1.- introducciÓn
TRANSCRIPT
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL
ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
CURSO : ANALISIS ESTRUCTURAL II
DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO
NUEVO CHIMBOTE - SEPTIEMBRE , 2014
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INTRODUCCIN
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Una de las responsabilidades del ingeniero estructural es dimensionar y proporcionar adecuadamente los elementos estructurales
Para que soporten de manera eficiente y econmica las condiciones de carga esperados en la vida til de las estructuras
Tanque elevado. Evidencia de esfuerzos en la base. Cortesa de The National Information Service for Earthquake Engineering, EERC, University of California, Berkeley .
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Necesitamos conocer : 1. Los desplazamientos relativos del sistema
Desplazamiento permanente del segundo nivel del edificacin de aprioximadamente 90 cm debido a sismo de Califormia en 1971. Cortesa de the National Information Service for Earthquake Engineering, EERC, University of California, Berkeley
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2.- La distribucin de esfuerzos en la estructura
Edificio Rodrigo de Triana en Concepcin, Chile, daado por el sismo de febrero de 2010. Foto de Alejandro Muoz
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Los elementos estructurales que componen las estructuras se pueden
clasificar en:
Unidimensionales
Se representan por una lnea que define su eje
Las secciones transversales son perpendiculares al eje
Barras, vigas, columnas ,cables arcos
Bidimensionales
Pueden representarse por superficies planas o curvas: Membranas, losas y cascarones.
Tridimensionales
No se puede hacer simplificaciones por su geometra o comportamiento
Slo pueden ser analizados por mtodos no analticos por ejemplo elementos finitos
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El anlisis estructural consiste en idealizar la estructura con base en algunos los elementos segn la clasificacin anterior considerando las conexiones y sus apoyos
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Nos enfocaremos en la idealizacin de estructuras con elementos unidimensionales
Fxj
i
j
Fxi
Armadura (truss)
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Prticos Planos con conexiones rgidas
i
Fyi
Fxi
Mi
Fyj
Fxj
Mj
j
-
Parrillas
Fyj
Fyi
Mxi
Mxj
Mzi
Mzj
-
Prticos Tridimensionales
-
En general, el comportamiento de los elementos estructurales est descrito por una ecuacin diferencial.
Los elementos unidimensionales tienen solucin ya conocida.
-
La solucin se obtiene a partir de sistema de ecuaciones algebraicas formadas a partir de:
Ecuaciones de equilibrio
Compatibilidad de los nudos y
apoyos
Relaciones esfuerzo-
deformacin
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La resolucin de dichos sistemas puede ser sencilla o complicada dependiendo del nmero de variables a determinar .
En el caso de estructuras complejas se recurre a utilizar arreglos matriciales para la solucin del sistema de ecuaciones.
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Avances en la tecnologa han permitido el desarrollo de programas de cmputo que resuelven estructuras de manera rpida.
Un ingeniero estructural debe entender los principios del anlisis y ser responsable por los resultados que obtiene de un programa.
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Diagrama de Flujo de anlisis estructural
Ingreso
Definicin de modelo fsico, geometra, material, cargas y
condiciones de borde
Librera de elementos
Generacin de modelos matemticos
para elementos estructurales y cargas
aplicadas
Solucin
Construccin y solucin del modelo matemtico para el sistema estructural
Salida
Visualizacin de desplazamientos y fuerzas obtenidas
Adaptado de Fig 1.1 de Matriz Structural Analysis McGuire
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DEFINICIONES Y CONCEPTOS
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Grados de libertad Nmero mnimo de
desplazamientos independientes en los nudos de una estructura.
Al determinar los desplazamientos en los grados de libertad es posible determinar todos los esfuerzos y reacciones en los elementos de la estructura.
u
v
-
En la prctica el nmero de grados de libertad no es nico, depende de la forma en que idealicemos la estructura.
Por ejemplo se sabe que en estructuras de concreto armado sometidas a flexin y fuerza axial, los desplazamientos debido a esfuerzos de flexin generalmente son mucho mayores que los axiales.
En estos casos es posible despreciar algunos grados de libertad.
