YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DATUM DÖNÜŞÜMLERİ

Jeo. ve Fot. Müh. Aydın ÜSTÜN F.B.E. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Anabilim Dalında

hazırlanan

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Tez Danışmanı : Prof Dr. Hüseyin DEMİREL

İSTANBUL, 1996

İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER I

ŞEKİL LİSTESİ IV

TABLO LİSTESİ V

KISALTMALAR LİSTESİ VI

TEŞEKKÜR VII

ÖZET VIII

ABSTRACT IX

1. GİRİŞ 1

2. KOORDİNAT SİSTEMLERİ 3

2.1. Doğal Koordinat Sistemleri 4

2.1.1. Global Astronomik Dik Koordinat Sistemi (X, Y, Z) 5

2.1.2. Doğal Eğri Koordinat Sistemi (Λ, Φ, H) 5

2.1.3. Yerel Astronomik Dik Koordinat Sistemi (e*, m*, n*) 6

2.1.4. Yerel Astronomik Kutupsal Koordinat Sistemi (α*, β*, l*) 7

2.2. Referans Koordinat Sistemleri 8

2.2.1. Global Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (U, V, W) 8

2.2.2. Global Jeodezik Eğri Koordinat Sistemi (ϕ, λ, h) 9

2.2.3. Yerel Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (e, m, n) 9

2.2.4. Yerel Jeodezik Kutupsal Koordinat Sistemi (α, β, l) 10

2.3. Referans Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler 10

2.3.1. Dik Koordinat Sistemi İle Eğri Koordinat Sistemi Arasındaki İlişkiler 10

2.3.2. Yerel Koordinat Sistemleri İle Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler 14

2.4. Uydu Jeodezisinde Kullanılan Referans Koordinat Sistemleri 17

2.4.1. Konvansiyonel Göksel Koordinat Sistemi (CIS) 18

2.4.2. Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi (CTS) 20

I

2.4.3. Uydu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşümler 21

3. JEOİT VE ELİPSOİT 27

3.1. Jeoit 27

3.2. Dönel Elipsoit 29

3.3. Jeoitle Elipsoit Arasındaki İlişki ve Jeodezik Datum 31

3.4. Referans Elipsoitlerinin Konumlandırılması 35

3.4.1. WGS84 Elipsoidi 37

3.4.2. Hayford Elipsoidi 39

4. DATUM DÖNÜŞÜMLERİ 40

4.1. Üç Boyutlu Dönüşümler 41

4.1.1. Benzerlik Dönüşümleri 42

4.1.1.1. Bursa-Wolf Modeli 42

4.1.1.2. Moledensky-Badekas Modeli 46

4.1.1.3. Veis Modeli 47

4.1.2. Afin Dönüşüm 49

4.1.3. Üç Boyutlu Dönüşümde Büyük Dönüşüm Parametreleri 51

4.2. İki Boyutlu Dönüşümler 53

4.2.1. Benzerlik Dönüşümü 54

4.2.2. Afin Dönüşüm 57

4.2.3. Küçük Bir Bölgede Elipsoidal Eğri Koordinatlarla Datum Dönüşümü 58

4.3. Tek Boyutlu Dönüşümler 62

4.3.1. Yükseklik Sistemleri 62

4.3.2. Yükseklik Dönüşümü 63

4.3.2.1. Yüksekliklerden Yararlanılan Dönüşüm 64

4.3.2.2. Yükseklik Farklarının Kullanıldığı Dönüşüm 65

5. DENGELEME MODELİ 66

II

6. SAYISAL UYGULAMALAR 69

7. SONUÇ VE ÖNERİLER 81

KAYNAKLAR 84

ÖZGEÇMİŞ 87

III

ŞEKİL LİSTESİ

Şekil 2.1 Dik ve kutupsal koordinatlar 3

Şekil 2.2 Global astronomik dik ve eğri koordinat sistemleri 5

Şekil 2.3 Yerel astronomik dik ve kutupsal koordinat sistemleri 7

Şekil 2.4 Elipsoidal dik ve eğri koordinat sistemleri 9

Şekil 2.5 Elipsoidal yerel dik ve kutupsal koordinatlar 10

Şekil 2.6 Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar 11

Şekil 2.7 Elipsoidal dik ve yerel koordinat sistemleri 15

Şekil 2.8 Konvansiyonel göksel koordinat sistemi 19

Şekil 2.9 Konvansiyonel yersel sistem ve kutup hareketi 21

Şekil 2.10 Presizyon 23

Şekil 2.11 Nutasyon 24

Şekil 3.1 Eşpotansiyelli yüzeyler ve gravite vektörü 28

Şekil 3.2 Astronomik enlem 29

Şekil 3.3 Meridyen elipsi 30

Şekil 3.4 Yükseklikler arasındaki ilişki 32

Şekil 3.5 Jeoit ve elipsoit arasındaki ilişki 33

Şekil 3.6 Çekül sapması bileşenleri 34

Şekil 3.7 Yerel elipsoit 37

Şekil 3.8 WGS84 referans sistemi 38

Şekil 4.1 Üç boyutlu benzerlik dönüşümü 42

Şekil 4.2 Moledensky-Badekas Modeli 47

Şekil 4.3 İki boyutlu benzerlik dönüşümü 55

Şekil 4.4 Elipsoit üzerinde jeodezik azimut ve uzunluk 60

IV

TABLO LİSTESİ

Tablo 3.1 Çeşitli uluslararası elipsoitler ve boyutları 30

Tablo 3.2 WGS84 için tanımlanmış parametreler 38

Tablo 4.1 Elipsoit üzerinde azimut ve uzunluk hesabı. 60

Tablo 5.1 WGS84 ve AD50 datumunda ortak noktaların jeodezik dik koordinatları 69

V

KISALTMALAR LİSTESİ

AD50 Avrupa Datumu 1950

BIH The Bureau International de l’Heure

CEP Celestial Ephemeris Pole

CIO Conventional International Origin

CIS Conventional Inertial System

CTP Conventional Terrestrial Pole

CTS Conventional Terrestrial System

DMA Defence Mapping Agency

GAST Greenwich Apperent Sideral Time

GPS Global Positioning System

GRS80 Geodetic Reference System 1980

IAU International Astronomy Union

IERS International Earth Rotation Service

IUGG International Union of Geodesy and Geophysics

İTÜ İstanbul Teknik Üniversitesi

KTÜ Karadeniz Teknik Üniversitesi

LLR Lunar Laser Ranging

NAVSTAR Navigation System with Time and Ranging

NNSS Navy Navigation Satellite System

SLR Satellite Laser Ranging

UTM Universal Transverse Mercator

VLBI Very Long BaseLine Interferometry

YTÜ Yıldız Teknik Üniversitesi

WGS60 World Geodetic System 1960

WGS66 World Geodetic System 1966

WGS72 World Geodetic System 1972

WGS84 World Geodetic System 1984

VI

TEŞEKKÜR

Kendisi ile çalışma fırsatını bulduğum ve çalışmalarım süresince yardım ve

ilgilerini eksik etmeyen Danışmanım Sayın Prof. Dr. Hüseyin DEMİREL’e, başka bir

üniversitede yüksek lisans yapmama olanak veren hocalarıma, yine çalışmalarım

süresince her türlü yardımlarını gördüğüm çok değerli arkadaşlarıma ve bana maddi,

manevi her türlü imkanı sağlayan, kendilerine lâyık olmaya çalıştığım aileme sonsuz

teşekkürlerimi bir borç bilirim.

VII

ÖZET

Jeodezik amaçlar için üretilen harita, plan, grafik ve benzeri sayısal üretimlerin

anlam kazanmasında en büyük faktör, kullanılan koordinat sistemleridir. Normal olarak

tüm bu amaçlara yönelik koordinat bilgilerinin ortak bir referansa dayanması beklenir.

Ancak gerek ülkesel ve gerekse bölgesel anlamda jeodezik çalışmalar için çeşitli

referans sistemleri temel alınmıştır. Bu farklılık, hem yeryuvarının hem de onun yerine

hesap yüzeyi olarak kullanılan referans yüzeylerinin özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Yeryuvarının bir hesap yüzeyi olarak kullanılamaması yardımcı yüzeyleri

gerektirmiş, farklı bölgelere ya da genel olarak yeryuvarına uyan dönel elipsoit

boyutları belirlenmeye çalışılmıştır. Elipsoidin boyutlarının belirlenmesi kadar, çalışma

amacına göre yeyuvarına bağlı olarak konumlandırılması datum problemini ortaya

çıkarmıştır. Buna bağlı olarak üretilen veriler de seçilen sistemlerin datumunu taşırlar.

Eğer farklı veriler bir arada değerlendirilmek istenirse, bu durum sistemlerin

birbirlerine dönüştürülmesini gerektirir. Özellikle Global Konumlama Sistemi (GPS)

datum dönüşümlerinin çok konuşulan bir konu haline gelmesine neden olmuştur. Bu

çalışmada çeşitli koordinat sistemleri ve aralarındaki dönüşüm modelleri incelenmiş,

referens yüzeyleri olarak jeoit ve elipsoit üzerinde durulmuş ve sayısal uygulamalar

verilmiştir.

VIII

ABSTRACT

Gaining a meaning of the digital results of the map, plan, diagram etc.

produced for geodetical aim, the main factor is the coordinate system used. Normally all

coordinate data hoped to be based on the same reference systems. But geodetical works

have done over the country as well as locally the coordinate systems based on different

reference systems. These differences are coused by compenent of the earth and

reference globe used for computation.

The irregular surface of the solid earth is incapable of being represented by a

simple mathematical relation, it is therefore described mathematical figures instead.

Rotational ellipsoid’s parameters approximated locally or mean earth ellipsoid are tired

to determine. As its computation positioning of the ellipsoid relatively to the earth

aimed of work, datum problem was introduced. Then the collected data have to be on

the datum selected systems.

If the data on the different datum are processed together, systems have to

transform to each other. Especially Global Positioning Systems has been in use, is

coused to discuss of datum tansformation. In this study, which properties of objects

have to be kept in projection from one surface to the other and transformation models

related to dimention of coordinate systems are investigated and explained by numerical

examples.

IX

1

1. GİRİŞ

Jeodezi ya da yer ölçmesi biliminin doğmasına neden olan iki unsurdan

birincisi ve en önemlisi insanların üzerinde yaşadığı yeryuvarını veya onun bir parçasını

tanıma merakı, ikincisi ise mekâna dayalı çeşitli faaliyetlerin gerçekleştirilebilmesi,

gereksinimlerin karşılanabilmesi için yeryüzünün tanımlanması zorunluluğudur.

Yeryüzü koordinat sistemleri ile tanımlanır. Jeodezik astronomi ve uydu

jeodezisi dışında, bir nesne; üç boyutlu, iki boyutlu veya tek boyutlu bir koordinat

sisteminde değerlendirilir. Jeodezik astronomi ve uydu jeodezisinde bu sistemlere

ayrıca zaman boyutu eklenir.

Sözü edilen bu koordinat sistemlerinin kaynağı, yeryuvarı ya da onu

simgeleyen jeoit ve elipsoittir. Yeryuvarının modeli olarak jeoit ve elipsoit alınmasının

temel nedeni homojen olmayan yapısı ve düzensiz topoğrafyasıdır.

Klasik yersel ölçmeler fiziksel bir ortamda yapılır ve ölçüler bu ortamın etkisi

altındadırlar. Bu nedenle gözlemleri tanımlayabilecek koordinat sistemleri biz farkında

olmadan kendiliğinden oluşmaktadır. Bu tür sistemlere doğal koordinat sistemleri,

gözlenen elemanlara da doğal koordinatlar adı verilir. Tüm ölçülerin tek bir yüzey

üzerinde değerlendirilmesi istenir. Bu yüzey elipsoit ya da jeoit olabilir.

Yatay konum ağları için jeoit, düzensiz bir yüzey niteliğini taşımakta,

geometrik olarak ona en çok benzeyen elipsoit tercih edilmektedir. Çünkü gözlemleri

etkileyen fiziksel doğa olaylarını ve ölçüleri, yeterince tanımlanamamış jeoit yüzeyi

üzerinde modellendirmek ve değerlendirmek olanaksızdır. Bu nedenle yatay konum için

hesap yüzeyi olarak elipsoit alınır.

Yükseklikler için referans yüzeyi olarak elipsoit yerine jeoit kullanılmaktadır.

Elipsoidal yüksekliklerin kullanılabilmesi için jeoit ile elipsoit arasındaki aykırılıkların,

yani jeoit ondülasyonlarının bilinmesi gerekir. Günümüzde, gelişen ölçme teknikleri

2

sayesinde jeoit ondülasyonlarının belirlenmesi kolaylaşmıştır. Jeoit yüzeyi tanımı

gereğince durgun deniz yüzeyi ile çakışır.Yatay konum belirlemedeki gibi düşey konum

belirlemede de her ülke farklı datum kullanmıştır. Yani tüm ülkeler tek bir noktayı

yükseklikler için başlangıç noktası olarak kullanmamış, her ülke kendisine en uygun

olanını seçerek kendi datumunu oluşturmuştur.

Dünyadaki küreselleşme, jeodezi açısından da yaşanmaktadır. Bu çerçevede

farklı datumların birleştirilmesi ve verilerin bir arada değerlendirilmesi gerekli

olmaktadır. Uydu jeodezisi tekniğinin uygulamaya girmesi ve yeryuvarının uzaktan

değerlendirilmesiyle ülke sınırlarını aşan geniş alanlarda veri üretimine geçilmiştir.

Özellikle Global Konumlama Sistemi (GPS) ile tek bir referans sisteminde (WGS84

elipsoidi) bağıl konumlamada yakalanan yüksek doğruluk yeni jeodezik ağların

oluşturulmasına, eskilerin de yenilenmesi ve iyileştirilmesine olanak tanımıştır. Uydular

aracılığıyla üretilen konum bilgileri ülke sistemlerine dönüştürülerek yersel veriler ile

bütünleştirilebilmektedir.

Ancak burada karşılaşılan kimi sorunlar vardır. Yukarıda açıklandığı gibi

kullanılmakta olan ülke sistemi üç boyutlu bir sistem değildir. Yatay ve düşey konum

koordinatları farklı referans yüzeylerine dayanır. Uydu tekniğiyle üretilen koordinatlar

(başka referans sisteminde) ise üç boyutludur. Geçerli ülke koordinat sistemiyle

bağlantı için özellikle ortometrik yüksekliklerin elipsoit yüksekliklerine (ya da tersi),

dönüştürülebilmesi gerekir. İşte bu sorunlar çeşitli dönüşüm modelleriyle

çözülebilmektedir. Ancak uygulanan dönüşüm modeli eldeki verilerin özelliğine ve

amaca uygun olmalıdır.

3

2. KOORDİNAT SİSTEMLERİ

Yeryüzündeki bir nokta ancak bir koordinat sisteminde tanımlanabilir. Klasik

ya da uydu ölçmeleriyle elde edilen koordinat bilgileri yardımıyla nokta, sistemin

başlangıç noktasından geçen düzlemlere göre, ya düzlemlere olan dik uzaklıklarla ya da

noktayı orjine bağlayan doğrultuda uzunluk ve bu doğrultunun düzlemlerle yapmış

olduğu açılarla gösterilir. Sırasıyla bu gösterim türlerine Dik Koordinat Yöntemi ve

Kutupsal Koordinat Yöntemi adı verilir (Şekil 2.1).

P

P’y

y

βs

α

z

x

o

z

x

Şekil 2.1 Dik ve kutupsal koordinatlar

Uzaydaki bir nokta ister dik, ister kutupsal koordinat yöntemiyle gösterilsin her

şeyden önce bu tanımlamanın yapılacağı bir koordinat sistemi gereklidir. Jeodezi

biliminde önemli konulardan biri de koordinat sistemi oluşturmaktır. Bu konudaki

çalışmalar, hem yeni sistemlerin hem de var olanların geliştirilmesi yönünde

günümüzde halâ sürmektedir.

Yeryuvarının homojen bir yapıya sahip olmaması ve bir takım fiziksel

etmenlerden etkilenmesi, yeryuvarına bağlı bir koordinat sisteminin tanımını

güçleştirmektedir. Bu zorluk gerçeğe yakın olmak koşuluyla, yapay koordinat

sistemlerinin tanımlanmasını gerektirmiştir. Klasik yersel gözlemler yeryuvarına

4

dayandığından, fiziksel bir doğa olayı olarak kabul edilirler ve somut anlamda

yeryuvarına bağlı bir koordinat sistemiyle ilişkilidirler. Bu nedenle doğal sistemi yok

sayarak, yapay sistemi kullanmak ya da onu yeğ tutmak kabul edilemez. Model

koordinat sistemi, fiziksel yeryüzünde yapılan gözlemlerin ilgili referans sisteme

indirgenmesiyle gerçekleştirilir.

Bu çerçevede, jeodezide kullanabileceğimiz koordinat sistemleri iki ana temele

dayanır:

- Fiziksel gözlemlere dayanak olan doğal koordinat sistemleri

- Hesaplamalara dayanak olan yapay koordinat sistemleri.

Her iki durumda koordinat sistemlerinin başlangıçları ve eksenlerinin yönleri

farklıdır. Bu sistemler yeryuvarına fiziksel açıdan en çok benzeyen jeoit ve yine

yeryuvarına geometrik açıdan en çok benzeyen dönel elipsoidin datumunu taşırlar.

Bunlardan ayrı olarak yine yeryüzüne bağlı olmak üzere, uydu ve diğer gök

cisimlerinin koordinatlandırılmasında kullanılan koordinat sistemleri de vardır.

Konumuz gereği bu koordinat sistemleri de tanıtılmaya çalışılacak ve bu sistemlerin

birbirleriyle olan ilişkileri incelenecektir.

2.1. Doğal Koordinat Sistemleri

Fiziksel anlamda var olan, yeryuvarının ağırlık merkezinin ya da yeryüzündeki

bir noktanın başlangıç olarak kabul edildiği üç boyutlu dik koordinat sistemleri olarak

tanımlanabilir. Ölçmeciler tarafından yapılan jeodezik gözlemler bu koordinat

sistemleriyle ilişkilidir.

