavljuju u preostalim jednačinama (samo još u jednoj).
Konačno, na osnovu dosadašnjih razmatranja, intuitivno može da se postavi sledeći kriterijum za izbor jednačine i odgovarajuće nepoznate veličine koje treba da se obrade u k-tom koraku Gauss-ove redukcije: to je ona jednačina i odgovarajuća nepoznata veličina, koje odgovaraju minimalnom zbiru (ili proizvodu) broja nenultih elemenata u vrsti i broja elemenata u odgovarajućoj koloni matrice sistema svih ( 1+− km ) preostalih jednačina, dobijenih posle završetka ( 1−k )-og koraka Gauss-ove redukcije; u nenulte elemente se u tom sistemu računaju i oni novogenerisani elementi koji su se u preostalih ( 1+− km ) jednačina pojavili tokom sprovođenja prvih ( 1−k ) koraka. Ovaj kriterijum (opet intuitivno) može da se iskaže i na sledeći način: za ovako izvršen izbor, najmanja je verovatnoća pojave novogenerisanih elemenata; pri tom, to praksa pokazuje, praktično je beznačajno da li se kriterijum zasniva na rečenom zbiru ili proizvodu brojeva elemenata u odgovarajućim vrstama i kolonama.
Praksa takođe pokazuje da ovakav izbor numeracije jednačina i nepoznatih veličina linearnih sistema predstavlja vrlo dobar kompromis između brzine da se sam izbor izvrši i kvaliteta numeracije koja se pri tom dobija (s obzirom na ukupno vreme i memoriju koji su potrebni za obradu sistema jednačina).
Još jedan već najavljen detalj ostao da se razmotri. On se takođe tiče problema numeracije jednačina i nepoznatih veličina. Taj detalj se odnosi na određene sisteme linearnih jednačina (dakle, na one sisteme jednačina koji imaju jedinstveno rešenje) u kojima se, u toku sprovođenja Gauss-ove redukcije nalazi na nulti dijagonalni element. U takvim slučajevima dolazi se u situaciju deljenja s nulom prilikom doslednog sprovođenja Gauss-ove redukcije. Ovaj se problem rešava tako što je prilikom izbora nepoznate veličine i jednačine za nastavak transformacija matrice sistema ( k -ti korak Gauss-ove redukcije), potrebno da se vodi računa da se, bez obzira na usvojen kriterijum za izbor numeracije, ne tretiraju jednačine i nepoznate veličine sa nultim tekućim dijagonalnim
52
elementima, sve dok se na tim mestima ne pojave novogenerisani (nenulti) elementi. A ti elementi, s obzirom na određenost sistema – moraju da se pojave.
1.4.4.3 Efikasnost primene tehnike retkih matrica
Da bi se demonstrirala efikasnost primene tehnike retkih matrica i postupaka za izbor numeracije jednačina i nepoznatih veličina, prikazani su rezultati obrade i rešavanja sistema linearnih jednačina do sto šezdesetog reda. Popuna matrica tih sistema s nenultim elementima saglasna je s modelima elektroenergetskih sistema (prosečno po četiri nenulta elementa po vrsti matrice linearnih modela sistema). Dakle, relativna popuna nenultim elementima obrađivanih matrica opada s porastom reda sistema prema tipičnim uzorcima modela elektroenergetskih sistema. Za tu obradu (rešavanje) korišćena je osnovna Gauss-ova redukcija u sledećih pet varijanti:
1. Ne koristi se tehnika retkih matrica;2. Primenjena je tehnika retkih matrica prema redoslednoj šemi, na sistemu sa slučajno
izabranom numeracijom jednačina i nepoznatih veličina;3. Isto kao pod 2, ali prema ulančanoj šemi;4. Primenjena je tehnika retkih matrica prema redoslednoj šemi, ali, sada, s
numeracijom jednačina i nepoznatih veličina izabranom saglasno s postupkom koji je gore opisan;
5. Isto kao pod 4, ali prema ulančanoj šemi.
Relativno utrošeno vreme "Vremenski zahtevi [%]" i relativna memorija računara "Memorijski zahtevi [%]", koji su potrebni za obradu i rešavanje svake od opisanih pet varijanti, u zavisnosti od dimenzije sistema M (od 30 do 160). prikazani su na slikama 1.4.4.3.1a i 1.4.4.3.1b respektivno. Sa Slike 1.4.4.3.1a se vidi da je sa 100% označeno vreme da se reši sistem od nešto više od 90 jednačina bez da se koristi tehnika retkih matrica. Sa Slike 1.4.4.3.1b se vidi da je sa 100% označena memorija potrebna da se upamti i obradi sistem od nešto više od 40 jednačina bez da se koristi tehnika retkih matrica. Na osnovu dijagrama prikazanih na tim slikama može da se zaključi sledeće:
1. Što se tiče vremenskih zahteva, primena tehnike retkih matrica prema redoslednoj šemi postaje efikasnija u odnosu na rešavanje sistema linearnih jednačina bez korišćenja te tehnike, tek kod sistema većeg reda od devedeset; ali, s obzirom na memorijske zahteve, primena ove varijante tehnike retkih matrica neprikosnovena je u odnosu na proračune bez njene primene (uporediti varijante 1, 2 i 3 na slikama 1.4.4.3.1a i 1.4.4.3.1b).
2. Kod primene tehnike retkih matrica prema ulančanoj šemi memorijski zahtevi se vrlo malo povećavaju u odnosu na primenu redosledne šeme (uporediti varijante 3 sa 2 i 5 sa 4 na Slici 1.4.4.3.1b), ali se zato vremenski zahtevi značajno smanjuju u odnosu na primenu redosledne šeme (uporediti varijante 3 sa 2 i 5 sa 4 na Slici 1.4.4.3.1a).
3. Iz poređenja varijanti 4 sa 2 i 5 sa 3 na slikama 1.4.4.3.1a i 1.4.4.3.1b, očigledan je smisao pogodnog izbora numeracije jednačina i nepoznatih veličina sistema linearnih jednačina za njihovo rešavanje.
53
2 1 3 4 5
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vremenski zahtevi [%]
M
(a)
Memorijski zahtevi [%] 100
90 80 70 60 50 40 30 20 10
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
M
1 4 5 2 3
(b)
Slika 1.4.4.3.1 – Upoređenje postupka za rešavanje sistema linearnih jednačina primenom tehnike retkih matrica, u pet varijanti: zavisnost vremena proračuna od reda sistema (a) i zavisnost
zahtevane memorije od dimenzije sistema (b)
1.5 TAYLOR-OV RED
Taylor-ov red ili Taylor-ov razvoj predstavlja matematički aparat za predstavu funkcija jedne ili više promenljivih pomoću redova (polinoma).
1.5.1 TAYLOR-OV RAZVOJ JEDNE FUNKCIJE S JEDNOM PROMENLJIVOM
Razmatra se skalarna funkcija )f(x prikazana punom linijom na Slici 1.5.1.1. Na funkciji je uočena bazna tačka O s koordinatama [ ])f(, oo xx . Ako je funkcija )f(x monotona i diferencijabilna beskonačno puta u specificiranoj okolini bazne tačke O , onda vrednost funkcije )f(x u ma kojoj tački koja pripada specificiranoj okolini bazne tačke, sa apscisom 1x , može da se razvije u Taylor-ov red, odnosno da se prikaže Taylor-ovim redom:
...Δd
)f(d!2
1Δd
)f(d!1
1)f()f( 22
2
o1oo
+++===
xx
xxxxxx
xxxx , (1.5.1.1a)
pri čemu se ∆x naziva odstupanjem argumenta 1x od argumenta bazne tačke ox :
54
o1Δ xxx −= . (1.5.1.1b)
Vrednosti uz stepene odstupanja argumenta nazivaju se koeficijentima Taylor-ovog reda. To su:
)f( ox – vrednost funkcije u baznoj tački, xx
d)f(d
– prvi izvod funkcije u baznoj tački, 2
2
d)f(d
xx –
drugi izvod funkcije u baznoj tački itd. Za poznat analitički oblik funkcije )f(x , ti koeficijenti jesu vrednosti koje se dobijaju kada se u samoj funkciji, odnosno u funkcijama koje su izvodi razmatrane funkcije )f(x uvrsti vrednost apscise ox .
O
ox 1x x
0Δ >x
Slika 1.5.1.1 – Demonstracija aproksimacije funkcije Taylor-ovim redom s konačnim brojem članova
y )(f x
)(f o x
)(f 1 x )(f 2 x
Dakle, vrednost funkcije u izabranoj tački sa s ma kojom apscisom x , iz specificirane okoline bazne tačke O , može da se izračuna preko vrednosti funkcije i njenih izvoda u baznoj tački, kao i vrednosti odstupanja izabrane tačke od bazne tačke:
...Δd
)f(d!2
1Δd
)f(d!1
1)f()f( 22
2
ooo
+++===
xx
xxxxxx
xxxx , (1.5.1.2a)
pri čemu sada odstupanje argumenta iznosi:
oΔ xxx −= . (1.5.1.2b)
Zadržavanjem samo konačnog broja članova Taylor-ovog reda, dobijaju se manje ili više dobre aproksimacije razmatrane funkcije )f(x . Prva aproksimacija funkcije je ona bez članova koji sadrže izvode (superskript o) – prava tačkasta linija, koja je paralelna sa x osom – Slika 1.5.1.1:
)(f o xy = , pri čemu je: )f()(f oo xx = . (1.5.1.3a)
Druga aproksimacija funkcije uključuje prva dva člana reda, odnosno, uključuje i član sa prvim izvodom (superskript 1) – linearna aproksimacija funkcije (prava isprekidana linija na Slici 1.5.1.1):
=y )(f 1 x , pri čemu je: xxxxx
xxΔ
d)(df
!11)f()(f
oo
1
=+= . (1.5.1.3b)
Treća aproksimacija funkcije uključuje prva tri člana reda, odnosno, uključuje i član sa drugim izvodom (superskript 2) – kvadratna aproksimacija funkcije (parabola prikazana linijom tipa tačka-crta na Slici 1.5.1.1):
55
22
2
o2 Δ
d)f(d
!21Δ
d)f(d
!11)f()(f
oo
xx
xxxxxx
xxxx ==++= . (1.5.1.3c)
Na osnovu toga može da se izvede sledeći zaključak: zadržavanjem samo konačnog broja članova Taylor-ovog reda, dobija se aproksimacija razmatrane funkcije čiji se kvalitet povećava s povećanjem broja zapaženih članova i sa smanjenjem odstupanja argumenta ∆x.
***********************Primer P1.5.1.1
Razviti funkciju xxx sin)(f = u Taylor-ov red oko tačke 2π
o =x , a zatim uočiti kolika je razlika
između grešaka:
a) Treće i pete aproksimacije funkcije )f(x u tački 0=x ,b) Treće aproksimacije funkcije )f(x u tačkama 0=x i 1=x .
Rešenje
Koeficijenti Taylor-ovog reda iznose:
2π
2πsin
2π
2f ==
π
,
1)cos(sind
)f(d2π
2π
=+==
=x
x
xxxxx
,
2π)sincos2(
d)f(d
2π
2π
2
2
−=−==
=x
x
xxxx
x,
3)cossin3(d
)f(d2π
2π
3
3
−=−−==
=x
x
xxxx
x,
2π)sincos4(
d)f(d
2π
2π
4
4
=+−==
=x
x
xxxx
x,
odakle sledi Taylor-ov red:
−
−+
−−
−−
−+=
432
2π
2π
!41
2π3
!31
2π
2π
!21
2π
!11
2π)f( xxxxx ,
odnosno:
∑∑∞
=
+
∞
= +
−+
−+
−
−==0
12
0
2
)!12(2π)12(
)1()!2(
2π
)1(2πsin)f(
n
n
n
n
n
n
n
xn
n
xxxx .
a)
56
Funkcija )(f x u tački 0=x iznosi:
00sin0)0(f == .
Treća aproksimacija funkcije )(f x iznosi:
23
2π
2π
!21
2π
!11
2π)(f
−−
−+= xxx ,
a njena vrednost u tački 0=x jeste:
93789229310(f 3 .) −= .