-
Si el elemento es flexible Si el elemento es rgido
1
2
3
4
1
Lddd
dd
231
24
2
d1
d2
d3
d4
L L
El nmero de gdl es 4 El nmero de gdl es 2
-
ARMADURAS
2 desplazamientos independientes por cada nudo libre = 2 gdl /nudo= 12 gdl
Para que la estructura sea estable debe restringir algunos de sus grados de libertad
-
ARMADURAS
2 desplazamientos independientes por cada nudo libre = 2 gdl /nudo= 12 gdl
Para que la estructura sea estable debe restringir algunos de sus grados de libertad
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ARMADURAS
9 gdl
Si se restringen 3 grados de libertad aparecern 3 reacciones en las direcciones de los gdl. Los desplazamientos en los grados de libertad restringidos se hacen nulos
-
Si la viga es infinitamente rgida axialmente
3 gdl
6 gdl
5 gdl
Si las columnas y viga son infinitamente rgidas axialmente
PRTICO PLANO
12 gdl
3 gdl por nudo
-
9 gdl 5 gdl
-
Cuando hay rtulas
8 gdl
5 gdl
Si la viga y columnas son infinitamente rgidas axialmente
-
Si las vigas y columnas son infinitamente rgidas axialmente
6 4 nudos = 24 gdl 3 rotaciones x 4 nudos + 4 traslaciones=16 gdl
PRTICO ESPACIAL 6 gdl por nudo
-
La losa es rgida en su plano ( no se deforma en su plano) pero es flexible en la direccin perpendicular a su plano
2 giros en cada nudo + 3 desplazamientos en el plano de la losa= 11 gdl
PRTICO ESPACIAL CON LOSA RGIDA
-
1
2
3
4
5
6
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Qi : es la fuerza aplicada en el grado de libertad i en la direccin del grado de libertad
Di : es la componente del desplazamiento sobre el grado de libertad i en la direccin del grado de libertad
7
9
10 8 12
11
Los desplazamientos y fuerzas de los nudos en las direcciones de los grados de libertad pueden colocarse en un arreglo vectorial
-
1
2
3 4
5
6
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Si la estructura tiene restricciones en sus nudos entonces aparecern reacciones y desplazamientos conocidos
7
9
10 8 12
11
-
Ejemplo P
Definimos los grados de libertad
1
L L
2
3
0
0
P
Q
EI
PL
2
2
EI
PL
3
3
EI
PLL
EI
PL
EI
PL
6
5
23
323
L
EI
PLD
21
65
31
3
E: Mdulo de elasticidad I: Mdulo de Inercia de la seccin
-
Reemplazando valores:
EI= 10,000 ton.m2
L= 5 m
P= 6 ton
rad
m
m
D
0075.0
0625.0
025.0
-
Los grados de libertad se definen en sistemas de coordenadas
globales locales
-
Los vectores de carga y desplazamiento de toda la estructura estn enmarcados en un sistema de coordenadas global compuesto por un conjunto de ejes ortogonales fijos x,y,z (right -hand)
x
y
z
La relacin entre desplazamientos y fuerzas se puede encontrar utilizando las coordenadas globales
x
y
z
Q D
-
Para poder conocer el comportamiento de un elemento de la estructura podemos tomar sistemas de coordenadas locales vlidas para ese elemento.
4
3
2
1
q
q
q
q
q
4
3
2
1
d
d
d
d
d
x
y
qn : es la fuerza en el extremo de barra en el grado de libertad n en la direccin del grado de libertad
dn : es la componente del desplazamiento sobre el grado de libertad n en la direccin del grado de libertad
-
Grados de libertad globales
1 2
3
Grados de libertad locales por cada elemento
x
y
x
y y
x
Tramo1 Tramo 2
rad
m
m
D
0075.0
0625.0
025.0
0
0
6ton
Q
1
2
3
4 1
2
3
4
-
0
6
.30
6
ton
mton
ton
q
rad
md
0075.0
025.0
0
0
0
0
0
0
q
rad
m
rad
m
d
0075.0
0625.0
0075.0
025.0
Grados de libertad globales
1 2
3
x
y
Tramo1
Tramo 2
rad
m
m
D
0075.0
0625.0
025.0
0
0
6ton
Q
Grados de libertad locales por cada elemento
x
y y
x
Tramo1 Tramo 2
1
2
3
4 1
2
3
4
-
La relacin entre fuerza y desplazamiento en su forma matricial se puede expresar como:
DKQ
rigidezdematrizK
elementodelrigidezdeecoeficientkij
Es el valor de la fuerza ( o momento ) que aparece en el grado de libertad i si a la estructura se le impone un desplazamiento de valor unitario en el grado de libertad j y todos los otros grados de libertad se mantienen fijos ( sin desplazamiento o rotacin) .
