28

1

Рис. 2.

E

N

F

M

A

Рис. 1.

K

L

E

F

1. (Рис. 1)

а) Пересекает ли прямая KL отрезок EF?

б) Пересекает ли прямая KL прямую EF?

в) Отметить точку А, которая лежит на прямой EF, но не

лежит на прямой KL.

г) Существуют ли точки, которые одновременно лежат на

отрезке EF и прямой KL?

2. (Рис. 2)

а) Сколько существует различных отрезков с концами в

точках E, F, M, N?

б) Пересекаются ли прямые EN и FM?

в) Какая из точек, А или N, лежит между точками E и F?

г) Провести прямую, проходящую через точку А, которая

пересекает прямые EF и MN, но не пересекает отрезок FM.

3.

а) Начертить две пересекающиеся прямые и расположить

на них два непересекающихся отрезка так, чтобы точка пе-

ресечения прямых принадлежала одному из них.

б)Провести прямую, которая пересекает некоторые из ука-

занных на Рис. 3 отрезков, так, чтобы вместе с данными от-

резками образовалось шесть отрезков.

в) Дана прямая EF, AEF, BEF. Может ли прямая АВ не

пересекать отрезок EF?

2

Рис. 4.

В

O

С

DА

г) Может ли прямая, не проходящая через точку О, одно-

временно пересекать прямые OA, OB, OC, OD (Рис. 4)?

4.

а) Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно

пересекающиеся прямые? Для каждого случая сделать ри-

сунок.

б)По рисунку 5 определить число отрезков с концами в

обозначенных точках.

5. (Рис. 6)

а) Сколько углов изображено на этом рисунке?

б) Начертить луч ОА так, чтобы угол AON был развѐрну-

тым.

Рис. 3.

A

B C

D

Рис. 5.

E

D

H

F

G

B

A

C

Рис. 6

K

N

М

О

27

123. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте, проведенной из вершины прямого угла. 124. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из этих сторон. Всегда ли эта за-дача имеет решение? 125. Постройте треугольник по углу и двум высотам, проведенным к сторонам этого угла. 126. На стороне АС треугольника ABC взята точка М. Постройте треугольник ABC по отрезкам ВС, AM и углам АВМ, АМВ. 127. Постройте остроугольный треугольник ABC по раз-ности углов А и В, высоте CD и стороне ВС.

26

113. Дан угол ABC, через вершину которого вне угла проведена прямая а, и отрезок РО. Внутри угла ABC по-стройте точку, удаленную от прямой а на расстояние РО и равноудаленную от прямых АВ и ВС.

114. Дан треугольник МРК. Постройте треугольник ABC, в котором A = M, AB = MP, АС = 2МК.

115. Постройте равносторонний треугольник, у которо-го сторона вдвое меньше данного отрезка. 116. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у которого одна сторона в 2 раза больше дру-гой и равна данному отрезку, а угол, заключенный между этими сторонами, равен данному углу. 117. Постройте остроугольный равнобедренный тре-угольник по основанию и разности двух неравных сторон. 118. Постройте треугольник ABC со стороной АВ, рав-ной данному отрезку, и с углами А и С, равными 60° и 105° соответственно. 119. В треугольнике ABC биссектрисы ВВ1 и CC1 пере-секаются в точке О. Постройте треугольник ABC по отрез-кам ОВ1, ОС, В1С. 120. Постройте равнобедренный треугольник по бис-сектрисе, проведенной к основанию и углу, противолежа-щему основанию. 121. Дан треугольник МКР. Постройте треугольник ABC так, чтобы АВ = МК, АС = 2МР, высота CD была рав-на высоте РЕ треугольника МРК. 122. Дан треугольник МКР. Постройте треугольник ABC так, чтобы АВ = МК, АС = 2МР, высота CD была рав-на высоте РЕ треугольника МРК.

3

6. Даны угол EKL и точка М, не лежащая в его внутрен-

ней области (Рис. 7). Провести из точки К луч так, чтобы

образовалось ещѐ два угла, такие, что точка М не лежала

бы в их внутренней области.

