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singular
3º E.M. - Ensino Médio Tarde
Áreas das principais figuras planas
Poliedros
Prismas
Cilindro
Cone
Esfera
Pirâmide
Sólidos Inscritos e Circunscritos
Profª Liana
2016
2
Exercícios-Áreas
1. Em um painel de publicidade está desenhado um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa mede 2 2 m. Se 60% da
área desse triângulo já foi colorida, quantos m² do triângulo foram coloridos? 1,2m²
2. Determine a área do triângulo nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas.
a) b) c)
(RESP: a)60m² b)48m² c)16 3 m²)
3.A área de um triângulo eqüilátero é de 16 3 cm². Nessas condições, qual é o perímetro do triângulo? 24cm
4.Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono. 216 3 cm²
5.Um losango tem 40cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor,determine área
do losango. 80cm²
6.(Uel)Ao redor de uma piscina retangular com 10 m de comprimento por 5 m de largura, será construído um
revestimento de madeira com x metros de largura, representado na figura a seguir. Existe madeira para revestir
87,75m².Qual deverá ser a medida x para toda a madeira ser aproveitada? Resp:2,25m
7.Determine a área de cada setor circular ( raio = 6m) sombreado nos casos abaixo:
a) b)
c) d)
RESP: a) 4πm² b)7πm² c)30m² d)18m²
8 8 8
8 17
10 10
12
40º 70º
10m
6m
3
8. Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilétro dado é um quadrado.
a) b) c)
RESP: a) 4
a).4( 2 b)
2
a).2( 2 c)
4
a).4( 2
9. Calcule a área da superfície sombreada.
a) b) c)
RESP: a) 4
a).2( 2 b)
2
a).4( 2 c)
2
a).2( 2
10) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD têm lado medindo 2cm.
a) b) c)
RESP: a) 2
)8( cm
2 b) 2(π - 2) cm
2 c) (4 - π) cm
2
11) Determine a área da região sombreada.
a) b)
RESP: a) 100(4 - π) b) 2
25(2 3 - π)
a a a
a a a
A B
C D
A B
D C
A B
C D
10 10
10 10
5 5
5 5
4
12.(Unirio) Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura a seguir, é usada para revestir a
parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachurada é:
Resp: 225(4- )cm²
13.(Unesp) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele
está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 3,14, calcule a área, em
metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. 1244
14.(FEI) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos
círculos é 10 cm, qual a área (em cm²) não aproveitada da chapa? Resp: 400-100
15. A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados.
A área do terreno, em km², é igual a: Resp:210
16. (Unesp) Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10 m de lado, tem ao centro uma pista de dança na
forma de um círculo, com 5 m de raio.
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A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é: Resp: 25(6 3 - )
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros
encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
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Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro Planificação Elementos
Tetraedro
4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro
6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro
8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro
12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas
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Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Exercícios-Poliedros
1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possue 5 faces e 12 arestas. V=9 2. Quantas faces possui um poliedro convexo de 10 vértices e 14 arestas?
F=6
3. Determine o número de arestas de um poliedro convexo de 8 vértices e 8 faces?
A=14
4. Determine o número de faces de um poliedro convexo,sabendo-se que o número de arestas excede o número de
vértices em 6 unidades. A=V+6 F=8
5. Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determine o número de arestas e de
vértices desse poliedro. A=15 V=8
6. Um poliedro convexo possui5 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 3 faces pentagonais.
Quantos vértices possui esse poliedro? A=23 V=13
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Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma
reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.
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Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
6.
bases:as regiões poligonais R e S
altura:a distância h entre os planos
arestas das bases:os lados ( dos polígonos)
arestas laterais:os segmentos
faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A Classificação
Um prisma pode ser:
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do
prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
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Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases AT = AL + 2AB
7.
Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
volume de um prisma
O volume de todo prisma é o produto da área da base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
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Exercícios-Prismas
1. Determine a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um prisma reto de altura 10cm e
cuja base é um triângulo retângulo de catetos 3cm e 4cm. Ab=6cm² Al=120cm² At=132cm²
V=60cm³
2. A altura de um prisma triangular regular é 10cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume
desse prisma sabendo-se que a aresta da base mede 6cm. Ab=9 3 cm² Al=180cm² At=18( 3
+10)cm² V=90 3 cm³
3.Num prisma regular hexagonal, a altura é igual a 8 3 cm e a aresta da base mede 8cm. Determine
a área da base, a área lateral, a área total e o volume desse prisma. Ab=96 3 cm² Al=384 3 cm²
At=576 3 cm² V=2304cm³
4. Calcule a área total e o volume de um prisma triangular regular cuja base tem perímetro igual a
30cm e cuja altura é igual à aresta da base. a=10cm Ab=25 3 cm² At=50( 3 +6)cm² V=250
3 cm³
5. Num prisma hexagonal regular de altura 10 3 cm,a área lateral é o dobro da área da base.
Determine a área total e o volume desse prisma. a=20cm At=2400 3 cm² V=18000cm³
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Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
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Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo
9. Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
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AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = abc Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
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Exercícios-Paralelepípedo
1.Calcule a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 10cm,6cm e 4cm. D=2 38 cm
2.Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Sabendo-se que sua diagonal mede 3 10 ,calcule K. k=7
3.As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 20cm,8cm e 5cm. Calcule a área total desse paralelepípedo. 600cm²
4.Calcule o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 15cm,12cm e 6cm. V=1080cm³
5.A diagonal de um paralelepípedo retângulo tem 13dm e a diagonal da base 5dm. Determine as três dimensões do
paralelepípedo, sendo a soma de todas as suas arestas igual a 76dm. 3dm,4dm e 12dm
6.Calcule quantos metros quadrados de azulejo serão necessários para revestir uma piscina retangular de 8m de
comprimento,5m de largura e 1,60m de profundidade. 81,60m²
7.Num paralelepípedo retângulo o volume é 600cm³.Uma das dimensões da base é igual ao dobro da outra, enquanto a altura
é 12cm.Calcule as dimensões da base desse paralelepípedo. 5cm e 10cm
8.O volume de um paralelepípedo retângulo é igual a 96cm³. Duas de suas dimensões são 3cm e 4cm.Calcule a área total
desse
paralelepípedo. A=136cm²
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9.O volume de um paralelepípedo retângulo é 648m³.Calcule a área total desse paralelepípedo , sabendo que suas dimensões
são proporcionais aos números 4, 3 e2. 468m²
10.A piscina de um clube tem 1,80m de profundidade,14m de largura e 20m de comprimento. Calcule quantos litros de água
são necessários para enche-la. V= 504000 l
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
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No triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
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AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
Exercícios-Cubo
1. Quanto mede a diagonal de um cubo de aresta 10 3 cm? D=30cm
2. Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total? At=600cm²
3.Qual é o volume de um cubo que tem 10cm de aresta? V=1000cm³
4. Uma caixa-d´água cúbica tem 3m de aresta interior. Sabendo-se que 1dm³=1 litro(l),calcule a capacidade em litros,dessa
caixa. V=27000 litros (l)
5. A diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 dm. Calcule a diagonal, a área total e o volume desse cubo. D=5 3 dm
At=150dm² V=125dm³ 6. A soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60dm. Calcule a área da superfície total e o volume desse cubo.
At=150dm² V=125dm³
7.Três cubos de chumbo, com arestas de 5cm, 10cm e 20cm, respectivamente, são fundidos numa peça única. Qual é o
volume da peça? V=9125cm³
8. Determine quantos cm² de madeira serão necessários para fabricar uma caixa de forma cúbica com 22cm de aresta.
A=2904cm²
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um círculo R contido em e uma reta r
que intercepta , mas não R:
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Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
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bases: os círculos de centro O e O'e raios r
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo,
) e paralelo à reta r
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Veja:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de
um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
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A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.
Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
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Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo
de dimensões :
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
Volume
O volume do cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;
portanto seu volume é:
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Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro
eqüilátero.