-
Esencia del mtodo de rigidez
Se basa en la superposicin de desplazamientos
Condiciones de compatibilidad de desplazamiento (siempre estn satisfechas)
Las incgnitas son los desplazamientos
Se resuelven a partir de las ecuaciones de equilibrio de nudo
DKQ nnnnnnn
n
n
n
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
K
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...
K es la matriz de rigidez
elementodelrigidezdeecoeficientkij
En esta ecuacin los grados de libertad se refieren a coordenadas globales
-
Para obtener matrices de rigidez bandeadas hay que ordenar los grados de libertad de manera lgica y consecutiva, por ejemplo:
2
1 3
11
10 12
5
4
6
8
7 9
a) b)
2
1 3
8
7 9
5
4
6
11
10 12
-
Esencia del mtodo de Flexibilidad
Se basa en la superposicin de fuerzas
Las condiciones del compatibilidad de desplazamientos son forzadas
Las incgnitas son las fuerzas
Se resuelve a partir de la compatibilidad de desplazamientos
QFD nnnnnnn
n
n
n
ffff
ffff
ffff
ffff
F
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...
F es la matriz de flexibilidad
elementodeladflexibiliddeecoeficientfij
-
Relacin entre F y K
Es el valor del desplazamiento ( o giro) que aparece en el grado de libertad i si a la estructura se le impone una fuerza de valor unitario en el grado de libertad j manteniendo nulas las fuerzas en los otros grados de libertad .
nnnnnnn
n
n
n
ffff
ffff
ffff
ffff
F
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...
QFD
QDF 1
Premutiplicando por F-1 ambos lados de la ecuacin
KF 1 FK 1o
-
Existencia de K
El nmero de desplazamientos debe coincidir con el nmero de grados de libertad
Sistema no generalizado EA=
La matriz de flexibilidad sera:
44434241
34333231
24232221
14131211
ffff
ffff
ffff
ffff
F
La fila 1 y la fila 4 son iguales , por lo tanto el determinante de F es cero. Esto significa que F-1 no existe . En consecuencia K no existe
1
2 3
4
-
Existencia de K
No es necesario que la estructura tenga apoyos (en este caso la matriz es singular)
2
1 3
8
7 9
5
4
6
11
10 12
Sin apoyos |K| =0
-
Existencia de F
La estructura debe tener apoyos
En caso que no tenga apoyos el determinante de K es nulo y no existe la inversa.
En consecuencia no existe F
2
1 3
8
7 9
5
4
6
11
10 12
Sin apoyos No existe F
-
Matriz de rigidez: Global versus local
Global
Local
x
y Q-D q-d
-
El elemento barra de armadura slo tiene dos grados de libertad en su sistema local
EA es constante y conocido
1 2
L
q-d
11
11
L
EAk
k es una matriz simtrica k es una matriz singular, por lo tanto F no existe
-
El elemento de barra en el sistema global
x
a
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
22
22
22
22
coscos
coscoscoscos
coscos
coscoscoscos
sensensensen
sensen
sensensensen
sensen
L
EAK
-
REPASO DE LGEBRA MATRICIAL
-
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...Fila 1 Fila 2 Fila 3 . . . . . Fila m
Co
lum
na
1
Co
lum
na
2
Co
lum
na
3
. . . . . Co
lum
na
n
Una matriz es un arreglo rectangular de smbolos o valores colocados en filas y columnas
-
El elemento tpico de la matriz es
donde i representa la fila y j la columna que el elemento ocupa en la matriz.
Se dice que la matriz tiene orden m x n, es decir el nmero de filas por el nmero de columnas.
Una matriz es un arreglo y no necesariamente implica una relacin entre sus elementos
ija
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
... Columna
Fila m n
-
Algunas matrices especiales
1
1
31
21
11
.
.
.
.
.
.
mx
ma
a
a
a
A
nnaaaaA
11131211
-
Matriz Cuadrada
nnnnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...