Sistemin başlangıç noktasının yeryuvarının ağırlık merkezinde ya da

yeryüzündeki bir noktada seçilmesi, tanımlanacak nesnelere bağlıdır. Bir ülke veya

yeryuvarı ölçmesi yapılacaksa ağırlık merkezli koordinat sistemi, yerel anlamda küçük

5

bir bölge ölçmesi yapılacaksa yeryüzündeki bir noktanın merkez olarak kabul edildiği

koordinat sistemi kullanılır.

2.1.1. Global Astronomik Dik Koordinat Sistemi (X, Y, Z)

Koordinat sisteminin başlangıcı yeryuvarının fiziksel olarak tanımlanan ağırlık

merkeziyle çakışır. Z ekseni yeryuvarının ortalama dönme eksenidir ve pozitif yönü

ortalama kuzey kutup doğrultusudur. X ekseni, dönme eksenine yeryuvarının ağırlık

merkezinde diktir ve ortalama astronomik ekvator düzlemi ile Greenwich meridyen

düzlemine paralel sıfır astronomik meridyen düzleminin arakesitidir. Y ekseni de bir

sağ sistemi oluşturmak üzere, X ekseninden ekvator üzerinde 90o doğuya açılan bir

doğrultudadır. Şekil 2.2 Koordinat sistemini ayrıntılı bir biçimde göstermektedir.

Şekil 2.2 Global astronomik dik ve eğri koordinat sistemleri

2.1.2. Doğal Eğri Koordinat Sistemi (Λ, Φ, W)

Yeryüzündeki bir P noktasının doğal eğri koordinatları; astronomik boylam Λ,

astronomik enlem Φ ve potansiyel W global astronomik dik koordinat sistemiyle ilişkili

büyüklüklerdir (Şekil 2.2.).

6

P noktasındaki çekül doğrultusu (gravite vektörünün doğrultusu) ile P’nin

astronomik meridyen düzlemi içinde ölçülen ekvator düzlemi arasındaki açı, astronomik

enlem Φ ve ortalama Greenwich meridyen düzlemi ile P’nin astronomik meridyen

düzlemi arasındaki açı, astronomik boylam Λ dır. Λ ekvator düzleminde doğu yönünde

artar (0 ≤ Λ< 2Π).

Yeryüzü noktaları arasındaki potansiyel farkları da ölçüler yardımıyla

belirlenebilir. Bunun için nivelman geçkileri boyunca ayrıca gravite ölçüleri gereklidir.

Φ, Λ, W yeryuvarının gravite alanının doğal koordinatları olarak adlandırılır. Bir P

noktasının konumu ona ilişkin Φp , Λp , Wp parametreleriyle saptanabilir. P birbirine dik

olmayan eğrisel Φ=Φp=sabit , Λ=Λp=sabit , W= Wp=sabit koordinat yüzeylerinin

kesişim noktasıdır.

Astronomik enlem ve boylam (astronomik koordinatlar), uzayda çekül

doğrultusunu tanımlayan parametrelerdir. İlk iki koordinat, astronomik gözlemler ile

bulunabilir. Yıldızlara yapılan gözlemlere almanaklar yardımıyla getirilecek

düzeltmeler neticesinde noktanın enlem ve boylamı elde edilir. Jeodezik amaçlar için

büyük önemi olan bu noktalar yeryüzünde her ülke için yeterli yoğunluk ve dağılımda

belirlenmiştir. Jeodezik açıdan bu noktalar;

- Ülkeler için ulusal datum belirleme çalışmalarında,

- Astrojeodezik jeoit belirlemelerinde,

- Ülke nirengi ağlarının yöneltilmesinde,

- Doğrultu gözlemlerinin indirgenmesi gibi çalışmalarda kullanılırlar.

2.1.3. Yerel Astronomik Dik Koordinat Sistemi (e*, m*, n*)

Yeryüzündeki bir noktanın başlangıç kabul edildiği bir sistemdir. P

noktasından geçen nivo yüzeyinin bu noktadaki normali ya da çekül doğrultusu,

koordinat sisteminin n* ekseni kabul edilir. Eksenin pozitif doğrultusu, noktaya kurulan

7

jeodezik aletin başucu doğrultusudur ki, aynı zamanda önceki koordinat sistemlerinden

tanıdığımız Z eksenine karşılık gelir. Koordinat sisteminin dayandığı esas doğrultu

noktadan geçen nivo yüzeyinin bu noktadaki normalidir. Noktadan geçen nivo yüzeyine

bu noktada teğet düzlem içerisinde kalan ve kuzeye yönelen doğrultu e* eksenini

(astronomik kuzey doğrultusu); bu teğet düzlemde e* eksenine dik, yönü astronomik

doğuya yönelik doğrultu da m* eksenini gösterir.

2.1.4. Yerel Astronomik Kutupsal Koordinat Sistemi (α*, β*, l*)

P1’

α*

β*

P

P1

m*

n*

e*

l*

Şekil 2.3 Yerel astronomik dik ve kutupsal koordinat sistemleri

Bir önceki koordinat sisteminde hedef noktasını başlangıç noktasına bağlayan

doğrultuya göre tanımlanan elemanlardan yararlanılır. Astronomik azimut α*; yatay

düzlem üzerinde astronomik kuzey doğrultusu ile hedef doğrultusunun yataydaki

izdüşümü arasındaki açı, zenit uzaklığı β*; başucu doğrultusu ile başlangıç noktasını

hedefe bağlayan doğrultu arasındaki açı ve son olarak da başlangıç noktası ile hedef

arasındaki l* uzunluğu, noktayı tanımlayan parametrelerdir.

Koordinat sistemini doğal dik koordinat sisteminden ayıran özellik, sol sistem

olmasıdır.

8

2.2. Referans Koordinat Sistemleri

Matematiksel olarak ifade edilemeyen yeryüzünün ve bu yüzeyde gerçekleşen

çeşitli doğa olaylarının etkisindeki gözlemlerin bundan önceki başlıklar altında

tanıtılmış olan koordinat sistemlerinde değerlendirilmesi zordur. Bu sistemlerin

kullanılması, bozucu etkilerin yeterli doğrulukla modellendirilebilmesi durumunda

olanaklıdır Ancak karmaşık yeryüzü modellendirilse bile bu, ona geometrik açıdan çok

benzeyen dönel elipsoitten daha sade bir yüzey olmayacak ve matematiksel ifadeler

daha karmaşık hale gelecektir.

Yaşanan bu güçlük, ancak yeryuvarına çok benzeyen, matematiksel olarak

kolay ifade edilebilen bir yüzeyle çözülebilir. Jeodezinin tarihsel gelişimi içerisinde bu

konu hep güncel kalmıştır. Yeryuvarı yerine kutuplarda basık bir meridyen elipsinin

kendi etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel elipsoidin kullanılması gerektiği

anlaşılmıştır. Yapılan hesapların bu yüzeye dayandırılması nedeniyle yapay koordinat

sistemlerinin de elipsoide göre tanımlanması gerekir.

2.2.1. Global Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (U, V, W)

Boyutları belirlenmiş olan bir dönel elipsoidin merkezi, koordinat sisteminin

başlangıcıdır. Doğal dik koordinat sistemine karşılık gelmesi açısından, dönel elipsoidin

merkezi ve küçük ekseni, bu sistemi büyük oranda tanımlar. Dönel elipsoidin dönme

ekseni veya küçük eksenin merkezden kuzey kutup noktasına doğru olan kısmı,

sistemin pozitif W eksenini oluşturur. Elipsoit yüzeyinde Greenwich’e karşılık gelen

meridyen düzlemi ile elipsoidin ekvator düzleminin arakesiti U eksenini ve ekvator

düzlemi üzerinde sağ el koordinat sistemine uygun olarak U ekseninden doğuya doğru

90o açılan doğrultu V eksenini oluşturur.

Sistemin koordinat parametreleri u, v, w olup Şekil 2.4’ te gösterilmiştir.

9

h

ϕλ

P

U

Greenwichmeridyenineparalel

vu

w

V

WP’ nin jeodezikmeridyen düzlemi

Elipsoitnormali

Şekil 2.4 Elipsoidal dik ve eğri koordinat sistemleri

2.2.2. Global Jeodezik Eğri Koordinat Sistemi (ϕ, λ, h)

Dönel elipsoit üzerindeki noktaların konumları meridyen elipsleri ve paralel

daireler ile tanımlanır. P noktası bu noktadan geçen elipsoit normali ile P’den W

eksenine çizilen paralelin belirlediği jeodezik meridyen düzlemi içinde bulunur (Şekil

2.4). P noktasından geçen elipsoit normalinin P’nin jeodezik meridyen düzlemi içinde

ekvator düzlemi ile yaptığı ϕ açısına jeodezik enlem, P’den geçen meridyen düzleminin

Greenwich’e karşılık gelen meridyen düzlemi ile U ekseninden itibaren doğuya doğru

yaptığı ekvatoral açı, jeodezik boylam λ ve üçüncü koordinat olarak da P noktası ile

normalin yüzeyi deldiği nokta arasındaki h uzunluğuna elipsoidal yükseklik adı verilir.

2.2.3. Yerel Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (e, m, n)

Astronomik yerel dik koordinat sistemine karşılık olarak oluşturulmuş bir sol

sistemdir. Başlangıcı yeryüzünde bir noktadır. P noktasından geçen elipsoit normalinin

elipsoidin dışına doğru uzanan jeodezik başucu doğrultusu n ekseni, P’nin jeodezik

meridyen düzlemi ile P de elipsoit normaline dik düzlemin arakesiti e ekseni (yönü

jeodezik kuzey doğrultusunda), n ve e eksenlarine dik jeodezik doğuyu gösteren

10

doğrultu m eksenidir. Astronomik yerel dik koordinat sisteminde olduğu gibi yüzey

üzerindeki her nokta bu sistemin başlangıcı olabilir (Şekil 2.5).

2.2.4. Yerel Jeodezik Kutupsal Koordinat Sistemi (α, β, l)

U

m

nJeodezik doðu

Jeodezikbaþucu

Jeodezik kuzey

e

ϕλ

V

W

α

β

P0

P’

P

m

ne

l

P

Şekil 2.5 Elipsoidal yerel dik ve kutupsal koordinatlar

Jeodezik kutupsal koordinatlar yerel dik koordinat sisteminde hedef noktasını

merkeze bağlayan doğrultu yardımıyla tanımlanır. Bu koordinatlar elipsoit üzerinde

hesap yaparken karşımıza sıkça çıkar. Başlangıç noktasından geçen meridyen veya

kuzey ekseni ile hedef doğrultusunun yatay düzlemdeki izdüşümü arasındaki α açısı

jeodezik azimut, elipsoit normali ile hedef doğrultusu arasındaki β açısı, jeodezik zenit

uzaklığı ve başlangıcı hedefe bağlayan doğrunun l uzunluğu noktayı tanımlayan

kutupsal parametrelerdir.

2.3. Referans Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler

2.3.1. Dik Koordinat Sistemi İle Eğri Koordinat Sistemi Arasındaki İlişkiler

Bir noktanın, X, Y, Z dik koordinatlarıyla ϕ, λ, h eğri ya da başka bir deyişle

coğrafi koordinatları ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkinin önemi büyük

11

olduğundan aralarındaki dönüşüm bağıntılarının ortaya konması gerekir. Şekil 2.6’ ya

göre coğrafi koordinatlardan dik koordinatlara,

N

ϕλ

h

b

a

Y

X

Z

X

Y

Z

P’

P

Şekil 2.6 Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar

X N h= +( ) cos cosϕ λ (2.1a)

Y N h= +( ) cos sinϕ λ (2.1b)

ϕsin2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= hN

abZ (2.1c)

bağıntıları ile geçilebilir. Burada,

a: Meridyen elipsinin büyük yarıekseni

b: Meridyen elipsinin küçük yarıekseni

ve

ϕϕ 2222

2

sincos ba

aN+

= (2.2)

12

elipsoit normalinin elipsoit yüzeyini deldiği nokta ile normalin Z eksenini kestiği nokta

arasındaki uzunluk, meridyen eğrilik yarıçapıdır.

Problemin tersi ele alındığında yani elipsoidal dik koordinatlardan coğrafi

koordinatlara geçilmek istenirse, çözüm, kapalı formüller ve iterasyon olmak üzere iki

yolla gerçekleştirilebilir. Kapalı formüller yardımıyla problem tek işlem adımıyla

çözülmesine karşın, iterasyonla çözüme gitmek jeodezide sık başvurulan bir yöntemdir.

Burada da gösterildiği gibi iterasyon yöntemi bir yazılım için oldukça uygundur. Ancak

iterasyon sadece ϕ elipsoidal enlem değerinin hesaplanmasında kullanılır ve kesin

enlem bulunduktan sonra h elipsoidal yüksekliği en son değer olarak hesaplanır.

Kapalı bağıntılar,

ϕθ

θ=

+

+ −arctan sin

cos

,Z e bX Y e a

2 3

2 2 2 3 (2.3a)

λ = arctan YX

(2.3b)

h X Y N=+

−2 2

cosϕ (2.3c)

ile verilir. Eşitliklerde geçen büyüklükler,

e a ba

22 2

2=− (2.4a)

e a bb

,22 2

2=− (2.4b)

sırasıyla kullanılan elipsoide bağlı 1. ve 2. eksentrisite değerleridir. Ayrıca,

θ =+

arctan ZY b

aX 2 2

(2.5)

13

dir (Hofmann et al, 1992).

ϕ, λ, h koordinatlarının iterasyon yöntemiyle hesabı için (2.1) bağıntıları

kullanılır. (2.1) eşitlikleriyle

ϕ

ϕ

cos)(

sin2

2

22 hN

hNab

YX

Z+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

oluşturulursa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

hNabYX

hNZ

2

222

)(tanϕ (2.6)

elde edilir. Meridyen eğrilik yarıçapının enleme bağlı olması nedeniyle bu eşitlikten

enlemin hesaplanması olanaklı değildir. Bunun için,

ba

a ba

e2

2

2 2

221= −

−= −1 (2.7)

eşitliğinden yararlanılır ve bu eşitlik (2.6)’ da yerine konulursa,

12

222221

1tan

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+

=hN

NeYX

Z

hNNeYX

Zϕ (2.8)

çıkar.

Meridyen eğrilik yarıçapının elipsoidal yüksekliğe göre çok büyük olması

nedeniyle N/(N+h) değeri 1’e oldukça yakındır. (2.8)’ de N/(N+h) ≈ 1 alınırsa,

tan( )

( )ϕ0 2 22 11=

+− −Z

X Ye (2.9)

14

ilk yaklaşık ϕ0 değeri hesaplanır. Bundan sonra (2.2) ve (2.3c) ile N0 ve h0 değerleri

hesaplanır ve (2.8)’e göre yeni bir ϕ değeri elde edilir. Bu ϕ değeriyle bir önceki

arasındaki fark öngörülen sınır değerinden küçük kalıncaya dek iterasyona devam edilir.

İterasyonda yakınsama N/(N+h) büyüklüğünün 1’e yakınlığına bağlıdır.

Elipsoidal yükseklik h büyüdükçe iterasyon sayısı da artacaktır.

2.3.2. Yerel Koordinat Sistemleri İle Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki

İlişkiler

Yerel jeodezik dik koordinatlar ile kutupsal koordinatlar arasındaki ilişki

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ββαβα

cossinsinsincos

l

nme

(2.10)

Şekil 2.7’den kolayca yazılabilir.

Kutupsal koordinatlardan yerel dik koordinatlara geçildikten sonra P1

noktasının global jeodezik dik koordinatlarının bulunması istenebilir. Başlangıç

noktaları ve eksen doğrultuları birbirinden farklı olan bu iki koordinat sisteminin önemli

bir özelliği birinin sağ (global jeodezik dik koordinat sistemi) diğerinin sol sistem (yerel

jeodezik dik koordinat sistemi) olmasıdır. Dönüşümün yapılabilmesi için öncelikle her

iki sistemin eksenleri aynı yöne ve doğrultuları paralel duruma getirilmelidir. Yerel dik

koordinat sisteminin global jeodezik dik koordinat sisteminin merkezine ötelenmesiyle

de dönüşüm tamamlanır.

15

h

W

W

V

V

m

e n

U

U

ϕλ

α β P1’

P1

P0

l

Şekil 2.7 Elipsoidal dik ve yerel koordinat sistemleri

Yerel dik koordinat sistemi n ekseni etrafında (180-λ) kadar döndürülürse,

dönme matrisi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−=−

1000cossin0sincos

)180(3 λλλλ

λR (2.11)

olur ve e ekseni U ekseninin yönüne gelir. İkinci adımda m ekseni etrafında (90-ϕ)

kadar döndürme ya da

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=−

ϕϕ

ϕϕϕ

sin0cos010

cos0sin)90(2R (2.12)

dönme matrisi ile sistemlerin eksenleri birbirlerine paralel duruma getirilir. Ancak m

ekseninin yönü V ekseni ile zıt durumda kalmıştır. m ekseninin yönü yansıma matrisi,

16

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

100010001

2S (2.13)

ile V ekseninin yönüne çevrilir. Uygulanan tüm işlemler bir arada toplanırsa, yerel

jeodezik dik koordinat sistemindeki bağıl koordinat vektörünü global dik koordinat

sistemine dönüştüren

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=−−=

ϕϕϕλλϕλϕλλϕλ

λϕsin0cos

cossincossinsincoscossinsincos

)180()90( 322 RRSA (2.14)

matrisi elde edilir. Global jeodezik dik koordinat sistemindeki bağıl koordinat

vektörüne ΔU denirse,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Δ

nme

AU (2.15)

olur. Yerel dik koordinat sisteminden global jeodezik dik koordinat sistemine,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒Δ+=

nme

AWVU

UUU

0

0

0

0

WVU

(2.16)

eşitliğiyle geçilir. Burada,

U :Dönüştürülen noktanın global jeodezik dik koordinat sistemindeki koordinat

vektörü,

U0 : Yerel dik koordinat sisteminin başlangıç noktasının global jeodezik dik

koordinat sistemindeki koordinat vektörüdür.