7. (Рис. 8) С началом в точке Е провести лучи, один из

которых пересекает луч ВС, а другой не пересекает луч АС.

Рассмотреть возможные варианты.

8. Углы MAF, FAK, KAP, QAM имеют общую вершину А.

Прямая т, не проходящая через точку А, пересекает не бо-

лее трѐх лучей, которые являются сторонами этих углов.

Рассмотреть все возможные случаи. Сделать рисунки.

9. На Рис. 9 ОС – луч, принадлежащий внутренней облас-

ти угла АОВ. Как нужно провести луч OD, чтобы

AOD =COB? Показать на рисунке возможные варианты.

Рис. 7.

LЕ

К

М

Рис. 8.

A

B

C

E

Рис. 9.

ВС

А

О

4

10. а) Точки А, В и С лежат на прямой а, причѐм

АВ = 5,7 м, ВС = 730 см. Какой может быть длина отрезка

АС в дециметрах?

б) AOВ = 120° , Провести луч ОС так, чтобы угол

АОС равнялся 60° (рассмотреть два случая). Чему равен

угол СОВ? Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

11. Точка М – середина отрезка EF, длина которого равна

1,2 м. От точки М, по разные стороны отложены два отрез-

ка МР = 1,6 дм и MQ = 40 см. Найти длины отрезков EP и

QF в сантиметрах.

12. а) AOВ = 100° , луч ОЕ делит этот угол на два угла

так, что ВOЕ = 3 AOЕ . Найти эти углы.

б) Найти угол AOF, если луч OF проведѐн так, что OE –

биссектриса угла FOB. Каким углом: острым или тупым –

является этот угол?

13. На прямой отложены два отрезка АС и СВ. На отрезке

СВ дана точка D, такая, что 5CD = 4DB. Найти длину отрез-

ка, концами которого являются середины отрезков АС и

DB, если CD = 12 м.

14. Угол АОВ принадлежит внутренней области угла СОD;

COD = 140° AOB = 100°. Найти угол, образованный

биссектриссами углов АОС и ВОD, если луч ОВ

принадлежит внутренней области угла АОD.

15. Длина отрезка АВ равна 12 см. Найти на прямой АВ все

такие точки М, для которых МА = 2МВ.

16. Прямой угол двумя лучами, исходящими из его верши-

ны, разделена три угла, один из которых равен разности

двух других углов. Найти величину большего из этих

углов.

25

106. Даны две параллельные прямые а и b. На прямой а взяты точки А и В, из которых к прямой b проведена на-клонная АС и перпендикуляр BD. Сравнить отрезки АС и BD. 107. В треугольнике МРК сторона МР = 20 см. Расстоя-ние от точки К до прямой МР равно КР. Через точку М проведена прямая х, параллельная КР. Найти: а) угол МРК; б) расстояние между прямыми х и КР. 108. В треугольнике АВС А = 70, В = 80 ВЕ - биссектриса. Через точку Е проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС = х. а) Найти расстояние между прямыми а и ВС. б) Найти расстояние от точки Е до прямой АВ.

109. В треугольнике АВС С = На стороне АВ взята точка М так, что АВ = АМ. Через точку М проведена прямая а, параллельная АС. Докажите, что расстояние от точки В до прямой а вдвое больше расстояния между прямыми а и АС. 110. Даны неразвернутый угол ABC и отрезок QP. На сто-роне ВА угла ABC постройте точку, удаленную от прямой ВС на расстояние QP. 111. Даны прямая а, точка А, взятая на этой прямой, и отрезки ОР и КМ (КМ > ОР). Постройте точку В, удален-ную от прямой а на расстояние, равное ОР, так, чтобы АВ = КМ. 112. На рисунке 4 точки В и С равно-удалены от прямой AD, ВО = ОС. Дока-жите, что треугольни-ки ABC и CBD равны.