Dakle, greška treće aproksimacije funkcije )f(x u tački 0=x iznosi:
31.93789229)31.93789229(0)0(f 3 =−−=∆ .
Peta aproksimacija funkcije )(f x iznosi:
4325
2π
2π
!41
2π3
!31
2π
2π
!21
2π
!11
2π)(f
−+
−−
−−
−+= xxxxx ,
a njena vrednost u tački 0=x jeste:
398463131.0)0(f 5 = .
Dakle, greška pete aproksimacije funkcije )f(x u tački 0=x iznosi:
398463131.0398463131.00)0(f 5 =−=∆ ,
što znači da je greška pete aproksimacije oko 5 puta manja od greške treće aproksimacije funkcije. Dakle, što se funkcija aproksimira sa više članova Tylor-ovog reda, to se čini manja greška.
b) Funkcija )(f x u tački 0=x iznosi:
00sin0)0(f == ,
a u tački 1=x :
841470984.01sin1)1(f == .
Treća aproksimacija funkcije xxx sin)(f = iznosi:
23
2π
2π
!21
2π
!11
2π)(f
−−
−+= xxx .
57
Njena vrednost u tački 0=x jeste:
937892293.1)0(f 3 −= ,
a u tački 1=x :
40.74411064)1(f 3 = .
Greška treće aproksimacije funkcije )f(x u tački 0=x iznosi:
31.93789229)31.93789229(0)0(f 3 =−−=∆ ,
a u tački 1=x :
09736034.0744110644.0841470984.0)1(f 3 =−=∆ ,
što znači da je sa smanjenjem odstupanja x∆ sa 2π
na 12π − , greška aproksimacije funkcije
smanjena oko 20 puta. Dakle, što je odstupanje argumenta od tačke u kojoj se funkcija aproksimira Tylor-ovim redom manje, to se čini manja greška.***********************
1.5.2 TAYLOR-OV RAZVOJ FUNKCIJE S VIŠE PROMENLJIVIH
Neka je funkcija ( )yx,f monotona i diferencijabilna beskonačno puta po obe promenljive veličine, u specificiranoj okolini bazne tačke O s koordinatama [ ]),f(,, oooo yxyx . Tada ona, u svakoj tački (x, y) iz te okoline, može da se izrazi Taylor-ovim redom:
...),(f),(f2),(f!2
1
),(f),(f!1
1),(f),(f
22
222
2
2
oo
oo
oo
oo
oo
oo
+
∆
∂∂+∆∆
∂∂∂+∆
∂∂+
∆
∂∂+∆
∂∂+=
==
==
==
==
==
yy
yxyxyx
yxxx
yx
yy
yxxx
yxyxyx
yyxx
yyxx
yyxx
yyxx
yyxx
(1.5.2.1)
pri čemu odstupanja argumenata iznose:
oΔ xxx −= i oΔ yyy −= . (1.5.2.2)
Funkcija sa n promenljivi ),...,,(f 21 nxxx razvija se analogno u Tylor-ov red u okolini tačke bazne tačke O s koordinatama [ ]),...,,f(,,...,, no2o1ono2o1o xxxxxx :
58
( )
( ) ( )
[ ] ......!2
1
Δ,...,,f...Δ,...,,f
Δ,...,,f!1
1),...,,(f),...,,(f
o
o11
o
o11
o
o11
212
2
21
11
21oo2o121
++
∂∂++
∂∂+
∂
∂+=
=
=
=
=
=
=
n
xx
xxn
n
xx
xxn
xx
xxn
nn
xx
xxxxx
xxx
xx
xxxxxxxxx
nnnn
nn
, (1.5.3.3)
pri čemu odstupanja argumenata iznose:
oiii xxx −=∆ , i = 1, 2, … , n. (1.5.3.4)
***********************Primer P1.5.2.1
Razviti funkciju s dve promenljive yxyx sin),(f = (ili neku lepšu) u Taylor-ov red oko tačke
1o =x , 2π
o =y (ili oko neke lepše tačke), do članova koji sadrže prve parcijalne izvode.
Rešenje
???***********************
1.6 SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
Broj metoda za direktno rešavanje (sistema) nelinearnih jednačina praktično je beznačajan. Primer iz tog malog broja metoda jeste onaj za rešavanje kvadratnih jednačina. Nelinearne jednačine se uglavnom rešavaju iterativnim metodima. Ti metodi se zasnivaju na korekcijama tekućih (raspoloživih) aproksimacija radi dobijanja "boljih" aproksimacija rešenja. Proces za izračunavanje jedne korekcije i sama korekcija naziva se iteracijom. Iterativnim metodima se ne izračunavaju rešenja jednačina, već se sa aproksimacijama, ako je primenjenim iterativnim metodima to obezbeđeno, prilazi rešenjima po želji blizu. Kada iterativnim metodima može da se priđe onoliko blizu rešenjima nelinearnih jednačina koliko se unapred specificirao, tada se kaže da iterativni proračuni konvergiraju.
U ovom paragrafu se razmatraju tri iterativna metoda za rešavanje sistema nelinearnih jednačina. To su 1) Gauss-ov, 2) Gauss/Seidel-ov i 3) Newton/Raphson-ov metod (u tri varijante). Prva dva metoda (posebno drugi) koriste se za obradu modela distributivnih mreža (radijalnih, ili mreža s malim brojem kontura – petlji), a treći je metod od izuzetnog značaja za obradu modela proizvodno/prenosnih (upetljanih) mreža.
1.6.1 GAUSS-OV METOD
Gauss-ov metod se primenjuje za rešavanje jedne nelinearne jednačine i sistema nelinearnih jednačina sa odgovarajućim brojem nepoznatih veličina. Jednačine mogu da budu realne i kompleksne.
59
1.6.1.1 Jedna jednačina
Razmatra se sledeća nelinearna algebarska jednačina:
( )xb f= , (1.6.1.1.1)
koja treba da se reši po nepoznatoj veličini x , pri čemu je veličina b poznata. Sa f je označena nelinearna funkcija argumenta x .
Ako se jednačini (1.6.1.1.1) da sledeći ekvivalentan oblik:
)(xx Φ= , (1.6.1.1.2)
onda Gauss-ov iterativni metod za rešavanje nelinearne algebarske jednačine glasi: ako se raspolaže sa h-tom aproksimacijom rešenja hx , onda se korekcija h -te aproksimacije rešenja izračunava koristeći se izrazom:
)(1 hh xx Φ=+ . (1.6.1.1.3)
Gauss-ov iterativni metod započinje zadavanjem prve – početne aproksimacije rešenja (h=1) – "početno pogađanje". Ako konvergira, proračun se zaustavlja kada je:
• razlika između dve uzastopne aproksimacije rešenja dovoljno "mala" i• razlika između poznate veličine b i vrednosti funkcije u tekućoj aproksimaciji rešenja
)(f 1+hx dovoljno "mala",
odnosno, kada važi:
xhh xx ε≤−+ 1 ∧ ( ) f
hxb ε≤− + 1f . (1.6.1.1.4)
Sa xε i fε označeni su po želji izabrani realni pozitivni brojevi. Oni predstavljaju kriterijume konvergencije: xε – kriterijum korekcije aproksimacije rešenja i fε – kriterijum odstupanja funkcije.
Ako proračun nije konvergirao saglasno s kriterijumima (1.6.1.1.4), onda se relacija (1.6.1.1.3) koristi za novu korekciju tekuće – ( 1+h )-ve aproksimacije rešenja da bi se dobila nova – (h+2)-ga aproksimacija rešenja ( 1+→ hh ), itd. U situaciji kada se proračun zaustavi zbog zadovoljenja kriterijuma (1.6.1.1.4), kaže se da je proračun konvergirao. Uspostavljanje niza sukcesivnih aproksimacija rešenja, koji teži ka rešenju nelinearnih jednačina, naziva se konvergencijom proračuna. U slučaju da se iz aproksimacija rešenja ide u naredne tako što se apsolutne vrednosti izraza s levih strana relacija (1.6.1.1.4) povećavaju ili osciluju, onda iterativni proračun divergira.
Grafička interpretacija Gauss-ov metoda prikazana je na Slici 1.6.1.1.1. Na dijagramu su prikazane dve funkcije: 1) )(xy Φ= koja je dobijena transformacijom jednačine (1.6.1.1.1) u oblik (1.6.1.1.2) i 2) xy = . Apscisa οx , u kojoj su te dve funkcije jednake, predstavlja rešenje ekvivalentnih jednačina (1.6.1.1.1) i (1.6.1.1.2). Ako se u proračun krene s početnom aproksimacijom 1x , onda se na funkciji )(xΦ uočava tačka sa ordinatom )( 1xΦ . Saglasno sa
60
strelicom, ta se ordinata prenosi na funkciju xy = , čija apscisa predstavlja novu aproksimaciju rešenja 2x . Proračun se nastavlja uočavanjem tačke na funkciji )(xΦ sa ordinatom )( 2xΦ itd, idući prema naznačenim strelicama, do konvergencije proračuna (ako on konvergira).
2x
xy =
( )ο)(f xxb ⇒=
y
x 1x
3x οx
Slika 1.6.1.1.1 – Grafička interpretacija Gauss-ovog iterativnog metoda za rešavanje jedne nelinearne jednačine
0
)(xy Φ=
)( 1xΦ )( 2xΦ
)( 3xΦ
ο)( xxx ⇒Φ=
( )ο)( xxx ⇒Φ= ⇔
Nacrtati sliku lepše: debljine linija i hod po strelicama malo razvučeniji !!!
***********************Primer P1.6.1.1.1
Data je sledeća nelinearna algebarska jednačina tipa )(f xb = :
xxsin5.0 = , [ xxxb sin)(f,5.0 == ].
Rešiti ovu jednačinu po nepoznatoj veličini x , primenom Gauss-ovog metoda, usvajajući za početnu aproksimaciju rešenja 8.01 =x , a za kriterijume konvergencije 310−=xε i 310−=fε .
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatom veličinom x, npr. 1x ili 2x , nisu eksponenti nego redni brojevi prve i druge aproksimacije rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. ( )21x ili ( ) 22x .
Razmatrana jednačina može da se napiše u obliku (1.6.1.1.2):
xx
sin5.0= ,
=Φ
xx
sin5.0)( .
Prva iteracija (h=1)
697003909.08.0sin
5.0sin
5.01
2 ===x
x ;
61
447423023.0)(f 2 =x .
Provera konvergencije:
312 1010299609.08.0697003909.0 −=>=−=− xxx ε ,
32 10052576976.0447423023.05.0)(f −=>=−=− fxb ε .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni, prelazi se na narednu iteraciju.
Druga iteracija (h=2)
778909301.0697003909.0sin
5.03 ==x ;
547186594.0)(f 3 =x .
Provera konvergencije:
323 10081905392.0697003909.0778909301.0 −=>=−=− xxx ε ,
33 10047186594.0547186594.05.0)( −=>=−=− fxfb ε .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju. Formalizam svih narednih iteracija isti je kao za prve dve. U Tabeli P1.6.1.1.1.1 prikazani su napred dobijeni rezultati (prve dve iteracije) i rezultati poslednje dve iteracije proračuna – iteracije broj 22 i 23. (Oni su računati sa devet decimala, ali su prikazani zaokruženi na pet decimala.) Dakle, proračun je konvergirao u 23 iteracije. Dvadeset četvrta aproksimacija rešenja , 0.7404024 =x izračunata je u dvadeset trećoj iteraciji (zatamnjeno polje u Tabeli P1.6.1.1.1.1). Ona je proglašena rešenjem razmatrane jednačine s obzirom na usvojene kriterijume konvergencije. Treba da se primeti da je kriterijum odstupanja funkcija fε zadovoljen pre kriterijuma korekcije aproksimacije rešenja xε .
Tabela P1.6.1.1.1.1 – Rezultati Gauss-ovog iterativnog metoda za 8.01 =xProveriti. Isprogramirati !!!.