17

2.4. Uydu Jeodezisinde Kullanılan Referans Koordinat Sistemleri

Uzaya ilk uydunun fırlatılmasından bu yana geçen 40 yıllık süre içerisinde

bugün için gelinen nokta, uyduların artık günümüzde hayatımızın ayrılmaz bir parçası

olduğudur. Diğer tüm disiplinlerde olduğu gibi jeodezi bilimi de uydulardan

yararlanmış ve sağladığı olanaklar bakımından klasik jeodezi anlayışını etkileyen bir

değişim yaşanmıştır.

Jeodezi açısından uydulardan beklenenler:

- Jeodin belirlenmesi,

- Tüm dünya için kullanılabilecek ortak bir referans yüzeyinin belirlenmesi,

- Kara hareketlerinin izlenmesi,

- Dünyayı kaplayan bir nirengi ağının oluşturulması, konumlandırılması ve

yönlendirilmesi,

- Kutup hareketleri gibi yeryuvarının kendine özgü hareketlerinin araştırılması

gibi başlıcalarını sayabiliriz.

Tüm bu araştırmalar noktaların mutlak ve bağıl koordinatlarının belirlendiği,

çok büyük uzaklıkların ölçülebildiği uydu teknikleriyle gerçekleştirilir. Yapılan

çalışmaların türüne göre ayrılan farklı uydu tekniklerinden bazıları SLR (Satellite Laser

Ranging), VLBI (Very Long Baseline Interferometry), LLR (Lunar Laser Ranging) ve

NAVSTAR GPS (Global Positioning System) dir.

Önemli konulardan biri, uyduları da kapsayan göksel koordinat sistemi ile

toplanan verilerin değerlendirildiği yersel koordinat sistemlerinin oluşturulması ve

bunlar arasındaki ilişkinin kurulmasıdır. Bu amaçlar için kullanılacak sistemlerin

birincisine Konvansiyonel Göksel Sistem (CIS), ikincisine Konvansiyonel Yersel

Sistem (CTS) adı verilir.

18

Uydu teknikleriyle artan ölçme doğruluğu, buna uygun olarak referans

sistemlerinin yüksek doğrulukla belirlenmesini gerektirmiştir. Yeryuvarı, ağırlık

merkezi ve uydular gök cisimlerinin etkisi altındadır. Yersel ve uydu ölçmeleri ayrı

referans koordinat sistemlerinde tanımlıdırlar. Bu sistemler arasındaki ilişki yeterli bir

doğruluk ile bilinmelidir. Zamana bağlı olarak konumun ve yönün değişmesi nedeniyle

gözlem zamanının kaydedilmesi ve modellenmesi ayrıca önemli bir rol oynar. Özel

koordinat sistemlerine dayanan uydu jeodezisindeki farklı gözlem tekniklerinin

kaydedilmiş olan sonuçları farklı özelliktedir. Çoğu kez bu sistemler arasındaki ilişki,

gözlem tekniklerinin doğruluğundan daha düşük bir doğruluk ile belirlenmiştir. Bu

sistemler arasındaki dönüşümlerin yüksek doğrulukla gerçekleştirilmesi uydu

jeodezisinin en önemli görevlerinden birisidir (Seeber, 1993).

2.4.1. Konvansiyonel Göksel Koordinat Sistemi (CIS)

Uyduların ve diğer gök cisimlerinin uzaydaki hareketleri, ivmesiz, sürtünmesiz

ve düz hareketin sürekli korunduğu bir ortamda gerçekleşir. Newton ve Kepler gibi

fizik ve astronomi bilginlerinin teorileri bu ortamda geçerlidir. Dolayısıyla bu teorilerle

oluşturulacak sisteme inersiyal (hareketsiz) göksel koordinat sistemi demek

mümkündür. Ancak yeryuvarının merkezine dayalı bir koordinat sistemine yarı

hareketsiz de denilmektedir. Bunun nedeni yeryuvarının güneş etrafında farklı

ivmelerde devinmesi, diğer gök cisimlerinin çekim vb. etkilerinin yeryuvarının

merkezine yansımasıdır.

Konvansiyonel göksel koordinat sistemi T0 anı olarak kabul edilen, Barisentrik

Dinamik zamana ait 1 Haziran 2000 yılı saat 12’ye göre tanımlanmıştır. Bu epoktaki

yermerkezi, koordinat sisteminin başlangıcıdır ve ortalama kutup noktası koordinat

sisteminin Z ekseninin yönünü belirler . Ortalama kutup noktasının bağlı olduğu

ortalama ekvator bu andaki ekinoks denklemi ile belirlenir. Sistemin X ekseni ortalama

ekvator ve ekliptiğin kesişim noktası olan ilkbahar noktasından geçer. Üçüncü eksen de

sağ el koordinat sistemini tamamlayacak şekilde yerini alır.

19

Sistemin göksel olarak tanıtılması, uzaydaki gök cisimlerinin bu sistemde

değerlendiriliyor olmasındandır. Bütün cisimler r yarıçaplı birim küre üzerindeymiş gibi

düşünülür ve tanımlaması bu şekilde yapılır. Yapay uydular hariç diğer tüm gök

cisimleri yeryuvarından tanımlanamayacak kadar uzaktır. Bu açıdan küre sonsuz

yarıçaplı gibi düşünülebilir. Ancak yapay uyduların yeryuvarından değişken r

uzaklığında olduğu bilinmektedir.

Bu koordinat sisteminde gök cismi, α rektesensiyonu, δ deklinasyonu ve r yer

vektörü ile tanımlanır. Rektesensiyon, gök ekvatoru üzerinde ilkbahar noktasından

başlayarak gök cisminden geçen meridyen düzlemine kadar olan açıdır. Deklinasyon,

ekvator düzleminden başlayarak gök cisminin yer vektörüne kadar meridyen düzlemi

içindeki açıdır. r yer vektörü ise yermerkezini gökcismine bağlayan doğrultudur. Bu

parametreler ile dik koordinat sistemi arasındaki ilişkiler,

δ

rs

Z

OrtalamaÝlkbahar

Yer merkezi

Ekliptik

Gök ekvatoru

NCP(Kuzey Gök kutbu)

X

Y

α

Şekil 2.8 Konvansiyonel göksel koordinat sistemi

X= r cosδ cosα (2.17a)

Y= r cosδ sinα (2.17b)

Z= r sinδ (2.17c)

20

ile verilir (Şekil 2.8). Bu eşitliklerin sağ yanında geçen parametrelerin hesabı için

(2.17)’den

r X Y Z= + +2 2 2 (2.18a)

α = arctan YX

(2.18b)

δ =+

arctan ZX Y2 2

(2.18c)

bağıntıları elde edilir.

2.4.2. Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi (CTS)

1979 yılındaki ortalama yer kutbu (CIO) bu sistemi belirleyen en önemli

parametre olmuştur. Koordinat sistemi bu noktadan başka, Greenwich meridyeni ve

yeryuvarı merkezi üzerine kurularak bir dünya sistemi hale getirilmiştir.

İlk olarak 1903 yılında belirlenen ortalama yer kutbu bugünlere kadar

konvansiyonel yersel sistemin üçüncü ekseni yani Z eksenini belirlemiştir. Nutasyon

düzeltmelerine geçilmesiyle kutup, konvansiyonel yersel kutup (CTP) adını almış ve

1979 yılındaki ortalama yer kutbu başlangıç kabul edilmiştir (Eren ve Uzel, 1995).

Sistemin merkezi yeryuvarının ağırlık merkezidir. X ekseni ekvator düzlemi

ile Greenwich meridyen düzleminin arakesiti doğrultusunda yerleştirilmiştir. Diğer sağ

sistemlerde olduğu gibi Y ekseni de bu eksenlere göre yerleştirilmiştir (Şekil 2.9).

21

Şekil 2.9 Konvansiyonel yersel sistem ve kutup hareketi

2.4.3. Uydu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşümler

Konvansiyonel göksel sistemden (CIS), konvansiyonel yersel sisteme (CTS)

dönüşüm tamamen eksen dönüklükleri ile gerçekleşir. Sistemler arasında bir öteleme

yoktur, çünkü her iki sistemin de merkezi yeryuvarının merkezidir.

Dönüşümü iki ana grup altında toplamak konunun daha kolay anlaşılmasını

sağlayacaktır. J2000 anı için konvansiyonel göksel koordinat sistemine ait bir gök

cisminin X konum vektörü, t gözlem anı için ekvatoru ve dolayısıyla dönme eksenini

etkileyen presizyon ve nutasyon dönüşüm bağıntıları yardımıyla anlık kutup referansına

dönüştürülür ve birinci grup dönüşüm tamamlanmış olur. t gözlem anındaki kutba Anlık

Göksel Kutup (CEP) adı verilir. Bundan sonra konvansiyonel göksel koordinat

sisteminin X ekseni Greenwich Görünür Yıldız Zamanı (GAST) yardımıyla bu açı

kadar döndürülerek, konvansiyonel yersel sistemin X ekseni ile çakıştırılır. Bu işlemle

konvansiyonel göksel koordinat sisteminin Z ekseni anlık kutup noktasını (CEP)

göstermektedir. Geriye kalan son işlem de anlık kutup noktasının koordinatları

yardımıyla Z ekseninin ortalama kutba taşınmasıyla dönüşüm tamamlanır.

22

Dönüşüm eşitliği genel gösterimle,

XCTS= RM RS RN RP XCIS (2.19)

biçiminde ifade edilir (Hofmann et. al., 1992). Burada sırasıyla,

RP : Presizyon için dönüşüm matrisi,

RN : Nutasyon için dönüşüm matrisi,

RS : Yıldız zamanı için dönüşüm matrisi,

RM : Kutup hareketi için dönüşüm matrisidir.

Presizyon : Güneş, ay ve gezegenlerin çekim kuvvetleri yeryuvarının kendi etrafındaki

dönüşünü etkiler. Bilindiği gibi yeryuvarının ekliptik düzlemi ile ekvator düzlemi

çakışık değildir ve biçimsel olarak yeryuvarı homojen olmayan bir dönel elipsoide

benzemektedir. Güneşin yeryuvarına uyguladığı fakat yeryuvarının güneşe yakın olan

kısmıyla uzak olan kısmının farklı etkisinde kaldığı çekim kuvvetlerine aynı anda

yeryuvarının kendi ekseni etrafındaki dolanımı nedeniyle oluşan merkezkaç kuvvetinin

de eklenmesiyle rotasyon ekseni, ekliptik ekseni etrafında dolanıma zorlanır. Tepesi

dünyanın merkezinde koniye benzeyen bu hareketin periyodu 26000 yıldır.

Buna göre, t0 başlangıç anındaki ilkbahar noktasının konumu ϒ0, t anındaki

konum ϒ ile gösterilirse, RP dönüşüm matrisi Şekil 2.10’ da gözüken z, ϑ, ξ

dönüklükleri ile

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−+−−−−

=

−−=

ϑξϑξϑϑξξϑξξϑϑξξϑξζϑ

ξϑ

cossinsincossinsinsincoscossincossinsincoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscoscos

)()()( 321

zzzzzzzzzz

RRzRR P

(2.20)

23

90o+zXt

ϑϒ

ϒ0

Y0

Yt

Z0

X0

Zt

Ortalama ekvator (t)

Ortalama ekvator (t0)

90o-ξ

Şekil 2.10 Presizyon

verilir. Dönüklük parametreleri zamana bağlı fonksiyonlarla Uluslararası Astronomi

Birliği (IAU) tarafından yayınlanmıştır (Hofmann et al., 1992).

ξ = + +2306 2181 0 30188 0 0179982. . ." " "T T 3T

T

(2.21a)

z T T= + +2306 2181 1 09468 0 0182032. . ." " " 3 (2.21b)

ϑ = − −2004 3109 0 42665 0 0418332. . ." " "T T 3T (2.21c)

Bağıntılarda geçen T, Konvansiyonel Göksel Sistemin J2000 yılının t0 kabul

edilerek ve bu anın t gözlem zamanından çıkarılmasıyla elde edilen değerin Jülyen

yüzyılı cinsinden ifadesidir (1 Jülyen yılı = 36525 ortalama güneş günü).

Nutasyon : Tıpkı güneş gibi, ayın da yeryuvarına uyguladığı çekim kuvveti, dünyanın

rotasyon ekseninin ekliptik kutbu etrafındaki konik hareketin tabanı üzerinde, kutbu

18.6 yıllık periyotlar halinde sinüsodial bir harekete zorlamasına Nutasyon adı verilir.

Gözlem anındaki ortalama ekvatorun ekliptik ile yapmış olduğu açı ε ekliptik eğimidir

ve bu kesişim noktası ϒ ilkbahar noktasıdır. Aynı gözlem anında gerçek ekvator ile

ekliptik arasındaki açı ε+Δε, gerçek ilkbahar noktası ϒt ile gösterilir. İki ilkbahar

24

noktası arasındaki Δψ açısına, nutasyonun boylamı adı verilir (Şekil 2.11). Buna göre

nutasyon etkisi için dönüşüm matrisi,

Δψ

Gerçek ekvator

Δε

εEkliptik

Ortalama ekvatorϒ

ϒt

Şekil 2.11 Nutasyon

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ−Δ

Δ−Δ−=−Δ−Δ+−=

1sin1cos

sincos1)()()( 131

εεψεεψ

εψεψεψεε RRRR N (2.22)

dir. Ekliptik eğim ise,

ε = − − +23 26 21 448 46 8150 0 00059 0 001812o T T' ." ." ." ." 3T (2.23)

ile verilir. Formülde geçen T önceki presizyon düzeltme formüllerinde kullanılan T

değeridir. Diğer parametreler de,

Δ Ω Ω Ωψ = − − − + − −17 1996 1 3187 2 2 2 0 2274 2 2." sin ." sin( ) ." sin( )F D F (2.24a)

Δ Ω Ω Ωε = + − + + −9 2025 0 5736 2 2 0 0927 2 2." cos ." cos( ) ." cos( )F D F (2.24b)

fonksiyonları ile verilmiştir. Bağıntılardaki,

Ω : Ayın çıkış düğümünün ortalama boylamı

25

D : Ayın güneşten olan ortalama elangasyonu

olup,

F = λM - Ω (2.25)

dir.

Yıldız Zamanı :Getirilen presizyon ve nutasyon düzeltmeleriyle bir noktanın konum

vektörü, ortalama gök kutbu ve gök ekvatoru referansından alınmış, gerçek kutup ve

ekvatora dayandırılmıştır. Şekil 2.9’a dikkat edilirse, yıldız zamanı ilkbahar noktasına

göre tanımlanmaktadır. Gerçek göksel koordinat sisteminin X ekseni Greenwich

görünür yıldız zamanı kadar döndürülürse, X ekseni Greenwich meridyenine getirilmiş

olur. Buna göre dönüşüm matrisi,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−==

1000)cos()sin(0)sin()cos(

)(3 GASTGASTGASTGAST

GASTRRS (1.26)

dir.

Kutup Hareketi : Uluslararası Dünya Rotasyon Servisi (IERS) tarafından Ortalama

Yersel Kutup (CTP) noktasına göre Anlık Göksel Kutup (CEP) koordinatları sürekli

olarak izlenmektedir. Önceleri astronomik gözlemler ile belirlenen kutup koordinatları

bugün modern uydu tekniklerinin devreye girmesiyle daha yüksek doğrulukla ve daha

kolay saptanabilmektedir. Sürekli izlenen kutup koordinatlarının, yaklaşık 434 günlük

peryotla ve 10 metreyi aşmayan genlikte değiştiği gözlenmiştir.

Sonuç olarak böyle bir hareketin bir koordinat sistemine dayandırılması

düşünülmüş ve ortalama yersel kutupta (CTP) oluşturulan bir koordinat sisteminde bu

hareket izlenmiştir. Koordinat sisteminin x ekseni meridyen düzlemi boyunca olup, y

ekseni, x ekseninden itibaren pozitif yönde 270o döndürülerek alınmıştır (Şekil 2.9).

26

Son dönüşüm bağıntısı olarak kutup hareketi için

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

−−=

11001

1010

001

10010

01

)()( 12

pp

p

p

p

p

p

p

ppM

yxy

x

yy

x

x

yRxRR

(2.27)

dönüşüm matrisiyle konvansiyonel yersel koordinat sistemindeki gök cisminin konum

vektörü hesaplanmış olacaktır.

27

3. JEOİT ve ELİPSOİT

3.1. Jeoit

En genel tanımıyla jeoidi fiziksel bir referans yüzeyi olarak tanımlayabiliriz.

Bir çok literatürde jeoit, okyanusların, karaların altından da devam ettiği düşünülerek

oluşturulan soyut kapalı bir yüzey olarak tanımlanmaktadır. Böyle bir tanım jeoidin

nasıl bir şey olduğu konusunda iyi fikir vermesine rağmen, gerçek jeodin tanımına

uymaz. Aslında jeoit, durgun deniz yüzeyinden bir takım farklılıklar gösterir.

Jeodezicilerin görevlerinden biri de bu farkı saptamaktır. Bunun nedeni ise ülkelerin,

yükseklik sistemlerini oluştururken durgun deniz yüzeyinden yararlanmış ve deniz

yüzeyi ile jeoidi çakıştırarak bunu başlangıç olarak kabul etmiş olmalarıdır.

Fiziksel açıdan bakıldığında, dolu kaplar örneğinde olduğu gibi deniz

yüzeyinin yüksekliğinin farklı bölgelerde de aynı olması gerektiği düşünülebilir. Fakat

bunun böyle olmadığı ölçmeciler tarafından da ortaya konulmuştur. Örneğin Türkiye’de

Antalya’da sıfır kotuyla başlanan nivelman Trabzon’da sıfır kotuyla

tamamlanamamaktadır. Normal olarak jeoit, deniz yüzeyine bağlı olarak tanımlanırsa

böyle bir aykırılığın olmaması beklenirdi. Dünyanın homojen bir kütle yapısından

farklılık göstermesi deniz yüzeyini de etkilemiş ve sonuçta çekim kuvvetlerinin de

etkisiyle, karalar için söz konusu topoğrafyanın durgun deniz yüzeyi için de geçerli

olduğu anlaşılmıştır.

Jeoidi belirleyen en önemli faktör, g gravite (yerçekimi) kuvvetidir. Bu

kuvvetin yönü, fiziksel yeryüzündeki bir noktaya kurulan aletin çekül doğrultusudur.