Рис. 4

О

D

СВ

А

24

99. Внутри неразвернутого угла А взята точка D. Из этой точки проведены перпендикуляры DB и DC к сторо-нам угла. ADB = ADC. Докажите, что луч AD — бис-сектриса угла А. 100. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точ-ки D и E соответственно. Из этих точек опущены перпен-дикуляры DK и ЕР к прямой AC, DK = ЕР, ADK = = РЕС. Докажите, что АВ = ВС. 101. Треугольники ABC и А1В1С1 равны, причем ВС = B1C1, ВА = В1А1. Докажите, что высоты BD и B1D1 тре-угольников равны. 102. Две биссектрисы треугольника пересекаются в точ-ке О. Докажите, что третья биссектриса проходит через точку О. 103. Через середину стороны АВ треугольника ABC про-ведена пря-мая, перпендикулярная к АВ, пересекающая ВС в точке Е. ВС = 24 см, периметр треугольника АЕС равен 30 см. Найдите АС. 104. В треугольнике ABC высоты АА1 и СС1 равны, АС1 = ВА1. Найдите угол В. 105. На рисунке 3 ABC = = 35°, BAС = 55°, AM1M = = 90°. Точки А1 и В1 — середины отрезков ВС и АС соответственно, АА1 = AM, ВВ1 = В1К. Докажите, что АМ1 = = ВА1.

К

М

В1

М1

А1

Рис. 3.

С

А

В

5

17. а) Смежные углы относятся как 4:1. Найти эти углы.

б) Один из смежных углов больше другого на 40°.

Найти эти углы.

18. На Рис. 10 прямые a и b перпендикулярны, 130°. Найти углы 2, 3 и 4.

19. Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС, причем

ОВOА (рис.11). Угол, образованный биссектрисами углов

АОВ и ВОС, равен 75°. Найдите углы АОВ, ВОС и АОС.

Рис. 10.

4

3

21

a

b

Рис. 11

С

В

А О

6

20. При пересечении двух прямых образовалось четыре

угла меньше развернутого. Найдите эти углы, зная, что

один из них на 60° больше половины другого.

21. На рисунке 12 АВ = ВС = АС, AD = CD. Периметр

треугольника ABC равен 36 см, а периметр треугольника

ADC равен 40 см. Найдите длины сторон этих треугольни-

ков.

22. На рисунке 13 ABC = ADC, АВ = CD = 20 см,

ВО = DO = 5 см. Периметр треугольника ABC равен 50 см.

Найдите периметр тре-

угольника АОС, если АО

больше АС на 15 см.

Рис. 12.

D

С

В

А

Рис. 13.

D

С

В

А

О

23

Е

Рис. 2.D

С

А

В

Рис. 1.D

С

А

В

92. На рисунке 1 BAD = BCD = 90°, ADB = 15°, BDC = 75°. Докажите, что АВ || DC.

93. На рисунке 2 ВАС = DEC = 90°, ABC = 55°, CDЕ = 35°. Докажите, что ВС CD. 94. В треугольнике ABC B = 90°, СС1 -биссектриса, CC1= =16 см, ВС1 = 8 см. Найдите внешний угол при верши-не А. 95. В треугольнике ABC угол АСВ тупой. Продолже-ния высот AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажи-те, что ABC = АОС и OAC = OBC. 96. В треугольнике ABC С = 90°, CD — высота тре-угольника, ВС = 2BD. Докажите, что AD = 3DB. 97. В треугольнике ABC С= 90°, В = 40°. На сторо-нах АВ и ВС отмечены точки D и Е соответственно, EAD = 5°, ECD = 10°. Найдите EDC. 98. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC взята точка Е, а внутри треугольника — точка D. Пер-пендикуляр ЕМ к прямой АС делит катет АС пополам, В = 45°, CDA = 90°, DCA = 60°. Докажите, что EM = DC.