***********************
1.6.1.2 Sistem jednačina
Razmatra se sistem od m nelinearnih algebarskih jednačina:
Iteracijah
1+hxhh xx −+ 1
)(f 1+hx )(f 1+− hxb
1 0.69700 0.10300 0.44742 0.052582 0.77891 0.08191 0.54719 0.04719
22 0.74139 0.00122 0.50066 0.0006623 0.74040 0.00098 0.49946 0.00054
62
( )mxxxb ,...,f 2111 = ,( )mxxxb ,...,f 2122 = ,
( )mnn xxxb ,...,f 21= ,
(1.6.1.2.1)
koji treba da se reši po isto toliko nepoznatih veličina mxxx ,...,, 11 , pri čemu su veličine
mbbb ,...,, 21 poznate. Sa mf,...,f,f 21 označene su nelinearne funkcije argumenata mxxx ,...,, 21 .
Ako se jednačinama (1.6.1.2.1) da sledeći ekvivalentan oblik:
),...,,( 2111 mxxxx Φ= ,),...,,( 2122 mxxxx Φ= ,
),...,,( 21 mmm xxxx Φ= ,
(1.6.1.2.2)
onda Gauss-ov iterativni metod za rešavanje sistema nelinearnih algebarskih jednačina glasi: ako se raspolaže sa h -tom aproksimacijom rešenja:
{ }hm
hhh xxx ,...,, 21=x , (1.6.1.2.3)
onda se njena korekcija izračunava koristeći se izrazima:
),...,,( 2111
1hm
hhh xxxx Φ=+ ,),...,,( 212
12
hm
hhh xxxx Φ=+ ,
),...,,( 211 h
mhh
mhm xxxx Φ=+ .
(1.6.1.2.4)
Proračun započinje zadavanjem početne aproksimacije rešenja (h=1). Ako konvergira (približava se rešenju), proračun se zaustavlja kada je:
• razlika između dve uzastopne aproksimacije svake nepoznate veličine dovoljno mala i• kada je razlika između vrednosti poznate veličine ib i svake odgovarajuće funkcije
),...,,(f 112
11
+++ hm
hhi xxx u tekućoj aproksimaciji rešenja dovoljno mala,
odnosno, kada važi:
xhi
hi xx ε≤−+ 1 ∧ ( ) f
hn
hhii xxxfb ε≤− +++ 11
21
1 ,..., , mi ,...,2,1= , (1.6.1.2.5)
Ako proračun nije konvergirao saglasno s kriterijumima (1.6.1.2.5), onda se relacija (1.6.1.2.4) koristi za novu korekciju tekuće – ( 1+h )-ve aproksimacije rešenja da bi se dobila nova – ( 2+h )-ga aproksimacija ( 1+→ hh ), itd – do konvergencije (ako se ona postigne).
Isto kao u slučaju rešavanja jedne jednačine, u situaciji kada se proračun zaustavlja zbog zadovoljenja kriterijuma (1.6.1.2.5), kaže se da je proračun konvergirao; uspostavljanje niza sukcesivnih aproksimacija rešenja, koji teži ka rešenju nelinearnih jednačina, naziva se konvergencijom proračuna; u slučaju da se iz aproksimacije rešenja ide u naredne tako što se
63
apsolutne vrednosti izraza s levih strana relacija (1.6.1.2.5) povećavaju ili osciluju, onda iterativni postupak divergira.
***********************Primer P1.6.1.2.1
Dat je sistem od dve nelinearne algebarske jednačine tipa ),(f 2111 xxb = i ),(f 2122 xxb = :
22
212
22
13
1 25.0)()()()(0 xxxxxx −+−−= ,
13
222
1 25.0)()(0 xxxx ++= .
Rešiti sistem po nepoznatim veličinama 1x i 2x , primenom Gauss-ovog metoda, usvajajući za početne aproksimacije rešenja 0.11
1 =x i 012 =x , a za kriterijume konvergencije 310 −=xε i
310−=fε .
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatim veličinama 1x i 2x , npr. 21x ili 2
2x , nisu eksponenti (kvadrati) nego redni broj druge aproksimacije rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. 22
1 )(x ili 222 )(x .
Razmatrani sistem jednačina može da se napiše u obliku (1.6.1.2.2):
22
21
21 )()(
25.00.1xx
xx+
+= ,
22
21
12 )()(
25.0xx
xx+
−= .
Prva iteracija (h=1)
0.100.1025.00.1
)()(25.00.1 2221
221
1
122
1 =+
⋅+=+
+=xx
xx ,
25.000.1125.0
)()(25.0
22212
211
212
2 −=+
⋅−=+
−=xx
xx ;
0.06250),(f 22
211 =xx ,
0.01562),(f 22
212 −=xx .
Provera konvergencije:
312
22
311
21 1025.0025.0,1000.10.1 −− >=−−=−<=−=− xxxx ,
( ) ( ) 321
2122
321
2111 1001562.001562.00,f,100625.00625.00,f −− >=+=−>=−=− xxbxxb .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju.
64
Druga iteracija (h=2)
94118.0)25.0(0.1)25.0(25.00.1
)()(25.00.1 2222
222
1
223
1 =−+−⋅+=
++=
xxxx ,
23529.0)25.0(0.1
0.125.0)()(
25.02222
222
1
313
2 −=−+⋅−=
+−=
xxxx ;
0.00346),(f 32
311 =xx ,
0.01384),(f 32
312 =xx .
Provera konvergencije:
322
32
321
31 1001471.025.023529.0,1005882.00.194118.0 −− >=+−=−>=−=− xxxx ,
( ) ( ) 331
3122
331
3111 1001384.001384.00,f,1000346.000346.00,f −− >=−=−>=−=− xxbxxb .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju. Formalizam svih narednih iteracija isti je kao za prve dve. U Tabeli P1.6.1.2.1.1 prikazani su napred dobijeni rezultati (prve dve iteracije) i rezultati u naredne četiri iteracije, kada je proračun konvergirao. Dakle, proračun je konvergirao u 6 iteracija. Sedma aproksimacija rešenja 0.933067
1 =x i 0.249937
2 =x izračunata je u šestoj iteraciji (zatamnjeno polje u Tabeli P1.6.1.2.1.1). Ona je proglašena rešenjem razmatranog sistema jednačina s obzirom na usvojene kriterijume konvergencije. Treba da se primeti da je kriterijum odstupanja funkcije fε zadovoljen pre kriterijuma korekcije aproksimacije rešenja xε .
Tabela P1.6.1.2.1.1 – Rezultati Gauss-ovog iterativnog metoda za 111 =x i 01
2 =xProveriti. Isprogramirati !!!.
***********************
Iteracijah
11
+hx1
2+hx
hh xx 11
1 −+
hh xx 21
2 −+
),(f 12
111
++ hh xx),(f 1
21
12++ hh xx
),(f 12
1111
++− hh xxb
),(f 12
1122
++− hh xxb
1 1.00000–0.25000
0.000000.25000
0.06250–0.01562
0.062500.01562
2 0.94118–0.23529
0.058820.01471
0.003460.01384
0.003460.01384
3 0.93750–0.25000
0.003680.01471
0.00366–0.00097
0.003660.00097
4 0.93361–0.24896
0.003890.00104
0.000260.00097
0.000260.00097
5 0.93333–0.25000
0.000280.00104
0.00026–0.00007
0.000260.00007
6 0.93306–0.24993
0.000270.00007
0.000020.00007
0.000020.00007
65
1.6.2 GAUSS/SEIDEL-OV METOD
Kada se ovaj metod primenjuje za rešavanje jedne nelinearne jednačine s jednom nepoznatom veličinom, tada se on svodi na Gauss-ov metod. Razlika ta dva metoda se pojavljuje tek kod rešavanja sistema jednačina. Ovo će biti jasno iz izlaganja koje sledi. I ovaj metod može da se primeni za rešavanje i realnih i kompleksnih jednačina.
Ako se ponovo razmatra sistem jednačina (1.6.1.2.1) kome je dat oblik (1.6.1.2.2), onda Gauss/Seidel-ov iterativni metod za rešavanje nelinearnih algebarskih jednačina glasi: ako se raspolaže h -tom aproksimacijom rešenja:
{ }hm
hhh xxx ,...,, 21=x , (1.6.2.1)
onda se korekcija h-te aproksimacije rešenja izračunava sledećim izrazima:
),,...,,,( 132111
1hm
hm
hhhh xxxxxx −+ Φ= ,
),,...,,,( 1321
121
2hm
hm
hhhh xxxxxx −++ Φ= ,
),,...,,,( 11
13
12
11
1 hm
hm
hhhm
hm xxxxxx +
−++++ Φ= .
(1.6.2.2)
Proračun započinje i zaustavlja na isti način kao u slučaju Gauss-ovog metoda. Kao što se vidi iz relacija (1.6.2.2), kvalitet Gauss/Seidel-ovog u odnosu na Gauss-ov metod jeste u tome da se u primeni Gauss/Seidel-ovog metoda, u trenutku izračunavanja ( 1+h )-ve aproksimacije rešenja jedne nepoznate veličine, koriste ne samo aproksimacije nepoznatih veličina izračunate u prethodnoj [( 1−h )-voj] iteraciji, već i njihove ( 1+h )-ve aproksimacije koje su do tada izračunate u tekućoj ( h -toj) iteraciji.
Na osnovu ovih izlaganja očigledna je tvrdnja izneta na početku: kada se Gauss/Seidel-ov metod primenjuje za rešavanje jedne jednačine, tada se on svodi na Gauss-ov metod.
***********************Primer P1.6.2.1
Dat je sistem od dve nelinearne algebarske jednačine tipa ),(f 2111 xxb = i ),(f 2122 xxb = , koji je razmatran u primeru P1.6.1.2.1 (Gauss-ov metod):
22
212
22
13
1 25.0)()()()(0 xxxxxx −+−−= ,
13
222
1 25.0)()(0 xxxx ++= .
Rešiti sistem po nepoznatim veličinama 1x i 2x , primenom Gauss/Seidel-ovog metoda, usvajajući za početne aproksimacije rešenja 0.11
1 =x i 012 =x i za kriterijume konvergencije 310 −=xε i
310−=fε .
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatim veličinama 1x i 2x , npr. 21x ili 2
2x , nisu eksponenti nego redni broj druge aproksimacije rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. 22
1 )(x ili 222 )(x .
66
Razmatrani sistem jednačina može da se napiše u obliku (1.6.1.2.2):
22
21
21 )()(
25.00.1xx
xx+
+= ,
22
21
12 )()(
25.0xx
xx+
−= .
Prva iteracija (h=1)
0.101025.00.1
)()(25.00.1 2221
221
1
122
1 =+
⋅+=+
+=xx
xx ,
25.000.10.125.0
)()(25.0
22212
221
212
2 −=+⋅−=
+−=
xxxx ;
.01562.0),(f
,0625.0),(f22
212
22
211
−=
=
xxxx
Provera konvergencije:
312
22
311
21 1025.0025.0,1000.10.1 −− >=−−=−<=−=− xxxx ,
( ) ( ) 321
2122
322
2111 1001562.001562.00,f,100625.00625.00,f −− >=+=−>=−=− xxbxxb .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju.
Druga iteracija (h=2)
94118.0)25.0(1)25.0(25.00.1
)()(25.01 2222
222
1
223
1 =−+
−⋅+=+
+=xx
xx ,
33 12 3 2 2 2 2 2
1 2
0.25 0.25 0.94118 0.24812( ) ( ) 0.94118 ( 0.25)
xxx x
×= − = − = −+ + −
;
.00023.0),(f
,0063.0),(f32
312
32
311
=
=
xxxx
Provera konvergencije:
322
32
321
31 1000188.0025.024812.0,1005882.00.194118.0 −− >=+−=−>=−=− xxxx ,
( ) ( ) 331
3122
332
3111 1000023.000023.00,f,100063.00063.00,f −− <=−=−>=−=− xxbxxb .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju. Formalizam svih narednih iteracija isti je kao za prve dve. U Tabeli P1.6.2.1.1 prikazani su napred dobijeni rezultati (prve dve iteracije) i rezultati u naredne tri iteracije, kada je proračun konvergirao. Dakle, proračun
67
je konvergirao u 5 iteracija. Šesta aproksimacija rešenja 0.9330561 =x i 0.250006
2 =x izračunata je u petoj iteraciji (zatamnjeno polje u Tabeli P1.6.2.1.1). Ona je proglašena rešenjem razmatranog sistema jednačina s obzirom na usvojene kriterijume konvergencije. Treba da se primeti da je kriterijum odstupanja funkcije fε zadovoljen pre kriterijuma korekcije aproksimacije rešenja xε .