⎢g⎮ye gravite büyüklüğü adı verilir ve fiziksel yeryüzünde ölçülebilir. Gravite

ekvatordan kutuplara gidildikçe artar, çünkü merkezkaç kuvveti azalmaktadır. Yaklaşık

olarak, ekvator için gekv ≅ 978 gal (cm/sn2), kutuplar için gktp ≅ 983 gal dir (Leick,

1990). Aslında jeoidi belirleyen parametre sadece yeryuvarının çekim kuvveti değil

merkezkaç kuvvetinin çekim kuvveti ile olan bileşkesi de jeoidi belirler.

28

Jeodin denklemi ağırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kütle

yoğunluğu sürekli olduğu sürece jeodin eğriliği de süreklidir. Yoğunluğun aniden

değişikliğe uğradığı yerlerde jeodin eğriliği de aniden değişir. Bu nedenle jeoit üzerinde

hesaplar yapmak olanaksızlaşır (Yerci, 1994).

W0 olarak tanımlayacağımız eşpotansiyelli jeoit yüzeyi gibi her noktadan farklı

eşpotansiyelli yüzeyler geçer (Şekil 3.1). Farklı noktalardan geçen eşpotansiyel

yüzeylere çekül eğrisi diktir ve bu yüzeylerin normalidir. P noktasından geçen

eşpotansiyelli yüzey W ise jeopotansiyel sayı C ve ortometrik yükseklik H arasındaki

ilişki,

Şekil 3.1 Eşpotansiyelli yüzeyler ve gravite vektörü

CWdHgWWH

−=−= ∫ 00

0 (3.1)

ile verilir. Burada g iki yüzey arasında kalan çekül eğrisi boyunca ortalama gravite

değeridir. Uygulamada H ortometrik yüksekliklerini tam anlamıyla kullanabilmemiz

için, soyut olarak oluşturduğumuz yüzeyi tanımlayabilmemiz gerekir. Bu nedenle

yükseklik (nivelman) güzergahları boyunca gravite değerleri de ölçülerek gravimetrik

jeoit oluşturulmaya çalışılır.

29

Astrojeodezik yöntemler kullanılarak da jeoidin belirlenmesi olanaklıdır. Çekül

doğrultusu uzayda düzgün bir doğru olmayıp uzaysal bir eğridir. Yeryüzüne uygun

sıklıkta dağılmış noktalarda yapılan astronomik gözlemler sayesinde, her hangi bir

noktaya kurulan aletin çekül eğrisine teğet doğrunun yer ekvator düzlemiyle yapmış

olduğu astronomik enlem Φ ve astronomik boylam Λ da belirlenerek çekül sapması

bileşenleriyle de jeoit belirlenebilir (Şekil 3.2).

Şekil 3.2 Astronomik enlem

3.2. Dönel Elipsoit

Üzerinde yaşadığımız yeryuvarı yüzyıllardır insanoğlu için merak konusu

olmuş, şekli ve boyutları sürekli olarak belirlenmeye çalışılmış olup ve halen de bu

konudaki uğraş ve araştırmalar devam etmektedir. Geçmişten günümüze akan süreçte,

yeryuvarı önce düz yani tepsi gibi kabul görmüş daha sonra küre olduğu kanıtlanmış

yıldan yıla gelişen fikir ve düşüncelerle, aslında dünyanın tam bir küre değil, kutuplarda

basık bir küreye benzediği ortaya konulmuştur. Kutuplarda basık olduğu fikri ilk olarak

fizikçiler tarafından ortaya atılmış, o dönemde uzunluk ve açı ölçme sistemlerinin

hassasiyetinin yetersizliğinden dolayı bu görüşün kanıtlanması jeodeziciler açısından

gecikmiştir. Nihayet 18. yy’da yay uzunlukları ölçülerek kanıtlanmıştır. Bundan sonra

yapılması gereken, dünyaya benzeyen kutuplarda basık kürenin yani dönel elipsoidin

boyutlarının belirlenmesidir.

30

Dönel elipsoit, meridyen elipsi adını verdiğimiz elipsin küçük ekseni etrafında

döndürülmesiyle oluşan bir cisimdir. Elipsoidi tanımlayan parametreler meridyen

elipsine ilişkin parametrelerdir. Elipsin boyutları Şekil 3.3’e göre büyük yarıekseni a ve

küçük yarıekseni b dir. Genel olarak bu iki parametre yerine, boyutlarından biri (çoğun

büyük yarıeksen) ve basıklık kullanılır. Elipsoidin basıklığı

α =−a ba

(3.2)

dir. Yine buna benzer şekilde farklı parametreler türetilebilir.

Küçük eksenBüyük eksen

b

a

Şekil 3.3 Meridyen elipsi

Tablo 3.1 Çeşitli uluslararası elipsoitler ve boyutları

Elipsoit

Yılı

a (m)

Büyük yarıeksen

b (m)

Küçük yarıeksen α

Basıklık

Bessel 1841 6377397.1550 6356078.9632 1/299.1528

Clarke 1880 6378249.1450 6356514.9900 1/293.466

Hayford 1910 6378388 6356911.9461 1/297.0

Krassowski 1940 6378245 6356863.0190 1/298.3

WGS72 1972 6378175 1/298.26

GRS80 1980 6378137 1/298.2572

WGS84 1984 6378137 1/298.257224

31

Değişik ülkesel ve bölgesel kabuller dolayısıyla belirlenmiş çok sayıda elipsoit

vardır. Her ülke kendisine uygun bir elipsoit seçmiş ve fiziksel yeryüzünde yapmış

olduğu gözlemlerini bu referans yüzeyine indirgeyip seçilen projeksiyona elipsoidi

açmışlardır. Kullanılan elipsoitlerin bir bölümü Tablo 3.1’de boyutlarıyla birlikte

verilmiştir.

Yukarıdaki tabloda adı geçen Hayford elipsoidi Uluslararası Jeodezi ve

Jeofizik Birliğinin (IUGG) 1924 yılındaki toplantısında uluslararası elipsoit olarak

kabul edilmiştir. Ülkemizde de 1931 yılına kadar Clarke elipsoidi kullanılmış daha

sonra Hayford elipsoidine geçilmiştir.

3.3. Jeoidle Elipsoit Arasındaki İlişki ve Jeodezik Datum

Yeryüzünü kaplayan yatay jeodezik kontrol ağları için, referans yüzeyi olarak

jeoidin kullanılmasının mümkün olmadığı, jeodin matematiksel olarak tarifi

yapılamayan bir yüzey olmasına bağlanmış ve sonuçta jeoide geometrik açıdan en çok

benzeyen elipsoidin kullanılması gerektiği ortaya konmuştur. Ancak yükseklikler için

referans yüzeyi olarak jeoit kullanılmıştır.

Boyutlarıyla jeoide en yakın olması istenen elipsoit ile jeoit arasındaki ilişki

aralarındaki yükseklik farkları ile kurulabilir. Jeoidin elipsoitten olan yüksekliğine, jeoit

yüksekliği (N) ya da jeoit ondülasyonu adı verilir. Global olarak tanımlanan ya da

kullanılan bir referans elipsoidi için jeoit ondülasyon değerleri 100 m den fazla

olmamalıdır (Hofmann et al., 1992). h elipsoidal yüksekliği ve H ortometrik yüksekliği

arasındaki ilişki jeoit ondülasyonu ile verilebilir (Şekil 3.4).

h = H + N (3.3)

Yersel ve uydu gözlemleriyle jeoit ondülasyonlarını belirlemek olanaklıdır.

Yeryüzüne yeterli sıklıkta dağılmış jeoit ondülasyonu değerlerinin kareleri toplamı

minumum olacak şekilde;

32

∑=

=n

iN

1

2 .min (3.4)

ister global anlamda ister yerel anlamda bir elipsoit seçilebilir.

Şekil 3.4 Yükseklikler arasındaki ilişki

Elipsoitle jeoit arasındaki diğer bir aykırılık ta bir P noktasındaki çekül

doğrultusu ile elipsoit normali arasında kalan ε çekül sapmasıdır (Şekil 3.4). Miktar

olarak 30” yi geçmeyen çekül sapmaları ölçme yöntemlerine göre ve kullanılan

elipsoidin konumuna bağlı olarak alt gruplara ayrılırlar. Ölçme yöntemlerine göre,

- Gravimetrik çekül sapması,

- Astrojeodezik çekül sapması

olarak iki şekilde elde edilebilirler.

Çekül sapmaları yöne bağımlıdır ve iki bileşene ayrılırlar. Bunlar,

ϕζ −Φ= (3.5a)

η λ ϕ= −( ) cosΛ (3.5b)

bağıntılarıyla gösterilirler. Bu eşitliklerde geçen ζ meridyen ve, η paralel daire

doğrultusundaki çekül sapmalarıdır. Bu iki bileşen cinsinden,

33

22 ζηε += (3.6)

ile verilir. (Φ, Λ) noktanın astronomik ve (ϕ, λ) ise, jeodezik gözlem değerleridir. Yerel

bir elipsoidin parametreleri genellikle, bilinen çekül sapmalarının kareleri toplamının

minimum ilkesine dayanan dengeleme işlemiyle,

[ ]∑=

=+n

i 1

22 .minηζ (3.7)

belirlenirler. α yönündeki sapma ise,

ε η α ζ αα = +sin cos (3.8)

dır. Astrojeodezik çekül sapmasının bileşenleri Şekil 3.6’da ayrıntılı bir biçimde

gösterilmiştir. Çekül sapmaları, eğer ağırlık merkezi yeryuvarının ağırlık merkeziyle

çakışan bir elipsoide göre hesaplanıyorsa mutlak çekül sapması, yeryüzünün herhangi

bir noktasındaki jeoit normali ile aynı noktadaki elipsoit normalinin çakışık kabul

edildiği yerel elipsoide göre hesaplanıyorsa bağıl (rölatif) çekül sapması adını alır.

Şekil 3.5 Jeoit ve elipsoit arasındak ilişki

34

Şekil 3.6 Çekül sapması bileşenleri

Global ya da yerel bir referans elipsoidi yukarıda açıklanan ilişkilerden

yararlanılarak belirlenir. Kullanılacak elipsoit global bir referans sistemi olarak

düşünülüyorsa jeoidin ağırlık merkezi ve ortalama kutup doğrultusu elipsoidin karşılık

gelen elemanları ile çakıştırılır. Yerel elipsoitte ise jeoidin bir yüzey noktası ile

elipsoidin bir yüzey noktası ya da her iki yüzeyin normalleri çakıştırılır. Ortak

noktaların belirlenmesi sistemin daha iyi kurulmasını sağlayacaktır. Boyutları

belirlenmiş bir elipsoit ve jeoit arasındaki ilişkinin kurulmasına “Jeodezik Datum” adı

verilir.

Bir referans elipsoidini tanımlayan jeodezik datumun parametre sayısı beştir.

Bunlar;

a : Elipsoidin büyük yarıekseni,

f : Elipsoidin basıklığı

ΔX, ΔY, ΔZ : Yermerkezli referans elipsoidinin öteleme bileşenleridir.

35

Elipsoidin merkezi yeryuvarının merkezi ile çakışıyorsa yani öteleme

bileşenleri sıfıra eşitse (ΔX, ΔY, ΔZ = 0) datum mutlak, ötelenmiş ise bağıldır. Mutlak

datumlu olarak kabul edilen elipsoitlerden biri 1980 Jeodezik Referans Sistemidir

(GRS80). Bu elipsoit uydu gözlemleri ile belirlendiğinden geometrik parametreler

yanında fiziksel parametreler ile de tanımlanır. GRS80 elipsoidinin geometrik

parametreleri,

a = 6378137 m

f = 1/298.2572

dir. Bunun yanında fiziksel parametrelerinden, atmosfer içindeki yerçekimi değeri,

GM = 398600.5 km3 s-1

yeryuvarının basıklığına bağlı dinamiksel şekil faktörü,

J2 = 0.00108263

ve ortalama açısal hızı,

w = 7.292115 rad s-1

dir (Seeber, 1993).

3.4. Referans Elipsoitlerinin Konumlandırılması

Elipsoit boyutlarının belirlenmesinden sonra yapılması gereken iş, elipsoidin

jeoide göre konumlandırılmasıdır. Boyutların belirlenmesi ve geometrik olarak jeoide

uygun olmasının önemi kadar yerinin neresi olduğunun önemi gözlemlerin indirgenmesi

bakımından büyüktür. Doğal olarak bu konudaki seçim çalışma bölgesine bağlıdır.

Şayet global olarak kullanılması düşünülen bir referans elipsoidi varsa elipsoidin

merkezinin ve eksenlerinin yeryuvarınınkilerle çakıştırılması daha uygundur.

Çalışılması düşünülen bölge bir ülke veya bir kıta parçası ise deformasyon miktarlarının

36

küçük olmasını sağlamak amacıyla bölgenin ortasındaki bir noktada jeodin

çakıştırılması daha uygun olacaktır. Bu durumda çakışma noktasından uzaklaşıldıkça

elipsoitle jeoit arasındaki sapmalar artacaktır.

Merkezi yeryuvarın merkezinde olan elipsoitlere ortalama yer elipsoidi adı

verilir. Yeryuvarı için bir referans olacak böyle bir elipsoit, geometrik ve fiziksel

parametrelerle belirlenebilir. Geometrik parametreler olarak bilinen büyük yarıeksen a,

ve basıklık f değerleri astrojeodezik ya da gravimetrik yöntemlerle belirlenebilir. Uydu

jeodezisi tekniklerinden yararlanmak suretiyle fiziksel parametreler olarak kabul edilen

dünyanın açısal hızı w, yeryuvarının atmosfer içindeki yerçekimi GM ve dinamiksel

basıklık J2 değerlerinden yararlanılır.

Ülkeler genel olarak kendilerine ya da bölgelerine en iyi uyan elipsoidi

yeğlemişler ve boyutlarını belirlemişlerdir. Boyutları belirlenmiş elipsoidin jeoide göre

konumlandırılması ise bölgenin ortalarında ölçülen astonomik enlem, boylam ve azimut

değerleri ile jeodezik enlem, boylam ve azimut değerlerinin çakıştırılmasıyla sağlanır.

ϕ = Φ (3.9a)

λ = Λ (3.9b)

α = A (3.9c)

(3.9) eşitlikleriyle Şekil 3.7 de görüldüğü gibi sabit bir noktanın jeoit normali

ile elipsoit normali çakıştırılmış, dolayısıyla elipsoit eksenleri de jeoit eksenleriyle

paralel hale gelmiş olurlar. Bunlara ek olarak jeoit yüzeyinin bir noktası ile elipsoit

yüzeyinin bir noktası çakıştırılabilir. Normallerin ve noktaların çakışması,

N = 0 (3.10a)

ε = 0 (3.10b)

sonuçlarını ortaya koyar (Leick, 1990).

37

Şekil 3.7 Yerel elipsoit

3.4.1. WGS84 Elipsoidi

Bu karmaşık dünyada harita, plân, grafik ve jeodezik sayısal üretimler, farklı

yerel ve bölgesel datumlara dayanır. Bu datumlar klasik anlamda tanımlanmışlardır.

Yıllardır kısıtlı tanımlamalar, teknik yetersizlikler nedeni ile karasal hareketler ve doğa

olayları, lineer olmayan distorsiyonlara imkan tanımışlardır. Basit bir şekilde söylemek

gerekirse, bu yerel jeodezik datumlar yaşlanmışlardır. Bu nedenle jeodezik faaliyetler

için global bir referans sisteminin gerekliliği pratik olarak kaçınılmaz olur. Bu

bağlamda, Savunma Harita Dairesi (DMA) aktif olarak 1960 dan bu yana birbirinden

doğruluk yönüyle ayrılan Dünya Jeodezik Sistemlerini geliştirmiştir (WGS60, WGS66,

WGS72 ve WGS84). Geliştirilen bu sistemlere ek olarak hesaplanmış dönüşüm

katsayıları yardımıyla, bu sistemlerin çok sayıdaki yerel ve bölgesel datuma

bağlanılması mümkün olmuştur (Kumar, 1993).

Sistemin eksenlerinin ve konumunun tanıtılmasına gelince;

Orjin : Dünyanın ağırlık merkezinde

Z ekseni : BIH (Bureau International l’Heure) tarafından 1984 yılı için belirlediği

CTP den geçer.

38

X ekseni : Yine BIH tarafından tanımlanmış ortalama Greenwich meridyen düzlemi

ile ekvator düzleminin kesişim doğrultusu olarak tanımlanmıştır.

Y ekseni : Yermerkezli bu koordinat sisteminde ekvator düzlemi üzerinde X

ekseninden doğuya doğru 90o açı yapar konumdadır.

XWGS84YWGS84

Dünyanýnaðýrlýkmerkezi

CTP (1984.0)

ZWGS84

Greenwichsýfýr meridyeni

Şekil 3.8 WGS84 referans sistemi

WGS84 elipsoidi NNSS’e ait 1500 Doppler istasyon noktasının (yeryüzünde

uygun dağılımda noktalar) koordinatları ile gerçekleştirilmiştir.

Tablo 3.2 WGS84’ün parametreleri

Parametreler Sembol Büyüklük Doğruluk

Büyük yarıeksen a 6378137.0 m ± 2 m

Gravite potansiyelinin normal- leştirilmiş ikinci derece zonal harmonik katsayısı

C2 -484.1685 10-6 ± 1.30 10-9

Yeryuvarının açısal hızı w 7292115 10-11 rad/sn ± 0.15 10-11 rad/sn

Yeryuvarının atmosfer içindeki çekim katsayısı

GM 3986005 108 m3/sn ± 0.6 108 m3/sn

39

Bu sistemin jeoit yüksekliklerinin karesel ortalaması 30.5 m ve mutlak hatası

2-6 m arasında değişmektedir. Tablo 3.2’de WGS84’ün parametreleri ve doğrulukları

verilmiştir.

3.4.2. Hayford Elipsoidi

Hayford ve Tittmann, ABD’de ilk olarak 1906 yılında Helmert’in Yüksek

Jeodezi kitabında önerdiği alan yönteminde, Laplace azimutunu jeodezik dengelemeye

uyguladılar. ABD’de John Fillmore Hayford’un (1868-1925) 1909 da hesapladığı

elipsoit,

a = 6378388 ± 18 m

α = 1 / (297.0 ± 0.5)

boyutlarıyla, Uluslararası Jeodezi ve Jeofizik Birliğinin (IUGG) 1924 yılında Madrit’de

yapılan toplantısında “uluslararası elipsoit” olarak kabul edilmiş ve özellikle bilimsel

çalışmalar ve triyangülasyon çalışmalarına yeni başlayan ülkeler için önerilmiştir.