-
Matriz simtrica
Es una matriz cuadrada aij = aji para todo ij
nnnnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...
-
Matriz Diagonal
Es la matriz cuadrada que tiene elementos nulos excepto en la diagonal principal aij=0 cuando i j
nnnn
nn
a
a
a
a
a
A
0..000
0...
....
....
0...00
0...00
0...00
11
33
22
11
-
Matriz Identidad
nn
I
10..000
01...
....
....
0...100
0...010
0...001
Es la matriz diagonal aij=1 cuando i =j , aij=0 cuando i j
-
Matriz Triangular superior
nnnn
n
n
n
u
uu
uuu
uuuu
U
000
....
....
....
...00
...0
...
333
22322
1131211
La matriz tiene elementos nulos si la fila es mayor que la columna , uij=0 cuando i >j
-
Matriz Triangular inferior
nnnnnnnllll
lll
ll
l
L
321
333231
2221
11
....
....
....
0...
0...0
0...00
La matriz tiene elementos nulos si la fila es menor que la columna , lij=0 cuando i
-
Matriz bandeada
Todos los elementos no nulos de la matriz se agrupan alrededor de la diagonal principal.
Ancho de banda = 2w-1 = Nmero de diagonales totales
66265000
634100
547610
016541
001432
000123
A
w jiaij ,0
w Ancho de la semibanda= Nmero de diagonales superiores incluyendo la principal
w
-
Una posibilidad de almacenamiento para una matriz bandeada es guardar los elementos de la semibanda en un arreglo rectangular
66265000
634100
547610
016541
001432
000123
A
632
63
547
165
143
123
A
-
En general
A
Nmero de elementos a almacenar = w n
El nmero de ceros en la parte inferior es la suma =1 +2+3++ w-1
w
w-1
2
1
ww
2
1
ww
n
-
OPERACIONES CON MATRICES Repaso de lgebra Matricial
-
Matriz Transpuesta
TAA
ija jia
63
52
41
654
321
-
Propiedades de la matriz transpuesta
mnT
nm AA
TTAA TTT ABAB )(
TTTT ABCABC )(
BAAT B es una matriz simtrica
-
Matrices ortogonales
A y B son matrices ortogonales si
IABBA TT
-
Operaciones con matrices
Suma
Resta
Multiplicacin
Particionamiento
Determinante
Inversin
-
Particionamiento de una matriz
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
32
22
12
31
21
11
b
b
b
b
b
b
B
2221
1211
AA
AAA
B21
B11B
A y B se pueden partir en un submatrices Aij y Bij donde los subndices representan su posicin en la matriz original
D
CAB
A22B21A21B11
A12B21A11B11
Sub matriz orden A11 2x2 A21 1x2 A12 2x1 A22 1x1 B11 2 x2 B21 1x2 C 2x2 D 1x2
Por ejemplo:
-
La traspuesta de una matriz con particiones se calcula:
TT
TTT
T
AA
AA
AA
AAA
2212
2111
2221
1211
-
Determinante
211222112221
1211aaaa
aa
aaA
Determina la unicidad de la solucin de un sistema lineal. Para una matriz de 2 x 2
Para el clculo del determinante de cualquier orden existe una regla recursiva. Para reducir el costo computacional y mejorar la estabilidad de los clculos se utiliza el mtodo de Chio.
-
Mtodo de Chio
nnnnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
....
....
....
...
...
...
Sea la matriz A
111
111
33313231
131112|11
23212221
13111211
2
11)(
1
nnnnn
n
n
aa
aa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aA
Se puede demostrar que:
Ejemplo: Calcular |A| por el mtodo de Chio
-
Matriz Inversa A-1
La inversa de una matriz es nica
No toda matriz tiene inversa
Si la matriz es singular |A|=0, entonces no existe A-1
AA-1=I
Propiedades:
1. (A-1)-1=A
2. (AB)-1=B-1A-1
3. Si A es simtrica entonces A-1 tambin es simtrica
4. (cA)-1= A-1
5. Si
6. Si
c
1
3300
0220
0011
a
a
a
A
33/100
022/10
0011/11
a
a
a
A
2221
1211
AA
AAA
11
11
2221
1211
AA
AAA
-
Mtodos de inversin
Inversin por adjunta
Inversin por transformadas sucesivas
Inversin por particiones