Tabela P1.6. 2.1.1 – Rezultati Gauss/Seidel-ovog iterativnog metoda za 111 =x i 01
2 =xProveriti. Isprogramirati !!!.
***********************
1.6.3 NEWTON/RAPHSON-OV METOD
U ovom paragrafu je prvo prikazan Newton/Raphson-ov iterativni metod za rešavanje jedne nelinearne jednačine, pa onda sistema nelinearnih jednačina. Ovaj metod se u materiji koja se izlaže u ovoj knjizi koristi isključivo za rešavanje realnih jednačina, pa se u tekstu koji sledi razmatraju isključivo takve jednačine.
1.6.3.1 Jedna jednačina
Razmatra se nelinearna jednačina
)(f xb = , (1.6.3.1.1)
koja treba da se reši po nepoznatoj veličini x , pri čemu je veličina b poznata. Sa )(f x je označena nelinearna funkcija argumenta x . Rešenje jednačine označeno je sa οx . Za rešavanje jednačine biće korišćen Newton/Raphson-ov iterativni metod. On će biti prikazan dvojako – grafički i analitički. Grafička interpretacija data je na Slici 1.6.3.1.1. Saglasno s tom slikom, primena Newton/Raphson-ovog metoda se sastoji od sledećih koraka:
• Pretpostavi se rešenje jednačine (1.6.3.1.1), npr. u tački 1 sa apscisom x1 – prva (početna) aproksimacija rešenja jednačine;
Iteracijah
11
+hx1
2+hx
hh xx 11
1 −+
hh xx 21
2 −+
),(f 12
111
++ hh xx),(f 1
21
12++ hh xx
),(f 12
1111
++− hh xxb
),(f 12
1122
++− hh xxb
1 1.00000–0.25000
0.000000.25000
0.06250–0.01562
0.062500.01562
2 0.94118–0.24812
0.058820.00188
0.00630.00023
0.00630.00023
3 0.93452–0.24990
0.006660.00178
0.00120–0.00022
0.001200.00022
4 0.93324–0.24996
0.006660.00178
0.00017–0.00001
0.000170.00001
5 0.93305–0.25000
0.000090.00004
0.00003–0.00002
0.000030.00002
68
• (Prva iteracija) U tački 1 se povuče tangenta na funkciju f(x); ta tangenta predstavlja linearnu aproksimaciju funkcije f(x) u tački 1; ona je označena sa f 1(x); (napomena: da bi mogla da se povuče tangenta u nekoj tački funkcije, funkcija mora da bude diferencijabilna u toj tački);
• Umesto rešavanja nelinearne jednačine (1.6.3.1.1), rešava se linearna jednačina )(f 1 xb = ; njeno rešenje predstavlja apscisu preseka prave by = i prave )(f 1 xy = ; to je 2x ,
koja vrednost predstavlja drugu aproksimaciju rešenja razmatrane nelinearne jednačine (1.6.3.1.1).
• (Druga iteracija) Ponavljanjem postupka iz koraka 2, ustanovljavanjem linearne aproksimacije f 2(x), u tački 2 funkcije f(x), pa rešavanjem odgovarajuće linearne jednačine b=f 2(x), dobija se treća aproksimacija rešenja x3 itd;
• Proračun se zaustavlja kada je: 1) apsolutna vrednost razlike između dve uzastopne aproksimacije rešenja dovoljno mala i 2) kada je apsolutna vrednost razlike između poznate veličine b i vrednosti funkcije u tekućoj aproksimaciji rešenja takođe dovoljno mala. Kriterijumi konvergencije kvantifikuju se na standardan način (kao kod Gauss-ovog i Gauss/Seidel-ovog metoda):
,)(f 11f
hx
hh xbxx εε ≤−∧≤− ++ , (1.6.3.1.2)
pri čemu su brojevi xε i fε po želji izabrani brojevi, a h je redni broj iteracije.
2x
(3) ')
(1)
ο)(f xxb ⇒=
y )(f 1 x
)(f 2 x
x 1x 3x οx
)(fy x=
)2(
Slika 1.6.3.1.1 – Grafička interpretacija Newton/Raphson-ovog metoda
0 by =
Debljine linija ???
Posle zaustavljanja – konvergencije proračuna u h-toj iteraciji, izračunata (h+1)-va aproksimacija rešenja jednačine (1.6.3.1.1) proglašava se njenim rešenjem. Kvalitet (tačnost) tog rešenja utoliko je veći, ukoliko su kriterijumi konvergencije strožiji (manji brojevi xε i fε ).
Ako jednačina nema rešenja – situacija prikazana na Slici 1.6.3.1.2a, metod će divergirati. Ima i situacija kada jednačina ima rešenja, ali proračun ne konvergira. Takve situacije izlaze iz okvira ove materije.
Osim problema divergencije, treba da se istaknu još dva problema vezana za primenu ovog metoda: 1) problem višeznačnosti rešenja i 2) problem diferencijabilnosti funkcije f(x) iz koje je generisana jednačina koja se rešava. Oni su ilustrovani na Slici 1.6.3.1.2b. Prvi se odnosi na situaciju kada jednačina ima više (tri) rešenja – o
1x , o2x i o
3x . U toj situaciji metod treba da se
69
primeni s posebnom pažnjom. Naime, ako se s početnom aproksimacijom krene iz vrednosti x′ , tada će proračun konvergirati prema rešenju o
1x ; ako se s proračunom krene iz aproksimacija x" ili x"', tada će proračun konvergirati ka rešenjima o
2x ili o3x , respektivno. Dakle, od izbora početne
aproksimacije, kada je u pitanju jednačina s više rešenja, zavisi rešenje ka kojem će proračun konvergirati. Najčešći slučajevi korišćenja ovog metoda u praksi se odnose na probleme kada je od više rešenja jednačine (modela sistema) od interesa samo jedno. Tada je potrebno da se proračun započne s tako izabranom početnom aproksimacijom koja će voditi upravo ka traženom rešenju. U uobičajenim praktičnim problemima to jeste moguće pošto se obično zna ne samo red veličine, već i prilično dobra aproksimacija rešenja problema.
Drugi problem primene metoda odnosi se na nužnost da funkcija f(x), osim potrebne, gore napomenute diferencijabilnosti funkcije u svakoj aproksimaciji njenog rešenja, njeni izvodi u tim aproksimacijama moraju da budu različiti od nule. Inače realizacija proračuna za aproksimaciju rešenja s nultim izvodom (aproksimacija x1 na Slici 1.6.3.1.2b) ne bi bila moguća pošto ne bi bilo preseka tangente sa njoj paralelnom pravom b.
y ( )xy f=
x
b
o1x x′ o
2x o3x x ′′ x ′′′ 1x
Slika 1.6.3.1.2 – Problem egzistencije (a), problemi jedno(više)značnosti rešenja i nultog izvoda funkcije u tekućoj aproksimaciji rešenja(b)
Debljine linija ???
(a) (a)
by =
by =
y ( )xy f=
x
Od suštinskog značaja za Newton/Raphson-ov metod jeste njegova osobina da mu je brzina konvergencije utoliko veća, ukoliko je aproksimacija bliža rešenju. Ova osobina je rezultat sledeće činjenice: grafik funkcije i njena tangenta utoliko su međusobno bliži ukoliko se oni razmatraju u manjoj okolini oko tačke dodira.
Sada može da se pređe na analitičku interpretaciju Newton/Raphson-ovog metoda za rešavanje razmatrane nelinearne jednačine (1.6.3.1.1). Kako je grafički pokazano, metod se sastoji od sukcesivnog (iterativnog) rešavanja linearnih jednačina. Te se jednačine u svakoj iteraciji dobijaju linearizacijom rešavane nelinearne jednačine oko tekuće aproksimacije njenog rešenja (polazeći s početnom aproksimacijom, 1=h , koja se specificira – zadaje). Dakle, umesto da se traži argument x za koji je funkcija )(f x jednaka poznatoj veličini b (1.6.3.1.1), traži se argument x za koji je tangenta )(f xh funkcije f(x), povučena u tekućoj aproksimaciji rešenja hx , jednaka poznatoj veličinib . Analitički, aproksimirati nelinearnu funkciju linearnom funkcijom u okolini izabrane tačke, znači aproksimirati funkciju njenom tangentom u toj tački. Pošto je tangenta prava linija, njen analitički oblik jeste polinom prvog reda. Generalno, za prikaz jedne funkcije polinomom, na raspolaganju je Taylor-ov red. Izvođenje Newton/Raphson-ovog metoda glasi:
1. Razvoj funkcije )(f x u Taylor-ov red u okolini tekuće aproksimacije rešenja hx :
70
22
2
)(d
fd!2
1)(ddf
!11)(f)(f h
xx
h
xx
h xxx
xxx
xxhh
−+−+===
; (1.6.3.1.3)
2. Aproksimacija reda (funkcije) samo s njegova prva dva člana; time se dobija linearna aproksimacija (tangenta) nelinearne funkcije )(f x u okolini tekuće aproksimacije rešenja nelinearne jednačine (1.6.3.1.1):
)(ddf
!11)(f)(f h
xx
hh xxx
xxh
−+==
; (1.6.3.1.4)
3. Kako je napred rečeno, Newton/Raphson-ov metod se zasniva na kreiranju sledeće linearne jednačine koja predstavlja aproksimaciju rešavane nelinearne jednačine: traži se argument x za koji je tangenta )(f xh nelinearne funkcije f(x), povučena u tekućoj aproksimaciji rešenja hx , jednaka poznatoj veličini b:
)(f xb h= . (1.6.3.1.5)
Ova linearna jednačina (koja je izvedena u h-toj iteraciji metoda) treba da se reši po nepoznatoj x ; to je rešenje označeno sa 1+hx ; odnosno:
)(ddf)(f 1 hh
xx
h xxx
xbh
−+= +
=. (1.6.3.1.6)
Rešenje ove linearne jednačine 1+hx svakako nije rešenje nelinearne jednačine, nego samo njegova aproksimacija – bolja od prethodne aproksimacije hx (ako proračun konvergira). Linearnoj jednačini (1.6.3.1.6) može da se da sledeći ekvivalentan oblik:
h
xx
h xx
xbh
Δddf)(f
=
+= , (1.6.3.1.7)
koji treba da se reši po nepoznatoj hxΔ – korekciji tekuće aproksimacije rešenja nelinearne jednačine (1.6.3.1.1):
hxx
hh
x
bx
=
=
ddf
ΔΔ, (1.6.3.1.8)
pri čemu su:
1Δ h h hx x x+= − , (1.6.3.1.9)Δ f ( )h hb b x= − . (1.6.3.1.10)
Dakle, rešenjem linearne jednačine (1.6.3.1.8) po nepoznatoj hxΔ , nova aproksimacija rešenja nelinearne jednačine (1.6.3.1.1) izračunava se na osnovu formule (1.6.3.1.9):
1 +Δh h hx x x+ = . (1.6.3.1.11)
71
Opisani postupak predstavlja jednu ( h -tu) iteraciju Newton/Raphson-ovog (iterativnog) metoda za rešavanje nelinearnih jednačina. Ako konvergira, postupak se ponavlja (sada s novom aproksimacijom rešenja), sve do zadovoljenja kriterijuma (1.6.3.1.2). Tada izračunata aproksimacija proglašava se rešenjem nelinearne jednačine (1.6.3.1.1).
Iterativni proračun Newton/Raphson-ovog metoda određen je izrazom (1.6.3.1.8). Iz njega se vidi da je u svakoj iteraciji potrebno:
1. da se izračuna vrednost funkcije za tekuću aproksimaciju rešenja )(f hx i razlika hbΔ (1.6.3.1.10);
2. da se izračuna vrednost izvoda funkcije za tekuću aproksimaciju rešenja hxxx =d
df (1.6.3.1.8);
3. da se razlika hbΔ i izvod funkcije hxxx =d
df podele, da bi se dobila korekcija tekuće
aproksimacije rešenja hxΔ (1.6.3.1.8).
