1°) identification réponse du système étudié à un échelon unitaire on lidentifie à une...
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1°) IdentificationRéponse du système étudié à un échelon unitaire
2
2
1 21
nn
KFTBO p
p p
On l’identifie à une réponse du système du 2ième faiblement amorti
Fonction de transfert de la forme:
Calcul du paramètre K
0 2
2
lim1 2
1p
nn
K Es t p K E
pp p
2,5s t
L'échelon est unitaire E=1.
D’où
2,5K
Théorème de la valeur finale :
Calcul du paramètres L’amortissement peut se calculer à partir du 1er dépassement selon la formule
21%D e
2
2
1% 2
1
ln D
D eln D
Le calcul donne :
%3,4 2,5
0,362,5
D
D’où0,31
%D3,4
2,5
Calcul du paramètres n
La pulsation naturelle se calcule à partir du temps de 1er pic et de l’amortissement 2
1er pic 1nt
1er pic 0,44t mn
1er pic 0,44 60 26,4t s On mesure
D’où10,125 .n rad s
Synthèse FTBO
22
( )1 2
1nn
KFTBO p
p p
1
2,5
0,31
0,125 .n
K
rad s
2
2,5( )
63,83 4,96 1FTBO p
p p
Numériquement:
2°) Stabilité de la FTBONC bouclée par retour unitaire
2
2
1 21
nn
KFTBO p
p p
FTBO
FTBO FTBO
N pFTBF p
N p D p
2
2
1 21
nn
KFTBF p
p p K
2
2
11 2
111 nn
K KFTBF p
p pKK
2
2
'1 2 '
1'' nn
KFTBF p
p p
'1
' 1
'1
n n
KK
K
K
K
avec
Synthèse numérique pour la FTBF
2
2
'1 2 '
1'' nn
KFTBF p
p p
'1
' 1
'1
n n
KK
K
K
K
avec
1
' 0,71
' 0,234 .
' 0,176n
K
rad s
Temps de réponse à 5% d’un système du 2ème ordre non amorti
Utilisation de l’abaque
5%
Pour ' 0,176, l'abaque ci-contre donne :
17r nt
1' 0, 234 .n rad s
D’où
5% 72,6rt s
Précision
0 2
2
'lim '
1 2 ' 11''
p
nn
K E Ks t p K E E
p Kp p
Pour le système bouclé
L’erreur statique est donc: 11
1
KE E
KE K
Numériquement : 10,29
1t
K
Correction PID
1( ) 1P d
i
C p K pp
2
2
1 21
nn
KFTBO p
p p
2
2
11 2
1
i i dP
i
nn
p p KFTBOC p K
p p p
C(p) FTBO(p)
FTBOC(p)
CNS de stabilité: critère de Routh
Le critère porte sur les coefficients du dénominateur de la FTBFFTBF
2
22
11 2
1
i i dP
i
nn
p p KFTBOC p K
p p p
FTBOC
FTBOC FTBOC
NFTBFC p
N D
2
2 22
1
1 21 1
P i i d
P i i d inn
K K p pFTBFC p
K K p p p p p
2
3 22
1
21
P i i d
ii P d i P P
nn
K K p pFTBFC p
p K K p K K p K K
Tableau de ROUTH
2i
n
1i PK K
2i P d
n
K K
PK K
0
0
0
0
2
3 22
1
21
P i i d
ii P d i P P
nn
K K p pFTBFC p
p K K p K K p K K
22
21
2
i Pi P d P
n n
i P dn
K KK K K K
K K
0
PK K 0
0
Critère de Routh
CNS de stabilité du transfert FTBFC :
Tous les coefficients de la 1er colonne doivent être positif.
20 0i
in
2 20i P d d
n n P
K KK K
22
2
21
02 1 2
i Pi P d P
n n Pi
P P d n ni P d
n
K KK K K K
K K
K K K KK K
0PK K
Réglage du PID
Boucler un système ne modifie pas son ordre
Si on veut un premier ordre en BF il faut un 1er ordre en BO.
On a, a priori, une transfert en BO du 3ème ordre.La seule possibilité est de simplifier les pôles en BO.
2
2
11 2
1
i i dP
i
nn
p p KFTBOC p K
p p p
On a :
2
1
2
i dn
in
On prend pour avoir alors P
i
K KFTBOC p
p
Calcul de la FTBF correspondante
P
i
K KFTBOC p
p
1
1
P
iP i
P
K KFTBFC p
K K p pK K
La boucle fermée se comporte comme un système du 1er ordre avec une constante de temps de 5s
Si on prend 5i
PK K
2
24,96
1 112,87
0,45
in
di n
iP
s
s
KK
D’où, numériquement, le réglage du PID:
Précision obtenue avec ce réglage.
• L’effet intégrateur dans la boucle assure une erreur statique nulle
0
1lim
1p i
P
Es t p E
ppK K
Ce que l’on retrouve en calculant
• L’erreur de vitesse se calcule par : lorsque l'entrée est une rampe.t
20 0
( ) ( )lim lim
( ) ( )p p
S p FTBFC p Et p p
FTBOC p FTBOC p p
2 20 0
( )lim lim
( ) 1
i
P
p p i
P
pK KFTBFC p E E
t p pFTBOC p p pp
K K
5i
P
tK K
Conclusion sur cette correction PID
On a, en BF : 5 s
L’asservissement a donc un temps de réponse à 5% de 3 15 s
1. On a donc considérablement améliorer le temps de réponse.2. On a annulé l’erreur statique.3. L’erreur de vitesse reste importante.