1 introduction aux orbites autour des trous noirs potentiel effectif relativiste orbites des...
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1
INTRODUCTION AUX ORBITESAUTOUR DES TROUS NOIRS
Potentiel effectif relativiste
Orbites des particules
Géodésiques parcourues par la lumière
Espace temps au voisinage d’un trou noir
Lentilles gravitationnelles
Trous noirs et limite de luminosité d’Eddington
Philippe Magne
2006
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2
Potentiel effectif ( données )
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3
Potentiel effectif
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4
Choix des unités de calculs
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Potentiel effectif et composante radiale Vr de la vitesse, exprimés dans les unités proposées
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Application numérique Ueff en fonction de r
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7
Potentiels effectifs Newtoniens dans le système Solaire
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Préliminaire pour passer d’un Potentiel effectif Newtonien à un Potentiel effectif Relativiste
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Potentiel effectif Relativiste
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Potentiels effectifs relativistes dans l’intervalle 0 < r/rs=1/u < 15
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Commentaires sur la figure précédente
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Calcul des trajectoires des particules autours des trous noirsElles sont dans un plan, le référentiel est en coordonnées polaires r,
Composantes de la vitesse:
Rappel
2
1
2
u
2 2 2 2 2 2 2 2u 3 2 0 s s 0 s
2 2 2
du
m c r E r m c ru u u
J J c J
12 2 2 2 2
3 20r2 2 2 2 2 2 2 40 s 0 s 0
m cV J J Eu u u 1
c E m c r m c r m c
1
2
0 s
20
Ju 1 u
V m crEc
m c
srur
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Applications numériques
2oE 1.1 m c 0 sJ 2.4 m cr sr 1
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Trajectoire 2
0E 1.1 m c 20J 2.4 m c
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Trajectoire instable 20E m c 0 sJ 2 m cr sr 1
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16
Trajectoire stable 20E 0.9428090416 m c 0 sJ 3 m cr
sr 1
rv0
c
1
21 13 1
V 3 30.5
c 0.942809
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Trajectoire Orbite quasi képlérienne
20E 0.9744063635 m c 0 sJ 2.2 m cr sr 1
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Equation approchée s
r 1 7.686424831
r u 1 0.4074374876 cos(0.8687676414 )
0 4
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19
0 64
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Trajectoire radiale en chute libreEcoulement du temps
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Temps propre t de l’observateur lointain et Temps propre de la particule en chute libre rs=3 km
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Expérience de pensée proposée par J.P. LuminetLe salut de l’astronaute
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L’effet de marée assassin ! mortel3
2GMa r
r a 15g
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24
Rayons lumineux
Rappel de l’équation concernant les particules massiques:
Equation pour les photons, on fait : m0= 0
On écrite la constante sans dimension :
L : est homogène à l’inverse d’une longueur
: est un paramètre d’impact
On adopte le changement de variable :
2 2 2 2 2 2
2 3 0 s s2 2 2
m c r E rduu u 1 u 0
d J J c
2 2 22 3 s
2 2
E rduu u 0
d J c
2 2s
2 2 2 2s
E r 1
J c L r
sLr
sLr u
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Calcul des géodésiques parcourues par les photons autour des trous noirs
Elles sont dans un plan, le référentiel est en coordonnées polaires
Composantes de la vitesse
Rappel :
32
s
d
1Lr
13 2
2r
s
V1
c Lr
1
2
s
V1
c Lr
2s
s
rLr u L
r
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Applications numériques
Lrs= 3
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Géodésique Lrs= 3
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Géodésique Lrs= 2.678
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30
Géodésique Lrs=2.612
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31
Géodésique 3 3
2
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Géodésique 2.2
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33
Conclusion
Aucun rayon lumineux ne peut s’enrouler autour d’un trou noir
si le paramètre d’impact est supérieur à
Si le rayon lumineux est capturé et ne pourra jamais ressortir du trou noir
Cela permet de définir une aire de capture
3 3
2
3 3
2
2 24 27 sr
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Déflexion de la lumière par des masses stellaires non effondrées
Angle de déflexion prévu par Einstein R: rayon de l’étoile
Pour le Soleil on trouve 1.74’’ seconde d’arc
La validité de cette formule a été confirmée en 1919 1922 1936 1952 1973
Croquis d’après J.P.Luminet : a) positions apparentes pendant une éclipse du Soleil
b) positions en l’absence du Soleil
2
4GM
Rc
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Lentilles gravitationnelles
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Images observées
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L’espace temps courbé par la présence de matière, qu’en est-il plusparticulièrement pour le temps ? Retard d’écho radar Shapiro
Expérience réalisée en 1970 lors de la conjoncture supérieure de Mars,
et de la présence de la sonde Mariner 6 équipée d’un répondeur radar
Nota: durée d’un aller retour Terre Mars Terre ¾ d’heure, mais le retard
d’écho Shapiro est beaucoup plus court
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38
Formule donnant le retard d’écho Shapiro
s nepT 250 s 1 0.16 l700000km
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39
Visualisation de la courbure de l’espace, artifice du plongement
« On visualise parfaitement la forme d’un cercle de dimension 1 en le plongeant dans le plan de
dimension 2, ou, la surface d’une sphère de dimension 2 dans l’espace euclidien de dimension 3,
ce n’est qu’un espace fictif ne servant qu’à encadrer l’espace temps sectionné » ( J.P. Luminet )
Paraboloïde de L. Flamm ( 1916 )
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40
Géodésiques de l’espace temps ( d’après J. P. Luminet )
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Commentaire de J. P. Luminet« Le résultat illustre parfaitement le principe d’équivalence en rendant l’illusion newtonienne d’un univers
plat dans lequel les particules sont déviées de la ligne droite par les forces de gravitation au lieu d’épouser
librement les contours de la géométrie courbe »
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42
Les Trous Noirs existent –ils vraiment ?
La découverte et la localisation des sources X et en est peut être la preuve
• L’énormité de leur luminosité
• La faiblesse, voire l’absence d’une contrepartie dans le visible
Les étoiles ne peuvent être les sources de ces rayonnements.
Eddington a montré que la luminosité d’une étoile ne pouvait être
supérieure à:
watts
31Max
ML 1.3 10
M
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Le disque d’accrétion d’un trou noir, possible source de gammas
La matière capturée par un trou noir orbite à une vitesse qui rend
vraisemblable l’émission de photons d’une très grande énergie par
suite de chocs d’une extrême violence.
On peut considérer ce disque comme une sorte d’accélérateur de
particules naturel.