Iz relacije (1.6.3.1.8) očigledna je zasnovanost napred postavljenih zahteva od diferencijabilnosti funkcije )(f x i nužnosti za njenim nenultim prvim izvodima u svim aproksimacijama rešenja jednačine (1.6.3.1.1) koja je kreirana iz te funkcije.
***********************Primer P1.6.3.1.1
Data je sledeća nelinearna algebarska jednačina tipa )(f xb = , koja je razmatrana u Primeru P1.6.1.1.1 (Gauss-ov metod):
xxsin5.0 = , [ xxxb sin)(f,5.0 == ].
a)Rešiti jednačinu po nepoznatoj veličini x , primenom Newton/Raphson-ovog metoda, usvajajući za početnu aproksimaciju rešenja 8.01 =x , a 310 −=xε i 310−=fε za kriterijume konvergencije.
b) Isto kao pod a, ali s promenjenim početnom aproksimacijom rešenja 0.11 =x .
c) Isto kao pod a i b, ali s početnom aproksimacijom rešenja 73.01 =x .
d) Isto kao pod a, b c b, ali s početnom aproksimacijom rešenja 5.21 =x . (Vstr: Treba da se uđe u drugo rešenje u odnosu na prethodni primer. Ako se uđe u isto rešenje, menjati početnu aproksimaciju !!! Ova situacija je napomenuta u paragrafu 1.6.4.)
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, superskripti nepoznate veličine x, npr. 1x ili 2x , nisu eksponenti nego redni brojevi prve i druge aproksimacije rešenja.
72
a)Za rešavanje jednačine Newton-Raphson-ovim metodom potrebno je da se raspolaže s prvim izvodom funkcije )(f x :
xxxx cossin)(f +=′ .
Prva iteracija (h=1)
057961581.0274721458.1
573884872.05.0)8.0cos(8.0)8.0sin(
)8.0sin(8.05.0)cos()sin(
)sin(5.0
ddf
Δ111
1111
1
−=−=+
−=+
−==∆
=
xxxxx
x
bx
xx
;
742038419.0057961581.08.0112 =−=∆+= xxx ;
501463491.0)(f 2 =x .
Provera konvergencije:
312 10057961581.08.0742038419.0 −=>=−=− xxx ε ;
32 10001463491.0501463491.05.0)(f −=>=−=− fxb ε .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju.
Druga iteracija (h=2)
001196891.0222742803.1
501463491.05.02 −=−=∆ x ;
740841527.0001196891.0742038418.0223 =−=∆+= xxx ;
500000697.0)(f 3 =x .
Provera konvergencije:
323 10001196891.0742038418.0740841527.0 −=>=−=− xxx ε ;
33 10000000697.0500000697.05.0)(f −=<=−=− fxb ε .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni (samo prvi od njih), prelazi se na narednu iteraciju.
Treća iteracija (h=3)
000005705.0221576717.1
500000697.05.03 −=−=∆ x ;
73
740835281.0000005705.0740841526.0334 =−=∆+= xxx ;
499993067.0)(f 4 =x .
Provera konvergencije:
334 10000005705.0740841526.0740835281.0 −=<=−=− xxx ε ;
34 10000006932.0499993067.05.0)(f −=<=−=− fxb ε .
Pošto su kriterijumi konvergencije zadovoljeni, proračun se zaustavlja. Za rešenje jednačine, s obzirom na zadate kriterijume konvergencije, uzima se 740835281.04 =x .
U Tabeli P1.6.3.1.1.1 prikazani su napred dobijeni rezultati za sve tri iteracije. Dakle, proračun je konvergirao u 3 iteracije. Četvrta aproksimacija rešenja 0.740804 =x izračunata je u trećoj iteraciji (zatamnjeno polje u Tabeli P1.6.1.1.1.1). Ona je proglašena rešenjem razmatrane jednačine s obzirom na usvojene kriterijume konvergencije. Treba da se primeti da je kriterijum odstupanja funkcija fε zadovoljen pre kriterijuma korekcije aproksimacije rešenja xε . (Rezultati su računati sa devet decimala, ali su prikazani zaokruženi na pet decimala. Zato su poslednje dve aproksimacije rešenja iskazane istim brojem 0.74084.)
Tabela P1.6.3.1.1.1 – Rezultati Newton/Raphson-ovog iterativnog metoda za 8.01 =xProveriti. Isprogramirati !!!.
Primer P1.6.3.1.2
Data je sledeća nelinearna algebarska jednačina tipa )(f xb = :
2)(0.2 x=− , [ 2)()(f,0.2 xxb =−= ].
Započeti rešavanje jednačine po nepoznatoj veličini x (u domenu realnih brojeva), primenom Newton/Raphson-ovog metoda, usvajajući za početnu aproksimaciju rešenja 0.11 =x i za kriterijume konvergencije 310 −=xε i 310−=fε . Očigledno je da jednačina nema rešenja (u domenu realnih brojeva). Izvesti zaključak o ponašanju iterativnog proračuna u ovom slučaju. (Vstr: ići samo s dovoljnim brojem iteracija da bi se izveo zaključak o divergenciji.)
Rešenje
Iteracijah
1+hxhh xx −+ 1
)(f 1+hx )(f 1+− hxb
1 0.74204 0.05796 0.50146 0.001462 0.74084 0.00120 0.54719 0.000003 0.74084 0.00000 0.49999 0.00000
74
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatom veličinom x, npr. 1x i 2x , nisu eksponenti nego redni brojevi pve i druge aproksimacije rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade npr. ( )21x ili ( ) 22x .
???
***********************
1.6.3.2 Sistem jednačina
Pošto je ideja Newton/Raphson-ovog iterativnog metoda za rešavanje nelinearnih jednačina pokazana na primeru jedne jednačine, ovde se prelazi na njegovu primenu za rešavanje sistema od m nelinearnih realnih jednačina sa isto toliko nepoznatih veličina. Razmatra se isti sistem nelinearnih jednačina (1.6.1.2.1), sada napisan u nešto sažetijem obliku:
), .... ,,(f 21 mkk xxxb = , mk ,...2,1,= , (1.6.3.2.1)
koji treba da se reši po isto toliko nepoznatih veličina mxxx ,...,, 11 , pri čemu su veličine
mbbb ,...,, 11 poznate; sa mf,...,f,f 11 označene su nelinearne funkcije veličina mxxx ,...,, 11 , poznatih analitičkih oblika. Sistemu može da se da sledeća sažetija forma:
f ( )k kb = X , mk ,...2,1,= , (1.6.3.2.2)
pri čemu je uveden vektor-kolona nepoznatih veličina X :
[ ] T21 , .... ,, mxxx=X (T je znak za transpoziciju matrice/vektora). (1.6.3.2.3)
Neka se za sistem jednačina (1.6.3.2.1) raspolaže s h-tom aproksimacijom rešenja [ ] T
21 , .... ,, hm
hhh xxx=X (za h=l reč je o početnoj aproksimaciji koja se specificira – zadaje). Newton/Raphson-ov metod za rešenje tog sistema sastoji se od sledećeg:
1. Razvoj svake od funkcija )(f xk , mk ,...2,1,= , u Taylor-ov red u okolini tekuće aproksimacije rešenja hX :
.,...2,1,
,redavišegizvodeparcijalnesadržekojičlanovi
)(
...2,1,
f!1
1), .... ,,(f), .... ,,(f1
2121
mk
xx
m,j,xxx
xxxxxx hiih
jj
m
i i
khm
hhkmk
=+
−
=
=∂∂+= ∑
=
(1.6.3.2.4)
2. Aproksimacija funkcija samo s članovima kojima se izražavaju njihove vrednosti i njihovih prvih (parcijalnih) izvoda; na taj način se dobijaju linearne aproksimacije nelinearnih funkcija
)(f Xk , mk ,...2,1,= [višedimenzione tangentne ravni ), .... ,,(f 21 mhk xxxy = ], u okolini
tekuće aproksimacije rešenja hX nelinearnih jednačina (1.6.3.2.1):
75
.,...2,1,
)(
...2,1,
f!1
1), .... ,,(f), .... ,,(f1
2121
mk
xx
m,j,xxx
xxxxxx hiih
jj
m
i i
khm
hhkm
hk
=
−
=
=∂∂+= ∑
=(1.6.3.2.5)
3. Newton/Raphson-ov metod se zasniva na kreiranju sledećeg sistema linearnih jednačina koji predstavlja aproksimaciju rešavanog sistema nelinearnih jednačina:
f ( )hk kb = X , mk ,...2,1,= , (1.6.3.2.6)
odnosno:
)(
...2,1,
f!1
1), .... ,,(f1
21hiih
jj
m
i i
khm
hhkk xx
m,j,xxx
xxxb −
=
=∂∂+= ∑
= , mk ,...2,1,= . (1.6.3.2.7)
Pošto je ovaj sistem linearnih jednačina smo aproksimacija sistema nelinearnih jednačina (1.6.3.2.1), ako se on reši po nepoznatim veličinama ix , mk ,...2,1,= , onda to rešenje svakako neće biti rešenje nelinearnog sistema (1.6.3.2.1), već samo njegova aproksimacija. Ako se ta aproksimacija označi sa 1+h
ix , mk ,...2,1,= , onda sistem (1.6.3.2.7) može da se napiše na sledeći način:
)(
...2,1,
f!1
1), .... ,,(f 1
121
hi
hih
jj
m
i i
khm
hhkk xx
m,j,xxx
xxxb −
=
=∂∂+= +
=∑
, mk ,...2,1,= . (1.6.3.2.8)
Potrebno je da se ponovo naglasi da su veličine hix , mk ,...2,1,= , poznate, a nepoznate veličine
jesu 1+hix , mk ,...2,1,= . Sistem (1.6.3.2.8) može da se napiše na sledeći način:
hih
jj
m
i i
khk x
m,j,xxx
b Δ
...2,1,
fΔ1
=
=∂∂= ∑
= , mk ,...2,1,= , (1.6.3.2.8)
pri čemu su:
), .... ,,(fΔ 21hm
hhkk
hk xxxbb −= , )(Δ 1 h
ihi
hi xxx −= + , mk ,...2,1,= . (1.6.3.2.9)
Sistem linearnih jednačina (1.6.3.2.8) može da se napiše u matričnoj formi:
=
hm
h
h
hmm
hm
hm
hm
hh
hm
hh
hm
h
h
x
xx
aaa
aaaaaa
b
bb
Δ
ΔΔ
Δ
ΔΔ
2
1
21
22221
11211
2
1
(1.6.3.2.10)
odnosno u sledećoj sažetoj formi:
76
hhh XJb ΔΔ = , (1.6.3.2.11)
pri čemu su korišćene oznake:
[ ] T21 , ... ,,Δ h
mhhh bbb ∆∆∆=b , [ ] T
21 Δ, ... ,Δ,ΔΔ hm
hhh xxx=X - (1.6.3.2.12)
Matrica parcijalnih izvoda funkcija )(f Xk , mk ,...2,1,= , po nepoznatim veličinama ix , mi ,...2,1,= , izračunatih za h-tu aproksimaciju rešenja:
=
hmm
hm
hm
hm
hh
hm
hh
h
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
J , (1.6.3.2.13)
naziva se Jacobian-om sistema nelinearnih jednačina (1.6.3.2.1) u tekućoj aproksimaciji njegovog rešenja hX .
4. Sistem linearnih jednačina (1.6.3.2.8), odnosno (1.6.3.2.10) ili (1.6.3.2.11), treba da se reši po vektoru nepoznatih korekcija tekuće aproksimacije rešenja hXΔ . To rešenje jednoznačno egzistira ako je Jacobian regularna matrica (što je analogan uslov nenultom izvodu u slučaju jedne jednačine). Ono je označeno sa 1+hX . Kako je napred rečeno, ono svakako nije egzaktno rešenje sistema nelinearnih jednačina, nego samo njegova aproksimacija – "bolja" od prethodne aproksimacije hX :
,Δ1 hhh XXX +=+ (1.6.3.2.14)
odnosno:
m ixxx hi
hi
hi ,...2,1, ,1 =∆+=+ . (1.6.3.2.15)
Za rešavanje linearnih jednačina na raspolaganju su metodi obrađeni u delu 1.4 (npr. Gauss-ova redukcija).