22

82. В треугольнике ABC BD - медиана, ABD < ВАС + ВСА. Докажите, что BD > 0,5ВС. 83. Дан треугольник ABC. Прямая CD параллельна биссектрисе внешнего угла треугольника при вершине В и пересекает сторону АВ в точке D. Из точки D к прямой ВС проведен перпендикуляр DK. Сравните отрезки DK и ВС. 84. Отрезки АС и BD пересекаются во внутренней точ-ке так, что АВ > АС. Докажите, что BD > CD. 85. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точ-ке М. Известно, что МАВ = MBA, МСВ = МВС. Най-дите угол ABC. 86. На сторонах АВ и АС треугольника ABC отмечены точки D и Е, причем точка D является серединой отрезка АВ, АЕ =12 см, DE = 1 см. Может ли длина отрезка АВ быть равной 27 см? 87. Треугольники ABD и BCD расположены по разные стороны от прямой BD, ABD = BDC, ADB = = ВВС. Докажите, что BD + BC > АВ. 88. В треугольнике ABC BB1 — медиана. Докажите, что ВВ1 < 0,5 (АВ + ВС). 89. В треугольнике ABC A = 40°, В = 70°. Из верши-ны С вне треугольника проведен луч CD так, что угол BCD равен 109°59'. Может ли выполняться равенство AD = АС + CD? 90. Докажите, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон, к которым эти медианы проведены. 91. Внутри равностороннего треугольника ABC отме-чена точка Е. Докажите, что ЕА < ЕВ + ЕС.

7

Рис. 14.

С1

В1

А1С

В

А

23. В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 8 см, ЕВС, при-

чем BE = EC. Точка Е делит периметр треугольника ABC на

две части, из которых одна больше другой на 2 см. Найдите

АВ.

24. В треугольнике АВС АВ = АС. Внутри треугольника

выбрана точка О так, что АОВ = АОС, АОВ = 120°. До-

кажите, что АО — биссектриса угла ВАС, и найдите угол

ВОС.

25. На рисунке 14 АА1 = CC1, BC = B1C1, ВС AC,

B1C1 A1 С1. Докажите, что АСВ = А1С1В1.

26. На рисунке 15 АВ = ВС,

1 = 2. Докажите, что

ADB = CDB.

Рис.15.21

D

С

В

А

8

27. На рисунке 16 BDC = BEA, AD = ЕС, BD = BE.

Докажите, что ABD = BEC. Чему равен BAD, если

BCE = 40°?

28. На рисунке 17 АВ = АD, АС = АЕ и BAD = САЕ.

Равны ли отрезки ВС и DE, углы МСА и КЕА?

29. На рисунке 18 ОА = ОС и AOB = БОС. Докажи-

те, что АВК = СВК.

Рис. 16.

D Е С

В

А

Рис. 17.

D

К

Е

М

С

В

А

21

73. Внешний угол треугольника больше углов, не смежных с ним, соответственно на 60° и 50°. Является ли этот треугольник остроугольным?

74. В треугольнике ABC АВ = ВС, B - 80°. Биссек-трисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите угол АМС.

75. В треугольнике ABC С = 15°. На стороне АС от-мечена точка D так, что ABD = 12°, ADB = 80°. Дока-жите, что треугольник ABC не является прямоугольным. 76. На сторонах угла А, равного 45°, отмечены точки В и С, а во внутренней области угла — точка D так, что АBD = = 95°, ACD = 90°. Найдите угол BDC. 77. В треугольнике ABC В = 60°. Внутри треугольни-ка отмечена точка О, равноудаленная от его вершин. Дока-жите, что треугольник АОС является тупоугольным. 78. В треугольнике ABC угол В тупой. Внутри тре-угольника отмечены точки О и Р. На луче PC вне тре-угольника взята точка D. Существует ли расположение точек О и Р, при котором ABO ACD? 79. В треугольнике ABC АС = ВС, D — точка пересече-ния биссектрис треугольника, а О — точка, равноудален-ная от всех вершин треугольника. Известно, что отрезок OD пересекает сторону АВ в точке Е и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треугольника ABC. 80. В треугольнике ABC C = 90°. Точка М лежит на стороне АС. Докажите, что ВС < ВМ < АВ. 81. В треугольнике ABC АВ = ВС. На продолжении сторон АС и ВС за вершину С отмечены точки D и Е соот-ветственно. Известно, что DE || АВ. Докажите, что тре-угольник CDE равнобедренный.

