高等数学 II 第六章主要内容 1. 计算多元函数极限（简单了解）； 2. 计算多元函数的偏导数、全微分、高阶偏

导数（重点掌握）； 3. 计算多元函数的极值及最值（熟练掌握）； 4. 计算二重积分（直角坐标系下、极坐标系

下）（重点掌握）；

偏导数计算类型： 1） 有明显解析式函数的偏导数计算； 2） 复合函数的偏导数计算； 3） 隐函数的偏导数计算； 多元函数的极值类型： 1） 无条件极值； 2） 条件极值；（Lagrange 乘数方法）

计算二重积分

1） 直角坐标系下计算二重积分

—化为累次积分；

2） 极坐标下计算二重积分

---极坐标变换；

3） 二重积分的性质应用

-----计算平面区域的面积，计算空间

图形的体积

微分方程

1 一阶微分方程

1） 可分离变量方程—分离变量方法；

2） 齐次方程---换元方法；

3） 一阶线性微分方程

—公式法，常数变易方法

二阶微分方程

1） 二阶线性微分方程解的结构；

2） 二阶线性齐次微分方程-特征方程法

3） 二阶线性非齐次微分方程；

题型讲解：

一．填空题

1．设 yz x ，则z

x

，z

y

.

2．2 2

2 200

1lim( )sinxy

x yx y

.

3．已知2 2

2 2( , )

x yf x y x y

x y

，则 ( , )f x y .

4．偏导数存在是多元函数可微的 条件.

二．解答下列各题

1．求函数2 1cosz x

y 的偏导数和全微分.

2．设 ( , )z f u v 有二阶连续偏导数，2 2u x y ，

2 3v x y ，求z

x

和

2z

x y

.

3．设由方程2 2 2 2 0x y z z 确定隐函数

( , )z f x y ，求z

x

和

2

2

z

x

.

三．

求函数3 2 2( , ) 3 3 3f x y x x y xy x 的极值.

四．解答下列各题

1．计算2 d

D

x y ，其中D是由抛物线 2y x 与直线

4y 所围成的有界闭区域.

2．计算2

2d d

D

yx y

x ，其中D是由曲线2 2 2x y x 所

围成的有界闭区域.

3．计算1 1

40

1d d

1xI x y

y

.

五．解答下列各题

1．求微分方程1 sin x

y yx x

的通解.

2．求微分方程 4 4 0y y y 满足初始条件

0| 2xy ， 0| 0xy 的解．

典型例题选讲（第六章）

例1. 计算下列函数的偏导数或全微分

（1）P62 5(2) (2) P62 7 (3) P62 14 (4) P63 19

例2. 函数的极值 P63 21

例3. 计算二重积分 (1) P63 26(2) (2) P64 28(1) (3) P64 32 (4) P64 38