5. Opisani postupak predstavlja jednu iteraciju Newton/Raphson-ovog (iterativnog) metoda za rešavanje sistema nelinearnih jednačina. Postupak se ponavlja, ali sada za novu aproksimaciju rešenja, sve do zadovoljenja sledećih kriterijuma konvergencije (ako postupak konvergira):
,...,3,2,1 ,...,2,1,,)(f 11 ==≤−∧≤− ++ hmkxbxx f
hkkkx
hk
hk εε (1.6.3.2.16)
odnosno:
,...,3,2,1 ,...,2,1,, ==≤∆∧≤∆ hmkbx f
hkx
hk εε (1.6.3.2.17)
gde su xε i fε , k=1, 2, ... , m, unapred po želji izabrani realni pozitivni brojevi; posle zaustavljanja proračuna, (h+1)-va aproksimacija rešenja se proglašava rešenjem razmatranog
77
sistema. Kvalitet (tačnost) tog rešenja utoliko je veći, ukoliko je kriterijum za zaustavljanje proračuna strožiji (manji brojevi εx i εf).
Iterativni proračun primenom Newton/Raphson-ovog metoda za rešavanje sistema nelinearnih jednačina određen je izrazom (1.6.3.2.11). Iz njega se vidi da je u svakoj iteraciji potrebno:
1. da se izračunaju vrednosti funkcija za tekuću aproksimaciju rešenja ), .... ,,(f 21hm
hhk xxx ,
mk ,...2,1,= , kao i razlike hkbΔ , mk ,...2,1,= (1.6.3.2.9);
2. da se izračuna matrica Jacobian-a hJ (1.6.3.2.13) za tekuću aproksimaciju rešenja (1.6.3.1.8);
3. da se reši sistem linearnih jednačina hhh XJb ΔΔ = (1.6.3.2.11), da bi se dobile korekcije tekuće aproksimacije rešenja hXΔ .
***********************Primer P1.6.3.2.1
Dat je sistem od dve nelinearne algebarske jednačine tipa ),(f11 yxb = i ),(f22 yxb = :
242),(f0 231 +−+== xyxyx ,
13),(f0 242 +−== xyyx .
Izvesti matricu Jacobian-a sistema jednačina za svako x i y , pa je onda izračunati u tački 1=x i 2=y .
Rešenje
Matrica Jacobian-a glasi:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
yyx
xyx
yyx
xyx
yx ),(f),(f
),(f),(f
),(22
11
J .
Prvi parcijalni izvodi funkcija 1f i 2f po nepoznatim veličinama x i y glase:
16),(f 21 −=∂
∂ xx
yx, y
yyx 8),(f1 =
∂∂
,
xx
yx 2),(f2 −=∂
∂, 32 12),(f y
yyx =
∂∂
,
pa matrica Jacobian-a za svako x i y glasi:
−
−=
3
2
122816
),(yxyx
yxJ .
Ona, za u tačku 1=x i 2=y , iznosi:
78
−
=
==
==−
==
==−
=962165
2112
212
218
2116
)2,1(
3
2
yxy
yxx
yxy
yxx
J
Primer P1.6.3.2.2
Dat je sistem od dve nelinearne algebarske jednačine tipa ),(f 2111 xxb = i ),(f 2122 xxb = , koji je razmatran u primeru P1.6.1.2.1 (Gauss-ov metod) i u primeru P1.6.2.1 (Gauss/Seidel-ov metod):
22
212
22
13
1 25.0)()()()(0 xxxxxx −+−−= ,
13
222
1 25.0)()(0 xxxx ++= .
Potrebno je da se sistem reši po nepoznatim veličinama 1x i 2x , primenom Newton/Raphson-ovog metoda, usvajajući 0.11
1 =x i 012 =x za početne aproksimacije rešenja i 310−=xε i 310−=fε za
kriterijume konvergencije. Za rešavanje sistema linearnih jednačina, koje se pojavljuju u svakoj iteraciji Newton/Raphson-ovog metoda, koristiti matrični metod – paragraf 1.4.2.
Rešenje
Napomena 1: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatim veličinama 1x i 2x , npr. 21x ili 2
2x , nisu eksponenti nego redn broj druge aproksimacija rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. 22
1 )(x ili 222 )(x .
Napomena 2: Sisteme od dve linearne jednačine koji se pojavljuju u iterativnom postupku rešavati inverzijom matrica Jacobian-a.
Za rešavanje sistema jednačina Newton/Raphson-ovim metodom potrebno je da se raspolaže s prvim parcijalnim izvodima obe funkcije po obe nepoznate veličine:
++
−+−+−= 2
22
121
2122
212
1
)(3)(25.0225.022)(2)(3
)(xxxx
xxxxxxxJ .
Pre početka sprovođenja iterativnog proračuna utvrđuju se sledeće vektorske veličine:
=
=
00
2
1
bb
b ,
=
=
00.1
12
111
xx
x ,
=
=
25.00
),(f),(f
)( 12
112
12
1111
xxxx
xf .
Prva iteracija (h=1)
−=
0.125.025.00.1
)( 1xJ ,
−
=−
9412.02353.02353.09412.0
)( 11 xJ ;
79
[ ];
2353.00588.0
25.0000
9412.02353.02353.09421.0
)()()( 111111
−−
=
−
−
−
=
−=∆=∆ −− xfbxJbxJx
−
=
−−
+
=∆+=
2353.09412.0
2353.00588.0
01112 xxx ;
=
0138.00035.0
)( 2xf .
Provera konvergencije:
312
311
1 10,102353.00588.0 −− >∆>∆⇒
−−
=∆ xxx ;
312
311
21 10,100138.00035.0
0138.00035.0
00
)( −− >∆>∆⇒
−−
=
−
=−=∆ bbxfbb .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju.
Druga iteracija (h=2)
−
−=
0519.11929.02223.08304.0
)( 2xJ ,
=−
9997.02322.02676.02663.1
)( 21 xJ ;
−−
=
−−
=∆
0.014600.00812
0138.000035.00
9997.02322.02676.02663.12x ;
−
=
−−
+
−
=∆+=2499.0
9331.00146.00081.0
2353.09412.0223 xxx ;
= −
6908.88896.4
10)( 53xf .
Kriterijumi konvergencije:
322
321
2 10,100146.00081.0 −− >∆>∆⇒
−−
=∆ xxx ;
312
311
5532 10,106908.88896.4
106908.88896.4
1000
)( −−−− <∆<∆⇒
−=
−
=−=∆ bbxfbb .
Pošto kriterijumi konvergencije nisu zadovoljeni prelazi se na narednu iteraciju.
80
Treća iteracija (h=3)
−
−=
0581.12164.02166.08083.0
)( 3xJ ,
=−
9999.02677.02679.03090.1
)( 21 xJ ;
−−
=
⋅−⋅−
=∆ −
−
−
6508.07763.0
10102058.50108650.40
9999.02677.02679.03090.1 4
5
53x ;
−
=
−−
+
−
=∆+= −
2500.09330.0
6508.07763.0
102499.0
9331.0 4334 xxx ;
= −
7454.40329.8
10)( 94xf .
Provera konvergencije:
332
331
43 10,106508.07763.0
10 −−− <∆<∆⇒
−−
=∆ xxx ;
332
331
9943 10,107454.40329.8
107454.40329.8
1000
)( −−−− <∆<∆⇒
−=
−
=−=∆ bbxfbb .
Pošto kriterijumi konvergencije jesu zadovoljeni, proračun jeste konvergirao. U Tabeli P1.6.3.2.2.1 prikazani su napred dobijeni rezultati. Dakle, proračun je konvergirao u 3 iteracija. Četvrta aproksimacija rešenja:
−
=
=
2500.09330.0
42
414
xx
x ,
izračunata je u trećoj iteraciji (zatamnjeno polje u Tabeli P1.6.3.2.2.1). Ona je proglašena rešenjem razmatranog sistema jednačina s obzirom na usvojene kriterijume konvergencije. Treba da se primeti da je kriterijum odstupanja funkcije fε zadovoljen pre kriterijuma korekcije aproksimacije rešenja xε .
Tabela P1.6.3.2.2.1 – Rezultati Newton/Raphson-ovog iterativnog metoda za 111 =x i 01
2 =x
Iteracijah
11
+hx1
2+hx
hh xx 11
1 −+
hh xx 21
2 −+
),(f 12
111
++ hh xx),(f 1
21
12++ hh xx
),(f 12
1111
++− hh xxb
),(f 12
1122
++− hh xxb
1 0.94120–0.23530
0.05880 0.23530
0.003500.01380
0.003500.01380
2 0.93310–0.24990
0.00810 0.01460
4.8650⋅10-5
5.2058⋅10-54.8650⋅10-5
5.2058⋅10-5
3 0.93300–0.25000
0.7763⋅10-4
0.6508⋅10-48.0329⋅10-9
4.7454⋅10-98.0329⋅10-9
4.7454⋅10-9
81
***********************
1.6.3.3 Metod sečice konstantnog pravca
Metod sečice konstantnog pravca se takođe koristi za rešavanje nelinearnih jednačina. On se dobija pojednostavljenjem Newton/Raphson-ovog metoda koji je obrađen u tačkama 1.6.3.1 (jedna jednačina) i 1.6.3.2 (sistem jednačina). Za slučaj jedne jednačine, metod je prikazan grafički na Slici 1.6.3.3.1. Korišćene oznake mogu da se protumače na osnovu Slike 1.6.3.1.1 (Newton/Raphson-ov metod) i teksta koji sledi.
Koeficijent pravca tangente [izvod funkcije )(f x ], izvedene u početnoj aproksimaciji rešenja 1x [tačka 1 sa svojom tangentom )(f 1 x na Slici 1.6.3.3.1], koristi se ne samo za izračunavanje naredne aproksimacije rešenja 2x (kao kod Newton/Raphson-ovog metoda), već i za izračunavanje svih narednih aproksimacija. To znači da prava )(f 2 x nije tangenta u tački 2, već je samo paralelna s tangentom )(f 1 x u tački 1. Odnosno, ona je sečica funkcije )(f x .
2x
(3) ')
(1)
ο)(f xxb ⇒=
y )(f 1 x
)(f 2 x
x 1x 3x οx
)(f x
)2(
Slika 1.6.3.3.1 – Grafička interpretacija metoda sečice konstantnog pravca
0 by =
Za razliku od izraza (1.6.3.1.8), kojim je određen iterativni proračun Newton/Raphson-ovog metoda, iterativni proračun metoda sečice konstantnog pravca određen je relacijom:
,ΔΔcbx
hh = ...,2,1=h . (1.6.3.3.1)
pri čemu je
82
1ddf
xxxc
=
= (1.6.3.3.2)
Ako konvergira, iterativni proračun se zaustavlja na isti način kao u slučaju osnovnog metoda – na osnovu zadovoljenja zadatih kriterijuma konvergencije (1.6.3.1.2).
Iterativni proračun metoda određen je izrazom (1.6.3.3.1). Iz njega se vidi da je potrebno da
se vrednost izvoda funkcije izračuna samo jednom – za početnu aproksimaciju rešenja 1d
dfxxx =
(1.6.3.3.2), a u svakoj iteraciji treba da se izračunaju:
1. vrednost funkcije za tekuću aproksimaciju rešenja )(f hx i razlika hbΔ ;
2. da se razlika hbΔ i jednom izračunati izvod funkcije 1d
df
xxxc
=
= podele, da bi se dobila
korekcija tekuće aproksimacije rešenja hxΔ (1.6.3.1.8).
Na osnovu toga je očigledno da se svaka iteracija metoda sprovodi jednostavnije u odnosu na iteracije Newton/Raphson-ovog metoda: izvod funkcije se računa samo jednom. Dakle, jedna iteracija metoda sečice konstantnog pravca je jednostavnija (brže se sprovodi) u odnosu na jednu iteraciju Newton/Raphson-ovog metoda (osim prve). S druge strane, generalno, metod sporije konvergira.