Exercícios-Cilindro
1. Dado um cilindro reto de altura 8cm e raio da base 4cm, calcule a área da base, a área lateral, a área
total e o volume desse cilindro. Ab=16 cm² Al=64 cm² At=96 cm² V=128 cm³
2. Determine a área total e o volume de um cilindro reto de altura 3m e diâmetro da base 2m. At=8 m²
V=3 m³
3. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cilindro eqüilátero (h=2r) cujo
raio da base é igual a 5dm. Ab=25 dm² Al=100 dm² At=150 dm² V=250 dm³
4. Calcule o volume de um cilindro eqüilátero cuja base mede 36 cm². V= 432 cm³
5. Determine o volume de um cilindro inscrito num cubo de aresta 4cm ( todo cilindro inscrito num cubo
é eqüilátero, pois, o diâmetro da base e a altura são iguais à aresta do cubo). V=16 cm³
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Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o
conjunto de todos os segmentos .
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
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Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de
revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g² = h² + R²
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada
secção meridiana.
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Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento
:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
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b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
Vcone=
Exercícios-Cone 1. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cone reto de altura 12cm e raio da base 5cm. Ab=25cm² Al=65 cm² At=90 cm² V=100 cm³
2. Determine a área total e o volume de um cone reto de geratriz igual a 5cm e altura igual a 4cm. At=24 cm² V=12 cm³
3. Determine a área da base, a área lateral, a área total e volume de um cone eqüilátero cujo raio da base é 10cm. Ab=100
cm² Al=200 cm² At=300 cm² V=3
31000cm³
4.Determine o volume de um cone eqüilátero cuja base é igual a 16 cm². V=3
364cm³
5. A área lateral de um cone reto é igual a 15 cm². Calcule a área total e o volume desse cone cujo raio da base é 3cm.
At=24 cm² V= 12 cm³
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Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
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Exercícios-Esfera
1. Calcule o volume e a superfície de uma esfera de raio igual a 2cm. V=3
32cm³ A=16
cm²
2. A área de uma superfície esférica mede 144 cm². Determine o volume dessa esfera. V=288 cm³
3. Determine a área da superfície de uma esfera cujo volume é igual a 36 cm³. A=36 cm
4. Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8 cm², calcule o raio da esfera. Raio = 2
5. (Faap) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio
da esfera, sabendo que o volume do cone é 12 dm³ e o raio da base é 3 dm. Raio = 6 dm
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Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de ,
chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .
Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados do polígono
arestas laterais: os segmentos faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano
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Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja:
Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
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2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num
octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.
Secção paralela à base de uma pirâmide Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo
que:
as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.
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Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:
Assim, temos:
A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
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Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Volume O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Troncos Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o
plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo
cone e um tronco de cone. Vamos estudar os troncos. Tronco da pirâmide
Denominamos tronco de pirâmide de bases paralelas a parte da pirâmide limitada pela base e por uma
secção transversal,qualquer,dessa pirâmide.
Elementos do tronco de pirâmide Base maior do tronco,de área B. Base menor do tronco,de área b. a:apótema do tronco (é a altura de uma das faces trapezoidais)
h(altura do tronco):distância entre as bases.
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as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
Volume do tronco de pirâmide
VT=
h(B+√ +b)
Tronco do cone Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
as bases maior e menor são paralelas (Base do cone que deu origem ao tronco,com raio de medida R;
base originada pela secção transversal do cone,com raio de medida r);
altura do tronco (h): distância entre as bases
volume do tronco de cone circular reto
VTCONE=
( )
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Pirâmides-Exercícios
1) Calcule a área lateral, total e o volume de una pirâmide quadrangular de 10 cm de aresta e 12 cm de altura. (AL=260cm²,At=360cm² e V=400cm³)
2) As faces laterais de uma pirâmide hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 12cm² cada.A área
lateral do sólido vale:
a) 36cm² b) 48cm² c) 54cm² d) 72cm² e) 108cm² (Resp:D)
3) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro
da base. (Resp:260cm²)
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4) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm? (Resp:1440cm²)
5) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale: (Resp:64
2 m²)
6) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. A altura mede: (Resp: 2 )
7) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será: (Resp;C) a) O triplo da do prisma. b) O dobro da do prisma. c) O triplo da metade da do prisma. d) O dobro da terça parte da do prisma. e) O quádruplo da do prisma.