Hayford, bu elipsoidin hesaplanmasında sadece ABD’de ölçülen paralel daire

ve eğik daire yay uzunluklarını kullanmıştır. Hesaplamalarında 381 enlem, 131 boylam

ve 253 ü azimut olan toplam 765 gözlem dikkate alınmış, mevcut 32 Laplace noktası

başlangıç azimutunun düzeltilmesinde kullanılmıştır.

Bu elipsoidi kullanan ülkeler; Arjantin, Danimarka (1928 den itibaren),

Belçika, Yeni Zelanda, Kanarya Adaları, Türkiye, Bulgaristan (1946 dan itibaren),

Finlandiya, Portekiz (1926 dan itibaren), İtalya (1940 dan itibaren). Ayrıca Baltık

çelengi, merkezi ve Avrupa triyangülasyon ağlarının hesabında da bu elipsoit

kullanılmıştır (Şerbetçi, 1996).

40

4. DATUM DÖNÜŞÜMLERİ

Her ülkenin kendi jeodezik çalışmaları için bir koordinat sistemini kurmaya

çalışması, beraberinde farklı datumlu koordinat sistemlerinin oluşmasına neden

olmuştur. Çeşitli ülkeler farklı elipsoitler kullanmışlardır. Esasen datum, önceki

bölümde de anlatıldığı gibi, sadece elipsoit boyutlarının belirlenmesi ve yeryuvarına

göre konumlandırılması, koordinat sistemlerinin tanımlanması problemini

çözememektedir. Sözü edilen datum kavramı, bu özellikleriyle bir jeodezik datum adını

almaktadır.

Oluşturulacak bir koordinat sistemini etkileyen her türlü parametreye genel

olarak datum parametresi adı verilir. Sistemi tanımlayan, başlangıç, dönüklük ve

ölçeğin her biri ayrı bir datum olarak ele alınır. Birçok Avrupa ülkesinin aynı elipsoidi

kullanıyor olmalarına rağmen, kullandıkları koordinat sistemlerinin başlangıçları

(datumları) farklıdır. Örneğin başlangıçları ayrı olması dolayısıyla “Türkiye Ulusal

Datumu” ve “Avrupa Datumu” tanımlamaları kullanılmaktadır. Ayrıca nitelikleri farklı

ölçme yöntemlerinin kullanılması bile datumu etkiler. Uydu ölçmeleri ile klasik yersel

ölçmelerin birbirinden farklı referans yüzeyleri üzerinde değerlendirilmesi de farklı

datumlara neden olmuştur ki, bizim en çok üzerinde duracağımız konuların başında

gelmektedir.

Tüm bu anlatılanlardan ayrı olarak karşılaşılan sorunlardan biri, tüm

datumların yani yatay datum ile düşey datumların ayrı değerlendirilmesini gerektiren

durumların olmasıdır. Bunun nedeni çoğu ülkenin yatay kontrol ağlarını bir referans

elipsoidi üzerinde değerlendirmesine karşın düşey datumunu jeoide göre oluşturmasıdır.

Bu durum ülkemiz için de geçerlidir. Antalya Mareograf istasyonu, başlangıç olarak

kabul edilmiş ve nokta yükseklikleri buna göre belirlenmiştir.

Sistemlerin bu çerçevede kurulmuş olması özellikle uydu verileriyle yersel

verilerin birleştirilmesini güçleştirmektedir. Böyle bir birleştirme jeoitle, elipsoit

arasındaki aykırılıkların hesap edilmesi ve verilerin elipsoide indirgenmesiyle

41

sağlanabilir. Yersel gözlemlere dayalı koordinat sistemleriyle, uydu sistemlerinin

yanında farklı başlangıçlı, farklı referans yüzeyli, koordinat sistemleri arasında

dönüşümlere de gereksinim vardır.

Kısaca dönüşüm, bir koordinat sistemindeki bilgilerin ikinci bir koordinat

sisteminde ifade edilmesi için yapılan bir aktarma işi olarak tanımlanabilir. Bunun

sağlanabilmesi iki sistemde tanımlı ortak bilgiler ya da verilerle olanaklıdır. Bunlar

yardımıyla koordinat sistemleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir modelde parametreler

hesaplanarak dönüşüm gerçekleştirilir. Tüm jeodezik ve astrojeodezik çalışmalarda sık

sık karşımıza dönüşüm problemleri çıkmaktadır. Bu nedenle rutin bir işlem olarak

tanımlanabilir.

Dönüşüm sırasında objenin bazı özelliklerinin korunması istenebilir. Eğer

noktalar arasındaki açıların, başka bir deyişle şeklin korunması isteniyorsa, bu bir

benzerlik dönüşümüdür. Ayrıca uzunluk ya da alanların korunduğu dönüşümler ve afin

dönüşüm de objenin diğer özelliklerinin korunduğu dönüşümlerdir.

Yatay ve düşey datumların ayrı değerlendirildiği durumlarda iki ve tek boyutlu

dönüşümler de problemlerin çözümünde kullanılır.

4.1. Üç Boyutlu Dönüşümler

Uydu ölçmelerinin son on yıl içerisinde sağladığı kolaylıklar sadece mutlak

koordinatların elde edilmesiyle sınırlı kalmamış, özellikle bağıl konumlamada ulaşılan

yüksek doğruluk nedeniyle ülke jeodezik ağlarının iyileştirilmesi ve nokta sıklaştırması

da kolaylaşmıştır. Doğal olarak uydu gözlemleri ile elde edilen verilerle, yersel verilerin

ortak bir sistemde değerlendirilmesi gerekir. Fakat uydu sonuçları, klasik ülke

datumundan farklı global bir datum olarak kabul edilen uydu datumunu taşır.

Dönüşümün gerçekleştirilmesi için her iki datum arasındaki dönüşüm

parametrelerinin hassas olarak belirlenmesi; bilinmeyen parametrelerin sayısından daha

çok sayıda veri içeren ortak noktalar ile dengeleme yapılması gerekir.

42

Bir koordinat sisteminden diğer sisteme dönüşüm ölçek, dönüklük ve öteleme

parametreleriyle gerçekleşir. Dönüşüm için çok sayıda yöntem geliştirilmiştir.

Konform, ortogonal ve afin dönüşüm sadece istenilen dönüşüm özelliklerine göre

yapılan bir ayırımdır.

Uygulamada üç boyutlu dönüşümde yaşanan en büyük sıkıntı yüksekliklerdir.

Eğer uydu koordinat sistemiyle ülke koordinat sistemi arasında bir dönüşüm

yapılacaksa duyarlı bir jeoide büyük gereksinim vardır. Ülke ölçmesinde yersel

ölçülerle belirlenen noktalara ait ortometrik yükseklikler, jeoit yükseklikleri yardımıyla

elipsoidal sistemlere dönüştürülebilmelidir.

4.1.1. Benzerlik Dönüşümleri

4.1.1.1. Bursa-Wolf Modeli

T

X

U

P

X

Y

Z

UV

ψε

ω

W

Şekil 4.1 Üç boyutta benzerlik dönüşümü

Uzaydaki bir P noktasının konumunu, farklı iki koordinat sisteminde

tanımlayalım (Şekil 4.1). Noktanın (U) sistemindeki koordinat vektörü U, (X)

sistemindeki koordinat vektörü X, (U) sisteminin başlangıç noktasının, (X) sistemindeki

koordinat vektörü T, U, V, W eksenleri etrafındaki pozitif (saat ibresinin tersi yönünde)

dönüklükler sırasıyla ε, ψ, ω ve iki sistem arsındaki ölçek faktörü (1+Δ) olduğuna göre

iki sisteme ait koordinat vektörleri arasındaki ilişki,

43

X T RU= + +( )1 Δ (4.1)

ile verilir. Bu aynı zamanda Helmert Transformasyonu olarak da adlandırılan yedi

parametreli bir dönüşüm denklemidir.

(4.1)’ de U ve X koordinat vektörleri çıkarılırsa, geriye dönüklük parametreleri

R(ε, ψ, ω), öteleme parametreleri T(tx, ty, tz) ve ölçek faktörü (1+Δ) kalır. R dönüklük

matrisi, ardışık olarak gerçekleşen üç dönüklüğün bir sonucudur. Sırasıyla U, V, W

eksenleri etrafındaki dönüklükler,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

εεεεε

cossin0sincos0

001)(1R (4.2a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

ψψ

ψψψ

cos0sin010

sin0cos)(2R (4.2b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossin0sincos

)(3 ωωωω

ωR (4.2c)

ile gösterilir ve bu üç dönüklüğün ardışık çarpımı ile, dönüklük matrisi,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−+

=ψεψεψ

ωψεωεωψεωεωψωψεωεωψεωεωψ

coscoscossinsinsinsincoscossinsinsinsincoscossincoscossincossinsincossinsinsincoscoscos

R (4.3)

elde edilir.

Bu yedi parametre başlangıçta bilinmediği için en küçük kareler yöntemiyle

bunların en uygun değerlerinin belirlenmesi yoluna gidilir ve her iki sistemde

koordinatları bilinen en az üç ortak nokta ile bu dengelemeli dönüşüm gerçekleştirilir.

44

Dengelemeye ölçü olarak giren ortak nokta koordinatları ile bilinmeyenler arasında

(4.1) fonksiyonuna uygun olarak

F L F L v dx( , ) ( , ) X X0= + + = 0 (4.4)

koşul denklemleri kurulur. Bu denklemlerde geçen büyüklükler,

L : Dengeli ölçüler (koordinatlar),

X : Dengeli bilinmeyenler (dönüşüm parametreleri),

L : Verilen ortak nokta koordinatları,

v : Koordinat düzeltmeleri,

X0 : Bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri,

dx : Bilinmeyenlerin düzeltmeleri,

dir (Deniz, 1993). Her bir nokta üç koordinat bileşeninden oluştuğuna göre her nokta

için (4.1) eşitliği

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Δ++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000

)1(ZYX

WVU

Rttt

z

y

x

(4.5)

üç adet şart denklemi yazılır. Dönüklük açılarının diferansiyel anlamda küçük

olduklarını düşünecek olursak,

cos cos cossinsinsinsin

ε ψ ωε εψ ψω ωε ψ ε ω ψ ω

≅ ≅ ≅≅≅≅

≅ ≅

1

sin sin sin sin sin 0≅

(4.6)

45

sonuçlarına göre R dönüklük matrisini,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=+=

00

0

100010001

εψεωψω

QIR (4.7)

biçiminde yazabiliriz. (4.7)’yi, (4.5)’de yerine koyarsak,

T I Q U X+ + + − =( )( )1 0Δ (4.8)

elde edilir ve denklem açılıp, ölçek ve dönüklüğe bağlı terimler (çarpımları) gözardı

edilirse sonuç olarak,

T QU U X+ + + − =( )1 Δ 0 (4.9)

elde edilir. Bu denklem sistemi aralarında bilinmeyenlerin de bulunduğu koşullu ölçüler

dengelemesi,

Av Bx w+ + = 0 (4.10)

modeline uymaktadır. Burada;

0X ,LLFA

∂∂

= (4.11a)

B Fx L X

=∂∂ , 0

(4.11b)

w = F(L, X0) (4.11c)

dır. Bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin hepsinin sıfır seçilmesiyle her Pi noktası için,

46

(4.12) 0+

01000010

0001

100100010010001001

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

ZWYVXU

ttt

UVWUWVVWU

vvvvvv

z

y

x

Z

Y

X

W

V

U

ωψε

düzeltme denklemleri yazılır (Leick, 1990).

Ancak koordinat sistemlerinin birbirlerine göre konumları iki şekilde

düşünülmeli ve çözümü de bu durumlara göre yapılmalıdır. Sistemler birbirlerine

diferansiyel anlamda yakınlarsa yukarıdaki işlemlerle bir defa çözüm yeterli olacaktır.

Ancak anlamlı bir aykırılık söz konusu ise, yine aynı şekilde yukarıdaki dengeleme ile

yaklaşık değerler belirlenir ve bundan sonra başta açıklanan (4.1), fonksiyon kabul

edilerek bir önceki dengelemenin dengeli bilinmeyenleri yaklaşık değer alınarak

iterasyonlu çözüm aranır.

4.1.1.2. Moledensky-Badekas Modeli

Bursa-Wolf modelinin değişik bir varyasyonu,

0)()1( 00 =−−Δ+++ XUURUT (4.13)

ile verilebilir. Burada U0 dönüştürülecek nokta kümesinin ortasındaki ya da herhangi bir

yerindeki noktanın (U) sistemindeki konum vektörüdür. Diğer gösterimler, bir önceki

modelin aynısıdır. Önceki modelde olduğu gibi aynı işlemler tekrarlanır, ölçek ve

dönüklük fonksiyonlarının ikinci terimleri göz ardı edilirse (4.13),

47

X

U-U0

UU0

W0

V

V0

T

Z

PW

U0U

Y

X

Şekil 4.2 Moledensky-Badekas Modeli

T U U Q U U U X+ − + − + − =Δ( ) ( )0 0 0 (4.14)

olur. (4.14) eşitliği en küçük kareler yöntemine göre dengelemenin fonksiyonel modeli

olarak düşünülür ve bir nokta için açık yazılırsa,

(4.15) 0Z-WY-VX-U

0)(100)(0010

)(0001

100100010010001001

000

000

000

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−−−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

ωψε

z

y

x

Z

Y

X

W

V

U

ttt

UUVVWWUUWWVV

VVWWUU

vvvvvv

bilinmeyenli koşul denklemleri elde edilir (Leick, 1990).

4.1.1.3. Veis Modeli

Bu model Veis tarafından 1960 yılında geliştirilmiştir (Leick, 1990).

Moledensky-Badekas Modelinde geçen U0 noktasından bu modelde de yararlanılır.

48

Ancak önceki modellerdeki dönüklükler (U) sisteminin etrafında gerçekleşirken, bu

modeldeki dönüklüklerin, başlangıcı U0 noktasında olan yerel jeodezik sistemin (n, e, h)

eksenleri etrafında olduğu kabul edilir. n ekseni, jeodezik meridyene teğettir ancak

pozitif yönü güneye doğrudur. e ekseni, U0 noktasında meridyen düzlemine diktir ve

pozitif yönü doğuya doğrudur. h ekseni ise, n ve e ekseni ile birlikte sağ el sistemini

tamamlar, yani elipsoit normali boyunca pozitif yönü dışarıya doğrudur. n ekseninin

yönünün güneye doğru seçilmesinin nedeni jeodezik dik koordinat sistemi ile aynı

yönlerde olması olarak gösterilebilir. Dönüşüm denklemi (4.13)’ e benzer olarak,

T U M U U X+ + + − − =0 01( ) ( )Δ 0 (4.16)

ile verilir. U0 noktası etrafındaki dönüklükler (η, ξ, α) ve başlangıç noktasının

elipsoidal koordinatları (ϕ0, λ0, h0) ile gösterilirse, (4.16)’ da geçen M matrisi,

M R R R R R R RT T= − −3 0 2 0 3 2 1 2 0 3 090 90( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (λ ϕ α ξ η ϕ )λ (4.17)

ardışık matris çarpımlarından elde edilir (Leick, 1990). Önceki modellerde olduğu gibi

burada da diferansiyel dönüklükler alınırsa,

M M M( , , , , )λ M Iϕ η ξ α α ξ ηα ξ η0 0 = + + + (4.18)

şeklinde basitleştirilir. Burada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

0coscossincoscoscos0sinsincossin0

0000

000

000

λϕλϕλϕϕλϕϕ

αM (4.19a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=0sincos

sin00cos00

00

0

0

λλλλ

ξM (4.19b)

49

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

0cossinsinsincossin0cossinsincos0

0000

000

000

λϕλϕλϕϕλϕϕ

ηM (4.19c)

eşitlikleri geçerlidir. M matrisinin (4.18) den bulunan eşiti, (416)’ da yerine konur

diferansiyel büyüklüklerin çarpımları göz ardı edilirse,

X U U M I U U U X0 0 01+ − + 0+ − − − − =Δ Δ( ) ( )( )( ) (4.20)

dönüşüm modeli elde edilir. (η, ξ, α) ile (ε, ψ, ω) dönüklükleri arasındaki ilişki

aşağıdaki bağıntıyla verilir.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωψε

λϕαξη

)()90( 0302 RR (4.21)

Buraya kadar anlatılan üç boyutlu benzerlik dönüşüm modellerinin bir analizi

yapıldığında, bütün modellerden aynı ölçek faktörü elde edilir. 1. ve 2. model aynı

dönüklük miktarlarını verirler. (4.1) ve (4.13)’ den,

T T U RU2 1 0 1= 0− + +( )Δ (4.22)

öteleme bileşenleri arasındaki eşitlik elde edilir. T1 yani Model 1’ den belirlenen

öteleme vektörü, (X) ve (U) koordinat sistemlerinin başlangıç noktaları arasındaki

geometrik vektöre karşılık gelir. Model 2’ nin öteleme bileşenleri (4.22)’ de gösterilen

U0’ ın bir fonksiyonudur. Model 3’ de Model 2’ deki U0 kullanıldığından, her iki model

de aynı öteleme bileşenlerini verir.

4.1.2. Afin Dönüşüm

Benzerlik dönüşümlerinin en önemli özelliği, ağın dönüşümden önceki şekli ile

dönüşümden sonraki şeklinin aynı kalması, yani açı deformasyonunun olmamasıdır. Bu

50

da eksen doğrultularındaki ölçek miktarlarının eşit olması anlamına gelir. Jeodezik

ödevlerde genellikle bu model kullanılır.

Ancak eksen doğrultularındaki ölçeklerinin farklı olduğu düşünülürse,

dönüşümden sonra ağ distorsiyona uğrayacaktır. Ölçme yöntemlerinin eksen

doğrultularında ölçek farklılığına neden olduğu durumlar ile karşılaşılmaktadır. Örneğin

başka ülkelerde olduğu gibi ülkemizde de üç boyutlu konum belirleme ödevi yatay

konum ve düşey konum bileşenleri biçiminde ayrı ayrı ele alınmıştır. Bu durum yatay

ve düşey ölçeğin farklı olması sonucunu doğurur. Böyle bir farklılığın dönüşümden

sonra da korunması istenirse eksen doğrultularındaki ölçekler bilinmeyen olarak kabul

edilir.