Kada je u pitanju sistem nelinearnih jednačina (1.6.1.2.1), umesto rešavanja sistema linearnih jednačina (1.6.3.2.11), iterativni proračun se u ovom metodu sprovodi koristeći se rešavanjem sledećeg sistema linearnih jednačina:
hh XCb ΔΔ = , (1.6.3.3.3)
pri čemu je:
1JC = . (1.6.3.3.4)
Iterativni proračun metoda određen je izrazom (1.6.3.3.3). Iz njega se vidi da je potrebno da se vrednost Jacobian-a izračunava samo jednom – za početnu aproksimaciju rešenja C , a u svakoj iteraciji je potrebno:
1. da se izračunaju vrednosti funkcija za tekuću aproksimaciju rešenja ), .... ,,(f 21hm
hhk xxx ,
mk ,...2,1,= , kao i razlike hkbΔ , mk ,...2,1,= ;
2. da se reši sistem linearnih jednačina (1.6.3.3.4) da bi se dobile korekcije tekuće aproksimacije rešenja hXΔ .
Iz ovog izlaganja je očigledno da se svaka iteracija metoda sprovodi jednostavnije u odnosu na iteracije Newton/Raphson-ovog metoda: Jacobian se računa samo jednom i, načelno, invertuje samo jednom. S druge strane, generalno, proračun sporije konvergira.
***********************Primer P1.6.3.3.1
83
Data je sledeća nelinearna algebarska jednačina tipa )(f xb = , koja je razmatrana u Primeru P1.6.1.1.1 (Gauss-ov metod) i primeru P1.6.3.1.1 (Newton/Raphson-ov metod):
xxsin5.0 = , [ xxxb sin)(f,5.0 == ].
Rešiti jednačinu po nepoznatoj veličini x , primenom metoda sečice konstantnog pravca, usvajajući za početnu aproksimaciju rešenja 8.01 =x , a za kriterijume konvergencije 310−=xε i 310−=fε .
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatom veličinom x, npr. 1x ili 2x , nisu eksponenti nego redni brojevi prve i druge aproksimacija rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. ( )21x ili ( ) 22x .
???
Primer P1.6.3.3.2
Dat je sistem od dve nelinearne algebarske jednačine tipa ),(f 2111 xxb = i ),(f 2122 xxb = , koji je razmatran u primeru P1.6.1.2.1 (Gauss-ov metod), u primeru P1.6.2.1 (Gauss/Seidel-ov metod) i Primeru P1.6.3.2.2 (Newton/Raphson-ov metod):
22
212
22
13
1 25.0)()()()(0 xxxxxx −+−−= ,
13
222
1 25.0)()(0 xxxx ++= .
Rešiti sistem po nepoznatim veličinama 1x i 2x , primenom metoda sečice konstantnog pravca, usvajajući za početne aproksimacije rešenja 0.11
1 =x i 012 =x i za kriterijume konvergencije
310−=xε i 310−=fε . Za rešavanje sistema linearnih jednačina, koje se pojavljuju u svakoj iteraciji Newton/Raphson-ovog metoda, koristiti matrični metod – paragraf 1.4.2.
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatim veličinama 1x i 2x , npr. 21x ili 2
2x , nisu eksponenti nego redni broj druge aproksimacija rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. 22
1 )(x ili 222 )(x .
???
***********************
Za potrebe materije koja se obrađuje u ovoj knjizi (proračuni tokova snaga – Glava 5), u tekstu koji sledi izlaže se još jedna varijanta metoda sečice konstantnog pravca. Ona je grafički prikazana na Slici 1.6.3.3.2. Korišćene oznake mogu da se protumače na osnovu Slike 1.6.3.3.1 (osnovna varijanta metoda) i teksta koji sledi.
U ovoj varijanti, kada je u pitanju jedna jednačina, umesto koeficijenta pravca tangente [izvoda funkcije )(f x ], koja je izvedena u početnoj aproksimaciji rešenja 1x [tačka 1 sa svojom tangentom )(f 1 x na Slici 1.6.3.3.1], koristi se njegova aproksimacija. S takvim (aproksimativnim)
84
koeficijentom pravca generišu se sečice kojima se koriguju tekuće aproksimacije rešenja razmatrane nelinearne jednačine )(f xb = .
2x
(3) ')
(1)
ο)(f xxb ⇒=
y
)(f 1 x
)(f 2 x
x 3x οx
)(f x
)2(
Slika 1.6.3.3.2 – Grafička interpretacija druge varijante metoda sečice konstantnog pravca
0 by =
1x
Iterativni proračun ove varijante konstituiše se na osnovu izraza za iterativni proračun osnovnog metoda sečice konstantnog pravca (1.6.3.3.1), ali sada sa:
1ddf
xxxc
=
≈ (1.6.3.3.5)
Ako konvergira, iterativni proračun se zaustavlja na isti način kao u slučaju Newton/Raphson-ovog metoda – na osnovu zadovoljenja zadatih kriterijuma konvergencije (1.6.3.1.2).
Kada je u pitanju sistem nelinearnih jednačina, iterativni proračun ove varijante konstituiše se na osnovu izraza za iterativni proračun osnovnog metoda sečice konstantnog pravca (1.6.3.3.3), ali sada sa:
1JC ≈ . (1.6.3.3.6)
***********************Primer P1.6.3.3.3
Data je sledeća nelinearna algebarska jednačina tipa )(f xb = , koja je razmatrana u Primeru P1.6.1.1.1 (Gauss-ov metod), primeru P1.6.3.1.1 (Newton/Raphson-ov metod) i Primeru P1.6.3.3.1 (metod sečice konstantnog pravca):
xxb sin= , [ xxxb sin)(f,5.0 == ].
Rešiti jednačinu po nepoznatoj veličini x , primenom druge varijante metoda sečice konstantnog pravca, usvajajući 8.01 =x za početnu aproksimaciju rešenja, a 310−=xε i 310−=fε za kriterijume konvergencije. Primer obraditi u dve varijante:
a) kada se za koeficijent pravca sečice uzme 10% manja vrednost od vrednosti koeficijenta pravca tangente u početnoj aproksimaciji rešenja;
85
b) kada se za koeficijent pravca sečice uzme 10% veća vrednost od vrednosti koeficijenta pravca tangente u početnoj aproksimaciji rešenja.
(Vstr. Ako je 10% mnogo, smanjiti promenu na 5%.)
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatom veličinom x, npr. 1x ili 2x , nisu eksponenti nego redni brojevi prve i druge aproksimacije rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. ( )21x ili ( ) 22x .
???
Primer P1.6.3.3.4
Dat je sistem od dve nelinearne algebarske jednačine tipa ),(f 2111 xxb = i ),(f 2122 xxb = , koji je razmatran u primeru P1.6.1.2.1 (Gauss-ov metod), u primeru P1.6.2.1 (Gauss/Seidel-ov metod), Primeru P1.6.3.2.2 (Newton/Raphson-ov metod) i u Primeru P1.6.3.3.2 (metod sečice s konstantnim pravcem) :
22
212
22
13
1 25.0)()()()(0 xxxxxx −+−−= ,
13
222
1 25.0)()(0 xxxx ++= .
Rešiti sistem po nepoznatim veličinama 1x i 2x , primenom metoda sečice s konstantnim pravcem, usvajajući za početne aproksimacije rešenja 0.11
1 =x i 012 =x i za kriterijume konvergencije
310−=xε i 310−=fε . Za rešavanje sistema linearnih jednačina, koje se pojavljuju u svakoj iteraciji Newton/Raphson-ovog metoda, koristiti inverziju matrica tih sistema – paragraf 1.4.2. Primer obraditi u dve varijante:
a) kada se za elemente Jacobian-a uzmu 10% manje vrednosti od vrednosti elemenata Jacobian-a u početnoj aproksimaciji rešenja;
b) kada se za elemente Jacobian-a uzmu 10% veće vrednosti od vrednosti elemenata Jacobian-a u početnoj aproksimaciji rešenja;
(Vstr. Napomena, ako je 10% mnogo, smanjiti promenu na 5%.)
Rešenje
Napomena: U razmatranjima koja slede, cifre nad nepoznatim veličinama 1x i 2x , npr. 21x ili 2
2x , nisu eksponenti nego redni broj druge aproksimacija rešenja. U slučaju stepenovanja, izrazi koji se stepenuju biće stavljeni u zagrade, npr. 21
1 )(x ili 212 )(x .
???***********************
1.6.4 DISKUSIJA NELINEARNIH PROBLEMA
86
Pod nelinearnim problemima ovde se podrazumevaju problemi koji se opisuju nelinearnim funkcijama odnosno jednačinama. Saglasno s tim, linearni jesu problemi koji se opisuju linearnim funkcijama odnosno jednačinama. Ako je razmatranje linearnih problema jednostavno, onda nelinearni problemi jesu kompleksni. Oni se generalno razmatraju tako što se linearizuju (aproksimiraju linearnim problemima) u okolini koja je od interesa, pa se zaključci koji se izvedu analizom linearizovanog (aproksimativnog) problema pripisuju nelinearnom problemu u okolini tačke linearizacije. Sledeća osobina mnogih prirodnih procesa, pa i elektroenergetskih sistema, od velikog je značaja za nelinearne probleme: sužavajući okolinu oko tačke linearizacije, zaključci izvedeni iz linearizovanih problema sve više odgovaraju osnovnim – nelinearnim problemima. Koristeći se tim zaključcima, nelinearni problemi mogu da se još preciznije aproksimiraju, odnosno da se iz sužene okoline njihovog razmatranja izvede još suženja okolina, pa izvedu još precizniji zaključci (ako proces sužavanja konvergira). Dakle, tako izvedeni zaključci, odnosno rešenje nelinearnih problema nisu egzaktni, već predstavljaju manje ili više dobru aproksimaciju zaključaka, odnosno rešenja nelinearnih problema. Ovi poslednji, po pravilu, ostaju definitivno nepoznati. Ali, inžinjerska praksa je već odavno potvrdila da poznavanje egzaktnih zaključaka, odnosno egzaktnih rešenja nelinearnih problema, najčešće nije ni potrebno.
U vezi s rešavanjem nelinearnih jednačina koristeći se idejom iskazanom u prethodnom izlaganju, na osnovu primera koji su rešavani u paragrafima 1.6.1, 1.6.2 i 1.6.3, može da se konstatuje sledeće:
(Donja razmatranja podržati pozivima na rešene primere, kada oni budu kompletni.)
1. Kada se iste jednačine rešavaju primenom različitih metoda koji konvergiraju, vrednosti koje se proglašavaju rešenjima nisu ista. Te vrednosti pripadaju istoj okolini rešenja, koja je specificirana kriterijumima konvergencije.
2. Kada se iste jednačine rešavaju polazeći s različitim početnim aproksimacijama rešenja, kada proračuni konvergiraju, vrednosti koje se proglašavaju rešenjima nisu ista. Te vrednosti mogu da pripadaju istoj okolini rešenja, koja je specificirana kriterijumima konvergencije, ali mogu i da pripadaju okolinama različitih rešenja. U prvom slučaju, početne aproksimacije rešenja najbliže su istom rešenju. U drugom slučaju, početne aproksimacije rešenja najbliže su različitim rešenjima.
3. Proračuni prema svim metodima konvergiraju utoliko brže ukoliko je početna aproksimacija bliža rešenju. (Kada bi se za početnu aproksimaciju uzela pretposlednja aproksimacija rešenja svih zadataka, onda bi proračun prema svakom od razmatranih metoda konvergirao u jednoj iteraciji.)
4. Brzina konvergencije proračuna koristeći se Newton/Raphson-ovim metodom raste s približavanjem rešenju.
5. Kada konvergiraju, proračun Gauss/Seidel-ovim metodom je efikasniji od proračuna Gauss-ovim.
6. Kada konvergiraju, proračun Newton/Raphson-ovim metodom obično brže konvergira od proračuna Gauss/Seidel-ovim metodom (u manjem broju iteracija).
7. Broj operacija (pa i utrošeno vreme) u jednoj Newton/Raphson-ovoj iteraciji veći je od broja operacija (pa i utrošenog vremena) u jednoj Gauss/Seidel-ovoj iteraciji.
8. Na osnovu dve prethodne konstatacije, očigledno je da o efikasnosti primene metoda za rešavanje nelinearnih jednačina može da se sudi samo koristeći se proizvodima brojeva iteracija i vremena potrošenih za realizaciju po jedne iteracije.