20

69. На рисунке 41 DЕ || AF, AB || DE, АВ = CD. Дока-жите, что BCE = ADF. 70. На прямой MN между точками М и N выбрана точ-ка А и проведены по одну сторону от MN лучи АВ, АС и AD. На луче АВ выбрана точка К и через нее проведена прямая, параллельная MN и пересекающая лучи АС и AD соответственно в точках Р и Е, КР = РА = РЕ. Докажите, что АВ AD. 71. Внутри треугольника ABC отмечена точка F. Через нее проведены прямые, параллельные сторонам АС и АВ и пересекающие сторону ВС соответственно в точках М и Е, FM = МС, FE = ЕВ. Докажите, что F — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. 72. На рисунке 42 BD — медиана треугольника ABC, причем АВ = 2BD. Докажите, что ВС — биссектриса угла DBF.

ЕРис.41.

F

D

СВ

А

Рис.42.F

D С

В

А

9

30. На рисунке 19 АО = OB, 0D = = ОС и DE = CF. До-

кажите, что AE = BF.

31. На рисунке 20

ADB = CDB,

AD = DC. Докажите, что

ВАС = BCA и

BD AC.

К

Рис. 18.

О

С

В

А

Рис.19.

О

FDЕ С

ВА

Рис.20.

D

С

В

А

10

Рис.22

К

РЕ

С

В

А

Рис. 21.

FЕ

С

В

А

32. На рисунке 21 АВ = ВС и АЕ = FC. Докажите, что

АЕС = AFC.

33. В треугольнике ABC АВ = ВС = АС. На его сторонах

взяты точки М,Р и К так, что AM : MB = BP : PC = CK : КА =

1 : 3. Докажите, что МРК равносторонний.

34. На рисунке 22 АВ = ВС, АК = КС, AKE = PKC.

Докажите, что АКЕ = КРС.

19

65. На рисунке 39 АВ = CD и ВС = DE, ABC = BCD = CDE. Докажите, что точки А, С и Е лежат на одной прямой.

66. Дан прямоугольный треугольник АВС (С = 90°), ЕAC, FАВ, причем EF || СВ, ЕК — биссектриса тре-угольника AEF. Чему равен угол АЕК? 67. На рисунке 40 AC || BD и АС = АВ, МАС = 40°. Найдите CBD. 68. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО = ОВ, АС || DB. Докажите, что АОС = DOB.

Рис.39.

FD

С

В

А

МРис.40.

D

С

В

А

18

63. На рисунке 37 АС — биссектриса угла ВАМ, AD=CE, BE = BD, BDA = ВЕС. Докажите, что AM || ВС.

64. С помощью угольника и линейки проведите через точки А и С (рис. 38) прямые т и п, параллельные BD. Бу-дет ли т || п? Дайте объяснение.

М

Рис. 37

Е D

С

В

А

Рис. 38

D С

В

А

11

Рис. 23.

D

В С

А

35. На рисунке 23 АВ = CD, BC = AD. Докажите, что

2.

2

1

36. На рисунке

24 АМ = МС,

AE = DC,

BDA = FEC.

Докажите, что

АВ = FC.

37. На рисунке 25

A = D, 1 = 2,

АВ = CD, EC= 10 см,

AEC = 90°. Найдите

высоту треугольника

BKD, опущенную из

вершины В.

Рис. 24.

F

D

М

Е С

В

А

2

1

Рис. 25.E

K

D

C

B

A

F

12

38. Отрезок прямой АВ точками Р и Q делится на три

равные части. Вне отрезка АВ по одну сторону от него взяты

точки С и D так, что АС = BD и CQ = DP, DPB + CQA =

140°. Найдите углы DPB и CQA.

39. На одной стороне угла с вершиной А отмечены точ-

ки D и В, на другой стороне — С и Е так, что

AD = А С = 3 см, АВ = АЕ = 4 см.

Докажите, что:

а) BC = ED;

б) KB = KЕ, где К — точка пересечения отрезков ВС и ED.