Benzerlik dönüşümünde 3 öteleme, 3 dönüklük ve 1 ölçek bilinmeyeni ile

çözüm aranırken afin dönüşümde 3 öteleme, 3 dönüklük ve 3 ölçek faktörü dönüşümün

bilinmeyen parametreleridir. Önceki modellerde skaler bir büyüklük olan ölçek faktörü

burada bir köşegen matrise dönüşür. Dönüşüm modeli,

URITX )( Δ++= (4.23)

ile verilir. Buradaki ölçek matrisi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ+Δ+

Δ+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔ

Δ+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Δ+

3

2

1

3

2

1

100010001

000000

100010001

)(I (4.24)

biçiminde açık olarak gösterilebilir. Bursa-Wolf modelinde olduğu gibi (ε, ψ, ω)

dönüklükleri diferansiyel anlamda kabul edilir. (4.23) eşitliği, (4.7) ve (4.8)’ e uygun

olarak yazılırsa,

51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ+−Δ+−

−Δ++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ+++=

WVU

ttt

ZYX

UUQUTX

z

y

x

3

2

1

11

1

εψεωψω

(4.25)

elde edilir. (4.25) eşitliğine göre, bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemesinin

fonksiyonel modeli bir nokta için

0Z-WY-VX-U

+

000100000010

000001

100100010010001001

3

2

1

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

ωψε

z

y

x

Z

Y

X

W

V

U ttt

UVWUWV

VWU

vvvvvv

(4.26)

olur. Burada bilinmeyenler: 3 öteleme (tx, ty, tz), ölçek (Δ1, Δ2, Δ3) ve 3 dönüklük

(ε, ψ, ω) dır. U, V, W koordinatları hatasız olarak kabul edilirse, (4.26) dan dolaylı

ölçüler dengelemesinin genel modeli elde edilir.

4.1.3. Üç Boyutlu Dönüşümde Büyük Dönüşüm Parametreleri

Jeodezik uydulamalarda dönüşüm problemleri her ne kadar birbirine benzer

sistemler için karşımıza çıksa da bazen kullanılan koordinat sistemleri arasında büyük

farklılıklar olabilir. Diferansiyel anlamda birbirine yakın kabul edilen sistemler için

dönüşüm formülü basitleştirilebilmektedir. Öteleme, dönüklük ve ölçek miktarları

anlamlı kabul edilebilecek bir büyüklükte ise bilinmeyen parametreleri önceki dönüşüm

52

modellerinden hesaplamak imkansızdır. Dönüşüm parametrelerinin tek işlem adımında

en küçük kareler yöntemiyle hesaplanabilmesi ,yaklaşık değerlerin bilinmesi ile

olanaklıdır. Her iki sistemde verilen ortak koordinatlar dışında böyle bir bilgiye

rastlanılmaz. Dolayısıyla bilinmeyenler ard arda yapılacak dengelemeler ile çözülür.

İlk dengelemede sıfıra çok yakın olduğu kabul edilen dönüşüm parametreleri

(4.12) düzeltme denklemlerinin kurulmasıyla normal denklemlerin çözümü yapılır ve

bilinmeyenler için ilk değerler elde edilir. Hesaplanan parametreler bilinmeyenlerin

yaklaşık değerleri olarak (4.5)’in ölçülere ve bilinmeyenlere göre parsiyel türevleri

alınarak kurulacak düzeltme denklemlerinde kullanılır. Bunun için (4.5)’e göre parsiyel

türevler alındığında denklemin genişlemesi söz konusudur. Denklemin sadeleşmesi

açısından R dönüklük matrisinin dönüklük elemanlarına göre türevleri

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+−++−

=ψεψε

ωψεωεωψεωεωψεωεωψεωε

∂ε∂

cossincoscos0sinsinsincoscossinsincoscossin0cossinsinsincoscossincossinsin0

R (4.27a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

ψεψεψωψεωψεωψωψεωψεωψ

∂ψ∂

sincossinsincossincoscossincossinsinsincoscoscoscoscossincossin

R (4.27b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−−+−−

=ψεψεψ

ωψεωεωψεωεωψωψεωεωψεωεωψ

∂ω∂

coscoscoscossincossincossinsincossinsinsincoscoscossinsincoscossinsinsinsincoscossincos

R

(4.27c)

alınır. (4.5)’in tüm elemanlarına göre alınmış parsiyel türevi ile bir nokta için düzeltme

denklemi,

53

0)1( t

+

100

010

001

100010)1(001

x

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Δ++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−Δ+

−

ZYX

WVU

Rtt

ttt

URURURUR

vvvvvv

R

z

y

z

y

x

Z

Y

X

W

V

U

ωψε

∂ω∂

∂ψ∂

∂ε∂

(4.28)

elde edilir. İlk dengelemeden elde edilen bilinmeyenler, dönüşüm parametrelerinin ilk

yaklaşık değerleri olarak kullanılır ve (4.28) ile tüm ortak noktalar için düzeltme ve

bilinmeyenlerin katsayıları hesaplanır. Normal denklemin çözümü ile elde edilen ikinci

parametre değerleri yine yaklaşık değer olarak kabul edilerek aynı işlem (4.28)’le

yinelenir. Kesin sonuç bulununcaya kadar dengelemeye devam edilerek büyük dönüşüm

parametrelerinin hesabı tamamlanmış olur.

4.2. İki Boyutlu Dönüşümler

İki boyutlu dönüşüm adından da anlaşılabileceği gibi düzlemde gerçekleştirilen

dönüşümlerdir. Burada sözü edilen düzlem, yükseklik kavramının geçmediği bir

yüzeydir.

Bilindiği gibi ülke nirengi ağları yatay ve düşey kontrol ağları olmak üzere iki

grup olarak ele alınmakta ve birbirlerinden bağımsız değerlendirilmektedir. Yatay

kontrol ağlarının datum farklılığını içeren çeşitli oluşumları sürekli güncel kalmış ve

sonuçta düzlem koordinat dönüşümleri ölçmeciler için alışılagelmiş uygulamalar

olmuştur. Bir bölge için özel olarak oluşturulan yerel koordinat sistemi yanında aynı

bölge için ülke koordinat sisteminden söz edilebilir. Bir bölgede yapılan halihazır harita

çalışmalarında öncelikle yerel koordinat sistemi oluşturulması ve daha sonra bu

sistemden ülke sistemine iki boyutlu dönüşümle geçilmesi örnek olarak verilebilir.

Bundan ayrı olarak olaya bir de fotogrametriciler açısından bakıldığında resimler

54

değerlendirilirken resim koordinatları ve makina koordinatları diye iki ayrı koordinat

sistemi kullanılmaktadır.

Global konumlama sistemi (GPS) ile her ne kadar üç boyutlu koordinat üretilse

de klasik yersel ölçmelerde bu sistemin tam bir karşılığı yoktur. GPS ile üretilen

koordinatların eksenler yönündeki ölçeği aynı olmasına rağmen, yersel çalışmalarda

yatay ve düşey datumun birbirinden bağımsız öngörülmesi, ayrıca yatay ve düşey ölçme

tekniklerinin ölçek farklılığına neden olması söylenebilir. Bu nedenle GPS’ in koordinat

sistemi ile onun karşılığı olan yersel koordinat sistemi arasında iki boyutta bir dönüşüm

gerekebilir.

Bu çerçevede iki boyutlu dönüşüm modelleri de incelenecektir.

4.2.1. Benzerlik Dönüşümü

Benzerlik dönüşümünün amacı şeklin bozulmasını önlemektir. Bunun için U

ve V parametrelerine bağımlı X ve Y fonksiyonlarının,

X F U= ( , V) (4.29a)

Y F U= ( , V) (4.29b)

açı koruma koşullarını,

∂∂

∂∂

XU

YV

= (4.30a)

∂∂

∂∂

XV

YU

= − (4.30b)

sağlaması gerekmektedir. Şekil 4.3’ e göre, her iki eksen doğrultusundaki ölçek faktörü

m olarak alınırsa bir noktanın (X) ve (U) sistemlerindeki koordinatları arasında

X c Um Vm= + −1 cos sinα α (4.31a)

55

Y c Vm Um= + +2 cos sinα α (4.31b)

Y

P

X

c2

α

αα

c1

Y

V

V

U

UX

Şekil 4.3 İki boyutlu benzerlik dönüşümü

eşitlikleri kolayca yazılabilir. Görüldüğü gibi dönüşüm 4 parametre ile

gerçekleştirilebilir. Burada,

c1 ve c2 : Öteleme parametreleri ((U) sisteminin başlangıç noktasının (X)

sisteminde koordinatları)

α : Sistemler arasındaki dönüklük açısıdır.

(4.31) eşitlikleri α ve m parametreleri bakımından doğrusal değildir. İşlemleri

kolaylaştırmak için

a = m cosα (4.32a)

b = m sinα (4.32b)

dönüşümü yapılırsa (4.31)’den c1, c2, a ve b’ye göre doğrusal olan

X = c1 + a U - b V (4.33a)

56

Y = c2 + a V + b U (4.33b)

denklemleri elde edilir. Dönüşüm parametrelerinin hesabı için iki sistemde koordinatları

bilinen en az iki noktaya gereksinim vardır. Daha çok sayıda nokta için bilinmeyen

dönüşüm parametreleri en küçük kareler yöntemiyle hesaplanabilir. İki noktanın

koordinatları biliniyorsa,

X1 = c1 + a U1 - b V1 Y1= c2 + a V1 + b U1

X2 = c1 + a U2 - b V2 Y2 = c2 + a V2 + b U2

X2 - X1 = a(U2 - U1) - b(V2 - V1) Y2 - Y1 = a(V2 - V1) + b(U2 - U1)

yazılır. Buradan,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔΔ−Δ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

ba

UVVU

YX

(4.34)

ve sonuç olarak

a U X VU V

=++

Δ Δ Δ ΔΔ Δ

Y2 2 (4.35a)

b UV

=+

Δ Δ Δ ΔΔ Δ

Y - V XU2 2 (4.35b)

elde edilir. Buradan hesaplanan a ve b parametreleri ile (4.33)’den c1 ve c2 değerleri de

bulunur. (4.32a ve b)’den ölçek faktörü

m a b= +2 2 (4.36)

ve dönüklük,

tanα =ab

(4.37)

57

çıkar.

Eğer dönüşüm parametrelerinin hesabı için dengeleme işlemi gerekli ise, c1, c2,

a, b bilinmeyenleri, P(U, V, X, Y) koordinatları düzeltilmesi gereken (hatalı) ölçüler

gibi düşünülerek bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemesinin fonksiyonel modeli,

− + − + + +v a v b dc U aX U0 0 1 0 v da - V db + (c U - b V - X) = 0V 10 0 (4.38a)

− + + + + + =v b a dc V aY 0 0 2 0 0 v v da + U db + (c V + b U - Y)U V 20 0 (4.38b)

ya da

01001

1001

0020

00102

1

00

00 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−−+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−YUbVacXVbUac

dbdadcdc

UVVU

vvvv

abba

Y

X

V

U

(4.39)

elde edilir. Dengeleme için bilinmeyenlerin c10, c20, a0, b0 yaklaşık değerleri (4.33)

eşitliklerinden hesaplanır.

4.2.2. Afin Dönüşüm

İzdüşüm geometrisinde afin izdüşüm, paralel projeksiyonda izdüşüm

düzlemlerinin paralel olmaması halidir. Aynı şekilde dönüşümü düşünülen sistemlerin

bulundukları düzlemler afin iseler artık benzerlik dönüşümü söz konusu olamaz. Bu

durumda bir üçgenin üst dereceli bir ağa bağlanması için en uygun dönüşüm afin

dönüşümdür.

Benzerlik dönüşümü bağıntılarında eksen doğrultuları için farklı dönüklük

açıları ve ölçekler öngörülürse afin dönüşüm eşitlikleri elde edilir.

X = c1 + a1 U - b1 V (4.40a)

Y = c2 + a2 V + b2 U (4.40b)

58

Dönüşümün yapılabilmesi için, a1, b1, c1, a2, b2 ve c2 parametrelerinin hesaplanması

gerekir. Bunun için de en az üç ortak noktaya gereksinim vardır.

Geometrik anlamda böyle bir dönüşüm, bir düzlem üzerinde bulunan bir

şeklin, bu düzleme paralel olmayan başka bir düzlemde paralel izdüşümle izdüşümünü

oluşturmak demektir. Düzlemler paralel olmadığı için paralel izdüşümden sonra şekiller

bozulacaktır. Yalnız paralel doğrular, dönüşümden sonra da paralel kalacaktır. Örneğin

bir karenin izdüşümü bir paralelkenara dönüşür. Ölçek doğrultuya bağlı olarak değişir

(Yaşayan, 1972).

Bilinen nokta sayısı 3’den çoksa katsayılar, dengeleme ile belirlenir. Bunun

için (4.40) denklemi doğrusallaştırılmalıdır. (4.38)’ya benzer biçimde

doğrusallaştırılmış düzeltme denklemleri (bir nokta için)

0

00100001

1001

20202

1011

2

1

2

1

2

1

2020

1001

0 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++

−−++

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

YUbVacXVbUac

dbdbdadadcdc

UVVU

vvvv

abba

Y

X

V

U

(4.41)

yazılabilir.

4.2.3. Küçük Bir Bölgede Elipsoidal Eğri Koordinatlarla Datum Dönüşümü

Elipsoidal eğri koordinatlarla datum dönüşümü için, elipsoidal yüksekliklerin

ya da jeoit ondülasyonlarının dikkate alınmadığı durumlarda iki boyutlu dönüşümden

yararlanılır. Uydu koordinat sisteminde elde edilen dik koordinatlar, yersel sistemin

elipsoidi ile aynı boyutlarda olan elipsoit üzerinden elipsoidal eğri koordinatlara

dönüştürülür ve bu koordinatlar ile yersel sistemin eğri koordinatları arasında dönüşüm

parametreleri hesaplanır.

59

Uydu datumuna ait eğri koordinatların P(ϕn, λn) ve yersel datuma ait

koordinatların P(ϕy, λy) ile gösterildiğini kabul edelim. Öncelikle n sisteminin ortasında

bir merkez alınır ve diğer tüm noktalar bu merkez ile bağlanır. (ϕy - ϕn) ve (λy - λn)

farkları en küçük kareler yöntemiyle dönüşüm parametrelerinin hesaplanmasında

kullanılır. Dönüşüm parametreleri,

dϕc ve dλc : Merkezin öteleme bileşenleri,

dα : Merkeze bağlı doğrultuların dönüklüğü

(1-Δ) : Uzunlukların ölçek faktörüdür.

Tablo 4.1 Elipsoit üzerinde azimut ve uzunluk hesabı

ϕϕ ϕ

=+1 2

2

t = tan ϕ

V2 21= + η

η2 = e’2 cos2ϕ

1 1

3 124

5 1 224

7 112

2

2

=

=

=−

=+

M

η

η

2 1

4 1 924

6 18

8 3 824

2 2

4

2 2

4

2

4

=

=+ −

=−

=+

Nt

Vt

V

V

η η

η

η

( )

2

[ ] [ ]( ) [ ][ ]

[ ] [ ]( ) [ ][ ][ ]( ) [ ][ ]22

22

22

8cos71sin

6cos512

cos11cos

4sin31cos21sin

ϕϕλϕλα

ϕϕλλϕα

ϕϕλϕλα

Δ+Δ+Δ=Δ

Δ+Δ+Δ

Δ=

Δ+Δ−Δ=

S

S

Elipsoit üzerinde iki nokta arasındaki jeodezik azimut ve uzunluk değerleri

(Şekil 4.4) Tablo 4.1’de verilen bağıntılarla hesaplanabilir (Leick, 1990).

60

S

P1

P2

λ2λ1

α1

α2

Δλ

CTP

Şekil 4.4 Elipsoit üzerinde jeodezik azimut ve uzunluk

Tablo 4.1’ de verilen eşitliklerden

( ) ( )22 cossin αα SSS += (4.42)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= −

ααα

cossintan 1

SS (4.43)

α αα

1 2= −

Δ (4.44)

α αα

2 2180= + ±

Δ o (4.45)

elde edilir.

Merkezden Pi’ ye olan jeodezik uzunluk ve azimuttaki değişimler için

dS M d M d N d dci i ic i c ci c i i ic i c= − − − −cos cos cos sin ( )α ϕ α ϕ ϕ α λ λ (4.46a)

61

dMS

dMS

dNS

d dcii

ciic i

c

cici c

i

ciic i i cα α ϕ α ϕ α ϕ λ= + −sin sin cos cos ( )λ− (4.46b)

eşitlikleri geçerlidir. Merkezden dağılan doğrultuların hepsi aynı miktar tarafından

ölçeklendirilir ve ötelenir. Buna göre,

dsci = Δ Sci (4.47a)

dαci = dαc = sabit (4.47b)

yazılabilir. Burada Δ, ölçek değişimi anlamındadır. Belirlenecek parametreler,

xT = [ dλc, dϕc, Δ, dαc ] (4.48)

dir. Gözlemler elipsoidal koordinatların farklarıdır:

d i iy

inλ λ λ= − (4.49a)

d i iy

inϕ ϕ ϕ= − (4.49b)

(4.47)’ ye göre (4.49), (4.46)’ da yerine konursa,

Δ + N i

S M M d Nd

ci i ic iy

in

c ci c i i ic iy

in

i ic c

= − − − − −cos ( ) cos cos sin ( )cos sin

α ϕ ϕ α ϕ ϕ α λ λ

ϕ α λ (4.50a)

dMS

dMS

NS

Sd

cic

cici c

i

ciic i

yin i

ciic i i

yin

ciic i c

α α ϕ α ϕ ϕ α ϕ λ

α ϕ λ

= + − −sin sin ( ) cos cos ( )

cos cos +Ni

λ−

(4.50b)

sonucu çıkar.Buradan Pi noktası için,

62

0)(coscos)(sin

)(sincos)(cos

10coscossin

0sincoscosM-+

coscossincoscossin

sincoscossincoscos

c

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

ni

yiiic

ci

ini

yiic

ci

i

ni

yiicii

ni

yiici

c

c

c

iicci

ici

ci

c

ciiciici

yi

yi

ni

ni

iicci

iic

ci

iiic

ci

iic

ci

i

iciiiciiciiici

SN

SM

NM

d

dd

SN

SM

SN

vvvv

SN

SM

SN

SM

NMNM

ϕϕϕϕϕα

λλαϕϕϕα

α

λϕ

ϕαα

αϕα

ϕααϕαα

αϕααϕα

λ

ϕ

λ

ϕ

(4.51)

dengeleme modeli yazılabilir. Dengeleme sonucunda yersel datuma dönüştürülmüş

uzunluk ve azimutlar,

S S Sciy

cin

ci= + Δ (4.52a)

α α αciy

cin

cd= + (4.52b)

ile hesaplanır. Merkezin koordinataları ise,

ϕ ϕ ϕcy

cn

cd= + (4.53a)

λ λ λcy

cn

cd= + (4.53b)

olur.