9. Efikasnost provere konvergencije može da se poveća ako se ona proverava samo po jednom kriterijumu (npr. xε – kriterijum korekcije aproksimacije rešenja), pa se prilikom njegovog zadovoljenja pređe na proveru i drugog kriterijuma ( fε – kriterijum odstupanja funkcije). To
87
potvrđuju obrađivani primeri, u kojima je fε – kriterijum odstupanja funkcije, bio znatno brže zadovoljen od xε – kriterijuma korekcije aproksimacije rešenja.
1.7 OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
U okviru opšte klase običnih diferencijalnih jednačina, ovde se razmatraju linearne diferencijalne jednačine višeg reda:
)()(d
)(d.....d
)(dd
)(d121
1
xqxyaxxya
xxya
xxy
n
n
nn
n
=++++ −
−
, (1.7.1)
pri čemu korišćene oznake imaju značenja:
n – redni broj izvoda najvišeg reda funkcije )(xy , koji se pojavljuje u diferencijalnoj jednačini; njime je određen red jednačine;
ia , ni ,...,2,1= – poznati, konstantni koeficijenti; )(xq – poznata funkcija argumenta x; )(xy – nepoznata funkcija argumenta x;
Diferencijalna jednačina (1.7.1) treba da se reši po nepoznatoj funkciji )(xy .
Ako je funkcija )(xq = 0, onda je reč o homogenoj diferencijalnoj jednačini, a ako je )(xq ≠ 0, onda jednačina nije homogena, odnosno ona je nehomogena;
Razmatrana diferencijalna jednačina (1.7.1) ima beskonačno mnogo rešenja. Dakle, njeno rešenje nije određeno. (Npr, ako se poznaje funkcija brzine automobila od vremena, u vremenskom intervalu od trenutka 1t do trenutka 2t , to nije dovoljno da se izračuna mesto gde će se automobil nalaziti u svakom trenutku razmatranog perioda.) Da bi se specificiralo (odredilo) jedno rešenje ove jednačine, potrebno je da se zadaju tzv. uslovi rešenja, odnosno potrebno je da se zadaju vrednosti
funkcije )(xy i prvih 1−n njenih izvoda k
k
xxy
d)(d , 1,...,2,1 −= nk , za jednu vrednost argumenta x.
Vrednost argumenta x u kojoj se zadaju uslovi rešenja, proizvoljna je. (Npr, u slučaju razmatranog automobila, s poznatom funkcijom brzine od vremena, da bi se izračunalo mesto gde se će automobil naći ili gde je bio u bilo kom trenutku, dovoljno je da se zna gde se automobil nalazio u ma kom trenutku razmatranog vremenskog intervala.) U standardnim zadacima s modelima sistema, uobičajeno je da se poznaje početna situacija (početni uslovi – za vrednost argumenta na njegovom početku), ili krajnja situacija sistema (krajnji uslovi – za vrednost argumenta na njegovom kraju).
Kada se poznaju (zadaju, specificiraju) početni uslovi pi, 1,...,2,1 −= ni , to se zapisuje na sledeći način:
0)0( py = , 10d
)(d pxxy
x=
=, … , 11
1
0d)(d
−−
−
== nn
n
px
xyx
,
( 0=x jeste početna vrednost argumenta). (1.7.2)
Na isti način mogu da se zapišu i krajnji uslovi.
88
Sada, diferencijalna jednačina (1.7.1), uz zadate početne uslove (1.7.2), ima jedinstveno rešenje. Ono se sastoji od zbira opšteg rešenja )(xyh i partikularnog rešenja )(xy p :
)()()( xyxyxy ph += . (1.7.3)
Opšte rešenje )(xyh diferencijalne jednačine jeste rešenje homogene diferencijalne jednačine koja se dobija iz razmatrane diferencijalne jednačine (1.7.1) uzimajući da je )(xq = 0:
0)(d
)(d.....d
)(dd
)(d121
1
=++++ −
−
xyaxxya
xxya
xxy
n
n
nn
n
, (1.7.4)
Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1.7.1), odnosno rešenje jednačine (1.7.4), nalazi se tako što se, koristeći se poznatim koeficijentima diferencijalne jednačine, formira njen karakterististični polinom sa stepenom koji je jednak redu diferencijalne jednačine:
121 ....)( arararrK n
nn ++++= − . (1.7.5)
Zatim se izračunavaju koreni karakterističnog polinoma ir , ni ,...,2,1= . Za razmatranja koja se ovde sprovode, od interesa su samo situacije kada su koreni karakterističnog polinoma realni i jednostruki. Tada je opšte rešenje diferencijalne jednačine (1.7.1) dato izrazom:
trn
trtrh
neCeCeCty +++= ...)( 2121 . (1.7.6)
Konstante Ci, ni ,...,2,1= , koje figurišu u izrazu (1.7.6), u opštem slučaju, mogu da se izaberu proizvoljno, što potvrđuje već iznetu činjenicu da diferencijalna jednačina (1.7.1) ima beskonačno mnogo rešenja. Međutim, za zadate početne uslove (1.7.2), ove su konstante jednoznačno određene. Postupak za određivanje ovih konstanti biće izložen kasnije.
Partikularno rešenje diferencijalne jednačine (1.7.1) jeste bilo koja funkcija )(xy p koja zadovoljava diferencijalnu jednačinu. Ono zavisi od oblika funkcije )(xq . Za razmatranja koja se ovde sprovode od interesa su samo prostoperiodične funkcije )(xq oblika xQxq ωcos)( = [ω je poznata kružna učestanost prostoperiodične funkcije )(xq ]. Tada, partikularno rešenje diferencijalne jednačine (1.7.1) jeste takođe prostoperiodična funkcija oblika:
)sin()cos()( xBxAxy p ωω += . (1.7.7)
Konstante A i B koje figurišu u izrazu (1.7.7), mogu da se izračunaju pomoću koeficijenata ai same diferencijalne jednačine (1.7.1) i funkcije )(xq . Neka se razmatra sledeća obična, linearna, nehomogena diferencijalna jednačina prvog reda:
xQxyaxxy ωcos)(
d)(d
1 =+ . (1.7.8)
Za poznat koeficijent 1a i poznate vrednost Q i kružne učestanosti ω , kao i za specificiran početni uslov oYy =)0( , diferencijalna jednačina (1.7.8) treba da se reši po nepoznatoj funkciji )(xy . U tu svrhu, saglasno sa sprovedenim izlaganjima, potrebno je da se odrede opšte i partikularno rešenje.
89
Opšte rešenje
Karakteristični polinom (1.7.5) razmatrane diferencijalne jednačine prvog je stepena:
1)( arrK += , (1.7.9)
pa njegov jedini koren iznosi:
11 ar −= , (1.7.10)
što implicira sledeće opšte rešenje (1.7.6):
xah Cxy 1e)( 1
−= . (1.7.11)
Konstanta 1C se određije posle izračunavanja i partikularnog rešenja.
Partikularno rešenje
S obzirom da je funkcija )(xq prostoperiodična – xQxq ωcos)( = , partikularno rešenje razmatrane diferencijalne jednačine jeste oblika (1.7.7). Potrebno je da se odrede konstante A i B. Ako se funkcija (1.7.7) uvrsti u diferencijalnu jednačinu (1.7.8), dobija se izraz:
xQxBaxAaxBxA ωωωωωωω cossincoscossin 11 =+++− , (1.7.12)
za koji, da bi bio identitet, potrebno je da važi:
.,0
1
1
QAaBBaA=+
=+−ω
ω(1.7.13)
Rešenje ovog sistema od dve jednačine po dve nepoznate veličine A i B glasi:
Qa
aA 21
21
+=
ω , Qa
B 21
2 +=
ωω
, (1.7.14)
pa partikularno rešenje razmatrane diferencijalne jednačine glasi:
xQa
xQa
axy p ωω
ωωω
sincos)( 21
221
21
++
+= . (1.7.15)
Ako se uvaže sledeća dva trigonometrijska identiteta:
)arctgsin(cossin 22
STTSTS ++=+ ααα , (1.7.16a)
2π1arctgarctg =+
αα , (1.7.16b)
onda partikularnom rešenju (1.7.15) mogu da se sukcesivno daju sledeće forme:
90
)arctgsin()(1
21
2 ax
aQxy p
ωωω
++
=
(1.7.17) )arctgsin(
121
2 ax
aQ ωω
ω+
+=
)2πarctgcos(
121
2−+
+=
ax
aQ ωω
ω
)arctgsin( 121
2 ωω
ωax
aQ −
+= .
Raspolažući sa opštim (1.7.13) i partikularnim rešenjem diferencijalne jednačine (1.7.8) u formi (1.7.19), njeno rešenje (1.7.3) glasi:
)arctgsin(e)( 121
211
ωω
ωax
aQCxy xa −
++= −
. (1.7.18)
Da funkcija (1.7.18) jeste rešenje razmatrane diferencijalne jednačine može da se dokaže njenim uvrštavanjem u izraz (1.7.8) i pokazivanjem da taj izraz prelazi u identitet.
Sada je potrebno da se izračuna konstanta 1C u rešenju (1.7.20). Ona je određena specificiranim početnim uslovom oYy =)0( . Odatle sledi:
),arctgsin(
)arctg0sin(e)0(
121
21
121
2
01o
1
ωω
ωω
ωa
aQC
aa
QCYy a
+−=
−+
+== −
(1.7.19)
pa se za konstantu 1C dobija:
)arctgsin( 121
2o1 ωωa
aQYC
++= . (1.7.20)
Uvrštavanjem ove vrednosti u izraz (1.7.20) dobija se rešenje diferencijalne jednačine (1.7.8).
***********************Primer P1.7.1
Razmatra se diferencijalna jednačina:
xxyxxy 50cos5)(4
d)(d =+ ,
koja, za početni uslov 2)0( =y , treba da se reši po nepoznatoj funkciji )(xy . Da bi se ona rešila, potrebno je da se odrede opšte i partikularno rešenje, konstanta koja se pojavljuje u opštem rešenju, pa tako odredi rešenje diferencijalne jednačine.
Rešenje
91
Saglasno sa izlaganjima u paragrafu 1.7, rešenje koje se traži sastoji se od opšteg i homogenog, kao i izračunavanja konstante koja se pojavljuje u opštem rešenju.
Opšte rešenje
Karakteristični polinom (1.7.5) razmatrane diferencijalne jednačine prvog je stepena:
4)( += rrK ,
pa njegov jedini koren iznosi:
41 −=r ,
što implicira sledeće opšte rešenje (1.7.6):
xh Cxy 4
1e)( −= .
Partikularno rešenje
S obzirom da je sa desne strane jednačine (1.7.1.1) prostoperiodična funkcija, partikularno rešenje ove diferencijalne jednačine ima oblik:
xBxAxy p 50sin50cos)( += .
Kada se partikularno rešenje uvrsti u razmatranu diferencijalnu jednačinu, dobija se:
xxBxAxBxA 50cos550sin450cos450cos5050sin50 =+++− .
Ako se izjednače koeficijenti uz x50sin i x50cos , respektivno, dobija se sistem jednačina po nepoznatim veličinama A i B :
.5450,0450
=+=+−
ABBA
Rešenje ovog sistema glasi:
125810=A ,
1258125=B .
Sa ovim vrednostima koeficijenata A i B , partikularno rešenje diferencijalne jednačine glasi:
xxxy p 50sin125812550cos
125810)( += .
Primenom trigonometrijskog identiteta (1.7.17a), ovom rešenju može da se da oblik:
)08.050sin(01.0)( += xxy p .
Izračunavanj e konstante 1C i rešenje diferencijalne jednačine
92
Rešenje razmatrane diferencijalne jednačine dobija se kao zbir opšteg i partikularnog rešenja:
)08.050sin(01.0e)( 41 ++= − xCxy x .
Konstanta 1C određena je početnim uslovom 2)0( =y :
)08.0050sin(01.0e)0( 041 +⋅+= ⋅−Cy ,
odnosno:
)08.0sin(01.02 1 += C ⇒ )08.0sin(01.021 −=C .
Time je rešena diferencijalna jednačina (1.7.1.1) po nepoznatoj funkciji )(xy . Njeno rešenje glasi:
[ ] )08.050sin(01.0e)08.0sin(01.02)( 4 ++−= − xxy x .***********************
93