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8) (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados
medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a: (Resp:B)
a) 2√7 b) 3√ 7 c) 4√7 d) 5√7
9) (UFRS) A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por
um plano paralelo à base. A área da secção é igual a:(Resp: E)
a) 30 b) 50 c) 70 d) 90 e) 100
10) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide
medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 11) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 30 cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:
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12) Numa pirâmide quadrangular regular,uma aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede 22 cm.
O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos,é: 13) Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada. Se o ladp da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 720m³,qual deverá ser a medida aproximada do lado da base? 14) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é:
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15) Um imperador de uma civilização antiga mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são a) Sua base é um quadrado com 100m de lado. b) Sua altura é de 100m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000m³, os escravos, utilizados como mao-de-obra, gastavam em média,54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide,medido em anos de 360 dias, foi de: a) 40 anos b) 50 anos c) 60 anos d) 90 anos e) 150 anos
Sólidos Inscritos e Circunscritos-Exercícios
1. (UECE)
Um cone circular reto está inscrito em uma esfera, de tal modo que sua base é um círculo máximo da
esfera e seu vértice é um ponto da casca esférica.
Se a medida do raio da esfera é 3m, então a medida do volume do cone, em m3, é
a) 33 .
b) 6 .
c) 36 .
d) 9 .
2. (UNISA SP)
Se comprimento AB da diagonal de um cubo é 10 cm, então, o raio de uma esfera inscrita a esse
cubo, em cm, é igual a
41
a) 2
2
b) 3
22
c) 3
32
d) 3
35
e) 2
35
3. - (UECE)
Uma esfera está circunscrita a um cubo cuja medida da aresta é 2m. A medida do volume da região
exterior ao cubo e interior à esfera é
a) 3m23 4
b) 3m)23 (3
c) 3m234
d) 3m233
4. (UFPE)
Qual o volume do cubo que tem todos os vértices em uma superfície esférica de raio 3cm?
a) 3cm 324
b) 3cm 318
c) 3cm 224
d) 3cm 228
e) 3cm 48
42
5. (FGV )
Um octaedro regular está inscrito num cubo de aresta com 4 cm de comprimento, isto é, seus vértices
coincidem com o centro de cada face do cubo, como mostra a figura. O volume do octaedro é
a) 3cm3
64
b) 3cm3
32
c) 3cm3
16
d) 3cm3
8
e) 3cm3
4
6. (EFOA MG)
Um paralelepípedo retângulo, inscrito em uma esfera de raio r, tem área igual a 992 cm2. Sabendo-se
que suas três arestas são proporcionais a 2, 3 e 5, o valor de r, em cm, é:
a) 384
b) 392
c) 383
d) 382
e) 394
7. (UFOP MG)
Uma pirâmide reta de base quadrada está inscrita num cone reto de raio da base cm22 . A relação
entre os volumes do cone e da pirâmide, nesta ordem, é:
a) 6
b) 3
c) 2
d) 2
3
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8. (UNIFOR CE)
Duas esferas, de mesmo raio, são tangentes externamente. Um cilindro circular reto, de volume 108
dm3, é circunscrito às duas esferas, de modo que seu eixo contém um diâmetro de cada esfera. Para
cada uma das esferas, o volume, em dm3, e a área da superfície, em dm
2, são, respectivamente,
a) 30 e 32
b) 32 e 30
c) 32 e 36
d) 36 e 32
e) 36 e 36
9. (PUC PR) De um cubo de madeira foi extraída uma pirâmide conforme figura. Se a razão entre o volume da
pirâmide e o volume do cubo é 1/18, qual a aresta do cubo?
a) 4 m
b) 5 m
c) 6 m
d) 7 m
e) 8 m
10. (MACK SP) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é:
a) 3
8 b)
3
4 c)
3
16 d) 12 e) 8