4.3. Tek Boyutlu Dönüşümler

4.3.1. Yükseklik Sistemleri

Yeryüzündeki bir noktanın yüksekliği dendiğinde bu noktanın bir başlangıç

yüzeyi ile ilişkisi anlaşılır. Bu ilişki fiziksel ya da geometrik anlamda olur. Yükseklikler

için referans yüzeyi jeoit ya da elipsoittir.

63

Bir nokta için çeşitli yükseklikler tanımlanabilir:

- Jeopotansiyel kotlar (fiziksel)

- Dinamik yükseklikler (fiziksel)

- Normal yükseklikler (geometrik)

- Ortometrik yükseklikler (geometrik)

- Elipsoidal yükseklikler (geometrik) vb.

Jeodezik faaliyetlerde genellikle jeoide dayanan ortometrik ve elipsoide dayanan

elipsoidal yükseklikler kullanılır. Jeoidin elipsoitten sapmalarına ondülasyon (jeoit

yüksekliği) adı verilir. Ortometrik yüksekliklerle GPS’den elde edilen elipsoidal

yükseklikler arasındaki ilişki jeoit yükseklikleriyle sağlanır.

4.3.2. Yükseklik Dönüşümü

h elipsoidal yükseklik, H ortometrik yükseklik ve N elipsoidal yükseklik

arasındaki ilişki Şekil 3.4 ve (3.3) bağıntısı ile verilmişti. Bu ilişki sadece yükseklik

sistemlerini birbirine bağlamakla kalmamakta, gerek üç boyutlu gerekse tek boyutlu

dönüşüm için aynı referansa dayalı yükseklik bilgileri vermektedir.

GPS sonuçları üç boyutlu olarak referans elipsoidine bağlı olduğu için

dönüştürülecek noktaların yüksekliklerinin de aynı referansa taşınması gerekir. Avrupa

Datumu 50’de yatay koordinatlar bilindiği gibi Hayford elipsoidine dayanan UTM

koordinatlarıdır ve bunlar yükseklikten bağımsızdır. Bu koordinatlara eklenen

ortometrik yüksekliklerle AD50 oluşturulmuştur. Eğer GPS datumundan üç boyutlu

dönüşümle yersel datuma geçilecekse, AD50’ nin ortometrik yüksekliklerinden,

kullanılan elipsoide bağlı elipsoidal yüksekliklere geçilmelidir. Bundan sonra dönüşüm

mümkün hale gelecektir. Tabi ki ortometrik yüksekliklerden elipsoidal yüksekliklere

64

geçilirken jeoit ondülasyonlarının doğruluklarının yüksek olması gerekir. Kısacası

doğruluğu yüksek jeoide gereksinim vardır.

4.3.2.1. Yükseklikler Yardımıyla Dönüşüm

Sembolik olarak tek boyutlu dönüşüm iki ve üç boyutlu dönüşümden elde

edilir. Daha açık olarak tek boyutlu dönüşümün parametreleri, üç boyutlu dönüşüm

parametrelerinden iki boyutlu dönüşümün parametrelerinin çıkarılmasıyla elde edilir.

3B X0 Y0 Z0 Δ ε ψ ω

2B X0 Y0 Δ ω (4.54)

1B Z0 ε ψ

(4.54)’den dönüşüm parametrelerinin düşey koordinat, kuzey-güney ve doğu-batı ekseni

yönündeki iki dönüklükten oluştuğu görülür. Bu üç bilinmeyen, üç noktanın yükseklik

bilgisinden yararlanılarak belirlenir.

Bir GPS ağının üç noktasında için Hi ortometrik yükseklileri ile hi elipsoidal

yüksekliklerinin bilindiğini kabul edelim. hi elipsoidal yükseklikleri bir jeoit modeli

kullanılarak (Hi) yaklaşık yüksekliklerine dönüştürülebilir. Normal olarak, jeoit

modelindeki hatalar ve GPS sonuçlarındaki sistematik hatalar nedeniyle, Hi ve (Hi)

arasında sapmalar ortaya çıkar. Bu aykırılıklar için matematiksel model

Hi - (Hi) = dH - Yi dε + Xi dψ (4.55)

ile verilir (Hofmann et al, 1992). Burada dH, düşey yönde ötelemedir. X ve Y eksenleri

etrafındaki dönüklükler sırasıyla dε ve dψ dır.

65

4.3.2.2 Yükseklik Farklarının Kullanıldığı Dönüşüm

Bundan önceki paragraflarda jeoit yüksekliklerinin önemi vurgulanmıştı. GPS

ile belirlenen elipsoit yükseklikleri, eğer jeoit yükseklikleri biliniyorsa, ortometrik

yüksekliklere dönüştürülebilir.

Sadece yükseklikteki değişimler ölçülmek istenirse, örneğin bir petrol

platformundaki bir noktanın çökme oranını hesaplamak gerekirse iyi bilinen bir jeoidin

önemi azalır, çünkü bağıl yükseklikler ile ilgilenilmektedir. İki nokta için,

H1 = h1 - N1 (4.56a)

H2 = h2 - N2 (4.56b)

yazılır ve buradan yükseklik farklarına geçilirse,

H2 - H1 = h2 - h1 - (N2 - N1) (4.57)

elde edilir. Bu eşitlikte sadece jeoit yüksekliklerinin farkı geçmektedir. Bu nedenle,

küçük bir bölgede jeoit yükseklikleri yaklaşık eşitse N2-N1 farkı dikkate alınmayabilir.

Alan büyükse yaklaşık jeoit ondülasyon değerlerinden yararlanılır. (4.57)’den elde

edilecek nivelman farkları, ortometrik yükseklik farkları olarak kabul edilir ve

dengelemeye sokulur.

66

5. DENGELEME MODELİ

Koordinat dönüşümlerinde ölçüler ve bilinmeyenlerin dengeli değerlerinin

belli koşulları gerçekleştirmeleri gerekir. Bu nedenle dönüşüm işlemi için dengeleme

modeli ararlarında bilinmeyenlerin de bulunduğu koşullu ölçüler dengelemesidir.

Ölçüler ve bilinmeyenlerin dengeli değerleri,

F L L L x y z u

F L L L x y z u

L L L x y z u

n

n

n

1 1 2

2 1 2

1 2

0

0

0

, ,........, , , , ,.........

, ,........, , , , ,.........

::

::

, ,........, , , , ,.........

=

=

=

Fr

(5.1)

koşullarını gerçekleştirmelidir. (5.1) koşul denklemleri Taylor dizisi yardımıyla

doğrusallaştırılırsa

Av Bx w+ + = 0 (5.2)

dengeleme modeli elde edilir. Burada,

v : Ölçülerin düzeltmeleri,

x : Bilinmeyenler,

w : Kapanmalardır.

A ve B katsayılar matrisleri (5.1) fonksiyonlarının ölçüler ve bilinmeyenlere göre

parsiyel türevlerinden oluşur:

67

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

rrr

n

n

LF

LF

LF

LF

LF

LF

LF

LF

LF

A

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

K

MMM

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

(5.3)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

uF

yF

xF

uF

yF

xF

uF

yF

xF

B

rrr

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

L

MMM

L

L

222

111

(5.4)

P1, P2, P3,........,Pn ölçülerin ağırlıkları olmak üzere kurulacak normal denklemlerin

çözümünden bilinmeyenler,

{ } wAPABBAPABx TTTT 11111 )()( −−−−−−= (5.5)

korelatlar,

k AP A Bx wT= − +− −( ) (1 1 ) (5.6)

düzeltmeler,

v P A kT= −1 (5.7)

çıkar. Bilinmeyenlerin ağırlık katsayıları (kofaktör) matrisi,

{ 111 )(−−−= BAPABQ TT

xx} (5.8)

birim ağırlıklı ölçünün standart sapması (ortalama hatası),

68

mpvvr u0 = ±

− (5.9)

ve bilinmeyenlerin standart sapmaları,

m m Qxi xxi= 0 (5.10)

dir.

69

6. SAYISAL UYGULAMALAR

Bu bölümde verilen sayısal uygulamalar, üç boyutlu benzerlik ve afin

dönüşümü ile iki boyuttaki benzerlik ve afin dönüşümü içermektedir.

WGS84 ve AD50 datumunda ortak olan altı nokta elipsoidal dik

koordinatlarıyla Tablo 5.1’ verilmiştir. Benzerlik dönüşümü için çeşitli modeller

geçerlidir. Ancak bunlar aynı sonuçları vermektedir. Burada sadece bir model

uygulanmıştır.

İlk uygulamada üç boyutlu benzerlik ve afin dönüşümü yapılmış ve yine her iki

sistemde ortak olan test noktaları yardımıyla önce dönüşüm parametreleri hesaplanmış,

hesaplanan dönüşüm parametreleri ile test noktaları WGS84’ ten AD50’ ye

dönüştürülerek verilen değerler ile hesaplanan değerleri karşılaştırılmıştır.

Son uygulamada büyük dönüşüm parametreleri ile çalışılmıştır. Bu

uygulamada rastgele değerler kullanılmış başlangıçta bilinen dönüşüm parametre

değerleri dengeleme ile elde edilmeye çalışılmıştır.

Tablo 5.1 WGS84 ve AD50 datumunda ortak noktaların jeodezik dik koordinatları

NN U V W X Y Z

1 4158615.474 2786461.073 3940827.475 4158703.786 2786557.325 3940953.720

2 4169959.651 2785633.096 3930128.591 4170048.178 2785729.390 3930255.005

3 4173332.310 2812415.450 3907200.453 4173421.234 2812511.949 3907327.032

4 4170707.352 2797223.960 3921118.669 4170796.011 2797320.323 3921245.124

5 4163962.781 2812636.458 3917337.912 4164051.586 2812732.966 3917464.429

6 4184539.252 2801141.216 3903980.479 4184628.262 2801237.681 3904107.176

70

Bursa-Wolf modeli ile yapılan, üç boyutlu benzerlik dönüşümü :

Bilinmeyenlerin katasyılar matrisi,

1 0 0 4158615.474 0 -3940827.475 2786461.073

0 1 0 2786461.073 3940827.475 0 -4158615.474

0 0 1 3940827.475 -2786461.073 4158615.474 0

1 0 0 4169959.651 0 -3930128.591 2785633.096

0 1 0 2785633.096 3930128.591 0 -4169959.651

0 0 1 3930128.591 -2785633.096 4169959.651 0

1 0 0 4173332.310 0 -3907200.453 2812415.450

0 1 0 2812415.450 3907200.453 0 -4173332.310

B = 0 0 1 3907200.453 -2812415.450 4173332.310 0

1 0 0 4170707.352 0 -3921118.669 2797223.960

0 1 0 2797223.96 3921118.669 0 -4170707.352

0 0 1 3921118.669 -2797223.960 4170707.352 0

1 0 0 4163962.781 0 -3917337.912 2812636.458

0 1 0 2812636.458 3917337.912 0 -4163962.781

0 0 1 3917337.912 -2812636.458 4163962.781 0

1 0 0 4184539.252 0 -3903980.479 2801141.216

0 1 0 2801141.216 3903980.479 0 -4184539.252

0 0 1 3903980.479 -2801141.216 4184539.252 0

Bilinmeyenler Standart sapma

X0127.4739 m 6.4873 m

Y0135.5858 m 6.7710 m

Z032.8880 m 4.3517 m

Δ 2.3536 ppm 0.5945 ppm

ε -7.6423 ppm 0.7590 ppm

ψ 15.1019 ppm 0.9233 ppm

ω 3.7933 ppm 1.0973 ppm

Birim ağırlıklı standart sapma

71

m v vr u

T

00 004010

18 70 0191=

−=

−= ±

. . m

Test noktaları (WGS84)

NN U V W

7 4176055.830 2792924.227 3918580.827

8 4164520.249 2804079.051 3922223.943

9 4169045.212 2803968.251 3917568.317

10 4170137.523 2810641.552 3911744.769

Hesaplanmış test noktaları (AD50)

NN X Y Z

7 4176144.549 2793020.598 3918707.348

8 4164608.928 2804175.464 3922350.384

9 4169133.972 2804064.683 3917694.814

10 4170226.398 2810738.040 3911871.32

Verilen test noktaları (AD50)

NN X Y Z

7 4176144.695 2793020.684 3918707.481

8 4164608.951 2804175.491 3922350.407

9 4169134.024 2804064.724 3917694.866

10 4170226.495 2810738.114 3911871.418

Hesap - Verilen

NN DX DY DZ

7 -0.146 -0.086 -0.133

8 -0.023 -0.027 -0.023

9 -0.052 -0.041 -0.052

10 -0.097 -0.074 -0.098

Üç boyutlu afin dönüşüm:

72

1 0 0 4158615.474 0 0 0 -3940827.475 2786461.073

0 1 0 0 2786461.073 0 3940827.475 0 -4158615.474

0 0 1 0 0 3940827.475 -2786461.073 4158615.474 0

1 0 0 4169959.651 0 0 0 -3930128.591 2785633.096

0 1 0 0 2785633.096 0 3930128.591 0 -4169959.651

0 0 1 0 0 3930128.591 -2785633.096 4169959.651 0

1 0 0 4173332.31 0 0 0 -3907200.453 2812415.45

0 1 0 0 2812415.45 0 3907200.453 0 -4173332.31

B= 0 0 1 0 0 3907200.453 -2812415.45 4173332.31 0

1 0 0 4170707.352 0 0 0 -3921118.669 2797223.96

0 1 0 0 2797223.96 0 3921118.669 0 -4170707.352

0 0 1 0 0 3921118.669 -2797223.96 4170707.352 0

1 0 0 4163962.781 0 0 0 -3917337.912 2812636.458

0 1 0 0 2812636.458 0 3917337.912 0 -4163962.781

0 0 1 0 0 3917337.912 -2812636.458 4163962.781 0

1 0 0 4184539.252 0 0 0 -3903980.479 2801141.216

0 1 0 0 2801141.216 0 3903980.479 0 -4184539.252

0 0 1 0 0 3903980.479 -2801141.216 4184539.252 0

m v vr u

T

00 003584

18 90 01996=

−=

−= ±

. . m

Bilinmeyenler Standart sapma X0 115.4133 m 18.5894 m

Y0 130.3058 m 10.7265 m

Z0 45.8281 m 13.7028 m

Δ1 3.9775 ppm 2.4867 ppm

Δ2 3.4642 ppm 1.4971 ppm

Δ3 0.8832 ppm 1.5575 ppm

ε -6.8227 ppm 1.2254 ppm

ψ 13.9312 ppm 1.7845 ppm

ω 4.0430 ppm 1.2628 ppm

Hesaplanmış test noktaları (AD50)

73

NN X Y Z

7 4176144.555 2793020.589 3918707.349

8 4164608.923 2804175.473 3922350.383

9 4169133.968 2804064.686 3917694.816

10 4170226.391 2810738.045 3911871.323

Hesaplanan - Verilen

NN DX DY DZ

7 -0.140 -0.095 -0.132

8 -0.028 -0.018 -0.024

9 -0.056 -0.038 -0.050

10 -0.104 -0.069 -0.095

İki boyutlu benzerlik dönüşümü:

Altı noktanın UTM projeksiyon sistemindeki koordinatları :

WGS84 AD50

NN Sağa Değer Yukarı Değer Sağa Değer Yukarı Değer

1 571945.028 4250434.887 571974.862 4250543.969

2 565070.803 4236428.308 565100.785 4236537.669

3 585689.485 4207654.036 585718.572 4207764.080

4 574380.506 4225062.132 574410.164 4225171.833

5 590972.717 4220399.892 591001.684 4220509.651

6 570132.066 4203112.922 570161.621 4203223.216

74

1 0 571945.028 -4250434.887

0 1 4250434.887 571945.028

1 0 565070.803 -4236428.308

0 1 4236428.308 565070.803

1 0 585689.485 -4207654.036

B= 0 1 4207654.036 585689.485

1 0 574380.506 -4225062.132

0 1 4225062.132 574380.506

1 0 590972.717 -4220399.892

0 1 4220399.892 590972.717

1 0 570132.066 -4203112.922

0 1 4203112.922 570132.066

Bilinmeyenler Standart sapma

X0 13.77051 7.14904

Y0 232.93755 7.14904

a -28.14237 1.67699

b -7.56741 1.67699

m v vr u

T

00 0231812 4

0 05383=−

=−

= ±. . m

Dönüştürülmüş Verilen Farklar

NN Sağa Değer Yukarı Değer Sağa Değer Yukarı Değer DX DY

7 567893.469 4221853.657 567893.734 4221853.505 -0.265 0.152

8 583529.366 4226939.136 583529.315 4226939.301 0.051 -0.165

9 580972.724 4220973.926 580972.705 4220973.893 0.019 0.033

10 585971.669 4213586.797 585971.810 4213586.611 -0.141 0.186

Afin dönüşüm :

1 0 571945.028 0 -4250434.887 0

75

0 1 0 4250434.887 0 571945.028

1 0 565070.803 0 -4236428.308 0

0 1 0 4236428.308 0 565070.803

1 0 585689.485 0 -4207654.036 0

B= 0 1 0 4207654.036 0 585689.485

1 0 574380.506 0 -4225062.132 0

0 1 0 4225062.132 0 574380.506

1 0 590972.717 0 -4220399.892 0

0 1 0 4220399.892 0 590972.717

1 0 570132.066 0 -4203112.922 0

0 1 0 4203112.922 0 570132.066

m v vr u

T

00 007744

12 60 03593=

−=

−= ±

. . m

Bilinmeyenler Satandart Sapma

X0 19.70276 6.53606

Y0 218.67142 6.53606

a1 -34.41012 2.48172

a2 -25.36593 1.38644

b1 -7.01821 1.38644

b2 -3.16244 2.48172

Dönüştürülmüş Verilen Farklar

NN Sağa Değer Yukarı Değer Sağa Değer Yukarı Değer DX DY

76

7 567893.524 4221853.614 567893.734 4221853.505 -0.210 0.109

8 583529.319 4226939.176 583529.315 4226939.301 0.004 -0.125

9 580972.697 4220973.938 580972.705 4220973.893 -0.008 0.045

10 585971.614 4213586.811 585971.810 4213586.611 -0.196 0.200

Üç boyutlu dönüşümde büyük dönüşüm parametreleri ile yapılan uygulama:

Birinci sistemde verilen koordinatlar,

NN U V W

1 5432.68 7254.12 1200.60

2 5354.47 5724.58 1174.57

3 6221.34 6355.08 1254.58

4 4744.72 5555.54 1381.09

öteleme, ölçek ve dönüklük pametreleri

tx = 11000.00 m ty = 12000.00 m tz = 500.00 m

(1+Δ) = 1.582422

ε = 68g.00 00 ψ = 72g.00 00 ω = 34g.00 00

olduğuna göre (4.1)’e göre ikinci sistemin koordinatları

NN X Y Z

1 24934.63 12118.08 4385.31

2 22640.92 12077.98 5167.96

3 24078.23 11915.27 6062.87

4 22062.31 12603.16 4461.74

elde edilir.