40. АВС и A1B1C1— равнобедренные треугольники с

основаниями АС и А1C1. точки М и M1 — середины сторон

ВС и B1C1, AB = A1B1, AM = A1M1. Докажите, что

ABC = A1B1C1.

41. В треугольниках АВС и А1В1С1 AB = AlBl, A = A1

B = B1 точки D и Dl лежат соответственно на сторонах

АС и A1C1 причем CD = C1D1. Докажите, что

BDC = B1D1С1. Сравните отрезки BD и B1D1

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием

АС. Точки D и Е лежат соответственно на сторонах АВ и ВС,

AD = СЕ. DC пересекает АЕ в точ-

ке О. Докажите, что треугольник

АОС равнобедренный.

43. Два прямоугольных тре-

угольника ВОК и COL, где углы

ВОК и COL прямые, имеют общую

вершину О (рис. 26), О-А-К, O-D-L,

KAB = CDL, AO = OD и

AK = DL. Докажите, что KB = CL.

L

D

К

О

СВ

А

Рис. 26.

17

61. На рисунке 35 1 = 2, ВС = ЕF, AD = CF. Дока-жите, что АВ || DE.

62. На рисунке 36 1 = 2, BD АС, АС — биссектри-са угла ВАЕ. Докажите, что ВС || АЕ.

Рис. 34

D

СВ

А

21

F

Рис. 35Е

D С

В

А

21

Рис. 36

Е

D С

В

А

16

58. Постройте точку, равноудаленную от точек А и В и удаленную от точки С на расстояние, равное PQ (рис. 32). Выясните число решений этой задачи в зависимости от расположения данных точек и длины отрезка PQ.

59. На рисунке 33 АВ = ВС, A = 60°, CD — биссек-триса угла ВСЕ Докажите, что АВ || CD.

60. На рисунке 34 АВ = CD и ВС = AD. Докажите, что ВС || AD.

QP

Рис. 32.

С

В

А

Рис. 33

Е

D

С

В

А

13

F

Е

Рис. 28.

D

С

В

А

О

44. Докажите равенство треугольников по медиане и

углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

45. На рисунке 27 хорды АВ и CD равны. Докажите, что

АОВ = COD.

46. На рисунке 28 АВ = CD и точки E и F—середины

хорд АВ и CD. Докажите, что OE = OF.

Рис. 27.

D

С

В

А

О

14

Рис. 29.

D

С

В

А

О

b

М

Рис. 30.

С

В

А

47. Постройте окружность данного радиуса R, которая проходит через данную точку М и центр которой лежит на данной окружности (точка М не принадлежит данной ок-ружности). 48. На рисунке 29 АВ = CD. Докажите, что АС = BD.

49. На сторонах угла ВАС найдите точки, удаленные от точки М на заданное расстояние b (рис. 30). Рассмотрите возможные случаи в зависимости от длины отрезка b.

15

50. Отрезок BD — высота треугольника ABC. От вер-шины В на прямой СВ по обе стороны от точки В отложе-ны отрезки BE и ВК, равные АВ. На АС от точки D отложен отрезок DF, равный DA. Докажите, что точки А, Е, К и F лежат на одной окружности. 51. Даны острые углы ABC и MON. От стороны АВ во внешнюю область угла ABC отложите угол, равный углу MON.

52. Постройте отрезок, соединяющий середины двух данных отрезков. 53. Начертите произвольный остроугольный треуголь-ник ABC и постройте точку пересечения высоты BD и биссектрисы AL этого треугольника. 54. От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше данного угла.

55. 1) Постройте угол, равный 135°. 2) От его верши-ны А на сторонах отложите два равных отрезка АВ и АС и постройте окружность, проходящую через точки А, В и С.

56. Дан треугольник ABC. На прямых АС и ВС по-стройте точки X и Y, такие, что XA=XB и YA = YB (рис. 31). 57. Как с помощью циркуля и линейки можно разде-лить угол в 54° на три равные части?

Рис. 31.

С В

А