Yukarıda verilen ortak nokta koordinatlarına göre dönüşüm parametrelerinin

hesaplanması istenirse ilk yaklaşık değerler (4.12)’ye göre hesaplanır:

77

1 0 0 5432.68 0 -1200.60 7254.12

0 1 0 7254.12 1200.60 0 -5432.68

0 0 1 1200.60 -7254.12 5432.68 0

1 0 0 5354.47 0 -1174.57 5724.58

0 1 0 5724.58 1174.57 0 -5354.47

B= 0 0 1 1174.57 -5724.58 5354.47 0

1 0 0 6221.34 0 -1254.58 6355.08

0 1 0 6355.08 1254.58 0 -6221.34

0 0 1 1254.58 -6355.08 6221.34 0

1 0 0 4744.72 0 -1381.09 5555.54

0 1 0 5555.54 1381.09 0 -4744.72

0 0 1 1381.09 -5555.54 4744.72 0

16096.206

15135.899

340.664

X= -0.60868304 vTv= 388168.4

0.59040566

1.44572652

1.12751858

(4.28)’e göre bir nokta için A matrisi,

0.020937 0.386359 0.058455 -1 0 0

A= -0.044097 -0.055829 0.384795 0 -1 0

0.388260 -0.027175 0.040551 0 0 -1

B ve W matrisleri,

78

1 0 0 7632.23 39.82 -841.01 -182.57 -5851.80

0 1 0 -466.55 -2858.38 1771.33 -2986.62 2835.25

0 0 1 5010.90 -326.79 1445.89 0 -2083.80

1 0 0 6113.99 119.17 -845.36 -103.74 -4152.20

0 1 0 -265.11 -2268.37 1780.50 -2392.51 2954.18

B= 0 0 1 5036.82 -264.06 1119.87 0 w= -2856.30

1 0 0 6794.84 113.23 -983.76 -146.38 -5323.09

0 1 0 -374.07 -2515.45 2071.99 -2658.94 3074.25

0 0 1 5861.43 -291.80 1272.66 0 -3428.53

1 0 0 5945.32 208.85 -749.39 12.05 -3639.60

0 1 0 30.80 -2214.85 1578.35 -2326.51 2544.79

0 0 1 4464.97 -262.81 986.96 0 -2373.86

11110.343

12120.500

603.749

x1= 0.48930185 vTv1= 192.6919

7.62295515

0.48727871

-6.40356718

1.306439 0.632933 -0.332616 -1 0 0

A= 0.158036 0.420066 1.420067 0 -1 0

0.697325 -1.281000 0.301325 0 0 -1

1 0 0 7580.40 3172.74 5105.19 5610.70 -2534.79

0 1 0 3767.33 -9797.00 617.56 -11289.50 5613.12

79

0 0 1 -3452.90 -3723.82 11881.59 0 -8923.97

1 0 0 6867.57 2647.51 3221.96 4918.86 -1302.69

0 1 0 3302.80 -7635.89 389.75 -10227.88 4961.38

B= 0 0 1 -2179.18 -3229.58 10744.57 0 w= -7809.66

1 0 0 7878.09 2907.87 3399.74 5434.33 -1235.04

0 1 0 3648.91 -8497.63 411.26 -11732.85 5639.56

0 0 1 -2299.41 -3522.06 12300.55 0 -8883.64

1 0 0 6214.72 2722.00 3367.33 5044.77 -1696.37

0 1 0 3387.34 -7309.09 407.33 -9255.60 4562.11

0 0 1 -2277.49 -3443.20 9794.45 0 -7249.87

10845.019

12540.329

1241.271

x2= 0.12895465 vTv2= 2130.97

7.76872218

1.12829863

-6.08131755

x3 x4 x5 x6 x7

tx 11039.234 10997.186 11000.038 10999.974 10999.974

ty 11960.683 12003.729 11999.990 12000.023 12000.023

tz 491.900 498.509 499.947 500.008 500.008

Δ 0.57444520 0.57877384 0.58241505 0.58242454 0.58242454

ε 7.19882181 7.36415141 7.35121874 7.35133854 7.35133853

ψ 1.17441089 1.13424579 1.13099868 1.13097490 1.13097489

ω -5.62661185 -5.76107271 -5.74900630 -5.74912163 -5.74912162

vTv 163.132375 0.66085958 0.0001294 1.674 10-5 1.6742 10-5

sonuç değerleri elde edilir. Dönüklükler radyan biriminde elde edilmiştir. Grad birimine

dönüştürüldüğünde,

80

ε

ψ

ω

=−

=

= =

=−

=

( . * ) .

. * .

( * . ) .

7 35133853 2 200 68 00 075

1 13097489 200 72 00 010

2 5 74912162 33 99 955

ΠΠ

ΠΠ

Π

g

g

g

elde edilir.

81

7. SONUÇ VE ÖNERİLER

Datum dönüşümü, konumları ya da özellikleri birbirinden farklı koordinat

sistemlerindeki veri kümelerinin bir sistemden ötekine dönüştürülmesi işlemidir.

Referans elipsoitleri açısından, ±2 m ortalama hata ile boyutları belirlenmiş

WGS84 elipsoidi ile ülkemizde de kullanılmakta olan ve boyutları ±18 m hatalı ile

Hayford elipsoidi üzerindeki verilerin birinden ötekine taşınması söz konusudur.

Ayrıca, WGS84 elipsoidine dayanan 3 boyutlu konum ağlarının ve GPS ile belirlenen

baz vektörlerinin iç doğruluğu çok yüksektir. GPS ile elde edilen üç koordinat bileşeni

de bu referans yüzeyine bağlıdır. Yersel ölçmelerle oluşturulan ülke ağlarının

doğrulukları düşüktür ve genellikle bozulmalar (distorsiyon) içerirler. Çoğu ülkenin

mevcut jeodezik ağlarının ölçüleri oldukça eskilere dayanır. Dönüşümdeki bir başka

olumsuzluk yersel sistemin birbirinden bağımsız tanımlanan, yatay ve düşey

datumlarını birleştirmede karşılaşılan yetersizliklerdir.

Referans elipsoitleri birbirine oldukça yakın sayılabilecek bir konumdadırlar.

Bu nedenle datumlar arasındaki dönüşüm parametreleri sıfıra yakın değerlerdir. Hatta

bazı ülkelerin koordinat sistemlerinin eksen dönüklükleri sıfır olarak kabul edilmekte ve

dönüşümler sadece öteleme parametreleri ile gerçekleştirilmektedir. Örneğin Kuzey

Amerika Datumu (NAD83) olarak bilinen sistemin referansı WGS84 datumudur ve

WGS72 datumu ile aralarındaki dönüşüm yalnızca düşey eksen yönünde öteleme, bu

eksen etrafındaki dönüklük ve ölçek faktörü ile tanımlanabilmektedir. Ancak referans

elipsoitleri birbirlerine ne kadar yakın olurlarsa olsunlar yine de koordinat değerleri

arasında anlamlı farklar olduğu görülebilir (Leick, 1990).

Yersel ve uydu sistemine ait koordinat kümeleri verildiğinde üç boyutlu

dönüşüm için aşağıda açıklanan yol izlenir:

82

1. Yersel sistemin nokta koordinatları, genelde ülkenin kullanmakta olduğu

projeksiyon sisteminde verilir. Bilinen ortak noktalar jeodezik eğri koordinatlara (ϕ,

λ)YS dönüştürülür.

2. (3.3)’de gösterildiği gibi mevcut ortometrik yüksekliklerden dönüştürülen

elipsoidal yükseklikler jeodezik eğri koordinatlar yanında 3. boyut olarak alınır (ϕ, λ,

h)YS.

3. Her iki sistem için (ϕ, λ, h) jeodezik koordinatlardan jeodezik dik

koordinatlarına geçilir (X, Y, Z).

4. Seçilecek dönüşüm modelinde yersel ve uydu sisteminde dik koordinatları

bilinen noktalar dengelemeye ölçü olarak sokularak dönüşüm parametreleri hesaplanır.

5. Ortak olmayan GPS noktaları (X, Y, Z)US dönüşüm parametreleri yardımıyla

ülke elipsoidine dönüştürülür.

6. Ülke elipsoidine dönüştürülmüş GPS koordinatlarından jeodezik eğri

koordinatlarına geçilir.

7. Son işlem olarak, h elipsoidal yükseklikler öncekinin tersi işlemle ortometrik

yüksekliklere, (ϕ, λ)YS koordinatları da projeksiyon sisteminin koordinatlara

dönüştürülür.

Benzerlik dönüşümünün bir üstünlüğü dengeleme için önsel bir bilginin gerekli

olmamasıdır. Olumsuz yanı yerel sistemde elipsoidal yüksekliklerin bilinmesini

gerektirmesidir. Fakat Schmitt (1991) tarafından ortaya konan bir çalışmada, 20x20

km’lik alanda eğimli bir arazide 5 m’lik yanlış yükseklikli noktaların düzlem

koordinatlara olan etkisinin yalnız 1 mm olduğu saptanmıştır (Hofmann et al, 1992)

İki boyutlu dönüşümde ise izlenecek işlem sırası şöyledir:

83

1. Uydu sistemine ait tüm (X, Y, Z)US jeodezik dik koordinatları (ϕ, λ, h)

koordinatlarına dönüştürülür. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, kullanılacak

elipsoidin boyutları yerel sistem ile uyuşmalı, yani yerel elipsoit kullanılmalıdır.

2. Dönüştürülen jeodezik eğri koordinatlardan projeksiyon koordinatları elde

edilir.

3. Benzerlik dönüşümü için ikiden çok, afin dönüşüm için üçden çok nokta

yardımıyla iki boyutlu dönüşüm parametreleri dengeleme ile belirlenir.

4. Uydu sistemine ait ortak olmayan diğer tüm noktalar bu dönüşüm

parametreleri yardımıyla yerel sisteme dönüştülerek dönüşüm tamamlanmış olur.

Küçük boyutlu ve jeoit yüksekliklerinin fazla değişmediği alanlarda bu

dönüşüm modelinin kullanılması yeterlidir. Ancak sayısal uygulamada da görüldüğü

gibi iki boyutlu benzerlik dönüşümünün ortalama hatası üç boyutludakine göre daha

büyüktür. Bunun nedeni alanın büyük olamasına bağlanabilir. Böyle durumlarda değişik

modeller denenmelidir.

Eksik olan yükseklik boyutu, küçük bölgelerde jeoit yüksekliklerinin yakalşık

eşit olduğu varsayılarak ortometrik yükseklik farklarının dengelenmesiyle elde

edilebilir. Alan büyükse yaklaşık elipsoidal yükseklikler kullanılabilir.

84

KAYNAKLAR

Alp, O., 1995. Jeodezik Ölçülerin İndirgenmesinde Jeoid Yüksekliği ve Çekül

Sapmasının Etkisi, Harita Dergisi, Sayı 115 s. 32-43

Altıner, Y., Franke, P., 1991. GPS’in Geleceği ve Pratik Öneriler, Harita Kadastro

Mühendisliği Dergisi Sayı 69, s. 4-10

Ayhan, M.E., Demir, C., 1992. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) ağı 1992

(TUDKA-92), Harita Dergisi Sayı 109, s.2-45

Ayhan, M.E., Kılıçoğlu, A., 1993. Türkiye Ulusal Doppler Datumu 1992 (TUD-92),

Harita Dergisi, Sayı 110 s. 38-58

Barışkaner, A., Turgut B., Güllü M., 1996, Dengeleme Hesabı 2 Ders Notları Selçuk

Üniversitesi Müh. Mim. Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Konya

Bleich, V.P. und Illner, M., 1989. Strenge Lösung Der Räumlichen

Koordinatentransformation Durch İterative Brechnung, Allgemeine Vermessungs-

Nachrichten, Heft 4, p.p. 133-144

Demirel, H., 1984. Yükseklik Sistemleri ve Nivelman Sonuçlarının İndirgenmesi,

Y.T.Ü. İnşaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Bölümü, İstanbul

Deniz, R., 1993. Uydu Jeodezisi Ders Notları İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi Jeodezi ve

Fotogrametri Bölümü, İstanbul

Eren, K., Uzel, T., 1995. GPS Ölçmeleri, Y.T.Ü. Matbaası, İstanbul

Gürkan, O., 1977. Üç Boyutta Benzeşim Dönüşümü ve Değişik Jeodezik (Elipsoid)

Sistemler Arasındaki Bağıntılar, Bilimsel Rapor No:1 K.T.Ü. Jeodezi ve Fotogrametri

Bölümü, Trabzon

85

Gürkan, O., 1984. Fiziksel Jeodezi, Karadeniz Üniversitesi Basımevi, Trabzon

Hekimoğlu, Ş., Ayhan, M.E., Demir, C., Şanlı, D.U., 1993. Türkiye Ulusal Düşey

Datum Belirleme Projesinin Tanıtımı, Prof. Dr. H. Wolf Jeodezi Sempozyumu Bildiri

Kitabı s. 90-120, İstanbul

Hofmann, B., Lichtenegger, H. and Collins, J., 1992. GPS Theory and Practice,

Springer-Verlag Wien New York

Kleinnefeld, H.J., 1991. Datumtransformation vom WGS 84 in das Gauβ-Krüger

Koordinatensystem, Vermessung- Ingeneur, Heft 5, p.p.200-202

Kumar, M., 1993. World Geodetic System 1984: A Reference Frame For Global

Mapping, Charting and Geodetic Applications, Surveying and Land Information

Systems, Vol.53, No.1 p.p. 53-56

Kılıçoğlu, A., 1995. Jeodezide Dönüşümler, Yüksek lisans tezi İ.T.Ü Fen Bilimleri

Enstitüsü

Kınık, İ., Şanlı, İ., 1992. Başlangıçtan Günümüze Türkiye’de Yapılan Uydu Jeodezisi

Faaliyetleri, Harita Dergisi, Sayı 109 s. 46-69

Kınık, İ., Şahin, K., Şanlı, İ., 1993. Ankara Test Ağında GPS Ölçülerinin

Değerlendirilmesi, Harita Dergisi, Sayı 110 s. 6-37

Leick, A., 1990. GPS Satellite Surveying A Wiley-Interscience Publication John Wiley

& Sons

Lwangasi, A.S., 1993. Datum Transformation Parameters For The Kenya Geodetic

System, Survey Review January, p.p. 39-56

Mok, E., 1992. A Model For The Transformation Between Satellite And Terrestrial

Networks In Hong Kong, Survey Review, April, p.p. 344-350

86

Özbenli, E., 1991. Jeodezi K.T.Ü. Basımevi, Trabzon

Öztürk, E., Şerbetçi, M., 1992. Dengeleme Hesabı Cilt III, K.T.Ü. Basımevi Trabzon

Rens, J. and Merry, C.L., 1990. Datum Transformation Parameters In Southern Africa,

Survey Review, April, p.p. 281-293

Seeber, G., 1993. Satellite Geodesy Foundations, Methods and Aplications, Walter de

Gruyter Berlin-New York

Şerbetçi, M., 1996. Haritacılık Bilimi Tarihi, Harita Dergisi Özel Sayı 15.

Şimşek, M., 1995. Uydu Tekniklerinin Ağ Sıklaştırmasında Kullanılabilirliği Üzerine

Bir Araştırma, Doktara tezi, Y.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul

Ünal, T., 1994. Uydu Jeodezisi Ders Notları Y.T.Ü. İnşaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri

Bölümü, İstanbul

Yerci, M., 1994. Jeodezi I Ders Notları, Selçuk Üniversitesi Müh. Mim Fak. Jeodezi ve

Fotogrametri Müh. Konya

87

ÖZGEÇMİŞ

Aydın ÜSTÜN

20 Şubat 1971 : Muğla ili Milas ilçesi Karacaağaç köyünde doğdu.

1977 : Milas Menteşe İlkokulunda ilk öğrenime başladı.

1982 : Milas Merkez Ortaokulunda orta öğrenime başladı.

1985 : Milas Lisesinde Lise öğrenimine başladı.

1988 : Milas Lisesinden mezun oldu.

1989 : Konya Selçuk Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Jeodezi

ve Fotogrametri Müh. kazandı.

Ekim 1993 : Üniversiteden Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisi olarak mezun

oldu.

Ocak 1994 : Selçuk Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi’nin açmış

olduğu Araştırma Görevlisi sınavını kazandı.

1994 : Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Sınavını

kazanarak Yüksek Lisans öğrenimine başladı.